2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第八章立體幾何初步8.6空間直線平面的垂直8.6.2第1課時直線與平面垂直的判定教學(xué)用書教案新人教A版必修第二冊

PAGE8.6.2直線與平面垂直第1課時直線與平面垂直的判定素養(yǎng)目標·定方向素養(yǎng)目標學(xué)法指導(dǎo)1．駕馭線面垂直的定義、判定定理.(直觀想象)2．會證明線面垂直，能利用線面垂直得到線線垂直關(guān)系.(邏輯推理)充分利用所在空間(如教室及其中物品)相識線面垂直的定義、判定定理及其模型特征.必備學(xué)問·探新知學(xué)問點1直線與平面垂直的定義與判定定理1．直線與平面垂直的定義定義一般地，假如直線l與平面α內(nèi)的__隨意一條__直線都垂直，我們就說直線l與平面α相互垂直記法__l⊥α__有關(guān)概念直線l叫做平面α的__垂線__，平面α叫做直線l的__垂面__，直線與平面垂直時，它們唯一的公共點P叫做__垂足__畫法畫直線與平面垂直時，通常把直線畫成與表示平面的平行四邊形的一邊__垂直__圖示性質(zhì)過一點垂直于已知平面的直線有且只有一條垂線段與點面距過一點作垂直于已知平面的直線，則該點與__垂足__間的線段，叫做這個點到該平面的垂線段，垂線段的__長度__叫做這個點到該平面的距離2．直線與平面垂直的判定定理文字語言假如一條直線與一個平面內(nèi)的__兩條相交直線__垂直，那么該直線與此平面垂直符號語言l⊥a，l⊥b，a?α，b?α，__a∩b__＝P?l⊥α圖形語言學(xué)問點2直線與平面所成的角直線與平面所成的角有關(guān)概念對應(yīng)圖形斜線一條直線l與平面α__相交__，但不與這個平面__垂直__，這條直線叫做這個平面的斜線斜足斜線和平面的__交點__叫做斜足射影過斜線上斜足以外的一點P向平面α引__垂線__PO，過垂足O和斜足A的直線AO叫做斜線在這個平面上的射影直線與平面所成的角定義：平面的一條斜線和它在平面上的__射影__所成的角，叫做這條直線和這個平面所成的角.規(guī)定：一條直線垂直于平面，我們說它們所成的角是__90°__；一條直線和平面平行，或在平面內(nèi)，我們說它們所成的角是__0°__.直線與平面所成的角θ的取值范圍是__0°≤θ≤90°__[學(xué)問解讀]1．對直線與平面垂直的幾點說明(1)定義中的“隨意一條直線”這一詞語與“全部直線”是同義語，與“多數(shù)條直線”不是同義語.(2)直線與平面垂直是直線與平面相交的一種特別情形.(3)由直線與平面垂直的定義，得假如一條直線垂直于一個平面，那么這條直線垂直于該平面內(nèi)的隨意一條直線.這是推斷兩條直線垂直的一種重要方法.2．理解直線與平面垂直的判定定理不能用“一條直線與平面內(nèi)的兩條平行直線垂直來推斷此直線與平面垂直”.事實上，由基本領(lǐng)實4可知，平行具有“傳遞性”，因此一條直線與平面內(nèi)的一條直線垂直，那么它與這個平面內(nèi)平行于這條直線的全部直線都垂直，但不能保證與其他直線平行.3．判定定理所體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想直線與平面垂直的判定定理體現(xiàn)了“轉(zhuǎn)化”的數(shù)學(xué)思想，即將線面垂直轉(zhuǎn)化為線線垂直.4．直線與平面所成的角的理解和推斷(1)對斜線和平面所成的角的定義的理解斜線和平面所成的角定義表明斜線和平面所成的角是通過斜線在平面內(nèi)的射影而轉(zhuǎn)化為兩條相交直線所成的角.(2)推斷方法首先，推斷直線和平面的位置，若直線在平面內(nèi)或與平面平行，此時直線與平面所成的角為0°的角；若直線與平面垂直，此時直線與平面所成的角為90°.其次，若直線與平面斜交，可在斜線上任取一點作平面的垂線(實際操作過程中，這一點的選取要有利于求角)，找出直線在平面內(nèi)的射影，從而確定出直線和平面所成的角，一般轉(zhuǎn)化到直角三角形、等邊三角形中求解.關(guān)鍵實力·攻重難題型探究題型一直線與平面垂直的定義及判定定理的理解典例1下列說法正確的有__②__(填序號).①垂直于同一條直線的兩條直線平行；②假如一條直線與一個平面內(nèi)的一條直線不垂直，那么這條直線就肯定不與這個平面垂直；③假如一條直線垂直于平面內(nèi)的兩條直線，那么這條直線與這個平面垂直；④若l與平面α不垂直，則平面α內(nèi)肯定沒有直線與l垂直.[解析]因為空間內(nèi)與一條直線同時垂直的兩條直線可能相交，可能平行，也可能異面，故①不正確.由線面垂直的定義可得，②正確.因為這兩條直線可能是平行直線，故③不正確.如圖，l與α不垂直，但a?α，l⊥a，故④不正確.[歸納提升](1)對于線面垂直的定義要留意“直線垂直于平面內(nèi)的全部直線”說法與“直線垂直于平面內(nèi)多數(shù)條直線”不是一回事，后者說法是不正確的，它可以使直線與平面斜交.(2)判定定理中要留意必需是平面內(nèi)兩相交直線.【對點練習(xí)】?(1)若三條直線OA，OB，OC兩兩垂直，則直線OA垂直于(C)A．平面OAB B．平面OACC．平面OBC D．平面ABC(2)設(shè)l，m是兩條不同的直線，α是一個平面，則下列命題正確的是(B)A．若l⊥m，m?α，則l⊥αB．若l⊥α，l∥m，則m⊥αC．若l∥α，m?α，則l∥mD．若l∥α，m∥α，則l∥m[解析](1)∵OA⊥OB，OA⊥OC，OB∩OC＝O，OB?平面OBC，OC?平面OBC，∴OA⊥平面OBC.(2)依據(jù)兩條平行線中的一條直線垂直于一個平面，則另一條直線也垂直于這個平面，知選項B正確.題型二線面垂直的判定典例2如圖，P為△ABC所在平面外一點，PA⊥平面ABC，∠ABC＝90°，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F.求證：(1)BC⊥平面PAB；(2)AE⊥平面PBC；(3)PC⊥平面AEF.[分析]本題是證線面垂直問題，要多視察題目中的一些“垂直”關(guān)系，看是否可利用.如看到PA⊥平面ABC，可想到PA⊥AB、PA⊥BC、PA⊥AC，這些垂直關(guān)系我們須要哪個呢？我們須要的是PA⊥BC，聯(lián)系已知，問題得證.[解析](1)∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴PA⊥BC.∵∠ABC＝90°，∴AB⊥BC.又AB∩PA＝A，∴BC⊥平面PAB.(2)∵BC⊥平面PAB，AE?平面PAB，∴BC⊥AE.∵PB⊥AE，BC∩PB＝B，∴AE⊥平面PBC.(3)∵AE⊥平面PBC，PC?平面PBC，∴AE⊥PC.∵AF⊥PC，AE∩AF＝A，∴PC⊥平面AEF.[歸納提升]線面垂直的判定方法：(1)證明線面垂直的方法①線面垂直的定義.②線面垂直的判定定理.③假如兩條平行直線的一條直線垂直于一個平面，那么另一條直線也垂直于這個平面.④假如一條直線垂直于兩個平行平面中的一個平面，那么它也垂直于另一個平面.(2)利用直線與平面垂直的判定定理判定直線與平面垂直的步驟：①在這個平面內(nèi)找兩條直線，使它和這條直線垂直；②確定這個平面內(nèi)的兩條直線是相交的直線；③依據(jù)判定定理得出結(jié)論.(3)利用直線與平面垂直的判定定理判定直線與平面垂直的技巧：證明線面垂直時要留意分析幾何圖形，找尋隱含的和題目中推導(dǎo)出的線線垂直關(guān)系，進而證明線面垂直.三角形全等、等腰三角形底邊的中線、高；菱形、正方形的對角線、三角形中的勾股定理的逆定理等都是找線線垂直的方法.【對點練習(xí)】?如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中點，S是△ABC所在平面外一點，且SA＝SB＝SC.(1)求證：SD⊥平面ABC；(2)若AB＝BC，求證：BD⊥平面SAC.[解析](1)因為SA＝SC，D是AC的中點，所以SD⊥AC.在Rt△ABC中，AD＝BD，由已知SA＝SB，所以△ADS≌△BDS，所以SD⊥BD，又AC∩BD＝D，所以SD⊥平面ABC.(2)因為AB＝BC，D為AC的中點，所以BD⊥AC，由(1)知SD⊥BD，又因為SD∩AC＝D，所以BD⊥平面SAC.題型三直線與平面所成的角典例3在正方體ABCD－A1B1C1D1中，(1)求直線A1C與平面ABCD所成的角的正切值(2)求直線A1B與平面BDD1B1所成的角.[分析](1)求線面角的關(guān)鍵是找出直線在平面內(nèi)的射影，為此須找出過直線上一點的平面的垂線.(2)過A1作平面BDD1B1的垂線，該垂線必與B1D1、BB1垂直，由正方體的特性知，直線A1C1滿意要求[解析](1)∵直線A1A⊥平面ABCD，∴∠A1CA為直線A1C與平面ABCD所成的角，設(shè)A1A＝1，則AC＝eq\r(2)，∴tan∠A1CA＝eq\f(\r(2),2).(2)連接A1C1交B1D1于O，在正方形A1B1C1D1中，A1C1⊥B1∵BB1⊥平面A1B1C1D1，A1C1?平面A1B1C1∴BB1⊥A1C1又BB1∩B1D1＝B1，∴A1C1⊥平面BDD1B1，垂足為O∴∠A1BO為直線A1B與平面BDD1B1所成的角，在Rt△A1BO中，A1O＝eq\f(1,2)A1C1＝eq\f(1,2)A1B，∴∠A1BO＝30°.即A1B與平面BDD1B1所成的角為30°.[歸納提升]求線面角的方法：(1)求直線和平面所成角的步驟：①找尋過斜線上一點與平面垂直的直線；②連接垂足和斜足得到斜線在平面上的射影，斜線與其射影所成的銳角或直角即為所求的角；③把該角歸結(jié)在某個三角形中，通過解三角形，求出該角.(2)求線面角的技巧：在上述步驟中，其中作角是關(guān)鍵，而確定斜線在平面內(nèi)的射影是作角的關(guān)鍵，幾何圖形的特征是找射影的依據(jù)，射影一般都是一些特別的點，比如中心、垂心、重心等.【對點練習(xí)】?如圖所示，在Rt△BMC中，斜邊BM＝5，它在平面ABC上的射影AB長為4，∠MBC＝60°，求MC與平面CAB所成角的正弦值.[解析]由題意知A是M在平面ABC上的射影，∴MA⊥平面ABC，∴MC在平面CAB上的射影為AC.∴∠MCA即為直線MC與平面CAB所成的角.又∵在Rt△MBC中，BM＝5，∠MBC＝60°，∴MC＝BMsin∠MBC＝5sin60°＝5×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(5\r(3),2).在Rt△MAB中，MA＝eq\r(MB2－AB2)＝eq\r(52－42)＝3．在Rt△MAC中，sin∠MCA＝eq\f(MA,MC)＝eq\f(3,\f(5\r(3),2))＝eq\f(2\r(3),5).即MC與平面CAB所成角的正弦值為eq\f(2\r(3),5).易錯警示邏輯推理不嚴密致誤典例4如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AC＝BC，D是AB的中點，連接CD.求證：CD⊥平面ABB1A1[錯解]∵AA1⊥平面ABC，CD?平面ABC，∴CD⊥AA1．又BB1∥AA1，∴CD⊥BB1，又AA1?平面ABB1A1，BB1?平面ABB1A∴CD⊥平面ABB1A1[錯因分析]錯解中AA1和BB1是平面ABB1A1內(nèi)的兩條平行直線，不是相交直線，故不滿意直線與平面垂直的判定定理的條件[正解]∵AA1⊥平面ABC，CD?平面ABC，∴CD⊥AA1．又AC＝BC，D是AB的中點，∴CD⊥A