第1章 集合與常用邏輯用語-綜合檢測3（拔尖卷）（解析版）

第1章集合與常用邏輯用語本卷滿分150分，考試時間120分鐘。一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的．1．設(shè)命題：，，則為A．， B．，C．， D．，【答案】D【分析】全稱命題的否定為特稱命題，變化規(guī)則為變量詞，否結(jié)論，即得．【解析】由命題：，，所以為，．故選．2．某班共人，其中人喜歡籃球運動，人喜愛乒乓球運動，人對這兩項運動都不喜愛，則喜歡籃球運動但不喜愛乒乓球運動的人數(shù)為A．5 B．10C．12 D．13【答案】C【分析】根據(jù)條件作出圖，設(shè)既喜歡籃球也喜歡乒乓球運動的人數(shù)為，根據(jù)圖列方程即可得的值，進而可得喜愛籃球運動但不喜愛乒乓球運動的人數(shù)．【解析】根據(jù)條件作出圖：設(shè)既喜歡籃球也喜歡乒乓球運動的人數(shù)為，則喜愛籃球運動但不喜愛乒乓球運動的人數(shù)為，喜歡乒乓球運到但不喜歡籃球運動的人數(shù)為，由題意可得，解得，所以喜愛籃球運動但不喜愛乒乓球運動的人數(shù)為人，故選C．3．“且”是“”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．既不充分也不必要條件 D．充要條件【答案】A【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)，結(jié)合充分條件、必要條件的定義即可得解．【解析】若且，則，一定成立，即且．當，滿足，但不滿足且成立所以“且”是“”的充分不必要條件故選A．4．已知，，若，則的取值的集合為A． B．C． D．【答案】C【分析】解方程得集合，由得，結(jié)合方程可得可能為，，，分別代入解出即可．【解析】因為，由于得，結(jié)合可知當，即時，滿足題意；當，即時，滿足題意；當，即時，滿足題意；故的取值的集合為，故選C．5．設(shè)全集為，非空真子集，，滿足：，，則A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，可知和，結(jié)合Venn圖一一判斷即可．【解析】由，可知，又因，得．對于選項AB，由題意可知，集合，都是集合的子集，但是它們兩個的關(guān)系無法確定，因此AB都錯；對于選項C，由，可知，故C錯誤；對于選項D，由和，知，又因集合是全集的非空真子集，故，所以D正確．故選D．6．已知條件：，條件：，且是的充分不必要條件，則的取值集合是A． B．C． D．【答案】C【分析】令A，，由是的充分不必要條件，可得，可得為或或，從而可得出答案．【解析】條件：A，條件：，由是的充分不必要條件，可得，則為或或，①若，則；②若，則，解得；③若，則，解得；所以的取值集合是．故選C．7．已知下列四組陳述句：①：集合；：集合②：集合；：集合③：；：④：桃浦中學高一全體學生：：桃浦中學全體學生其中是的必要非充分條件的有A．①② B．③④C．②④ D．①③【答案】D【分析】根據(jù)充分性和必要性的定義依次判斷即可．【解析】①若，若，此時，故充分性不成立；若，則，必要性成立，故是的必要不充分條件；②若，根據(jù)子集的性質(zhì)可得，故充分性成立，反之，若，則，必要性成立，故是的充要條件；③，是的必要不充分條件；④易得是的充分不必要條件．所以是的必要非充分條件的有①③．故選D．8．設(shè)，與是的子集，若，則稱為一個“理想配集”．規(guī)定與是兩個不同的“理想配集”，那么符合此條件的“理想配集”的個數(shù)是A．4 B．6C．8 D．9【答案】D【分析】對子集分，，，四種情況討論，列出所有符合題意的集合即可求解．【解析】，與是的子集，，對子集分情況討論：當時，，，，，有種情況；當時，，，有種情況；當時，，，有種情況；當時，，有種情況；所以共有種，故選D．二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9．使得或成立的充分非必要條件有．A． B．C． D．【答案】ABC【分析】求使得或成立的充分非必要條件，則“選項”為的集合是題目條件集合的真子集．【解析】求使得或成立的充分非必要條件，故“選項”為條件p，“或”為結(jié)論q，是的充分非必要條件，設(shè)p：“”，q：“”，是的真子集．故選ABC．10．下列說法正確的是A．命題的否定是“”B．命題“”的否定是“”C．“”是“”的必要條件D．“”是“關(guān)于x的方程有一正一負根”的充要條件【答案】BD【分析】根據(jù)題意，結(jié)合含有一個量詞命題的否定方法，以及必要條件和充要條件的判斷方法，一一判斷即可．【解析】對于選項A，命題“”的否定是“”，故A錯；對于選項B，由特稱命題的否定，需把存在量詞換成全稱量詞，再把結(jié)論否定可知，命題“”的否定是“”，故B正確；對于選項C，當時，，因此“”是“”的不必要條件，故C錯；對于選項D，由方程有一正一負根，得，即，因此“”是“關(guān)于x的方程有一正一負根”的充要條件，故D正確．故選BD．11．設(shè)非空集合P，Q滿足，且，則下列命題正確的是A．，有 B．，使得C．，使得 D．，有【答案】ABC【分析】由題意，，且，故，依次判斷即可【解析】由題意，，且，故選項A，由于，故，有，正確；選項B，由于，故，使得，正確；選項C，由于，故，使得，正確；選項D，由于，，有，不正確．故選ABC12．已知集合，，定義運算，則下列描述正確的是A．B．記為集合，則C．若，則符合要求的有個D．中所有元素之和為【答案】BD【分析】根據(jù)已知條件求出集合，進而可判斷AD選項的正誤，利用集合的運算可判斷B選項的正誤，利用列舉法可判斷C選項的正誤．【解析】由已知條件可得．對于A選項，，A錯；對于B選項，，則，故，B對；對于C選項，，即，則滿足條件的集合有：、、、、、、、，共個，C錯；對于D選項，中所有元素之和為，D對．故選BD．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．已知集合，若，則實數(shù)____________．【答案】【分析】根據(jù)，得到或，結(jié)合集合中元素的互異性，即可求解．【解析】由題意，集合，且，若時，可得，此時，不滿足元素的互異性，舍去；若時，解得或，當時，可得集合，符合題意；當時，不符合題意，（舍去），綜上可得．故答案為．14．已知命題“，使”是假命題，則實數(shù)a的取值范圍是____________．【答案】【分析】根據(jù)特稱命題的否定是真命題，轉(zhuǎn)化為二次不等式恒成立，即可求解實數(shù)a的取值范圍．【解析】因為命題“，使”是假命題，所以命題“，使”是真命題，即判別式，即．故答案為15．是的____________條件．（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”）【答案】必要不充分【解析】由，可得且，所以是的必要不充分條件．故答案為必要不充分16．以集合的子集中選出兩個不同的子集，需同時滿足以下兩個條件：（1）、都至少屬于其中一個集合；（2）對選出的兩個子集，其中一個集合為另一個的子集，那么共有____________種不同的選法．【答案】32【分析】根據(jù)題意，集合A，B可以互換，不妨設(shè)元素少的為A，多的為B，則B必包含{a，b}，A為B的真子集，從而解得答案．【解析】由題意，不妨設(shè)元素少的為A，多的為B，則B必含有a，b，A為B的真子集，若，A為B的真子集，則有種，若，A為B的真子集，則有種，若，A為B的真子集，則有種，若，A為B的真子集，則有種，共有3+7+7+15=32種．故答案為32．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（10分）判斷下列命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題，請寫出它們的否定，并判斷其真假：（1）對任意都成立；（2），使．【答案】（1）全稱量詞命題，否定為，假命題；（2）存在量詞命題，否定為，使，假命題．【分析】（1）根據(jù)全稱量詞命題的定義，結(jié)合，即可求解；（2）根據(jù)存在量詞命題的定義，結(jié)合，即可求解．【解析】（1）全稱量詞命題，其否定為“”因為，所以命題“對任意都成立”為真命題，故否定為假命題；（2）存在量詞命題，其否定為“，使”對于方程，可得，所以命題“，使”為真命題，故其否定為假命題．18．（12分）設(shè)集合，，，求實數(shù)a的值．【答案】或【分析】首先求出集合，然后根據(jù)已知條件，可得，通過分類討論集合中元素的個數(shù)即可求解．【解析】由題意，，又可知，，①若，，得；②若B中有一個元素，，得，，符合；③若B中有兩個元素，則，由根與系數(shù)關(guān)系得，解得，．綜上所述，或．19．（12分）命題甲：集合為空集；命題乙：關(guān)于的不等式的解集為．（1）“”是命題乙的什么條件？并證明；（2）若命題甲、乙中有且只有一個是真命題，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）充分不必要條件，證明見解析（2）【分析】（1）由充分不必要條件的定義即可證明；（2）先求出命題甲、乙分別為真命題時的范圍，然后分甲為真命題乙為假命題和甲為假命題乙為真命題兩種情況即可求解．【解析】命題甲為真命題，則集合為空集，當時，，解得，當時，方程為，無解，滿足題意，綜上，；命題乙為真命題，則關(guān)于的不等式的解集為，，解得，（1）因為命題乙為真命題時，又，即，所以，但，所以是命題乙的充分不必要條件；（2）因為命題甲、乙中有且只有一個是真命題，所以分兩種情況討論：①當甲命題為真，乙命題為假時，有或，解得；②當甲命題為假，乙命題為真時，有或，解得或，綜上，實數(shù)的取值范圍為．20．（12分）已知集合，，．（1）命題：“，都有”，若命題為真命題，求實數(shù)的值；（2）若“”是“”的必要條件，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）或；（2）或．【分析】（1）由題設(shè)有、，討論、分別判斷是否符合題設(shè)，并確定的值；（2）由題設(shè)有，討論集合，并利用一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系、判別式求的取值范圍．【解析】由題設(shè)，，（1）由題設(shè)，，當時，，則，即；當時，，顯然．綜上，或．（2）由題設(shè)，，當時，，即；當時，，無解；當時，，無解；當時，，解得；綜上，的取值范圍或．21．（12分）已知集合，，．（1）若，求實數(shù)的值；（2）若，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）或；（2）．【分析】（1）解方程可求得集合，根據(jù)并集結(jié)果可知或，由此可求得結(jié)果；（2）由交集結(jié)果可知，由此可確定所有可能的結(jié)果，分別討論不同結(jié)果對應的的取值范圍，由此可得結(jié)果．【解析】（1），，又，所有可能的結(jié)果為，；當時，，解得；當時，，解得；或；（2），，所有可能的結(jié)果為，，，；當時，，解得；當時，，解得，此時，滿足題意；當時，，解得，此時，不合題意；當時，無解，不合題意；綜上所述：實數(shù)的取值范圍為．22．（12分）在①；②“”是“”的充分不必要條件；③，這三個條件中任選一個，補充到下面的問題中，并解答．問題：已知集合，．（1）當時，求；（2）若___________，求實數(shù)a的取值范圍．注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．【答案】（1）；（2）詳見解析．【分析】（1）當a＝2時，得出