華東師大版九年級數學上冊壓軸題攻略專題01二次根式與二次根式的乘法壓軸題九種模型全攻略(原卷版+解析)

專題01二次根式與二次根式的乘除法壓軸題九種模型全攻略【考點導航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點一二次根式的識別】 1【考點二二次根式有意義的條件】 2【考點三求二次根式的值】 3【考點四利用二次根式的性質化簡】 4【考點五復合二次根式的化簡】 6【考點六二次根式的乘除混合運算】 10【考點七最簡二次根式的判斷】 11【考點八化為最簡二次根式】 12【考點九已知最簡二次根式求參數】 14【過關檢測】 15【典型例題】【考點一二次根式的識別】例題：（2023春·福建莆田·八年級統(tǒng)考期中）下列式子中，是二次根式的是（

）A． B． C． D．【變式訓練】1．（2023·全國·八年級假期作業(yè)）下列式子一定是二次根式是（）A． B．π C． D．2．（2023春·浙江金華·八年級校聯考階段練習）下列式子一定是二次根式的是（）A． B． C． D．【考點二二次根式有意義的條件】例題：（2023·廣西河池·校聯考一模）如果二次根式有意義，那么實數的取值范圍是______．【變式訓練】1．（2023春·天津濱海新·八年級?？计谥校┦阶釉趯崝捣秶鷥扔幸饬x，則的取值范圍是______．2．（2023·河南新鄉(xiāng)·統(tǒng)考三模）代數式有意義的條件為______．【考點三求二次根式的值】例題：（2023春·浙江麗水·八年級校聯考期中）當時，的值為______．【變式訓練】1．（2023春·浙江溫州·八年級校聯考期中）當時，二次根式的值為______．2．（2023春·浙江溫州·八年級統(tǒng)考期中）當時，二次根式的值是________．【考點四利用二次根式的性質化簡】例題：（2023春·八年級單元測試）若實數a、b、c在數軸上的對應點如圖所示，試化簡：．【變式訓練】1．（2023春·福建廈門·八年級廈門雙十中學校考期中）觀察下列式子，尋找規(guī)律：①

②

③，(1)根據以上規(guī)律寫出第④個等式：_______________________；(2)寫出第個等式，并證明該結論的正確性．2．（2023春·廣東廣州·七年級廣州大學附屬中學?？计谥校?）已知：實數，在數軸上的位置如圖所示，化簡：．【考點五復合二次根式的化簡】例題：（2023春·浙江·八年級專題練習）閱讀材料：把根式進行化簡，若能找到兩個數，是且，則把變成開方，從而使得化簡．例如：化簡解：∵∴；請你仿照上面的方法，化簡下列各式：(1)；(2)【變式訓練】1．（2023春·全國·八年級期中）像，……這樣的根式叫做復合二次根式．有一些復合二次根式可以借助構造完全平方式進行化簡，如：；再如：．請用上述方法探索并解決下列問題：(1)請你嘗試化簡：①______；②______．(2)若，且，，為正整數，求的值．2．（2023春·江蘇·八年級專題練習）像這樣的根式叫做復合二次根式有一些復合二次根式可以借助構造完全平方式進行化簡．例1：；例2：請用上述方法探索并解決下列問題：(1)化簡：；(2)化簡：；(3)若，且為正整數，求a的值．【考點六二次根式的乘除混合運算】例題：（2023·全國·八年級專題練習）計算∶．【變式訓練】1．（2023·全國·八年級專題練習）計算∶．2．（2023春·江蘇·八年級專題練習）計算：(1)(2)(3)(4)．【考點七最簡二次根式的判斷】例題：（2023春·湖北武漢·八年級校考階段練習）下列二次根式是最簡二次根式的是（

）A． B． C． D．【變式訓練】1．（2023春·廣東云浮·八年級?？计谥校┫铝卸胃街械淖詈喍胃绞牵?/p>

）A． B． C． D．2．（2023春·廣東廣州·八年級?？计谥校┫铝卸胃街校亲詈喍胃降氖牵?/p>

）A． B． C． D．【考點八化為最簡二次根式】例題：（2023春·江西上饒·八年級統(tǒng)考階段練習）化簡的結果為______．【變式訓練】1．（2023春·全國·八年級專題練習）把下列二次根式化成最簡二次根式：(1)(2)(3)2．（2023·上?！ぐ四昙壖倨谧鳂I(yè)）將下列二次根式化成最簡二次根式：(1)；(2)；(3)（）(4)（，，）．【考點九已知最簡二次根式求參數】例題：（2023春·全國·八年級專題練習）若二次根式與可以合并，則的值可以是（

）A．6 B．5 C．4 D．2【變式訓練】1．（2023·上?！ぐ四昙壖倨谧鳂I(yè)）兩個最簡二次根式與可以合并，則_____．2．（2023春·江蘇·八年級專題練習）如果兩個最簡二次根式與能合并，那么________．【過關檢測】一、選擇題1．（2023春·廣東云浮·八年級校考期中）下列式子沒有意義的是（

）A． B． C． D．2．（2023春·北京海淀·八年級?？计谥校┫铝卸胃街惺亲詈喍胃降氖牵ǎ〢． B． C． D．3．（2023·全國·八年級假期作業(yè)）計算的結果是（）A．1 B． C． D．4．（2023春·湖北襄陽·八年級校考階段練習）在函數中，自變量x的取值范圍是(

)A． B． C．且 D．且5．（2023春·天津寶坻·七年級校考階段練習）下列各式錯誤的是（

）A．B．C．D．二、填空題6．（2023·山西晉中·統(tǒng)考一模）計算：的結果為______．7．（2023春·廣東湛江·八年級校考期中）若代數式有意義，則的取值范圍是___________．8．（2023春·福建廈門·八年級廈門市湖濱中學?？计谥校┯嬎悖海?）＝_____；（2）＝_____；（3）＝______；（4）＝______．9．（2023·全國·八年級假期作業(yè)）二次根式中：、、、是最簡二次根式的是______．10．（2023春·江蘇·八年級專題練習）如果，那么下列各式，①；②；③，④，正確的有______．三、解答題11．（2023春·安徽六安·八年級校聯考階段練習）當分別取下列值時，求二次根式的值．(1)；(2)；(3)．12．（2023·上海·八年級假期作業(yè)）化簡以下二次根式：(1)；(2)；(3)（）．13．（2023·上?！ぐ四昙壖倨谧鳂I(yè)）求下列各式有意義的所有x的取值范圍：(1)(2)(3)(4)(5)14．（2023春·廣東珠?！ぐ四昙壷楹Ｊ星吧街袑W?？茧A段練習）計算下列各式的值：(1)(2)15．（2023·上海·八年級假期作業(yè)）計算：(1)；(2)．16．（2023春·全國·八年級專題練習）計算：(1)；(2)；(3)（，）．17．（2023·上?！ぐ四昙壖倨谧鳂I(yè)）計算．(1)；(2)．18．（2023春·上海·七年級統(tǒng)考期中）先閱讀下列的解答過程，然后再解答：形如的化簡，只要我們找到兩個正數a、b，使，，使得，，那么便有：（）例如：化簡解：首先把化為，這里，，由于，即，所以(1)填空：，(2)化簡：；

專題01二次根式與二次根式的乘除法壓軸題九種模型全攻略【考點導航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點一二次根式的識別】 1【考點二二次根式有意義的條件】 2【考點三求二次根式的值】 3【考點四利用二次根式的性質化簡】 4【考點五復合二次根式的化簡】 6【考點六二次根式的乘除混合運算】 10【考點七最簡二次根式的判斷】 11【考點八化為最簡二次根式】 12【考點九已知最簡二次根式求參數】 14【過關檢測】 15【典型例題】【考點一二次根式的識別】例題：（2023春·福建莆田·八年級統(tǒng)考期中）下列式子中，是二次根式的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據二次根式的定義判斷即可；【詳解】解：A、，無意義，故本選項不符合題意；B、是二次根式，故本選項符合題意；C、是三次根式，故本選項不符合題意；D、是分式，不是二次根式，故本選項不符合題意；故選：B．【點睛】本題考查了二次根式的定義，掌握一般地，我們把形如的式子叫做二次根式是解題的關鍵．【變式訓練】1．（2023·全國·八年級假期作業(yè)）下列式子一定是二次根式是（）A． B．π C． D．【答案】D【分析】根據二次根式的概念進行判斷即可．【詳解】解：A、該代數式無意義，不符合題意；B、π是無理數，不是二次根式，故此選項不合題意；C、該代數式是三次根式，故此選項不合題意；D、是二次根式，故此選項符合題意．故選：D．【點睛】本題考查二次根式的概念，確定被開方數恒為非負數是解題的關鍵．2．（2023春·浙江金華·八年級校聯考階段練習）下列式子一定是二次根式的是（）A． B． C． D．【答案】B【詳解】根據二次根式有意義的條件進行判斷即可解答．【分析】解：∵，∴只有有意義．故選：B．【點睛】本題主要考查了二次根式的非負性，理解二次根式的有意義的條件是正確判斷的關鍵．【考點二二次根式有意義的條件】例題：（2023·廣西河池·校聯考一模）如果二次根式有意義，那么實數的取值范圍是______．【答案】【分析】根據二次根式有意義的條件，得出，進而即可求解．【詳解】根據題意知，解得，故答案為：．【點睛】本題考查了二次根式有意義的條件，熟練掌握二次根式有意義的條件是解題的關鍵．【變式訓練】1．（2023春·天津濱海新·八年級?？计谥校┦阶釉趯崝捣秶鷥扔幸饬x，則的取值范圍是______．【答案】【分析】根據二次根式有意義的條件可得，再解即可．【詳解】由題意得：，解得：，故答案為：．【點睛】此題主要考查了二次根式有意義的條件，關鍵是掌握二次根式中的被開方數是非負數．2．（2023·河南新鄉(xiāng)·統(tǒng)考三模）代數式有意義的條件為______．【答案】且【分析】由()，分式()進行求解即可．【詳解】解：由題意得，解得：且．故答案：且．【點睛】本題考查了二次根式與分式有意義的條件，理解條件是解題的關鍵．【考點三求二次根式的值】例題：（2023春·浙江麗水·八年級校聯考期中）當時，的值為______．【答案】4【分析】直接把x的值代入化簡即可．【詳解】解：當時，．故答案為：4．【點睛】本題主要考查了二次根式的求值，熟記二次根式的性質是解決此題的關鍵．【變式訓練】1．（2023春·浙江溫州·八年級校聯考期中）當時，二次根式的值為______．【答案】【分析】把代入原式化簡即可．【詳解】解：當時，原式，故答案為：．【點睛】本題主要考查了二次根式的化簡，掌握代入求值法是解題關鍵．2．（2023春·浙江溫州·八年級統(tǒng)考期中）當時，二次根式的值是________．【答案】1【分析】把代入，再計算即可．【詳解】解：當時，二次根式的值是，故答案為：1【點睛】本題考查的是求解二次根式的值，正確的運算是解本題的關鍵．【考點四利用二次根式的性質化簡】例題：（2023春·八年級單元測試）若實數a、b、c在數軸上的對應點如圖所示，試化簡：．【答案】【分析】根據數軸上點的位置判斷絕對值里式子的正負，利用絕對值的性質進行化簡即可．【詳解】解：由圖可知：，，，∴，，．∴．【點睛】本題考查二次根式和絕對值的性質與化簡，熟練掌握二次根式的性質是解題的關鍵．【變式訓練】1．（2023春·福建廈門·八年級廈門雙十中學?？计谥校┯^察下列式子，尋找規(guī)律：①

②

③，(1)根據以上規(guī)律寫出第④個等式：_______________________；(2)寫出第個等式，并證明該結論的正確性．【答案】(1)(2)，證明見解析【分析】（1）根據已知等式的各部分和序號的關系可得結果；（2）根據發(fā)現的規(guī)律，歸納出第n個等式，再利用二次根式的性質和分式的運算法則化簡即可證明．【詳解】（1）解：第④個等式為：,故答案為：；（2）第個等式為：，證明：∵n為正整數，∴【點睛】本題考查了數字型規(guī)律，二次根式的性質，分式的加法運算，解題的關鍵是發(fā)現已知等式的性質，神域歸納總結．2．（2023春·廣東廣州·七年級廣州大學附屬中學?？计谥校?）已知：實數，在數軸上的位置如圖所示，化簡：．【答案】；【分析】根據二次根式的性質，絕對值的性質即可求解．【詳解】解：∵，∴，，，∴．【點睛】本題主要考查二次根式的性質，掌握二次根式的性質，絕對值的性質，乘法公式，分式的混合運算法則是解題的關鍵．【考點五復合二次根式的化簡】例題：（2023春·浙江·八年級專題練習）閱讀材料：把根式進行化簡，若能找到兩個數，是且，則把變成開方，從而使得化簡．例如：化簡解：∵∴；請你仿照上面的方法，化簡下列各式：(1)；(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）仿照例題，根據，即可求解；（2）直接利用完全平方公式將原式變形進而得出答案．【詳解】（1）解：∵，；（2）解：．【點睛】本題考查了二次根式的性質，將被開方數化為平方的形式是解題的關鍵．【變式訓練】1．（2023春·全國·八年級期中）像，……這樣的根式叫做復合二次根式．有一些復合二次根式可以借助構造完全平方式進行化簡，如：；再如：．請用上述方法探索并解決下列問題：(1)請你嘗試化簡：①______；②______．(2)若，且，，為正整數，求的值．【答案】(1)①；②(2)46或14【分析】（1）將被開方數寫成完全平方式，再化簡．（2）變形已知等式，建立，，的方程組求解．【詳解】（1）解：①；；②；故答案為：①；②；（2）解：，，，，均為正整數．或，或．或14．【點睛】本題考查二次根式的化簡，將二次根式的被開方數變?yōu)橥耆椒绞绞乔蠼獗绢}的關鍵．2．（2023春·江蘇·八年級專題練習）像這樣的根式叫做復合二次根式有一些復合二次根式可以借助構造完全平方式進行化簡．例1：；例2：請用上述方法探索并解決下列問題：(1)化簡：；(2)化簡：；(3)若，且為正整數，求a的值．【答案】(1)(2)(3)a的值為或【分析】（1）根據題目提供的方法將，化簡為，進而得到答案；（2）根據題目提供的方法將，化簡為，進而得到答案；（3）將化簡為，繼而得到，，再根據為正整數，即可求出其值，代入即可．【詳解】（1）解：；（2）解：；（3）解：，，又為正整數，，或者，當時，；當，，綜上所述，a的值為或．【點睛】本題考查完全平方公式，二次根式的性質與化簡，掌握完全平方公式的結構特征是正確解答的前提．【考點六二次根式的乘除混合運算】例題：（2023·全國·八年級專題練習）計算∶．【答案】【分析】根據二次根式的乘除混合運算進行計算即可求解．【詳解】解：．【點睛】本題考查了二次根式的乘除混合運算，掌握二次根式的混合運算是解題的關鍵．【變式訓練】1．（2023·全國·八年級專題練習）計算∶．【答案】【分析】根據二次根式的運算順序和運算法則進行計算即可．【詳解】解：原式．【點睛】本題主要考查了二次根式的乘除混合運算，解題的關鍵是熟練掌握二次根式的運算法則和運算順序．2．（2023春·江蘇·八年級專題練習）計算：(1)(2)(3)(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）根據二次根式的乘法運算進行計算即可求解；（2）根據二次根式的除法運算進行計算即可求解；（3）根據二次根式的乘除混合運算進行計算即可求解；（4）根據二次根式的乘除混合運算進行計算即可求解．【詳解】（1）；（2）（3）；（4）．【點睛】本題考查了二次根式的混合運算，掌握二次根式的運算法則是解題的關鍵．【考點七最簡二次根式的判斷】例題：（2023春·湖北武漢·八年級?？茧A段練習）下列二次根式是最簡二次根式的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據最簡二次根式的定義進行判斷即可．【詳解】解：A中，不是最簡二次根式，故不符合要求；B中，是最簡二次根式，故符合要求；C中，不是最簡二次根式，故不符合要求；D中，不是最簡二次根式，故不符合要求；故選：B．【點睛】本題考查了二次根式的性質，最簡二次根式．解題的關鍵在于對知識的熟練掌握．【變式訓練】1．（2023春·廣東云浮·八年級校考期中）下列二次根式中的最簡二次根式是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據最簡二次根式的定義逐個判斷即可．【詳解】解：．的被開方數中的因數不是整數，不是最簡二次根式，故本選項不符合題意；.是最簡二次根式，故本選項符合題意；.的被開方數中的因數不是整數，不是最簡二次根式，故本選項不符合題意；.的被開方數中含有能開得盡方的因數，不是最簡二次根式，故本選項不符合題意；故選：．【點睛】本題考查了最簡二次根式，能熟記最簡二次根式的定義是解此題的關鍵，具備以下兩個條件的二次根式叫最簡二次根式：被開方數的因數是整數，因式是整式，被開方數中不含有能開得盡方的因數和因式．2．（2023春·廣東廣州·八年級校考期中）下列二次根式中，是最簡二次根式的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據最簡二次根式的概念：（1）被開方數不含分母；（2）被開方數中不含能開得盡方的因數或因式，逐項進行判斷即可．【詳解】解：A、是二次根式，故符合題意；B、，不是二次根式，故不符合題意；C、，不是二次根式，故不符合題意；D、，不是二次根式，故不符合題意；故選：A．【點睛】本題考查最簡二次根式，理解最簡二次根式的定義是正確解答的關鍵．【考點八化為最簡二次根式】例題：（2023春·江西上饒·八年級統(tǒng)考階段練習）化簡的結果為______．【答案】/【分析】根據二次根式的性質化簡即可．【詳解】解：．故答案為：．【點睛】本題考查了二次根式的性質與化簡，掌握二次根式的性質是解答本題的關鍵．【變式訓練】1．（2023春·全國·八年級專題練習）把下列二次根式化成最簡二次根式：(1)(2)(3)【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）把32寫成16×2，然后化簡；（2）先把小數寫成分數，然后分子分母都乘以2，然后化簡；（3）分子分母都乘以3，然后化簡．【詳解】（1）解：；（2）解：；（3）解：．【點睛】此題主要考查了二次根式的化簡，熟練掌握二次根式的性質是解題的關鍵．2．（2023·上?！ぐ四昙壖倨谧鳂I(yè)）將下列二次根式化成最簡二次根式：(1)；(2)；(3)（）(4)（，，）．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）根據二次根式的性質，分母有理化的計算方法即可求解；（2）將小數化為分數，根據二次根式的性質，分母有理化的計算方法即可求解；（3）根據二次根式的性質，分母有理化的計算方法即可求解；（4）根據二次根式的性質，分母有理化的計算方法即可求解．【詳解】（1）解：．（2）解：（3）解：．（4）解：．【點睛】本題主要考查利用二次根式的性質進行化簡，掌握二次根式的性質，二次根式分母有理化的計算方法是解題的關鍵．【考點九已知最簡二次根式求參數】例題：（2023春·全國·八年級專題練習）若二次根式與可以合并，則的值可以是（

）A．6 B．5 C．4 D．2【答案】B【分析】把a的值依次代入即可判斷求解．【詳解】當a=6時，=，不能與可以合并，當a=5時，=，能與可以合并，當a=4時，=，不能與可以合并，當a=2時，=，不能與可以合并，故選B．【點睛】此題主要考查二次根式的性質，解題的關鍵是熟知二次根式的化簡方法．【變式訓練】1．（2023·上?！ぐ四昙壖倨谧鳂I(yè)）兩個最簡二次根式與可以合并，則_____．【答案】5【分析】根據最簡二次根式的定義即可解答．【詳解】解：由題意得：，∴，∴，但當時，，不是最簡二次根式，應舍去，∴；故答案為：5．【點睛】本題考查了最簡二次根式的定義，理解二次根式的定義是解題的關鍵．2．（2023春·江蘇·八年級專題練習）如果兩個最簡二次根式與能合并，那么________．【答案】4【分析】根據題意得到，求出a即可求解．【詳解】解：∵最簡二次根式與能合并，∴，解得．故答案為：4【點睛】本題考查了最簡二次根式，同類二次根式，解題的關鍵是根據題意判斷最簡二次根式與是同類二次根式．【過關檢測】一、選擇題1．（2023春·廣東云浮·八年級校考期中）下列式子沒有意義的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據二次根式的被開方數是非負數，可得答案．【詳解】解：A、被開方數是負數，該式子無意義，故本選項正確；B、被開方數是，該式子有意義，故本選項錯誤；C、，被開方數是正數，該式子有意義，故本選項錯誤；D、，被開方數是正數，該式子有意義，故本選項錯誤；故選：A．【點睛】本題考查了二次根式有意義的條件，二次根式的被開方數是非負數是解題關鍵．2．（2023春·北京海淀·八年級?？计谥校┫铝卸胃街惺亲詈喍胃降氖牵ǎ〢． B． C． D．【答案】C【分析】根據最簡二次根式的條件：（1）被開方數不含分母；（2）被開方數中不含能開得盡方的因數或因式逐項進行判定即可得出答案．【詳解】解：A：，被開方數含有分母，所以A選項不是最簡二次根式；B：，所以B選項不是最簡二次根式；C：，所以C選項是最簡二次根式；D：，所以D選項不是最簡二次根式；故選：C．【點睛】本題主要考查最簡二次根式，熟知最簡二次根式的定義是解題的關鍵．3．（2023·全國·八年級假期作業(yè)）計算的結果是（）A．1 B． C． D．【答案】C【分析】根據二次根式的乘除混合運算的運算順序和運算法則進行計算即可．【詳解】解：原式．故選：C．【點睛】本題主要考查了二次根式的乘除混合與運算，解題的關鍵是掌握二次根式的乘除混合運算法則和運算順序．4．（2023春·湖北襄陽·八年級?？茧A段練習）在函數中，自變量x的取值范圍是(

)A． B． C．且 D．且【答案】C【分析】根據二次根式的被開方數是非負數、分母不為0列出不等式組，解不等式組即可得到答案．【詳解】解：由題意得：，解得：且，故選：C．【點睛】本題考查的是函數自變量的取值范圍的確定，掌握二次根式的被開方數是非負數、分母不為0是解題的關鍵．5．（2023春·天津寶坻·七年級?？茧A段練習）下列各式錯誤的是（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】根據二次根式，三次根式的性質進行計算即可求解．【詳解】解：選項，，故選項正確，不符合題意；選項，，故選項錯誤，符合題意；選項，，故選項正確，不符合題意；選項，，故選項正確，不符合題意；故選：．【點睛】本題主要考查二次根式，三次根式的性質，掌握二次根式，三次根式的性質及運算法則是解題的關鍵．二、填空題6．（2023·山西晉中·統(tǒng)考一模）計算：的結果為______．【答案】【分析】先根據二次根式的性質化簡根號，再根據二次根式的乘除法法則計算即可．【詳解】解：，故答案為：．【點睛】本題考查了二次根式的乘除法運算，解題的關鍵是掌握運算法則進行解題．7．（2023春·廣東湛江·八年級校考期中）若代數式有意義，則的取值范圍是___________．【答案】【分析】根據二次根式中的被開方數是非負數，可得：，據此求出的取值范圍即可．【詳解】解：代數式有意義，，故答案為：【點睛】此題主要考查了二次根式有意義的條件，解答此題的關鍵是要明確：二次根式中的被開方數是非負數．8．（2023春·福建廈門·八年級廈門市湖濱中學?？计谥校┯嬎悖海?）＝_____；（2）＝_____；（3）＝______；（4）＝______．【答案】325【分析】根據二次根式的性質和運算法則分別計算．【詳解】解：，，，，故答案為：3，2，5，．【點睛】本題考查了二次根式的運算，涉及二次根式的性質，二次根式的乘法和加法，解題的關鍵是掌握運算法則．9．（2023·全國·八年級假期作業(yè)）二次根式中：、、、是最簡二次根式的是______．【答案】【分析】根據最簡二次根式的定義進行判斷即可．【詳解】解：是最簡二次根式，∵，，，∴、、不是最簡二次根式．故答案為：．【點睛】本題主要考查了最簡二次根式的定義，解題的關鍵是熟練掌握最簡二次根式的條件，①被開方數不含分母；②被開方數不含能開得盡方的因數或因式．10．（2023春·江蘇·八年級專題練習）如果，那么下列各式，①；②；③，④，正確的有______．【答案】②③/③②【分析】根據已知條件，二次根式的性質，二次根式的乘除法進行計算即可求解．【詳解】解：∵，則，∴①，故①錯誤；②，故②正確；③，故③正確，④，故④錯誤，故答案為：②③．【點睛】本題考查了二次根式的性質，二次根式的乘除法，掌握二次根式的性質是解題的關鍵．三、解答題11．（2023春·安徽六安·八年級校聯考階段練習）當分別取下列值時，求二次根式的值．(1)；(2)；(3)．【答案】(1)3(2)(3)5【分析】（1）把代入二次根式，再開方即可得出答案；（2）把代入二次根式進行計算，即可得出答案；（3）把代入二次根式，再開方即可得出答案．【詳解】（1）解：把代入二次根式，得；（2）解：把代入二次根式，得；（3）解：把代入二次根式，得．【點睛】本題主要考查了二次根式的定義，直接將的值代入利用二次根式的性質直接開平方是解決問題的關鍵．12．（2023·上?！ぐ四昙壖倨谧鳂I(yè)）化簡以下二次根式：(1)；(2)；(3)（）．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據二次根式性質進行的化簡即可得解；（2）根據二次根式性質進行的化簡即可得解；（3）根據二次根式性質進行的化簡即可得解．【詳解】（1）解：；（2）解：由二次根式非負性得，∴，∴；（3）解：由二次根式非負性得，又，∴，∴．【點睛】本題考查二次根式的性質和化簡，掌握被開方數化為因式積的形式，正確開方化簡是解題關鍵．13．（2023·上?！ぐ四昙壖倨谧鳂I(yè)）求下列各式