《平面向量的實(shí)際背景及其基本概念》教學(xué)設(shè)計(jì)

8/132.1平面向量的實(shí)際背景及基本概念（名師：余枝）一、教學(xué)目標(biāo)（一）核心素養(yǎng)向量是近代數(shù)學(xué)最重要和最基本的數(shù)學(xué)概念之一，它是溝通代數(shù)、幾何與三角函數(shù)的橋梁，對(duì)更新和完善中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)起著重要的作用.通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，理解向量的基本概念，掌握向量的幾何表示，培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)識(shí)客觀事物的數(shù)學(xué)本質(zhì)的能力.（二）學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解向量的實(shí)際背景以及向量的概念；2.掌握向量的幾何表示以及零向量、單位向量、平行向量的概念；3.理解相等向量與共線（平行）向量的概念.（三）學(xué)習(xí)重點(diǎn)理解并掌握向量、零向量、單位向量、相等向量、共線向量的概念，會(huì)表示向量.（四）學(xué)習(xí)難點(diǎn)平行向量、相等向量和共線向量的區(qū)別和聯(lián)系.二、教學(xué)設(shè)計(jì)（一）課前設(shè)計(jì)1.預(yù)習(xí)任務(wù)：（1）讀一讀：閱讀教材第74頁至第76頁．（2）想一想：給出下列命題：①平行向量的方向一定相同；②共線向量一定在同一條直線上；③不平行的向量一定不相等；④與任意向量平行的向量是零向量；⑤平行于同一個(gè)非零向量的向量是平行向量；其中，所有正確命題的序號(hào)是③④⑤.2.預(yù)習(xí)自測(cè)：（1）在正方形中，與BD相交于點(diǎn)O，則與相等的向量是（）A．B．C．D．答案：D．（2）命題“若a∥b，b∥c，則a∥c”（）A．恒成立B．當(dāng)a≠0時(shí)成立C．當(dāng)b≠0時(shí)成立D．當(dāng)c≠0時(shí)成立答案：C．（3）給出下列4個(gè)條件：①a=b；②|a|=|b|；③a與b方向相反；④|a|=0或|b|=0，其中能使a∥b成立的條件是_____________答案：①③④．(二)課堂設(shè)計(jì)1．問題探究探究一結(jié)合實(shí)例，引入向量，理解向量在生活中的應(yīng)用性●活動(dòng)結(jié)合實(shí)例，理解向量的概念在現(xiàn)實(shí)生活中，我們會(huì)遇到很多量，其中一些量在取定單位后用一個(gè)實(shí)數(shù)就可以表示出來，如長(zhǎng)度、質(zhì)量等.還有一些量，如我們?cè)谖锢碇兴鶎W(xué)習(xí)的位移、力是一個(gè)既有大小又有方向的量，例如：物體受到的重力是豎直向下的（圖2.1-1），物體的質(zhì)量越大，它受到的重力越大；物體在液體中受到的浮力是豎直向上的（圖2.1-2），物體浸在液體中的體積越大，它受到的浮力越大；被拉長(zhǎng)的彈簧的彈力是向左的（圖2.1-3），被壓縮的彈簧的彈力是向右的（圖2.1-4），并且在彈性限度內(nèi)，彈簧拉長(zhǎng)或壓縮的長(zhǎng)度越大，彈力越大.向量的概念：我們把既有大小又有方向的量叫向量（物理學(xué)中常稱為矢量）（而把那些只有大小，沒有方向的量如：年齡、身高長(zhǎng)度、面積、體積、質(zhì)量等，稱為數(shù)量.物理學(xué)中常稱為標(biāo)量）注意：數(shù)量與向量的區(qū)別：數(shù)量只有大小，是一個(gè)代數(shù)量，可以進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算、比較大?。幌蛄坑蟹较?，大小，雙重性，不能比較大小.【設(shè)計(jì)意圖】通過學(xué)生對(duì)向量與數(shù)量的識(shí)別能力的訓(xùn)練，培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)識(shí)客觀事物的數(shù)學(xué)本質(zhì)能力.探究二向量的幾何表示以及基本概念●活動(dòng)①讓學(xué)生練習(xí)力的表示，進(jìn)一步過渡到如何表示向量有向線段：具有方向的線段就叫做有向線段，三個(gè)要素：起點(diǎn)、方向、長(zhǎng)度.向量的表示方法：用有向線段表示；②用字母a、b、c（印刷用黑體a，書寫用）等表示；③用有向線段的起點(diǎn)與終點(diǎn)字母：；④向量的大小(長(zhǎng)度)稱為向量的模，記作；⑤向量和有向線段的區(qū)別：1.向量是自由向量，只有大小和方向兩個(gè)要素，與起點(diǎn)無關(guān)；只要大小和方向相同，則這兩個(gè)向量就是相同的向量.2.有向線段有起點(diǎn)、大小和方向三個(gè)要素，起點(diǎn)不同，盡管大小和方向相同，也是不同的有向線段.【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生先練習(xí)力的表示，讓錯(cuò)誤呈現(xiàn)，激發(fā)認(rèn)知沖突.●活動(dòng)②探究零向量、單位向量、平行向量的定義零向量：長(zhǎng)度為0的向量叫做零向量，記做0；單位向量：長(zhǎng)度等于1個(gè)單位的向量叫做單位向量；平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，向量a、b平行，通常記作a∥b；規(guī)定：零向量與任一向量平行.說明：零向量、單位向量的定義都是只限制大小，不確定方向.【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生掌握向量的基本概念.探究三如何理解相等向量與共線向量●活動(dòng)①通過具體問題探究歸納相等向量的概念設(shè)O是正六邊形ABCDEF的中心，分別寫出圖中與、、相等的向量.總結(jié)：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量叫做相等向量.記：a=b【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)生分組討論，找到思維上的不足，層層遞進(jìn)總結(jié)相等向量的概念.●活動(dòng)②領(lǐng)悟共線向量的含義思考:回顧平行向量的概念，兩向量平行，那么這兩向量所在的直線一定平行嗎？平行向量就是共線向量，這是因?yàn)槿我唤M平行向量都可移到同一直線上（與有向線段的起點(diǎn)無關(guān)）.【設(shè)計(jì)意圖】對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解一定要深入，全面，把握數(shù)學(xué)概念的形成過程.●活動(dòng)③快速搶答以下說法正確的是__________（1）平行向量一定方向相同；（2）不相等的向量一定不平行；（3）共線向量一定在同一直線上；（4）若兩個(gè)向量在同一直線上，則這兩個(gè)向量一定是平行向量；（5）相等向量一定是共線向量.答案：（4）（5）【設(shè)計(jì)意圖】通過搶答環(huán)節(jié)，讓學(xué)生迅速掌握向量的基本概念.●活動(dòng)④鞏固基礎(chǔ)，檢查反饋例1.下列說法中正確的個(gè)數(shù)是（）（1）身高是一個(gè)向量；（2）的兩條邊都是向量；（3）溫度含零上和零下溫度，所以溫度是向量；（4）物理學(xué)中的加速度是向量.A．0B．1C．2D．3【知識(shí)點(diǎn)】考察了向量的概念【數(shù)學(xué)思想】歸納推理思想【解題過程】身高只有長(zhǎng)度，沒有方向，不是向量，角的邊是沒有大小和方向的，溫度只有數(shù)值，沒有方向【思路點(diǎn)撥】抓住向量的兩個(gè)要素：大小和方向【答案】B同類訓(xùn)練下列說法正確的是（）A．?dāng)?shù)軸是向量B．方向不同的向量不能比較大小，但同向的向量可以比較大小C．單位向量的模都相等D．零向量沒有方向答案：C解析：【知識(shí)點(diǎn)】向量、零向量、單位向量的概念【數(shù)學(xué)思想】歸納推理思想【解題過程】模長(zhǎng)為1個(gè)單位的向量叫做單位向量點(diǎn)撥：理解向量的相關(guān)概念例2.給出下列命題：=1\*GB3①向量和向量的長(zhǎng)度相等；②方向不相同的兩個(gè)向量一定不平行；③向量就是有向線段；④向量；⑤向量大于向量.其中正確的個(gè)數(shù)是（）A．0B．1C．2D．3【知識(shí)點(diǎn)】向量有關(guān)概念【數(shù)學(xué)思想】歸納推理思想【解題過程】平行向量的方向相同或者相反；向量用有向線段表示，但兩者不是同一概念；向量不能比較大小.【思路點(diǎn)撥】注意向量和數(shù)量的區(qū)別【答案】B同類訓(xùn)練.下列命題：①向量可以比較大??；②向量的模可以比較大?。虎廴?，則一定有||=||，且與方向相同；④對(duì)于一個(gè)向量，只要不改變它的大小和方向，是可以任意平行移動(dòng)的.其中正確的個(gè)數(shù)是（）A．1B．2C．3D．4答案：C解析：【知識(shí)點(diǎn)】向量及其基本概念【數(shù)學(xué)思想】歸納推理思想【解題過程】向量不能比較大小點(diǎn)撥：數(shù)量可以比較大小，向量不能比較大??；理解向量的含義●活動(dòng)⑤強(qiáng)化提升、靈活應(yīng)用例3.給出下列六個(gè)命題：①兩個(gè)向量相等，則它們的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)相同；②若||=||，則；③若，則四邊形ABCD是平行四邊形；④平行四邊形ABCD中，一定有=；⑤若，，則；⑥若，,則.其中不正確的命題個(gè)數(shù)是（）A．2B．3C．4D．5答案：C解析：【知識(shí)點(diǎn)】向量的有關(guān)概念【數(shù)學(xué)思想】歸納推理思想【解題過程】由相等向量的概念可判斷①不正確；②模相等但方向不同的向量也不是相等向量，故錯(cuò)誤；③，A、B、C、D四點(diǎn)可能在同一直線上，故錯(cuò)誤；⑥如果是零向量則錯(cuò)誤點(diǎn)撥：切勿混淆向量的有關(guān)概念同類訓(xùn)練下列說法中錯(cuò)誤的是（）A．零向量是沒有方向的B．零向量的長(zhǎng)度為0C．零向量與任一向量平行D．零向量的方向是任意的答案：A解析：【知識(shí)點(diǎn)】零向量的概念【數(shù)學(xué)思想】歸納推理思想【解題過程】長(zhǎng)度為0的向量叫做零向量點(diǎn)撥：理解零向量的概念2.課堂總結(jié)知識(shí)梳理我們把既有大小又有方向的量叫向量（物理學(xué)中常稱為矢量）；零向量：長(zhǎng)度為0的向量叫做零向量，記做0；單位向量：長(zhǎng)度等于1個(gè)單位的向量叫做單位向量；平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，向量a、b平行，通常記作a∥b；規(guī)定：零向量與任一向量平行.重難點(diǎn)歸納通過生活中的實(shí)例，了解數(shù)量和向量的區(qū)別．掌握向量的表示方法以及和有向線段的區(qū)別.理解零向量、單位向量、共線向量（平行向量）的概念.相等向量一定是共線向量，共線向量不一定是相等向量.（三）課后作業(yè)基礎(chǔ)型自主突破1．正n邊形有n條邊，他們對(duì)應(yīng)的向量依次為，則這n個(gè)向量（）A．都相等B．都共線C．都不共線D．模都相等答案：D解析：【知識(shí)點(diǎn)】共線向量、相等向量的概念【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合思想【解題過程】這n個(gè)向量大小相同，方向不同點(diǎn)撥：理清向量的基本概念2．把平面上一切單位向量的始點(diǎn)放在同一點(diǎn),那么這些向量的終點(diǎn)所構(gòu)成的圖形是（）A．一條線段B．一段圓弧C．圓上一群孤立點(diǎn)D．一個(gè)單位圓答案：D解析：【知識(shí)點(diǎn)】單位向量的概念【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合思想【解題過程】長(zhǎng)度為一個(gè)單位的向量叫做單位向量點(diǎn)撥：根據(jù)單位向量的定義判斷3．如圖，在四邊形ABCD中，,則必有（）A．B．C．D．答案：D解析：【知識(shí)點(diǎn)】相等向量的概念【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合思想【解題過程】長(zhǎng)度相等，方向相同的向量叫做相等向量點(diǎn)撥：向量具有大小和方向4．在△ABC中,AB=AC,D、E分別是AB、AC的中點(diǎn),則（）A．與共線B．與共線C．與相等D．與相等答案：B解析：【知識(shí)點(diǎn)】共線向量和相等向量的概念【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合思想【解題過程】共線向量的方向相同或相反；相等向量的方向和模長(zhǎng)相等點(diǎn)撥：對(duì)概念的理解要全面5．下列命題正確的是（）A．向量與是兩平行向量B．若a、b都是單位向量,則a=bC．若=,則A、B、C、D四點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形D．兩向量相等的充要條件是它們的始點(diǎn)、終點(diǎn)相同答案：A解析：【知識(shí)點(diǎn)】向量的有關(guān)概念【數(shù)學(xué)思想】歸納推理思想【解題過程】與大小相同，方向相反點(diǎn)撥：不能混淆向量的有關(guān)概念能力型師生共研6.已知A、B、C是不共線的三點(diǎn)，向量m與向量是平行向量，與向量是共線向量，則m=_________答案：0.解析：【知識(shí)點(diǎn)】向量的有關(guān)概念【數(shù)學(xué)思想】隱含條件思想【解題過程】零向量與任何向量平行點(diǎn)撥：抓住題目中A、B、C是不共線的三點(diǎn)這一條件7.下列命題正確的是（）A.a與b共線，b與c共線，則a與c也共線B.任意兩個(gè)相等的非零向量的始點(diǎn)與終點(diǎn)是一平行四邊形的四頂點(diǎn)C.向量a與b不共線，則a與b都是非零向量D.有相同起點(diǎn)的兩個(gè)非零向量不平行【知識(shí)點(diǎn)】向量的有關(guān)概念【數(shù)學(xué)思想】歸納推理思想【解題過程】由于零向量與任一向量都共線，所以A不正確；由于數(shù)學(xué)中研究的向量是自由向量，所以兩個(gè)相等的非零向量可以在同一直線上，而此時(shí)就構(gòu)不成四邊形，根本不可能是一個(gè)平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)，所以B不正確；向量的平行只要方向相同或相反即可，與起點(diǎn)是否相同無關(guān)，所以Ｄ不正確.點(diǎn)撥：對(duì)向量的有關(guān)概念要重點(diǎn)理解答案：C.探究型多維突破8.設(shè)數(shù)軸上有四個(gè)點(diǎn)A、B、C、D，其中A、C對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)分別是1和，且,為單位向量，則點(diǎn)B對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)為________；點(diǎn)D對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)為__________；.答案：；或；4.解析：【知識(shí)點(diǎn)】向量的有關(guān)概念【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合思想【解題過程】在數(shù)軸上按照相等向量和單位向量的概念確定B、D兩點(diǎn)點(diǎn)撥：畫數(shù)軸，使得解題更加直觀自助餐1．下列物理量中，不能稱為向量的是（）A．質(zhì)量B．速度C．位移D．力答案：A解析：【知識(shí)點(diǎn)】向量的概念【數(shù)學(xué)思想】建模思想【解題過程】質(zhì)量只有大小，沒有方向，不是向量點(diǎn)撥：注意數(shù)學(xué)在生活中的運(yùn)用2．在下列說法中，正確的是（）A．兩個(gè)有公共起點(diǎn)且共線的向量，其終點(diǎn)必相同B．模為0的向量與任一非零向量平行C．向量就是有向線段D．若，則答案：B解析：【知識(shí)點(diǎn)】向量的有關(guān)概念【數(shù)學(xué)思想】歸納推理思想【解題過程】共線向量的方向相同或者相反，A不正確向量用有向線段表示，兩者不能混為一談，C不正確相等向量的方向相同，D不正確點(diǎn)撥：零向量與任何向量平行3．下列各說法中，其中錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)為（）（1）向量的長(zhǎng)度與向量的長(zhǎng)度相等；（2）兩個(gè)非零向量與平行，則與的方向相同或相反；（3）兩個(gè)有公共終點(diǎn)的向量一定是共線向量；（4）共線向量是可以移動(dòng)到同一條直線上的向量；（5）平行向量就是向量所在直線平行A．2個(gè)B．3個(gè)C．4個(gè)D．5個(gè)答案：A解析：【知識(shí)點(diǎn)】向量的基本概念【數(shù)學(xué)思想】歸納推理思想【解題過程】終點(diǎn)相同并不能說明向量共線，共線的充要條件是方向相同或相反，由于向量可以平移，平行向量和共線向量是同一概念，故（3）（5）不正確點(diǎn)撥：認(rèn)真理解向量的基本概念4．中，D、、分別為、、的中點(diǎn)，在以、B、C、D、E、F為端點(diǎn)的有向線段所表示的向量中，與共線的向量有（）A．2個(gè)B．3個(gè)C．6個(gè)D．7個(gè)答案：D解析：【知識(shí)點(diǎn)】共線向量的概念【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合思想【解題過程】與共線的向量有點(diǎn)撥：共線向量的概念5．已知||=1,||=2,若∠BAC=60°,則||=_______.答案：解析：【知識(shí)點(diǎn)】向量模長(zhǎng)的概念以及余弦定理【