《兩角和（差）的正弦、余弦、正切公式》教學(xué)設(shè)計(jì)

1/173.1.2兩角和與差的正弦、余弦和正切公式（名師：余枝）一、教學(xué)目標(biāo)：（一）核心素養(yǎng)本節(jié)課是三角恒等變形的基礎(chǔ)，是正弦線、余弦線、誘導(dǎo)公式的延伸，通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，了解兩角和與差的正弦、余弦和正切公式的重要性，通過(guò)公式的推導(dǎo)，培養(yǎng)學(xué)生探索精神，進(jìn)一步提高學(xué)生的推理能力和運(yùn)算能力，使學(xué)生體會(huì)一般與特殊，換元等數(shù)學(xué)思想在三角恒等變換中的作用.（二）教學(xué)目標(biāo)1.兩角和的余弦公式的推導(dǎo)及應(yīng)用；2.兩角和與差的正弦公式的推導(dǎo)及應(yīng)用；3.兩角和與差的正切公式的推導(dǎo)及應(yīng)用；4.運(yùn)用公式進(jìn)行化簡(jiǎn)、求值、證明.（三）學(xué)習(xí)重點(diǎn)1．兩角和與差的正弦、余弦、正切公式的推導(dǎo)；2．熟練掌握公式的應(yīng)用.（四）學(xué)習(xí)難點(diǎn)公式的推導(dǎo)及綜合運(yùn)用，合理選取公式，熟練掌握公式的逆用.二、教學(xué)過(guò)程（一）課前設(shè)計(jì)1．預(yù)習(xí)任務(wù)（1）讀一讀：閱讀教材第128頁(yè)至第131頁(yè)．（2）想一想：利用兩角差的余弦公式如何推導(dǎo)兩角和的余弦公式？如何熟記和角公式與差角公式？2．預(yù)習(xí)自測(cè)（1）.答案：．解析：【知識(shí)點(diǎn)】?jī)山呛偷恼夜降膽?yīng)用【數(shù)學(xué)思想】邏輯推理【解題過(guò)程】點(diǎn)撥：熟記公式（2）.答案：．解析：【知識(shí)點(diǎn)】?jī)山遣畹挠嘞夜健緮?shù)學(xué)思想】邏輯推理【解題過(guò)程】點(diǎn)撥：熟記公式（3）若，則.答案：．解析：【知識(shí)點(diǎn)】?jī)山遣畹恼泄降膽?yīng)用【數(shù)學(xué)思想】邏輯推理【解題過(guò)程】，所以點(diǎn)撥：注意公式的逆用（4）已知是第四象限角，求的值.答案：；；解析：【知識(shí)點(diǎn)】?jī)山呛团c差的弦、切公式的應(yīng)用【數(shù)學(xué)思想】邏輯推理【解題過(guò)程】因?yàn)槭堑谒南笙藿?，所以，利用公式可得：；；點(diǎn)撥：熟記公式.(二)課堂設(shè)計(jì)1．知識(shí)回顧 （1）兩角差的余弦公式：的推導(dǎo)； （2）公式的應(yīng)用.2．問(wèn)題探究探究一從公式出發(fā)，如何探求兩角和的余弦公式？

●活動(dòng)從公式出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)余弦公式我們已經(jīng)知道兩角差的余弦公式，其中是任意角.大膽猜想兩角和的余弦公式呢？從角與的關(guān)系進(jìn)行聯(lián)想，我們?nèi)菀字?，再根?jù)誘導(dǎo)公式，所以于是我們得到了兩角和的余弦公式，簡(jiǎn)記作：【設(shè)計(jì)意圖】引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和探究新知，培養(yǎng)學(xué)生探索知識(shí)的能力．探究二如何用的正、余弦來(lái)表示●活動(dòng)①回顧兩角和與差的余弦公式和誘導(dǎo)公式：

：【設(shè)計(jì)意圖】引導(dǎo)學(xué)生思維上的轉(zhuǎn)變.●活動(dòng)②利用兩角和與差的余弦公式推導(dǎo)兩角和與差的正弦公式得到兩角和與差的正弦公式，簡(jiǎn)記作；.：：【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生掌握公式的推導(dǎo)過(guò)程.探究三探究如何推導(dǎo)兩角和與差的正切公式●活動(dòng)①怎樣用的正切表示當(dāng)時(shí)，分子和分母同時(shí)除以，得到我們得到兩角和與差的正切公式，簡(jiǎn)記作；.：：注意：【設(shè)計(jì)意圖】引導(dǎo)學(xué)生探究：化切為弦，化未知為已知，再化弦為切，利用單角的正切來(lái)表示和差的正切.●活動(dòng)②理解6個(gè)和、差角公式的內(nèi)在聯(lián)系【設(shè)計(jì)意圖】借助對(duì)公式的更深入的理解，是學(xué)生能更加靈活運(yùn)用公式.●活動(dòng)③鞏固基礎(chǔ)，檢查反饋例1①已知，求的值②已知是第三象限角，求的值【知識(shí)點(diǎn)】和角公式的正確使用【數(shù)學(xué)思想】邏輯推理【解題過(guò)程】①②是第三象限角，【思路點(diǎn)撥】熟記公式【答案】①；②同類訓(xùn)練已知，求的值.【知識(shí)點(diǎn)】?jī)山呛偷恼泄降膽?yīng)用【數(shù)學(xué)思想】邏輯推理【解題過(guò)程】點(diǎn)撥：熟記公式答案：例2求下列各式的值：（1）（2）（3）【知識(shí)點(diǎn)】公式的逆用【數(shù)學(xué)思想】歸納推理【解題過(guò)程】（1）=（2）=（3）=【思路點(diǎn)撥】正確認(rèn)識(shí)公式的正用和逆用【答案】，，同類訓(xùn)練計(jì)算：（1）（2）答案：；解析：【知識(shí)點(diǎn)】和、差角公式【數(shù)學(xué)思想】歸納推理【解題過(guò)程】（1）=（2）原式=點(diǎn)撥：利用公式可求特殊角的三角函數(shù)值例3化簡(jiǎn)：（1）（2）【知識(shí)點(diǎn)】和、差角公式的逆用【數(shù)學(xué)思想】轉(zhuǎn)化思想【解題過(guò)程】點(diǎn)撥：從題目所給是結(jié)構(gòu)可以看出，它們呈現(xiàn)和（差）角公式的部分形態(tài)，所以可以考慮對(duì)公式進(jìn)行變形使用，事實(shí)上，此處只需要進(jìn)行逆用公式即可.答案：；同類訓(xùn)練化簡(jiǎn)（1）（2）【知識(shí)點(diǎn)】公式的逆用【數(shù)學(xué)思想】轉(zhuǎn)化思想【解題過(guò)程】點(diǎn)撥：對(duì)和（差）角公式進(jìn)行正確地逆用.事實(shí)上，對(duì)公式正確逆用，這是學(xué)好任何一個(gè)數(shù)學(xué)公式的必經(jīng)之路.答案：；●活動(dòng)5強(qiáng)化提升、靈活應(yīng)用例4已知，求的值答案：解析：【知識(shí)點(diǎn)】使用和差角公式時(shí)，利用角的關(guān)系化異角為同角【數(shù)學(xué)思想】化歸思想【解題過(guò)程】點(diǎn)撥：常見(jiàn)角的變換：同類訓(xùn)練已知是銳角，且，求答案：解析：【知識(shí)點(diǎn)】合理使用和差角公式【數(shù)學(xué)思想】轉(zhuǎn)化思想【解題過(guò)程】是銳角，且，又，點(diǎn)撥：善于抓住角的關(guān)系進(jìn)行角的轉(zhuǎn)化3.課堂總結(jié)知識(shí)梳理兩角和與差的正弦、余弦、正切公式及推導(dǎo)：

：：：：：重難點(diǎn)歸納（1）利用和差角公式求一些特殊角的三角函數(shù)值；（2）利用角的變換求值；（3）能解決形如：的函數(shù)問(wèn)題；（4）利用兩角和與差的正弦、余弦和正切公式進(jìn)行三角恒等變換（三）課后作業(yè)基礎(chǔ)型自主突破1．的值是（）A．B．C．D．答案：D解析：【知識(shí)點(diǎn)】公式的簡(jiǎn)單應(yīng)用【解題過(guò)程】原式=點(diǎn)撥：熟記公式2．已知，則等于（）A．B．C．D．答案：B解析：【知識(shí)點(diǎn)】公式的正用【解題過(guò)程】，點(diǎn)撥：計(jì)算角的三角函數(shù)值時(shí)需注意角的范圍3．在△ABC中，，則△ABC是（）A．直角三角形B．鈍角三角形

C．銳角三角形D．等腰三角形答案：B解析：【知識(shí)點(diǎn)】公式的靈活運(yùn)用【數(shù)學(xué)思想】邏輯推理【解題過(guò)程】，即，點(diǎn)撥：利用三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行角的轉(zhuǎn)換4．當(dāng)時(shí)，函數(shù)的（）A．最大值為1，最小值為B．最大值為1，最小值為C．最大值為2，最小值為D．最大值為2，最小值為【知識(shí)點(diǎn)】公式的逆用【數(shù)學(xué)思想】歸納推理【解題過(guò)程】，，則最大值為2，最小值為點(diǎn)撥：先轉(zhuǎn)化成的形式答案：D5．已知的值（）A．B．C．D．【知識(shí)點(diǎn)】公式的靈活運(yùn)用【數(shù)學(xué)思想】轉(zhuǎn)化的思想【解題過(guò)程】因?yàn)樗运曰?；所以等?或則點(diǎn)撥：利用切化弦解決問(wèn)題答案：D6．已知?jiǎng)t的值為_(kāi)_______.答案：解析：【知識(shí)點(diǎn)】三角函數(shù)中“1”的替換【數(shù)學(xué)思想】轉(zhuǎn)化思想【解題過(guò)程】

點(diǎn)撥：熟悉齊次分式的切化弦能力型師生共研7．在△ABC中，，則∠B=______.答案：解析：【知識(shí)點(diǎn)】公式的靈活運(yùn)用【數(shù)學(xué)思想】邏輯推理【解題過(guò)程】點(diǎn)撥：熟悉公式的變形8．若則.答案：解析：【知識(shí)點(diǎn)】利用公式進(jìn)行和差化積【數(shù)學(xué)思想】轉(zhuǎn)化思想【解題過(guò)程】?jī)墒较嗉拥茫?，兩式相減得：，點(diǎn)撥：找到角的關(guān)系，進(jìn)行恒等變換探究型多維突破9．已知且，求的值答案：解析：【知識(shí)點(diǎn)】靈活運(yùn)用公式【數(shù)學(xué)思想】歸納推理思想【解題過(guò)程】點(diǎn)撥：求三角函數(shù)值時(shí)要確定角的范圍10．已知向量a=，b=，|a-b|=(1)求的值(2)若，且，求的值答案：；解析：【知識(shí)點(diǎn)】靈活運(yùn)用公式【數(shù)學(xué)思想】歸納推理思想【解題過(guò)程】由|a-b|=得：，即由，得，又所以點(diǎn)撥：三角恒等變形與向量的緊密聯(lián)系自助餐1．若且為第三象限角，則的值為（）A．B．C．D．答案：B解析：【知識(shí)點(diǎn)】公式的簡(jiǎn)單應(yīng)用【數(shù)學(xué)思想】【解題過(guò)程】由題知：點(diǎn)撥：正確使用誘導(dǎo)公式2．都是銳角，（）A．B．C．D．答案：B解析：【知識(shí)點(diǎn)】?jī)山呛偷恼泄健緮?shù)學(xué)思想】整體代換【解題過(guò)程】點(diǎn)撥：角的合理轉(zhuǎn)化3．若A、B是△ABC的內(nèi)角，且，則等于_____.答案：解析：【知識(shí)點(diǎn)】?jī)山呛团c差的正切公式的逆用【數(shù)學(xué)思想】轉(zhuǎn)化思想【解題過(guò)程】由題知，則且A、B是△ABC的內(nèi)角，故點(diǎn)撥：求角的大小可以先求這個(gè)角的某個(gè)三角函數(shù)值4．已知?jiǎng)t.答案：解析：【知識(shí)點(diǎn)】和角公式的逆用【數(shù)學(xué)思想】建模思