《§5 從力做的功到向量的數(shù)量積》講義

《§5從力做的功到向量的數(shù)量積》講義同學(xué)們好，今天咱們要一起學(xué)習(xí)高中北師大版必修4第二章平面向量里的§5從力做的功到向量的數(shù)量積。在開(kāi)始學(xué)習(xí)這個(gè)有點(diǎn)神秘的向量的數(shù)量積之前呢，我先給大家講個(gè)我自己的小經(jīng)歷。有一次我去搬東西，那是一個(gè)大箱子，我想把它從房間的這頭搬到那頭。我用力去推這個(gè)箱子，這個(gè)力的大小呀，方向呀，還有箱子移動(dòng)的距離都很重要。這就有點(diǎn)像咱們今天要學(xué)的向量相關(guān)的知識(shí)啦。一、力做的功咱們先來(lái)說(shuō)說(shuō)力做的功。大家在生活中都知道，如果要把一個(gè)東西移動(dòng)一段距離，就得用力。比如說(shuō)我剛剛搬箱子，我使了勁，箱子動(dòng)了，這就有力做了功。那功怎么計(jì)算呢？功等于力乘以在力的方向上移動(dòng)的距離。如果用字母來(lái)表示的話，假如力是F，在力的方向上移動(dòng)的距離是s，那功W就等于F乘以s，也就是W＝Fs。這里要注意哦，力和距離得是在同一個(gè)方向上的。就像在體育課上，老師讓大家推鉛球。你用力去推鉛球，鉛球飛出去了一段距離。你用的力越大，鉛球飛得越遠(yuǎn)，做的功就越多。但是這個(gè)功可不是隨便亂算的，得是力沿著鉛球飛出去這個(gè)方向的作用效果。如果你的力用偏了，鉛球就飛不遠(yuǎn)，做的功也就沒(méi)那么多。這就像咱們做數(shù)學(xué)題一樣，每個(gè)條件都得用對(duì)地方。二、向量的引入那這和向量有啥關(guān)系呢？向量呀，是既有大小又有方向的量。就像剛剛我推箱子的力，它有大小，就是我用了多大力氣，還有方向，是朝著箱子要去的那個(gè)方向推的。這就是一個(gè)向量。那在平面里，向量可以用有向線段來(lái)表示。比如說(shuō)，我們畫一個(gè)箭頭，箭頭的長(zhǎng)度表示向量的大小，箭頭指的方向就是向量的方向。我再給大家舉個(gè)例子。咱們?cè)诓賵?chǎng)上，有個(gè)同學(xué)從操場(chǎng)這頭跑到那頭。他跑的這個(gè)過(guò)程就可以看成是一個(gè)向量。他跑的速度有快慢，這就是向量的大小，他跑的方向是朝著操場(chǎng)那頭的，這就是向量的方向。三、向量的夾角現(xiàn)在咱們要說(shuō)說(shuō)向量之間的夾角。就像兩個(gè)人站在操場(chǎng)上，他們站的方向不一樣，這兩個(gè)人之間就有個(gè)夾角。向量也是這樣的。假設(shè)有兩個(gè)向量a和b，它們之間的夾角我們用θ（theta）來(lái)表示。這個(gè)夾角θ的范圍是0度到180度。比如說(shuō)，在我們的教室里，黑板的一條邊可以看成一個(gè)向量，教室的墻的一條邊也可以看成一個(gè)向量，這兩個(gè)向量之間就有個(gè)夾角。這個(gè)夾角會(huì)影響到很多和向量有關(guān)的計(jì)算呢。四、向量的數(shù)量積的定義那什么是向量的數(shù)量積呢？我們根據(jù)力做的功來(lái)理解這個(gè)概念就容易多了。向量a和向量b的數(shù)量積，我們寫成a·b（這里的“·”就是數(shù)量積的符號(hào)哦），它等于向量a的模（也就是向量a的大小，我們用|a|表示）乘以向量b的模再乘以它們夾角的余弦值，也就是a·b＝｜a|｜b|cosθ。咱們?cè)倩氐轿野嵯渥拥哪莻€(gè)例子。如果把我推箱子的力看成向量a，箱子移動(dòng)的方向看成向量b，那這個(gè)力做的功就有點(diǎn)像向量a和向量b的數(shù)量積。力的大小就像向量a的模，箱子移動(dòng)方向的長(zhǎng)度（可以想象成如果這個(gè)方向是個(gè)向量的話的模）就像向量b的模，而力和箱子移動(dòng)方向之間的夾角的余弦值就把它們聯(lián)系起來(lái)了。五、向量的數(shù)量積的性質(zhì)1、a·a＝｜a|2。這就好比一個(gè)向量自己和自己做數(shù)量積，就等于它自己模的平方。就像一個(gè)人自己跟自己比力氣，這個(gè)力氣的大?。ㄏ蛄康哪＃┑钠椒骄褪沁@個(gè)特殊的數(shù)量積的結(jié)果。2、如果兩個(gè)向量a和b垂直，也就是它們的夾角θ等于90度，那么cosθ就等于0，所以a·b就等于0。這就像在十字路口，兩條垂直的路，它們?cè)谙蛄康囊饬x上就有點(diǎn)像垂直的向量，它們之間的這種“聯(lián)系”（數(shù)量積）就是0。3、如果a·b＝0，而且a和b都不是零向量，那么就可以推出a和b垂直。這就像我們發(fā)現(xiàn)兩個(gè)人之間沒(méi)有那種特殊的“關(guān)聯(lián)”（數(shù)量積為0），那他們的方向就是垂直的。六、向量的數(shù)量積的運(yùn)算律1、交換律：a·b＝b·a。這就像兩個(gè)人互相握手，不管誰(shuí)先伸手，這個(gè)握手的“效果”（數(shù)量積）是一樣的。2、分配律：a·（b＋c)＝a·b＋a·c。咱們可以想象成有一堆東西要分，不管是先把b和c加起來(lái)再分給a，還是分別分給a然后再加起來(lái)，結(jié)果是一樣的。3、數(shù)乘結(jié)合律：（λa)·b＝λ(a·b)＝a·（λb)，這里的λ是一個(gè)實(shí)數(shù)。這就好比給一個(gè)人的力氣（向量a）放大或者縮?。ǔ艘驭耍?，然后再和別人（向量b）“互動(dòng)”（做數(shù)量積），和先“互動(dòng)”再放大或者縮小結(jié)果是一樣的。七、向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示如果向量a＝（x?,y?)，向量b＝（x?,y?)，那么a·b＝x?x?＋y?y?。這就把向量的數(shù)量積用坐標(biāo)的形式表示出來(lái)了。這就像我們給向量穿上了坐標(biāo)的“衣服”，然后用一種新的方式來(lái)計(jì)算它們之間的關(guān)系。比如說(shuō)，有一個(gè)向量表示從點(diǎn)(1,2)到點(diǎn)(3,4)，另一個(gè)向量表示從點(diǎn)(2,3)到點(diǎn)(4,5)。我們可以先算出這兩個(gè)向量的坐標(biāo)形式，然后用這個(gè)坐標(biāo)表示的方法來(lái)計(jì)算它們的數(shù)量積。八、向量數(shù)量積的應(yīng)用1、求向量的模我們知道a·a＝｜a|2，那如果要求向量a的模，就可以先算出a·a，然后再開(kāi)方。比如說(shuō)向量a＝（3,4)，那么a·a＝3×3＋4×4＝25，所以|a|＝5。這就像我們知道了一個(gè)人的力量和自己比的一個(gè)數(shù)值，然后就能算出他真正的“力量大小”（模）。2、求向量的夾角根據(jù)a·b＝｜a|｜b|cosθ，我們可以推出cosθ＝（a·b)／（｜a|｜b|）。這樣如果我們知道兩個(gè)向量的坐標(biāo)或者其他表示形式，算出它們的數(shù)量積和模，就能求出它們之間的夾角了。就像在一個(gè)游戲里，有兩個(gè)角色的行動(dòng)方向可以看成向量，我們想知道這兩個(gè)角色行動(dòng)方向之間的夾角，就可以用這個(gè)方法來(lái)計(jì)算。3、判斷三角形的形狀如果在一個(gè)三角形里，我們把三角形的三條邊看成向量。如果兩條邊對(duì)應(yīng)的向量的數(shù)量積為0，那就說(shuō)明這兩條邊垂直，這個(gè)三角形就是直角三角形。如果所有邊對(duì)應(yīng)的向量?jī)蓛芍g的數(shù)量積都大于0，那這個(gè)三角形就是銳角三角形；如果有一個(gè)數(shù)量積小于0，那這個(gè)三角形就是鈍角三角形。比如說(shuō)有一個(gè)三角形，三條邊對(duì)應(yīng)的向量分別是a＝（1,2)，b＝（2,1)，c＝（1,2)。我們可以計(jì)算a·b、a·c、b·c來(lái)判斷這個(gè)三角形的形狀。同學(xué)們，向量的數(shù)量積這個(gè)知識(shí)很有用，它在物理、工程、計(jì)算機(jī)圖形學(xué)等很多領(lǐng)域都有應(yīng)用。就像在物理里，很多力的分析都要用