2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)解答題提優(yōu)思路(新高考專用)專題10數(shù)列求和(插入新數(shù)列混合求和)練習(xí)(學(xué)生版+解析)

專題10數(shù)列求和（插入新數(shù)列混合求和）(典型題型歸類訓(xùn)練)目錄TOC\o"1-2"\h\u一、典型題型 1題型一：插入新數(shù)列構(gòu)成等差 1題型二：插入新數(shù)列構(gòu)成等比 4題型三：插入新數(shù)混合 5二、專題10數(shù)列求和（插入新數(shù)列混合求和）專項(xiàng)訓(xùn)練 7一、典型題型題型一：插入新數(shù)列構(gòu)成等差1．（23-24高二下·陜西漢中·階段練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．(1)證明數(shù)列為等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；(2)在和之間插入個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為的等差數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)和．(3)若對(duì)于任意，數(shù)列的前項(xiàng)和恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．2．（2024·四川瀘州·二模）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)在與之間插入n個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為的等差數(shù)列，求．3．（2024·湖南·二模）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足；數(shù)列滿足，其中.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)對(duì)于給定的正整數(shù)，在和之間插入個(gè)數(shù)，使，成等差數(shù)列.（i）求；（ii）是否存在正整數(shù)，使得恰好是數(shù)列或中的項(xiàng)？若存在，求出所有滿足條件的的值；若不存在，說明理由.4．（2024·黑龍江·二模）已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，其中.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)在與之間插入n個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為的等差數(shù)列，在數(shù)列中是否存在不同三項(xiàng)，，（其中成等差數(shù)列）成等比數(shù)列？若存在，求出這樣的三項(xiàng)；若不存在，請(qǐng)說明理由.5．（2024·四川瀘州·二模）已知數(shù)列的前項(xiàng)和．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)在，與之間插入個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為的等差數(shù)列，若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．題型二：插入新數(shù)列構(gòu)成等比1．（2024·湖北武漢·二模）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)在與之間插入個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為的等差數(shù)列，在數(shù)列中是否存在3項(xiàng)，，（其中，，成等差數(shù)列）成等比數(shù)列？若存在，求出這樣的3項(xiàng)；若不存在，請(qǐng)說明理由．2．（23-24高三上·上海普陀·期中）已知數(shù)列滿足，.(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；(2)在與之間插入個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為的等差數(shù)列，在數(shù)列中是否存在不同的三項(xiàng)、、（其中、、成等差數(shù)列）成等比數(shù)列？若存在，求出所有滿足條件的、、；若不存在，請(qǐng)說明理由.3．（23-24高三上·湖北·階段練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足：(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)在與之間插入個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為的等差數(shù)列，在數(shù)列中是否存在三項(xiàng)（其中成等差數(shù)列）成等比數(shù)列？若存在，求出這三項(xiàng)；若不存在，請(qǐng)說明理由.4．（2023·吉林通化·模擬預(yù)測(cè)）為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)數(shù)列依次為：，規(guī)律是在和中間插入項(xiàng)，所有插入的項(xiàng)構(gòu)成以3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，求數(shù)列的前100項(xiàng)的和.題型三：插入新數(shù)混合1．（23-24高二下·四川綿陽(yáng)·階段練習(xí)）數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)數(shù)列滿足（，）.①試確定實(shí)數(shù)的值，使得數(shù)列為等差數(shù)列；②在①的結(jié)論下，若對(duì)每個(gè)正整數(shù)，在與之間插入個(gè)2，得到一個(gè)數(shù)列．設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和，試求滿足的所有正整數(shù)．2．（23-24高三下·黑龍江哈爾濱·開學(xué)考試）記數(shù)列的前項(xiàng)和，對(duì)任意正整數(shù)，有，且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)對(duì)所有正整數(shù)，若，則在和兩項(xiàng)中插入，由此得到一個(gè)新數(shù)列，求的前91項(xiàng)和.3．（23-24高三上·天津·期末）已知公差為的等差數(shù)列和公比的等比數(shù)列中，，．(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；(2)求；(3)若在數(shù)列任意相鄰兩項(xiàng)之間插入一個(gè)實(shí)數(shù)，從而構(gòu)成一個(gè)新的數(shù)列．若實(shí)數(shù)滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和．4．（23-24高二上·廣東·期末）已知數(shù)列的前項(xiàng)和，且(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)公式，若將數(shù)列中的所有項(xiàng)按原順序依次插入數(shù)列中，組成一個(gè)新數(shù)列:與之間插入項(xiàng)中的項(xiàng)，該新數(shù)列記作數(shù)列，求數(shù)列的前100項(xiàng)的和.二、專題10數(shù)列求和（插入新數(shù)列混合求和）專項(xiàng)訓(xùn)練1．（23-24高二下·廣東惠州·階段練習(xí)）已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)保持?jǐn)?shù)列中的各項(xiàng)順序不變，在每?jī)身?xiàng)與之間插入一項(xiàng)（其中）組成新的數(shù)列記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，求n的最小值．2．（2024·黑龍江齊齊哈爾·二模）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)在數(shù)列的和項(xiàng)之間插入個(gè)數(shù)，使得這個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，其中，將所有插入的數(shù)組成新數(shù)列，設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，求．3．（23-24高二下·重慶·階段練習(xí)）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，為等比數(shù)列，且，，．(1)求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；(2)若在與之間依次插入數(shù)列中的k項(xiàng)，構(gòu)成如下的新數(shù)列；，記該數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求．4．（2024高三·江蘇·專題練習(xí)）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列中，且滿足，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，滿足．(1)求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；(2)若在與之間依次插入數(shù)列中的k項(xiàng)構(gòu)成新數(shù)列：，，，，，，，，，，……，求數(shù)列中前50項(xiàng)的和．7．（23-24高二上·黑龍江大慶·期末）已知正項(xiàng)等比數(shù)列中，，．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)在和之間插入個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為的等差數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)和．8．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知正項(xiàng)遞增等比數(shù)列滿足是方程的兩根．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)數(shù)列依次為，規(guī)律是在和中間插入k項(xiàng)，所有插入的項(xiàng)構(gòu)成以3為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，求數(shù)列的前60項(xiàng)的和．9．（21-22高三上·貴州黔東南·期末）已知等比數(shù)列滿足，且成等差數(shù)列，記．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若在數(shù)列任意相鄰兩項(xiàng)之間插入一個(gè)實(shí)數(shù)，從而構(gòu)成一個(gè)新的數(shù)列．若實(shí)數(shù)滿足，求數(shù)列的前2n項(xiàng)和．10．（23-24高三上·江西·期中）已知是正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和，滿足，.(1)若，求正整數(shù)的值；(2)若，在與之間插入中從開始的連續(xù)項(xiàng)構(gòu)成新數(shù)列，即為，求的前30項(xiàng)的和.專題10數(shù)列求和（插入新數(shù)列混合求和）(典型題型歸類訓(xùn)練)目錄TOC\o"1-2"\h\u一、典型題型 1題型一：插入新數(shù)列構(gòu)成等差 1題型二：插入新數(shù)列構(gòu)成等比 8題型三：插入新數(shù)混合 11二、專題10數(shù)列求和（插入新數(shù)列混合求和）專項(xiàng)訓(xùn)練 15一、典型題型題型一：插入新數(shù)列構(gòu)成等差1．（23-24高二下·陜西漢中·階段練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．(1)證明數(shù)列為等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；(2)在和之間插入個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為的等差數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)和．(3)若對(duì)于任意，數(shù)列的前項(xiàng)和恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)證明見解析，(2)(3)【分析】（1）根據(jù)，作差得到，從而得到，即可得證，再由等比數(shù)列通項(xiàng)公式計(jì)算可得；（2）依題意可得則，利用錯(cuò)位相減法計(jì)算可得；（3）依題意可得（）恒成立，令，利用作差法判斷的單調(diào)性，即可求出的最小值，即可得解．【詳解】（1）因?yàn)棰?，?dāng)時(shí)，，所以．當(dāng)時(shí)，②，由①－②得，即，所以，又，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以，故．（2）因?yàn)椋?，解得，所以．所以，，兩式相減得，所以．（3）由于對(duì)于任意，恒成立，即恒成立，等價(jià)于的最小值大于．令，則，所以數(shù)列是遞減數(shù)列，故數(shù)列中的最大值為，所以的最小值為，所以當(dāng)對(duì)于任意恒成立時(shí)，．2．（2024·四川瀘州·二模）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)在與之間插入n個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為的等差數(shù)列，求．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用與的關(guān)系式，結(jié)合等比數(shù)列的定義與通項(xiàng)公式即可得解；（2）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得解.【詳解】（1）因?yàn)椋?dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，所以，整理得，所以數(shù)列是以3為首項(xiàng)，公比為3的等比數(shù)列，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為;（2）因?yàn)?，由題意得：，即，所以.3．（2024·湖南·二模）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足；數(shù)列滿足，其中.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)對(duì)于給定的正整數(shù)，在和之間插入個(gè)數(shù)，使，成等差數(shù)列.（i）求；（ii）是否存在正整數(shù)，使得恰好是數(shù)列或中的項(xiàng)？若存在，求出所有滿足條件的的值；若不存在，說明理由.【答案】(1)(2)（i）；（ii）存在，【分析】（1）根據(jù)的關(guān)系式可得是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列，再根據(jù)可分別對(duì)的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別求通項(xiàng)公式可得；（2）（i）利用定義可求得新插入的數(shù)列公差，求得并利用錯(cuò)位相減法即可求出；（ii）求得，易知對(duì)于任意正整數(shù)均有，而，所以不是數(shù)列中的項(xiàng)；又，分別對(duì)其取值為時(shí)解方程可求得.【詳解】（1）由①，當(dāng)時(shí)，②，得，當(dāng)時(shí)，，是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列，故，由③.由得，又④.④-③得，的所有奇數(shù)項(xiàng)構(gòu)成首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列：所有偶數(shù)項(xiàng)構(gòu)成首項(xiàng)為2，公差為2的等差數(shù)列.得.綜上可得；（2）（i）在和之間新插入個(gè)數(shù)，使成等差數(shù)列，設(shè)公差為，則，則.⑤則⑥⑤-⑥得：，所以可得（ii）由（1），又，由已知，假設(shè)是數(shù)列或中的一項(xiàng)，不妨設(shè)，因?yàn)?，所以，而，所以不可能是?shù)列中的項(xiàng).假設(shè)是中的項(xiàng)，則.當(dāng)時(shí)，有，即，令，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，由知無解.當(dāng)時(shí)，有，即.所以存在使得是數(shù)列中的第3項(xiàng)；又對(duì)于任意正整數(shù)均有，所以時(shí)，方程均無解；綜上可知，存在正整數(shù)使得是數(shù)列中的第3項(xiàng).【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：求解是否存在正整數(shù)，使得恰好是數(shù)列或中的項(xiàng)時(shí)，關(guān)鍵是限定出，再對(duì)數(shù)列的取值范圍進(jìn)行限定可得不是數(shù)列中的項(xiàng)，再由只能取得正整數(shù)可知只需討論或有無解即可求得結(jié)論.4．（2024·黑龍江·二模）已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，其中.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)在與之間插入n個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為的等差數(shù)列，在數(shù)列中是否存在不同三項(xiàng)，，（其中成等差數(shù)列）成等比數(shù)列？若存在，求出這樣的三項(xiàng)；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】(1)(2)不存在，理由見解析【分析】（1）根據(jù)遞推關(guān)系可得，從而可得公比，故可求首項(xiàng)從而得到通項(xiàng)公式；（2）先求出的通項(xiàng)，再利用反證法結(jié)合等比中項(xiàng)的性質(zhì)可得矛盾，從而得到數(shù)列中不存在不同三項(xiàng)，，（其中成等差數(shù)列）成等比數(shù)列.【詳解】（1）因?yàn)?，故，故，而為等比?shù)列，故其公比為，又，故，故，故.（2）由題設(shè)可得，若數(shù)列中存在不同三項(xiàng)，，（其中成等差數(shù)列）成等比數(shù)列，則，因?yàn)榈炔顢?shù)列，故即，故，故即，這樣不同矛盾，故數(shù)列中不存在不同三項(xiàng)，，（其中成等差數(shù)列）成等比數(shù)列.5．（2024·四川瀘州·二模）已知數(shù)列的前項(xiàng)和．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)在，與之間插入個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為的等差數(shù)列，若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)，作差得到，從而得到是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，即可求出其通項(xiàng)公式；（2）由（1）可得，從而得到，利用裂項(xiàng)相消法求和即可.【詳解】（1）因?yàn)?，?dāng)時(shí)，解得，當(dāng)時(shí)，所以，即，所以，即數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以.（2）因?yàn)?，，所以，所以，則，所以.題型二：插入新數(shù)列構(gòu)成等比1．（2024·湖北武漢·二模）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)在與之間插入個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為的等差數(shù)列，在數(shù)列中是否存在3項(xiàng)，，（其中，，成等差數(shù)列）成等比數(shù)列？若存在，求出這樣的3項(xiàng)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)證明見解析；(2)不存在，理由見解析.【分析】（1）利用等比數(shù)列定義，根據(jù)將，代入構(gòu)造方程組解得，，可得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）假設(shè)存在，，成等比數(shù)列，由，，成等差數(shù)列可得，且，解得，與已知矛盾，因此不存在這樣的3項(xiàng).【詳解】（1）由題意知當(dāng)時(shí)，①當(dāng)時(shí)，②聯(lián)立①②，解得，；所以數(shù)列的通項(xiàng)公式．（2）由（1）知，，所以，可得；設(shè)數(shù)列中存在3項(xiàng)，，（其中，，成等差數(shù)列）成等比數(shù)列，則，所以，即；又因?yàn)?，，成等差?shù)列，所以，所以，化簡(jiǎn)得，即；又，所以與已知矛盾；所以在數(shù)列中不存在3項(xiàng)，，成等比數(shù)列．2．（23-24高三上·上海普陀·期中）已知數(shù)列滿足，.(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；(2)在與之間插入個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為的等差數(shù)列，在數(shù)列中是否存在不同的三項(xiàng)、、（其中、、成等差數(shù)列）成等比數(shù)列？若存在，求出所有滿足條件的、、；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】(1)證明見解析，(2)不存在，理由見解析【分析】（1）利用等比數(shù)列的定義可證明出數(shù)列為等比數(shù)列，確定數(shù)列的首項(xiàng)和公比，可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)而可得出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）根據(jù)等差數(shù)列的定義出，假設(shè)存在滿足條件的三項(xiàng)、、（其中、、成等差數(shù)列），由已知可得出，根據(jù)等比數(shù)列的定義可得出，化簡(jiǎn)得出，再利用作差法推出矛盾，即可得出結(jié)論.【詳解】（1）解：因?yàn)閿?shù)列滿足，，則當(dāng)時(shí)，，且，所以，數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.所以，，故.（2）解：在與之間插入個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為的等差數(shù)列，則，假設(shè)數(shù)列中是否存在不同的三項(xiàng)、、（其中、、成等差數(shù)列）成等比數(shù)列，則，即，即，由已知可得，所以，，事實(shí)上，，即，矛盾，假設(shè)不成立，故不存在這樣的三項(xiàng)、、成等比數(shù)列.3．（23-24高三上·湖北·階段練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足：(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)在與之間插入個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為的等差數(shù)列，在數(shù)列中是否存在三項(xiàng)（其中成等差數(shù)列）成等比數(shù)列？若存在，求出這三項(xiàng)；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】(1)(2)不存在，理由見解析【分析】（1）由，得，兩式相減化簡(jiǎn)可得是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，從而可求出通項(xiàng)公式，（2）由題意可得，假設(shè)存在這樣的三項(xiàng)成等比數(shù)列，則，結(jié)合已知化簡(jiǎn)可得結(jié)論.【詳解】（1）由①得時(shí)②①-②得，①中令得，是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，，（2）假設(shè)存在這樣的三項(xiàng)成等比數(shù)列，為遞增數(shù)列，不妨設(shè)，則則，成等差數(shù)列，，，由，得，所以，與題設(shè)矛盾不存在這樣的三項(xiàng)（其中成等差數(shù)列）成等比數(shù)列.4．（2023·吉林通化·模擬預(yù)測(cè)）為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)數(shù)列依次為：，規(guī)律是在和中間插入項(xiàng)，所有插入的項(xiàng)構(gòu)成以3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，求數(shù)列的前100項(xiàng)的和.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用項(xiàng)與和的關(guān)系即可求解；（2）先確定數(shù)列的前100項(xiàng)中含有的前13項(xiàng)，含有中的前87項(xiàng)，再利用分組求和的方法即可求解.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，解得（舍去），由得時(shí)，，兩式相減得，因?yàn)?，所以，所以是等差?shù)列，首項(xiàng)為4，公差為3，所以；（2）由于，因此數(shù)列的前100項(xiàng)中含有的前13項(xiàng)，含有中的前87項(xiàng)，所求和為.題型三：插入新數(shù)混合1．（23-24高二下·四川綿陽(yáng)·階段練習(xí)）數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)數(shù)列滿足（，）.①試確定實(shí)數(shù)的值，使得數(shù)列為等差數(shù)列；②在①的結(jié)論下，若對(duì)每個(gè)正整數(shù)，在與之間插入個(gè)2，得到一個(gè)數(shù)列．設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和，試求滿足的所有正整數(shù)．【答案】(1)(2)①；②【分析】（1）根據(jù)題意，推得，再求得，得到數(shù)列為等比數(shù)列，即可求解；（2）①根據(jù)題意，求得的值，結(jié)合，求得，即可求解；（2）根據(jù)題意，得到必是數(shù)列中的某一項(xiàng)，求得，結(jié)合，得出，進(jìn)而求得的值.【詳解】（1）解：因?yàn)樵跀?shù)列中，，當(dāng)時(shí),，兩式相減得，可得，又因?yàn)闀r(shí),，可得，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，故.（2）①當(dāng)時(shí)，可得，當(dāng)時(shí)，得，當(dāng)時(shí),得，因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，可得，可得，當(dāng)時(shí)，由，可得，又由，當(dāng)時(shí)，數(shù)列為等差數(shù)列；②由題意知，則當(dāng)時(shí)，，不合題意，舍去；當(dāng)時(shí)，，所以成立；當(dāng)時(shí)，若，則，理由如下，從而必是數(shù)列中的某一項(xiàng)，則，又因?yàn)?，所以，即，所以，因?yàn)闉槠鏀?shù)，而為偶數(shù)，所以上式無解，即當(dāng)時(shí)，，不合題意,舍去；綜上所述,滿足題意的正整數(shù)僅有.2．（23-24高三下·黑龍江哈爾濱·開學(xué)考試）記數(shù)列的前項(xiàng)和，對(duì)任意正整數(shù)，有，且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)對(duì)所有正整數(shù)，若，則在和兩項(xiàng)中插入，由此得到一個(gè)新數(shù)列，求的前91項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【分析】（1）由得出數(shù)列的遞推關(guān)系，然后由連乘法求得通項(xiàng)；（2）考慮到，，從而確定的前91項(xiàng)中有87項(xiàng)來自，其他4項(xiàng)由組成，由此分組求和．【詳解】（1）由，則，兩式相減得：，整理得：，即時(shí)，，所以時(shí)，，又時(shí)，，得，也滿足上式.故.（2）由，所以，又，所以前91項(xiàng)中有87項(xiàng)來自.所以故.3．（23-24高三上·天津·期末）已知公差為的等差數(shù)列和公比的等比數(shù)列中，，．(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；(2)求；(3)若在數(shù)列任意相鄰兩項(xiàng)之間插入一個(gè)實(shí)數(shù)，從而構(gòu)成一個(gè)新的數(shù)列．若實(shí)數(shù)滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）利用條件計(jì)算等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本量即可；（2）利用錯(cuò)位相減法計(jì)算求和即可；（3）利用裂項(xiàng)相消法及分組法計(jì)算求和即可.【詳解】（1）由已知，得，解得，；（2）記，所以，，作差得：，；（3）由（1）得，則，所以.4．（23-24高二上·廣東·期末）已知數(shù)列的前項(xiàng)和，且(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)公式，若將數(shù)列中的所有項(xiàng)按原順序依次插入數(shù)列中，組成一個(gè)新數(shù)列:與之間插入項(xiàng)中的項(xiàng)，該新數(shù)列記作數(shù)列，求數(shù)列的前100項(xiàng)的和.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)遞推公式求出，從而求出，再驗(yàn)證從而可求解.（2）分析數(shù)列前項(xiàng)中，各有多少項(xiàng)，然后再利用分組求和即可求解.【詳解】（1）由題意知當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即，所以數(shù)列為等比數(shù)列，且，當(dāng)時(shí)，也滿足，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）由題知，由（1）知，在數(shù)列中（含）前面共有：項(xiàng)，由，，解得，所以數(shù)列前項(xiàng)中含有數(shù)列的前項(xiàng)，含有數(shù)列的前項(xiàng)，所以.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：（2）問中的關(guān)鍵是計(jì)算出在數(shù)列中前100項(xiàng)中包含數(shù)列，的項(xiàng)數(shù)，利用分組求和法從而可求解.二、專題10數(shù)列求和（插入新數(shù)列混合求和）專項(xiàng)訓(xùn)練1．（23-24高二下·廣東惠州·階段練習(xí)）已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)保持?jǐn)?shù)列中的各項(xiàng)順序不變，在每?jī)身?xiàng)與之間插入一項(xiàng)（其中）組成新的數(shù)列記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，求n的最小值．【答案】(1)(2)15【分析】（1）根據(jù)等比數(shù)列求和公式化簡(jiǎn)得出公比即可求出通項(xiàng)公式；（2）根據(jù)題意可以先分組求和，再并項(xiàng)后利用錯(cuò)位相減法求，分析可知，只需比較與大小即可得解.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，解得，所?（2）因?yàn)樗?，，所以，兩式相減得：，所以，易知隨著增大而增大，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，而綜上，的最小值為.2．（2024·黑龍江齊齊哈爾·二模）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)在數(shù)列的和項(xiàng)之間插入個(gè)數(shù)，使得這個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，其中，將所有插入的數(shù)組成新數(shù)列，設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，求．【答案】(1)(2)【分析】（1）運(yùn)用求解即可.（2）依題意可知，插入數(shù)列后，與所構(gòu)成的數(shù)列為，，，，，，，，，，結(jié)合等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式及錯(cuò)位相減法求和即可求得結(jié)果.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，即，所以，當(dāng)時(shí)，符合，所以；（2）依題意，，，，?．所以，即，①則，②由①②可得，，所以．3．（23-24高二下·重慶·階段練習(xí)）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，為等比數(shù)列，且，，．(1)求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；(2)若在與之間依次插入數(shù)列中的k項(xiàng)，構(gòu)成如下的新數(shù)列；，記該數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求．【答案】(1)(2)5528【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，等比數(shù)列的公比為q，由題意列出方程組，求出的值，即可求得答案；（2）確定新數(shù)列中，項(xiàng)（含）之前共有項(xiàng)，解可確定新數(shù)列的前70項(xiàng)中，含有中的前11項(xiàng)，含有中的前59項(xiàng)，結(jié)合等差數(shù)列以及等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，即可求得答案.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，等比數(shù)列的公比為q，由，，，得，解得，故；（2）由題意可知新數(shù)列中，項(xiàng)（含）之前共有項(xiàng)，令，由于，則，此時(shí)時(shí)，，即新數(shù)列的前70項(xiàng)中，含有中的前11項(xiàng)，含有中的前59項(xiàng)，故.4．（2024高三·江蘇·專題練習(xí)）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列中，且滿足，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，滿足．(1)求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；(2)若在與之間依次插入數(shù)列中的k項(xiàng)構(gòu)成新數(shù)列：，，，，，，，，，，……，求數(shù)列中前50項(xiàng)的和．【答案】(1)，(2)11522【分析】（1）利用平方差公式將變形，得出數(shù)列是等差，可求出數(shù)列的通項(xiàng)；利用消去得到與的遞推關(guān)系，得出數(shù)列是等比數(shù)列，可求出通項(xiàng)；（2）分析中前50項(xiàng)中與各有多少項(xiàng)，分別求和即可．【詳解】（1）由得：∵則是首項(xiàng)，公差為2的等差數(shù)列，∴，又當(dāng)時(shí)，得，當(dāng)，由…①…②由①－②整理得：，∵，∴，∴，∴數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列，故；（2）依題意知：新數(shù)列中，（含）前面共有：項(xiàng)．由，（）得：，∴新數(shù)列中含有數(shù)列的前9項(xiàng)：，，……，，含有數(shù)列的前41項(xiàng)：，，，……，；∴．5．（23-24高二上·湖北武漢·期末）已知等比數(shù)列前四項(xiàng)和為30，且．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)在和之間插入1個(gè)數(shù)，使、、成等差數(shù)列；在和之間插入2個(gè)數(shù)、，使、、、成等差數(shù)列；；在和之間插入個(gè)數(shù)、、、，使、、、、、成等差數(shù)列．①若，求；②若，求．【答案】(1)(2)①；②【分析】（1）由等比數(shù)列性質(zhì)列方程求得公比首項(xiàng)即可得解.（2）①首先得，進(jìn)一步，，結(jié)合等差數(shù)列求和公式即可得；②直接由等比數(shù)列求和公式以及錯(cuò)位相減法即可求解.【詳解】（1）設(shè)的公比為，則：，則，所以．（2）①在和之間插入個(gè)數(shù)、、、，使、、、、、成等差數(shù)列，設(shè)其公差為，此數(shù)列首項(xiàng)為，末項(xiàng)為，則，，則，②，則，，則，故：．6．（23-24高二上·廣