甘肅省靖遠縣第二中學2024-2025學年高三上學期11月期中考試數(shù)學試題

高考模擬卷·數(shù)學（120分鐘150分）考生須知：1．本卷側重：高考評價體系之綜合性．2．本卷怎么考：①考查同一層面、橫向的交互融合的綜合能力（題18）；②考查不同層面之間、縱向的融會貫通的綜合能力（題11）．3．本卷典型情境題：題3、16．4．本卷測試范圍：高考全部內容．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知集合，，則集合（）A． B． C． D．2．若拋物線（）的焦點到準線的距離為2，則該拋物線的焦點坐標為（）A． B． C． D．3．某餐飲店在網(wǎng)絡平臺推出一些團購活動后，每天團購券的核銷量（單位：張），則200天中團購券的核銷量在84到132張的天數(shù)大約是（若隨機變量，則，，）（）A．191 B．137 C．159 D．1644．函數(shù)的圖象在點處的切線方程為（）A． B． C． D．5．在等比數(shù)列中，，，則（）A．3 B．4 C． D．6．如圖所示，是棱長為3的正方體，M，N分別是下底面的棱，的中點，P是上底面的棱上的一點，，過點P，M，N的平面交上底面于，點Q在上，則（）A． B． C． D．27．函數(shù)的圖象大致為（）A． B．C． D．8．在平面直角坐標系中，設，是雙曲線的左、右焦點，過點的直線與雙曲線的兩支分別交于點A，B，若為正三角形，則該雙曲線的離心率為（）A． B．2 C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分．9．對于二項式，下列說法正確的是（）A．展開式中的常數(shù)項為 B．展開式中的常數(shù)項為C．展開式中的有理項有3項 D．展開式中的有理項有4項10．若（），則（）A．z有可能為實數(shù) B．z不可能為純虛數(shù)C．的最小值為 D．若，則11．某校數(shù)學興趣小組的成員在研究一組數(shù)字，已知該組數(shù)字均為正整數(shù)，總個數(shù)為M，其中最大的數(shù)字為E（），且在內的每一個整數(shù)均出現(xiàn)在該組數(shù)字中，該組數(shù)字滿足如下規(guī)律：對該組數(shù)字中的任意正整數(shù)a（），數(shù)字a的個數(shù)是所有不小于a的數(shù)字的個數(shù)的10%．現(xiàn)在從這組數(shù)字中任取一個數(shù)字，記“數(shù)字為n”為事件，“數(shù)字不小于n”為事件，其中，則下列結論一定正確的是（）A． B．C． D．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．已知向量，，且，則________．13．函數(shù)，若“”是“取得最大值”的充分條件，則________．14．已知，，則的最大值是________．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（13分）已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的極值．（2）若關于x的方程有兩個不同的解，求a的取值范圍．16．（15分）2024年6月4日，“嫦娥六號”攜帶月球樣品，自月球背面起飛，完成世界首次月球背面采樣和起飛．為了了解某中學高三學生對此新聞事件的關注程度，現(xiàn)從該校高三學生中隨機抽取100名學生進行調查，調查樣本中有40名女生．如圖，這是根據(jù)樣本的調查結果繪制的等高條形圖（陰影區(qū)域表示關注“嫦娥六號”的部分）．性別關注度合計關注沒關注男女合計附：0.1500.1000.0500.0100.0052.0722.7063.8416.6357.879，其中．（1）完成上面的列聯(lián)表，并計算回答根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，分析“性別是否影響學生對‘嫦娥六號’的關注程度”；（2）若將頻率視為概率，現(xiàn)從該中學高三的女生中隨機抽取3人，記被抽取的3名女生中對“嫦娥六號”新聞關注的人數(shù)為隨機變量X，求X的分布列及數(shù)學期望．17．（15分）如圖，在直三棱柱中，D是的中點，，．（1）證明：平面．（2）若，，求平面與平面的夾角的余弦值．18．（17分）已知橢圓的離心率為，P是直線上的一動點，點Q在橢圓C上．（1）求n的值．（2）若的最小值小于，且直線，的斜率之積為，O為坐標原點，請問平面內是否存在定點T，滿足恒成立？若存在，求出點T的坐標，若不存在，請說明理由．19．（17分）在平面直角坐標系中，利用公式，其中a，b，c，d為常數(shù)①，將點的坐標變換為點的坐標，我們稱該變換為線性變換，也稱①為坐標變換公式，該變換公式①可由a，b，c，d組成的正方形數(shù)表唯一確定，我們將稱為二階矩陣，矩陣通常用大寫英文字母A，B，…表示．（1）在平面直角坐標系中，將點繞原點O按逆時針方向旋轉得到點（到原點距離不變），求點的坐標；（2）如圖，在平面直角坐標系中，將點繞原點O按逆時針方向旋轉角得到點（到原點距離不變），求坐標變換公式及對應的二階矩陣；（3）向量（行向量形式），也可以寫成，這種形式的向量稱為列向量，線性變換坐標公式①可以表示為，則稱是二階矩陣與向量的乘積，設A是一個二階矩陣，，是平面上的任意兩個向量，求證：．高考模擬卷·數(shù)學參考答案題序1234567891011答案BADCDCADADBCDBC1．答案B解題分析由題意，．2．答案A解題分析由題意知，故該拋物線的焦點坐標為．3．答案D解題分析由題可知，，．故200天內團購券的核銷量在84到132張的天數(shù)大約是．4．答案C解題分析由，知，又，故所求切線方程為，即．5．答案D解題分析因為，，所以．因為，所以．6．答案C解題分析∵平面，平面平面，平面，∴，易知，故．7．答案A解題分析函數(shù)，其中，且，由定義域可以排除B．該函數(shù)為奇函數(shù)，所以C錯誤．，所以A正確．8．答案D解題分析不妨設點A在雙曲線的右支上，則，又∵，則，∴，，，，∴，∴，即，由，知．9．答案AD解題分析的展開式的第項，常數(shù)項為，有理項有4項．10．答案BCD解題分析由題意知，，其中．若z為實數(shù)，則，不合題意，故A不正確；若z為純虛數(shù)，則，不合題意，即z不可能為純虛數(shù)，故B正確；當時，取得最小值，且最小值為，故C正確；若，則，即（負值已舍去），故D正確．11．答案BC解題分析設正整數(shù)的個數(shù)為，由題意，，則①，②，得，即，故，故A錯誤；由，故，故B正確；由題意知，故，故C正確；當時，，故D不正確．12．答案解題分析由，知，解得．13．答案解題分析，其中，，由題意知，則，此時．14．答案解題分析，設，所以原式．令，所以．又函數(shù)在上單調遞增，所以原式．15．答案（1）．當時，，為減函數(shù)；當和時，，為增函數(shù)．故函數(shù)的極大值為，極小值為．（2）由，可知，又由題意知函數(shù)的定義域為，故方程在上有兩個不相等的根，則有即．16．解題分析（1）完成列聯(lián)表如下：性別關注度合計關注沒關注男303060女122840合計4258100零假設為：性別與關注度之間無關聯(lián)．，所以根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，我們推斷不成立，即認為“性別會影響學生對‘嫦娥六號’的關注程度．”（2）因為隨機選一個高三的女生，她對此事關注的概率為，而，所以隨機變量X的分布列為X0123P故．17．解題分析（1）如圖1，記與的交點為O，連接，因為三棱柱是直三棱柱，所以．因為，所以四邊形是正方形，故．因為，，所以．又因為是的中點，所以，所以．因為四邊形是正方形，所以O是的中點，所以．又因為，平面，，所以平面．（2）因為，，所以．如圖2，以C為原點，分別以，，所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系，則，，，，所以，，．因為平面，所以平面的一個法向量為．設平面的法向量為，則即解得取，得．設平面與平面的夾角為，則，所以平面與平面的夾角的余弦值為．18．解題分析（1）若橢圓C的焦點在x軸上，由題意知，解得；若橢圓C的焦點在y軸上，由題意知，解得．（2）當橢圓C的焦點在x軸上時，的最小值為，當橢圓C的焦點在y軸上時，的最小值為（不合題意），故橢圓C的方程為．設，，則，，因為直線，的斜率之積為，所以，所以。根據(jù)對稱性可知定點T若