《等差數(shù)列（第1課時(shí)）》教學(xué)設(shè)計(jì)

1/2必修5第二章數(shù)列2.2等差數(shù)列（帥亞軍）一、教學(xué)目標(biāo)1．核心素養(yǎng)通過(guò)學(xué)習(xí)等差數(shù)列、初步形成基本的數(shù)學(xué)抽象和直觀想象能力．2．學(xué)習(xí)目標(biāo)（1）掌握等差數(shù)列的概念.（2）理解等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的推導(dǎo)過(guò)程．（3）了解等差數(shù)列的函數(shù)特征并能運(yùn)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式解決相應(yīng)的一些問(wèn)題．3．學(xué)習(xí)重點(diǎn)理解等差數(shù)列的概念,通項(xiàng)公式的推導(dǎo)及應(yīng)用．4．學(xué)習(xí)難點(diǎn)等差數(shù)列中“等差”二字的理解,等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的推導(dǎo)．二、教學(xué)設(shè)計(jì)（一）課前設(shè)計(jì)1．預(yù)習(xí)任務(wù)任務(wù)：預(yù)習(xí)課本,完成相應(yīng)的課后練習(xí)題.（二）課堂設(shè)計(jì)1．知識(shí)回顧（1）通項(xiàng)公式與遞推關(guān)系式（2）通項(xiàng)公式的求解方法．2．問(wèn)題探究問(wèn)題探究一了解等差數(shù)列的含義●活動(dòng)一觀察與思考：（1）李曉覺(jué)得自己英語(yǔ)成績(jī)很差,目前他的單詞量只yes,no,you,me,he5個(gè),他決定從今天起每天背記10個(gè)單詞,那么從今天開(kāi)始,他的單詞量逐日增加,依次為：5,15,25,35,…想一想：多少天后他的單詞量達(dá)到3000?（2）陳果覺(jué)得自己英語(yǔ)成績(jī)很棒,她目前的單詞量多達(dá)3000她打算從今天起不再背單詞了,結(jié)果不知不覺(jué)地每天忘掉5個(gè)單詞,那么從今天開(kāi)始,她的單詞量逐日遞減,依次為：3000,2995,2990,2985,…想一想：多少天后她那3000個(gè)單詞全部忘光?探究：從上面兩例中,我們分別得到兩個(gè)數(shù)列①5,15,25,35,(),(),,()…和②3000,2995,2990,2980,,(),,(),,()…請(qǐng)同學(xué)們仔細(xì)觀察,看看以上兩個(gè)數(shù)列有什么共同特征?共同特征：從第二項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它前面一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù).閱讀與舉例：請(qǐng)大家閱讀教材中所列舉的數(shù)列例子,并試著列舉生活與學(xué)習(xí)中的等差數(shù)列例子．想一想：請(qǐng)大家根據(jù)以上結(jié)論,思考什么叫做等差數(shù)列?等差數(shù)列：一般地,如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù),這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列,這個(gè)常數(shù)就叫做等差數(shù)列的公差（常用字母“”表示）問(wèn)題探究二等差數(shù)列的通項(xiàng)公式推導(dǎo)與證明．重點(diǎn)、難點(diǎn)知識(shí)★▲●設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)是,公差是,則據(jù)其定義可得：,即：,,即：,,即：,……由此歸納等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得：.●由上述關(guān)系還可得：,且如：.問(wèn)題探究三等差數(shù)列的性質(zhì)．重點(diǎn)、難點(diǎn)知識(shí)★▲想一想：如果在與中間插入一個(gè)數(shù),使,,成等差數(shù)列,那么應(yīng)滿足什么條件?由定義得,即：,反之,若,則.也就是說(shuō),是,,成等差數(shù)列的__________條件.●等差中項(xiàng)：若,,成等差數(shù)列,那么叫做與的等差中項(xiàng)易見(jiàn),在一個(gè)等差數(shù)列中,從第2項(xiàng)起每一項(xiàng)（有窮數(shù)列的末項(xiàng)除外）都是它的前一項(xiàng)與后一項(xiàng)的等差中項(xiàng)等差數(shù)列的性質(zhì)：在等差數(shù)列中,若,則__________.更一般地,若,則.問(wèn)題探究四等差數(shù)列的概念與性質(zhì)的應(yīng)用．重點(diǎn)、難點(diǎn)知識(shí)★▲求等差數(shù)列8,5,2…的第20項(xiàng)【知識(shí)點(diǎn)：等差數(shù)列的概念】詳解：⑴由n=20,得點(diǎn)撥：在求解過(guò)程要注意符號(hào)變化以及對(duì)公差的理解已知數(shù)列{}的通項(xiàng)公式,其中、是常數(shù),那么這個(gè)數(shù)列是否一定是等差數(shù)列?若是,首項(xiàng)與公差分別是什么?【知識(shí)點(diǎn)：等差數(shù)列的概念】分析：由等差數(shù)列的定義,要判定是不是等差數(shù)列,只要看（n≥2）是不是一個(gè)與n無(wú)關(guān)的常數(shù).詳解：當(dāng)n≥2時(shí),為常數(shù)∴{}是等差數(shù)列,首項(xiàng),公差為p.點(diǎn)撥：若p=0,則{}是公差為0的等差數(shù)列,即為常數(shù)列q,q,q,…3．課堂總結(jié)【知識(shí)梳理】（1）掌握等差數(shù)列的定義及數(shù)學(xué)表達(dá)式：－=d,（n≥2,n∈N）.（2）會(huì)推導(dǎo)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：,并掌握其基本應(yīng)用.（3）重要關(guān)系式：的理解與應(yīng)用.【重難點(diǎn)突破】（1）等差數(shù)列的定義中有“從第二項(xiàng)起”“同一個(gè)常數(shù)”的描述應(yīng)理解為：“從第二項(xiàng)起”首先是因?yàn)榈?項(xiàng)沒(méi)有“前一項(xiàng)”,其次因?yàn)槿绻粋€(gè)數(shù)列是從第3項(xiàng)起每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差是同一個(gè)常數(shù),那么這個(gè)數(shù)列可能不是等差數(shù)列,但可以說(shuō)從第二項(xiàng)起是等差數(shù)列.“同一個(gè)常數(shù)”應(yīng)這樣理解：如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的差是一個(gè)常數(shù),那么這個(gè)數(shù)列就不一定是等差數(shù)列,因?yàn)檫@些常數(shù)不一定相同.4．隨堂檢測(cè)（1）求等差數(shù)列3,7,11,……的第4項(xiàng)與第10項(xiàng).【知識(shí)點(diǎn)：等差數(shù)列的概念】分析：根據(jù)所給數(shù)列的前3項(xiàng)求得首項(xiàng)和公差,寫出該數(shù)列的通項(xiàng)公式,從而求出所求項(xiàng).解：根據(jù)題意可知：=3,d=7－3=4.∴該數(shù)列的通項(xiàng)公式為：=3+（n－1）×4,即=4n－1（n≥1,n∈N*）∴=4×4－1=15,=4×10－1=39.（2）求等差數(shù)列10,8,6,……的第20項(xiàng).【知識(shí)點(diǎn)：等差數(shù)列的概念】解：根據(jù)題意可知：=10,d=8－10=－2.∴該數(shù)列的通項(xiàng)公式為：=10+（n－1）×（－2）,即：=－2n+12,∴=－2×20+12=－28.（3）－20是不是等差數(shù)列0,－3,－7,……的項(xiàng)?如果是,是第幾項(xiàng)?如果不是,說(shuō)明理由.【知識(shí)點(diǎn)：等差數(shù)列的概念與通項(xiàng)公式】解：由題意可知：=0,d=－3∴此數(shù)列的通項(xiàng)公式為：=－n+,令－n+=－20,解得n=因?yàn)椋璶+=－20沒(méi)有正整數(shù)解,所以－20不是這個(gè)數(shù)列的項(xiàng).（三）課后作業(yè)基礎(chǔ)型自主突破1.（1）求等差數(shù)列8,5,2…的第20項(xiàng).（2）－401是不是等差數(shù)列－5,－9,－13…的項(xiàng)?如果是,是第幾項(xiàng)?【知識(shí)點(diǎn)：等差數(shù)列的概念】解：⑴由,得.⑵.2.在等差數(shù)列中,已知,,求,,.【知識(shí)點(diǎn)：等差數(shù)列的概念與通項(xiàng)公式】解：∵,,則∴.3.在等差數(shù)列中,若+=9,=7,求.【知識(shí)點(diǎn)：等差數(shù)列的概念】解：,.4.等差數(shù)列中,++=－12,且··=80.求通項(xiàng).【知識(shí)點(diǎn)：等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；數(shù)學(xué)思想：分類討論】解：或.5.已知數(shù)列的通項(xiàng)公式,其中、是常數(shù),那么這個(gè)數(shù)列是否一定是等差數(shù)列?若是,首項(xiàng)與公差分別是什么?【知識(shí)點(diǎn)：等差數(shù)列的概念】解：當(dāng)時(shí),（取數(shù)列中的任意相鄰兩項(xiàng)與（））為常數(shù)∴{}是等差數(shù)列,首項(xiàng),公差為.能力型師生共研6.在等差數(shù)列中若,,求.【知識(shí)點(diǎn)：等差數(shù)列的性質(zhì)】解：1307.在等差數(shù)列中,為公差,若且.求證：(1)；(2)．8.成等差數(shù)列的四個(gè)數(shù)之和為26,第二數(shù)和第三數(shù)之積為40,求這四個(gè)數(shù)．【知識(shí)點(diǎn)：等差數(shù)列的性質(zhì)】解：設(shè)四個(gè)數(shù)為,則：得,,∴四個(gè)數(shù)為2,5,8,11或11,8,5,2．探究型多維突破9.將一個(gè)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式輸入計(jì)算器數(shù)列中,設(shè)數(shù)列的第項(xiàng)和第項(xiàng)分別為和,計(jì)算的值,你能發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論?并證明你的結(jié)論．【知識(shí)點(diǎn)：等差數(shù)列的概念】解：通過(guò)計(jì)算發(fā)現(xiàn)的值恒等于公差.10.設(shè)是公差為的無(wú)窮等差數(shù)列的前項(xiàng)和,則下列命題錯(cuò)誤的是（C）A.若,則數(shù)列有最大項(xiàng)B.若數(shù)列有最大項(xiàng),則C.若數(shù)列是遞增數(shù)列,則對(duì)任意,均有D.若對(duì)任意,均有,則數(shù)列是遞增數(shù)列11.已知數(shù)列是等差數(shù)列,是其前項(xiàng)和,求證：（1）,-,-成等差數(shù)列.（2）求證（）成等比數(shù)列.【知識(shí)點(diǎn)：等差數(shù)列的概念】證明：設(shè)首項(xiàng)是,公差為,則,∵是以36d為公差的等差數(shù)列同理可得是以d為公差的等差數(shù)列.12.數(shù)列滿足,(),求=____________.【知識(shí)點(diǎn)：等差數(shù)列的概念】解：由,兩邊平方得：,又,作差可得：由得.又由遞推式易得知數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列,則,所以,數(shù)列是以為首項(xiàng),為公差的等差數(shù)列.,故,故.自助餐1.（1）求等差數(shù)列3,7,11,……的第4項(xiàng)與第10項(xiàng).（2）求等差數(shù)列10,8,6,……的第20項(xiàng).（3）100是不是等差數(shù)列2,9,16,……的項(xiàng)?如果是,是第幾項(xiàng)?如果不是,說(shuō)明理由.【知識(shí)點(diǎn)：等差數(shù)列的概念】解：（1）=4×4－1=15,=4×10－1=39.（2）=－2×20+12=－28.（3）100是這個(gè)數(shù)列的第15項(xiàng).2.在等差數(shù)列中,（1）已知=10,=19,求與;（2）已知,,求.【知識(shí)點(diǎn)：等差數(shù)列的概念】解：（1）.（2）,∴.3.在等差數(shù)列中,若,求.【知識(shí)點(diǎn)：等差數(shù)列的概念與性質(zhì)】解：.4.在等差數(shù)列中,若求．【知識(shí)點(diǎn)：等差數(shù)列的概念與性質(zhì)】解：.5.等差數(shù)列-10,-6,-2,2,…前多少項(xiàng)的和是54? 【知識(shí)點(diǎn)：等差數(shù)列的概念與性質(zhì)】解：96.在小于100的正整數(shù)中共有多少個(gè)數(shù)能被3除余2,并求這些數(shù)的和【知識(shí)點(diǎn)：等差數(shù)列的概念與性質(zhì)】解：在小于100的正整數(shù)中共有33個(gè)數(shù)能被3除余2,這些數(shù)的和是1650.7．已知是等差數(shù)列,,其前10項(xiàng)和,則其公差（D）A．B．C．D．8.設(shè)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和.已知,則等于（B）A．B．C．D．【知識(shí)點(diǎn)：等差數(shù)列的概念與性質(zhì)】9.已知函數(shù),等差數(shù)列的公差為.若,則-6．10.

已知方程的四個(gè)根組成一個(gè)首項(xiàng)為的等差數(shù)列,則等于（C）A.1 B. C. D.【知識(shí)點(diǎn)：等差數(shù)列的概念與性質(zhì)】11.等差數(shù)列中,,,求使的最小自然數(shù)．【知識(shí)點(diǎn)：等差數(shù)列的概念與性