《等差數(shù)列的前n項和（第1課時）》

必修52.3等差數(shù)列的前n項和第1課時（帥亞軍）一、教學目標1．核心素養(yǎng)等差數(shù)列的前項和，初步形成基本的數(shù)學抽象和直觀想象能力．2．學習目標（1）掌握等差數(shù)列的前n項和公式及推導公式的思想方法和過程.（2）能用等差數(shù)列求和公式進行有關(guān)的計算，會運用公式解決有關(guān)的實際問題.3．學習重點等差數(shù)列的通項公式與前項和．4．學習難點等差數(shù)列前項和公式的理解、推導及應(yīng)用．二、教學設(shè)計（一）課前設(shè)計1．預習任務(wù)任務(wù):閱讀教材P42－P45.思考：等差數(shù)列前n項和所使用的方法是什么？同時完成相應(yīng)的課后練習題.（二）課堂設(shè)計1．知識回顧（1）等差數(shù)列的概念．（2）等差數(shù)列的通項公式．（3）等差數(shù)列的性質(zhì)．2．問題探究問題探究一了解等差數(shù)列前n項和的概念與推導方法●活動一如圖1堆放著一堆鋼管，最上層放了4根，下面每一層比上一層多放一根，共8層，這堆鋼管共有多少根？圖1圖2方法：在這堆鋼管旁，再堆放同樣數(shù)量的鋼管，如圖2這時每層都有鋼管（4＋11）根，因此這堆鋼管的總數(shù)是（4＋11）×8÷2=eq\f(4＋11,2)×8=60（根）.問題：第n層，有多少根呢？這就變成了等差數(shù)列求前n項和了.提示：等差數(shù)列的性質(zhì)：●活動二公式推導：推導思路：（倒序相加法）重點、難點知識★▲①再把項的順序反過來，Sn又可寫成②把①②兩邊分別相加，得2，由此得到，求等差數(shù)列前n項和公式.若將代入得等差數(shù)列前n項和的又一公式.公式：=.問題探究二倒序相加法的應(yīng)用重點、難點知識★▲在小于100的正整數(shù)集合中，有多少個數(shù)是7的倍數(shù)？并求它們的和．【知識點：等差數(shù)列的概念與性質(zhì)】詳解在小于100的正整數(shù)集合中，以下各數(shù)是7的倍數(shù)7，7×2，7×3，…，7×14．即7，14，28，…，98．顯然，這是一個等差數(shù)列．其中，項數(shù)為不大于eq\f(100,7)的最大整數(shù)值，即n=14，．因此即在小于100的正整數(shù)的集合中，有14個數(shù)是7的倍數(shù)，它們的和等于735點撥：等差數(shù)列的概念與性質(zhì)的應(yīng)用，等差數(shù)列前n項和公式的使用，特別要注意計算.在等差數(shù)列-5，-1，3，7，…中．前多少項的和是345？【知識點：等差數(shù)列的概念與性質(zhì)】解:這里．根據(jù)等差數(shù)列的前n項和公式得345=，整理得2n2－7n－345=0，解得n1=15，n2=-eq\f(23,2)(不合題意，舍去)．所以n=15．即這個數(shù)列的前15項的和是345例3：已知等差數(shù)列的前n項和為，求使得最大的序號n的值.【知識點：等差數(shù)列的概念與性質(zhì)】分析：等差數(shù)列的前n項和公式可以寫成，所以可以看成函數(shù)當x=n時的函數(shù)值.另一方面，容易知道關(guān)于n的圖象是一條拋物線上的一些點.因此，我們可以利用二次函數(shù)來求n的值.詳解：由題意知，等差數(shù)列的公差為，所以=于是，當n取與最接近的整數(shù)即7或8時，取最大值.點撥：取最值時需特別注意取整問題，因為項數(shù)不能為負數(shù)與分數(shù).3．課堂總結(jié)(對課堂重點、難點知識進行梳理和歸納)【知識梳理】（1）等差數(shù)列的前n項和公式的推導公式——倒序相加求法；（2）等差數(shù)列的前n項和公式：=.中“知三求二”.（3）掌握求等差數(shù)列的前n項和最值問題的方法.思維導圖等差數(shù)列的定義等差數(shù)列的定義倒序相加等差數(shù)列等差數(shù)列的前項和公式等差中項等差數(shù)列的性質(zhì)4．隨堂檢測一、解答題1．根據(jù)下列各題中的條件,求相應(yīng)等差數(shù)列的前n項和:（1）=6,d=3,n=10；（2）=2,=6,n=8；（3）=10,=－2,n=12；答案:（1）195；（2）72；（3）60.解析:【知識點:等差數(shù)列的概念與性質(zhì)】2．計算1＋3＋5＋…＋（2n＋3）. 答案:3．求等差數(shù)列63,60,…,－12的各項的和.答案:663解析:【知識點:等差數(shù)列的概念與性質(zhì)】4．在2位正整數(shù)中,有多少個除以3余1的數(shù)？求它們的和.答案:9455．等差數(shù)列4,3,2,1,…前多少項的和是－18？答案:12解析:【知識點:等差數(shù)列的概念與性質(zhì)】6．求集合{m|m=7n,n∈N＋,且m＜100}的元素個數(shù),并求這些元素的和.答案:735.解析:【知識點:等差數(shù)列的概念與性質(zhì)】7．等差數(shù)列14,11,8,…前多少項的和最大？為什么？答案:,∵,∴前5項的和最大.解析:【知識點:等差數(shù)列的概念與性質(zhì),不等式】8．數(shù)列中,已知,求的通項公式.答案:.解析:【知識點:等差數(shù)列的概念與性質(zhì),前n項和與通項公式之間的關(guān)系】（三）課后作業(yè)基礎(chǔ)型自主突破1.（1）求等差數(shù)列8，5，2…的第20項.（2）－401是不是等差數(shù)列－5，－9，－13…的項？如果是，是第幾項？【知識點：等差數(shù)列的概念與性質(zhì)】解：⑴由，得.⑵.2.在等差數(shù)列中，已知，，求，，.【知識點：等差數(shù)列的概念與性質(zhì)】解：∵，，則∴，.3.在等差數(shù)列中，若+=9，=7，求.【知識點：等差數(shù)列的概念與性質(zhì)】解：,.4.等差數(shù)列中，++=－12，且··=80.求通項.【知識點：等差數(shù)列的概念與性質(zhì)，通項公式】解：或.5.已知數(shù)列的通項公式，其中、是常數(shù)，那么這個數(shù)列是否一定是等差數(shù)列？若是，首項與公差分別是什么？解：當時,（取數(shù)列中的任意相鄰兩項與（））為常數(shù)∴{}是等差數(shù)列，首項，公差為.能力型師生共研6.在等差數(shù)列中若，，求.解：1307.在等差數(shù)列中，為公差，若且.求證：(1)；(2)．8.成等差數(shù)列的四個數(shù)之和為26,第二數(shù)和第三數(shù)之積為40,求這四個數(shù)．解：設(shè)四個數(shù)為,則：得,,∴四個數(shù)為2,5,8,11或11,8,5,2．探究型多維突破9.將一個等差數(shù)列的通項公式輸入計算器數(shù)列中，設(shè)數(shù)列的第項和第項分別為和，計算的值，你能發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論？并證明你的結(jié)論．解：通過計算發(fā)現(xiàn)的值恒等于公差.10.設(shè)是公差為的無窮等差數(shù)列的前項和，則下列命題錯誤的是（C）A.若，則數(shù)列有最大項B.若數(shù)列有最大項，則C.若數(shù)列是遞增數(shù)列，則對任意，均有D.若對任意,均有,則數(shù)列是遞增數(shù)列11.已知數(shù)列是等差數(shù)列，是其前項和，求證：（1），-，-成等差數(shù)列.（2）求證（）成等比數(shù)列.證明：設(shè)首項是，公差為,則,∵是以36d為公差的等差數(shù)列同理可得是以d為公差的等差數(shù)列.12.數(shù)列滿足,()，求=____________.解：由,兩邊平方得：，又,作差可得：由得.又由遞推式易得知數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列,則,所以，數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列.,故,故.自助餐1.（1）求等差數(shù)列3，7，11，……的第4項與第10項.（2）求等差數(shù)列10，8，6，……的第20項.（3）100是不是等差數(shù)列2，9，16，……的項？如果是，是第幾項？如果不是，說明理由.解：（1）=4×4－1=15,=4×10－1=39.（2）=－2×20+12=－28.（3）100是這個數(shù)列的第15項.2.在等差數(shù)列中，（1）已知=10,=19,求與;（2）已知,,求.解：（1）.（2）,∴.3.在等差數(shù)列中，若,求.解：.4.在等差數(shù)列中，若求．解：.5.等差數(shù)列-10，-6，-2，2，…前多少項的和是54？ 解：96.在小于100的正整數(shù)中共有多少個數(shù)能被3除余2，并求這些數(shù)的和解：在小于100的正整數(shù)中共有33個數(shù)能被3除余2，這些數(shù)的和是1650.7．已知是等差數(shù)列，，其前10項和，則其公差（D）A．B．C．D．8.設(shè)為等差數(shù)列的前項和。已知,則等于（B）A．B．C．D．9.已知函數(shù),等差數(shù)列的公差為.若,則-6．10.

已知方程的四個根組成一個首項為的等差數(shù)列，則等于（C）A.1 B. C. D.11.等差數(shù)列中，，，求使的最