2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章解析幾何初步2.2圓與圓的方程2.2.1圓的標(biāo)準方程課時分層作業(yè)含解析北師大版必修2

PAGE課時分層作業(yè)二十二圓的標(biāo)準方程一、選擇題(每小題5分，共30分)1.(2024·長春高二檢測)圓(x-2)2+(y+3)2=2的圓心和半徑分別是 ()A.(-2，3)，1 B.(2，-3)，3C.(-2，3)，QUOTE D.(2，-3)，QUOTE【解析】選D.由已知，圓心為(2，-3)，半徑為QUOTE.2.點A(2a，a-1)在以點C(0，1)為圓心，半徑為QUOTE的圓上，則a的值為 ()A.±1 B.0或1C.-1或QUOTE D.-QUOTE或1【解題指南】先依據(jù)圓的標(biāo)準方程寫出圓的方程，再由點在圓上得出a的值.【解析】選D.由題意，已知圓的方程為x2+(y-1)2=5，將點A的坐標(biāo)代入圓的方程可得a=1或a=-QUOTE.3.已知圓的方程是(x-3)2+(y+2)2=16，下列點中在圓外的點的個數(shù)是 ()(1)M1(3，4).(2)M2(7，-2).(3)M3(4，-3)A.0個 B.1個 C.2個 D.3個【解析】選B.把三個點代入可推斷點M1(3，4)在圓外.4.若圓C與圓(x+2)2+(y-1)2=1關(guān)于原點對稱，則圓C的方程是 ()A.(x-2)2+(y+1)2=1 B.(x-2)2+(y-1)2=1C.(x-1)2+(y+2)2=1 D.(x+1)2+(y+2)2=1【解析】選A.因為點P(x，y)關(guān)于原點的對稱點為P′(-x，-y)，所以將-x，-y代入圓的方程得(-x+2)2+(-y-1)2=1，即(x-2)2+(y+1)2=1.5.方程y=QUOTE表示的圖形是 ()A.一條射線 B.一個圓C.兩條射線 D.半個圓【解析】選D.方程可化為x2+y2=9，又y≥0，所以原方程表示的曲線是半圓.6.圓(x-1)2+y2=1的圓心到直線y=QUOTEx的距離是 ()A.QUOTE B.QUOTE C.1 D.QUOTE【解析】選A.圓心為(1，0)，則圓心到直線y=QUOTEx的距離d=QUOTE=QUOTE.二、填空題(每小題5分，共10分)7.與圓(x-2)2+(y+3)2=16同圓心且過點P(-1，1)的圓的方程為_________.

【解析】因為已知圓的圓心為(2，-3)，所以所求圓的圓心為(2，-3).又r=QUOTE=5，所以所求圓的方程為(x-2)2+(y+3)2=25.答案：(x-2)2+(y+3)2=258.圓心在直線2x-y-7=0上的圓C與y軸交于兩點A(0，-4)，B(0，-2)，則圓C的標(biāo)準方程為_________.

【解析】結(jié)合題意可知，圓心在直線y=-3上，又圓心在直線2x-y-7=0上，故圓心坐標(biāo)是(2，-3)，從而r2=(2-0)2+(-3+2)2=5，圓的標(biāo)準方程是(x-2)2+(y+3)2=5.答案：(x-2)2+(y+3)2=5三、解答題(每小題10分，共20分)9.已知實數(shù)x，y滿意方程x2+(y-1)2=QUOTE，求QUOTE的取值范圍.【解析】QUOTE可以看成圓上的點P(x，y)到A(2，3)的距離.圓心C(0，1)到A(2，3)的距離為d=QUOTE=2QUOTE.由圖知，圓上的點P(x，y)到A(2，3)的距離的范圍是QUOTE.所以QUOTE的取值范圍是QUOTE.10.已知A(-4，-5)，B(6，-1)，求以線段AB為直徑的圓的方程，并推斷點P(5，3)與該圓的位置關(guān)系.【解析】所求圓的圓心坐標(biāo)為QUOTE，QUOTE，即(1，-3)，半徑QUOTE=QUOTE，所以所求圓的標(biāo)準方程為(x-1)2+(y+3)2=29.又(5-1)2+(3+3)2=52>29，所以點P(5，3)在圓的外部.一、選擇題(每小題5分，共25分)1.若點(1，1)在圓(x-a)2+(y+a)2=4上，則a的值是 ()A.-1 B.1 C.±1 D.0【解析】選C.由已知，(1-a)2+(1+a)2=4，解得a=±1.2.圓心在P(-1，2)，半徑長是2的圓的標(biāo)準方程是 ()A.(x-1)2+(y-2)2=2 B.(x+1)2+(y-2)2=4C.(x-2)2+(y+1)2=4 D.(x-1)2+(y-2)2=4【解析】選B.依據(jù)圓心P的坐標(biāo)為(-1，2)，圓的半徑長為2，得到圓的標(biāo)準方程為(x+1)2+(y-2)2=4.【補償訓(xùn)練】當(dāng)a為隨意實數(shù)時，直線(a-1)x-y+a+1=0恒過定點C，則以C為圓心，半徑為QUOTE的圓的方程為 ()A.(x-1)2+(y+2)2=5B.(x+1)2+(y+2)2=5C.(x+1)2+(y-2)2=5D.(x-1)2+(y-2)2=5【解析】選C.令a=0，a=1，得方程組QUOTE解得QUOTE所以C(-1，2).又因為半徑為QUOTE，故圓的方程為(x+1)2+(y-2)2=5.3.(2024·安慶高二檢測)過點A(1，-1)，B(-1，1)且圓心在直線x+y-2=0上的圓的方程是 ()A.(x-3)2+(y+1)2=4 B.(x+3)2+(y-1)2=4C.(x-1)2+(y-1)2=4 D.(x+1)2+(y+1)2=4【解析】選C.設(shè)所求圓的圓心為C(a，b)，半徑為r，由已知，r=|AC|=|BC|，C(a，b)在直線x+y-2=0上，即r=QUOTE=QUOTE，a+b-2=0，所以，a=1，b=1，r=2，所以所求圓的方程為(x-1)2+(y-1)2=4.4.設(shè)P(x，y)是圓x2+(y+4)2=4上隨意一點，則QUOTE的最小值為 ()A.QUOTE+2 B.QUOTE-2C.5 D.6【解析】選B.把QUOTE看作是點P與定點(1，1)的距離.如圖，設(shè)A(1，1)，QUOTE=|PA|，則|PA|的最小值為|AC|-r=QUOTE-2.5.已知圓的方程為(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)，下列結(jié)論錯誤的是 ()A.當(dāng)a2+b2=r2時，圓必過原點B.當(dāng)a=r時，圓與y軸相切C.當(dāng)b=r時，圓與x軸相切D.當(dāng)b<r時，圓與x軸相交【解析】選D.已知圓的圓心坐標(biāo)為(a，b)，半徑為r，當(dāng)b<r時，圓心到x軸的距離為|b|，只有當(dāng)|b|<r時，才有圓與x軸相交，而b<r不能保證|b|<r，故D是錯誤的.【補償訓(xùn)練】已知圓C經(jīng)過A(5，2)，B(-1，4)兩點，圓心在x軸上，則圓C的方程是 ()A.(x-2)2+y2=13 B.(x+2)2+y2=17C.(x+1)2+y2=40 D.(x-1)2+y2=20【解題指南】依據(jù)題意設(shè)圓心坐標(biāo)為C(a，0)，由|AC|=|BC|建立關(guān)于a的方程，解之可得a，從而得到圓心坐標(biāo)和半徑，可得圓C的標(biāo)準方程.【解析】選D.因為圓心在x軸上，所以設(shè)圓心坐標(biāo)為C(a，0)，又因為圓C經(jīng)過A(5，2)，B(-1，4)兩點，所以r=|AC|=|BC|，可得QUOTE=QUOTE，解得a=1，可得半徑r=QUOTE=QUOTE=2QUOTE，所以圓C的方程是(x-1)2+y2=20.二、填空題(每小題5分，共20分)6.(2024·常熟高二檢測)已知直線x+2y-4=0和坐標(biāo)軸交于A，B兩點，O為原點，則經(jīng)過O，A，B三點的圓的方程為_________.

【解析】由已知，直線x+2y-4=0和坐標(biāo)軸的交點為(0，2)，(4，0)，易知，AB中點C(2，1)為圓心，|OC|=QUOTE為半徑，所以所求圓的方程為(x-2)2+(y-1)2=5.答案：(x-2)2+(y-1)2=57.經(jīng)過圓C：(x+1)2+(y-2)2=4的圓心且斜率為1的直線方程為_________.

【解析】圓C的圓心為(-1，2)，又所求直線的斜率為1，故由點斜式得y-2=x+1，即x-y+3=0.答案：x-y+3=08.以直線2x+y-4=0與兩坐標(biāo)軸的一個交點為圓心，過另一個交點的圓的方程為_________.

【解析】令x=0得y=4，令y=0得x=2，所以直線與兩軸交點坐標(biāo)為A(0，4)和B(2，0)，以A為圓心過B的圓方程為x2+(y-4)2=20，以B為圓心過A的圓方程為(x-2)2+y2=20.答案：x2+(y-4)2=20或(x-2)2+y2=20【誤區(qū)警示】本題易出現(xiàn)只得到一個答案而漏解的狀況.9.假如圓(x-a)2+(y-a)2=4上總共有兩點到原點的距離為1，則實數(shù)a的取值范圍為.

【解析】由圓的方程可知，圓心為(a，a)，半徑為2，因為圓上總共有兩點到原點的距離為1，所以圓心到原點距離滿意1<QUOTE|a|<3，所以QUOTE<|a|<QUOTE，所以QUOTE<a<QUOTE或-QUOTE<a<-QUOTE.答案：-QUOTE，-QUOTE∪QUOTE，QUOTE【補償訓(xùn)練】已知點A(-1，0)，B(0，2)點P是圓(x-1)2+y2=1上隨意一點，則△PAB面積的最大值是.

【解析】AB所在直線方程為-x+QUOTE=1，即2x-y+2=0.|AB|=QUOTE=QUOTE，圓心(1，0)到直線AB的距離d=QUOTE，點P到直線AB的最大距離為d′=d+1=QUOTE+1，所以△PAB面積的最大值是QUOTE×QUOTE×QUOTE+1=QUOTE.答案：QUOTE三、解答題(每小題10分，共30分)10.一圓過原點O和點P(1，3)，圓心在直線y=x+2上，求此圓的方程.【解析】方法一：因為圓心在直線y=x+2上，所以設(shè)圓心坐標(biāo)為(a，a+2)，則圓的方程為(x-a)2+(y-a-2)2=r2，因為點O(0，0)和P(1，3)在圓上，所以QUOTE解得QUOTE所以所求的圓的方程為QUOTE+QUOTE=QUOTE.方法二：由題意，圓的弦OP的斜率為3，中點坐標(biāo)為QUOTE，所以弦OP的垂直平分線方程為y-QUOTE=-QUOTE，即x+3y-5=0，因為圓心在直線y=x+2上，且圓心在弦OP的垂直平分線上，所以由QUOTE解得QUOTE即圓心坐標(biāo)為CQUOTE，又圓的半徑r=|OC|=QUOTE=QUOTE，所以所求的圓的方程為QUOTE+QUOTE=QUOTE.11.已知圓心為C的圓經(jīng)過點A(1，1)和B(2，-2)，且圓心在直線l：x-y+1=0上，求圓心為C的圓的標(biāo)準方程.【解析】設(shè)圓C的方程為(x-a)2+(y-b)2=r2，由題意可知QUOTE解得：a=-3，b=-2，r=5，所以圓的方程為(x+3)2+(y+2)2=25.12.如圖，矩形ABCD的兩條對角線相交于點M(2，0)，AB邊所在直線的方程為x-3y-6=0，點T(-1，1)在AD邊所在的直線上.(1)求AD邊所