2025《初中數(shù)學》專題突破專題62 二次函數(shù)與圓綜合性問題（含答案及解析）

例題精講例題精講【例1】．如圖，拋物線的頂點為A（0，2），且經(jīng)過點B（2，0）．以坐標原點O為圓心的圓的半徑r＝，OC⊥AB于點C．（1）求拋物線的函數(shù)解析式．（2）求證：直線AB與⊙O相切．（3）已知P為拋物線上一動點，線段PO交⊙O于點M．當以M，O，A，C為頂點的四邊形是平行四邊形時，求PM的長．變式訓練【變1-1】．如圖，拋物線y＝ax2+bx+2與直線AB相交于A（﹣1，0），B（3，2），與x軸交于另一點C．（1）求拋物線的解析式；（2）在y上是否存在一點E，使四邊形ABCE為矩形，若存在，請求出點E的坐標；若不存在，請說明理由；（3）以C為圓心，1為半徑作⊙O，D為⊙O上一動點，求DA+DB的最小值【例2】．如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線與x軸分別交于A、B兩點，與y軸交于點C（0，6），拋物線的頂點坐標為E（2，8），連結BC、BE、CE．（1）求拋物線的表達式；（2）判斷△BCE的形狀，并說明理由；（3）如圖2，以C為圓心，為半徑作⊙C，在⊙C上是否存在點P，使得BP+EP的值最小，若存在，請求出最小值；若不存在，請說明理由．變式訓練【變2-1】．在平面直角坐標系中，二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象與x軸交于A（﹣2，0），B（4，0）兩點，交y軸于點C，點P是第四象限內拋物線上的一個動點．（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）如圖甲，當△ACP是以AC為直角邊的直角三角形時，求點P的坐標；（3）如圖乙，過A，B，P三點作⊙M，過點P作PE⊥x軸，垂足為D．交OM于點E．點P在運動過程中線段DE的長是否變化，若有變化，求出DE的取值范圍；若不變，求DE的長．1．如圖，已知⊙P的半徑為2，圓心P在拋物線y＝x2﹣1上運動，當⊙P與坐標軸相切時，圓心P的坐標可以是．2．如圖1，拋物線與x軸交于O、A兩點，點B為拋物線的頂點，連接OB．（1）求∠AOB的度數(shù)；（2）如圖2，以點A為圓心，4為半徑作⊙A，點M在⊙A上．連接OM、BM，①當△OBM是以OB為底的等腰三角形時，求點M的坐標；②如圖3，取OM的中點N，連接BN，當點M在⊙A上運動時，求線段BN長度的取值范圍．3．如圖，拋物線y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左邊），與y軸交于點C，且OB＝OC．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖1，若點P是線段BC（不與B，C重合）上一動點，過點P作x軸的垂線交拋物線于M點，連接CM，將△PCM沿CM對折，如果點P的對應點N恰好落在y軸上，求此時點P的坐標；（3）如圖2，若第四象限有一動點E，滿足BE＝OB，過E作EF⊥x軸于點F，設F坐標為（t，0），0＜t＜3，△BEF的內心為I，連接CI，直接寫出CI的最小值．4．已知拋物線y＝x2﹣（2m﹣1）x+4m﹣6．（1）試說明對于每一個實數(shù)m，拋物線都經(jīng)過x軸上的一個定點；（2）設拋物線與x軸的兩個交點A（x1，0）和B（x2，0）（x1＜x2）分別在原點的兩側，且A、B兩點間的距離小于6，求m的取值范圍；（3）拋物線的對稱軸與x軸交于點C，在（2）的條件下，試判斷是否存在m的值，使經(jīng)過點C及拋物線與x軸的一個交點的⊙M與y軸的正半軸相切于點D，且被x軸截得的劣弧與是等弧？若存在，求出所有滿足條件的m的值；若不存在，說明理由．5．已知拋物線y＝x2+mx﹣2m﹣4（m＞0）．（1）證明：該拋物線與x軸總有兩個不同的交點；（2）設該拋物線與x軸的兩個交點分別為A，B（點A在點B的右側），與y軸交于點C，A，B，C三點都在⊙P上．①試判斷：不論m取任何正數(shù)，⊙P是否經(jīng)過y軸上某個定點？若是，求出該定點的坐標；若不是，說明理由；②若點C關于直線x＝﹣的對稱點為點E，點D（0，1），連接BE，BD，DE，△BDE的周長記為l，⊙P的半徑記為r，求的值．6．如圖所示，在平面直角坐標系中，⊙C經(jīng)過坐標原點O，且與x軸，y軸分別相交于M（4，0），N（0，3）兩點．已知拋物線開口向上，與⊙C交于N，H，P三點，P為拋物線的頂點，拋物線的對稱軸經(jīng)過點C且垂直x軸于點D．（1）求線段CD的長及頂點P的坐標；（2）求拋物線的函數(shù)表達式；（3）設拋物線交x軸于A，B兩點，在拋物線上是否存在點Q，使得S四邊形OPMN＝8S△QAB，且△QAB∽△OBN成立？若存在，請求出Q點的坐標；若不存在，請說明理由．7．如圖，已知二次函數(shù)的圖象頂點在原點，且點（2，1）在二次函數(shù)的圖象上，過點F（0，1）作x軸的平行線交二次函數(shù)的圖象于M、N兩點．（1）求二次函數(shù)的表達式；（2）P為平面內一點，當△PMN是等邊三角形時，求點P的坐標；（3）在二次函數(shù)的圖象上是否存在一點E，使得以點E為圓心的圓過點F和點N，且與直線y＝﹣1相切．若存在，求出點E的坐標，并求⊙E的半徑；若不存在，說明理由．8．已知二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c+1，①當b＝1時，求這個二次函數(shù)的對稱軸的方程；②若c＝﹣b2﹣2b，問：b為何值時，二次函數(shù)的圖象與x軸相切？③若二次函數(shù)的圖象與x軸交于點A（x1，0），B（x2，0），且x1＜x2，b＞0，與y軸的正半軸交于點M，以AB為直徑的半圓恰好過點M，二次函數(shù)的對稱軸l與x軸、直線BM、直線AM分別交于點D、E、F，且滿足＝，求二次函數(shù)的表達式．9．已知拋物線y＝ax2+bx+c過點A（0，2）．若該拋物線上任意不同兩點M（x1，y1），N（x2，y2）都滿足；當x1＜x2＜0時，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0；當0＜x1＜x2時，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0．以原點O為圓心，OA為半徑的圓與拋物線的另兩個交點為B，C，且△ABC有一個內角為60°．①求拋物線的解析式；②若點P與點O關于點A對稱，且O，M，N三點共線，求證：PA平分∠MPN．10．如圖，在平面直角坐標系xOy中，O為坐標原點，點A（4，0），點B（0，4），△ABO的中線AC與y軸交于點C，且⊙M經(jīng)過O，A，C三點．（1）求圓心M的坐標；（2）若直線AD與⊙M相切于點A，交y軸于點D，求直線AD的函數(shù)表達式；（3）在（2）的條件下，在過點B且以圓心M為頂點的拋物線上有一動點P，過點P作PE∥y軸，交直線AD于點E．若以PE為半徑的⊙P與直線AD相交于另一點F．當EF＝4時，求點P的坐標．11．如圖，拋物線y＝ax2+6ax（a為常數(shù)，a＞0）與x軸交于O，A兩點，點B為拋物線的頂點，點D的坐標為（t，0）（﹣3＜t＜0），連接BD并延長與過O，A，B三點的⊙P相交于點C．（1）求點A的坐標；（2）過點C作⊙P的切線CE交x軸于點E．①如圖1，求證：CE＝DE；②如圖2，連接AC，BE，BO，當a＝，∠CAE＝∠OBE時，求﹣的值．12．拋物線y＝﹣x2+x﹣1與x軸交于點A，B（點A在點B的左側），與y軸交于點C，其頂點為D．將拋物線位于直線l：y＝t（t＜）上方的部分沿直線l向下翻折，拋物線剩余部分與翻折后所得圖形組成一個“M”形的新圖象．（1）點B，D的坐標分別為，；（2）如圖①，拋物線翻折后，點D落在點E處，當點E在△ABC內（含邊界）時，求t的取值范圍；（3）如圖②，當t＝0時，點Q是“M”形新圖象上一動點．①直接寫出“M”形圖象AB段的函數(shù)關系式；②是否存在以CQ為直徑的圓與x軸相切于點P？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．13．已知拋物線y＝ax2+bx+c過點A（0，2）．（1）若點（﹣，0）也在該拋物線上，求a，b滿足的關系式；（2）若該拋物線上任意不同兩點M（x1，y1），N（x2，y2）都滿足：當x1＜x2＜0時，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0；當0＜x1＜x2時，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0．以原點O為心，OA為半徑的圓與拋物線的另兩個交點為B，C，且△ABC有一個內角為60°．①求拋物線的解析式；②若點P與點O關于點A對稱，且O，M，N三點共線，求證：PA平分∠MPN．14．如圖，已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+3（a≠0）的圖象經(jīng)過點A（3，0），B（4，1），且與y軸交于點C，連接AB、AC、BC．（1）求此二次函數(shù)的關系式；（2）判斷△ABC的形狀；若△ABC的外接圓記為⊙M，請直接寫出圓心M的坐標；（3）若將拋物線沿射線BA方向平移，平移后點A、B、C的對應點分別記為點A1、B1、C1，△A1B1C1的外接圓記為⊙M1，是否存在某個位置，使⊙M1經(jīng)過原點？若存在，求出此時拋物線的關系式；若不存在，請說明理由．15．已知拋物線C1：y＝ax2過點（2，2）（1）直接寫出拋物線的解析式；（2）如圖，△ABC的三個頂點都在拋物線C1上，且邊AC所在的直線解析式為y＝x+b，若AC邊上的中線BD平行于y軸，求的值；（3）如圖，點P的坐標為（0，2），點Q為拋物線上C1上一動點，以PQ為直徑作⊙M，直線y＝t與⊙M相交于H、K兩點是否存在實數(shù)t，使得HK的長度為定值？若存在，求出HK的長度；若不存在，請說明理由．16．定義：平面直角坐標系xOy中，過二次函數(shù)圖象與坐標軸交點的圓，稱為該二次函數(shù)的坐標圓．（1）已知點P（2，2），以P為圓心，為半徑作圓．請判斷⊙P是不是二次函數(shù)y＝x2﹣4x+3的坐標圓，并說明理由；（2）如圖1，已知二次函數(shù)y＝x2﹣4x+4圖象的頂點為A，坐標圓的圓心為P，求△POA周長的最小值；（3）如圖2，已知二次函數(shù)y＝ax2﹣4x+4（0＜a＜1）圖象交x軸于點A，B，交y軸于點C，與坐標圓的第四個交點為D，連結PC，PD．若∠CPD＝120°，求a的值．17．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝x2﹣bx﹣c交x軸于點A，B，點B的坐標為（4，0），與y軸于交于點C（0，﹣2）．（1）求此拋物線的解析式；（2）在拋物線上取點D，若點D的橫坐標為5，求點D的坐標及∠ADB的度數(shù)；（3）在（2）的條件下，設拋物線對稱軸l交x軸于點H，△ABD的外接圓圓心為M（如圖1），過點B作⊙M的切線交于點P（如圖2），設Q為⊙M上一動點，則在點運動過程中的值是否變化？若不變，求出其值；若變化，請說明理由．18．如圖，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0），與x軸交于A（4，0）、O兩點，點D（2，﹣2）為拋物線的頂點．（1）求該拋物線的解析式；（2）點E為AO的中點，以點E為圓心、以1為半徑作⊙E，交x軸于B、C兩點，點M為⊙E上一點．①射線BM交拋物線于點P，設點P的橫坐標為m，當tan∠MBC＝2時，求m的值；②如圖2，連接OM，取OM的中點N，連接DN，則線段DN的長度是否存在最大值或最小值？若存在，請求出DN的最值；若不存在，請說明理由．19．如圖，在平面直角坐標系上，一條拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）經(jīng)過A（1，0）、B（3，0）、C（0，3）三點，連接BC并延長．（1）求拋物線的解析式；（2）點M是直線BC在第一象限部分上的一個動點，過M作MN∥y軸交拋物線于點N．1°求線段MN的最大值；2°當MN取最大值時，在線段MN右側的拋物線上有一個動點P，連接PM、PN，當△PMN的外接圓圓心Q在△PMN的邊上時，求點P的坐標．20．如圖1，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸分別相交于A、B兩點，與y軸相交于點C，下表給出了這條拋物線上部分點（x，y）的坐標值：x…﹣10123…y…03430…（1）求出這條拋物線的解析式；（2）如圖1，直線y＝kx+1（k＜0）與拋物線交于P，Q兩點，交拋物線的對稱軸于點T，若△QMT的面積是△PMT面積的兩倍，求k的值；（3）如圖2，點D是第四象限內拋物線上一動點，過點D作DF⊥x軸，垂足為F，△ABD的外接圓與DF相交于點E．試問：線段EF的長是否為定值？如果是，請求出這個定值；如果不是，請說明理由．21．如圖，拋物線y＝﹣x2+2x+3與x軸相交于A，B兩點（點A在點B的左側），與y軸相交于點C，頂點為D．（1）直接寫出A、B、C三點的坐標和拋物線的對稱軸．（2）連接BC，與拋物線的對稱軸交于點E，點P為線段BC上的一個動點，過點P作PF∥DE交拋物線于點F，設點P的橫坐標為m．①用含m的代數(shù)式表示線段PF的長，并求出當m為何值時，四邊形PEDF為平行四邊形？②△BCF的面積為S，求S與m的函數(shù)關系式，并求出S的最大值．（3）現(xiàn)有一個以原點O為圓心，長為半徑的圓沿y軸正半軸方向向上以每秒1個單位的速度運動，問幾秒后⊙O與直線AC相切？22．我們不妨約定：對角線互相垂直的凸四邊形叫做“十字形”．（1）①在“平行四邊形，矩形，菱形，正方形”中，一定是“十字形”的有；②在凸四邊形ABCD中，AB＝AD且CB≠CD，則該四邊形“十字形”．（填“是”或不是）（2）如圖1，A，B，C，D是半徑為1的⊙O上按逆時針方向排列的四個動點，AC與BD交于點E，∠ADB﹣∠CDB＝∠ABD﹣∠CBD，當6≤AC2+BD2≤7時，求OE的取值范圍；（3）如圖2，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝ax2+bx+c（a，b，c為常數(shù)，a＞0，c＜0）與x軸交于A，C兩點（點A在點C的左側），B是拋物線與y軸的交點，點D的坐標為（0，﹣ac）．記“十字形”ABCD的面積為S，記△AOB，△COD，△AOD，△BOC的面積分別為S1，S2，S3，S4求同時滿足下列三個條件的拋物線的解析式：①＝+；②＝+；③“十字形”ABCD的周長為12．

例題精講例題精講【例1】．如圖，拋物線的頂點為A（0，2），且經(jīng)過點B（2，0）．以坐標原點O為圓心的圓的半徑r＝，OC⊥AB于點C．（1）求拋物線的函數(shù)解析式．（2）求證：直線AB與⊙O相切．（3）已知P為拋物線上一動點，線段PO交⊙O于點M．當以M，O，A，C為頂點的四邊形是平行四邊形時，求PM的長．解：（1）∵拋物線的頂點為A（0，2），∴可設拋物線的解析式為：y＝ax2+2，∵拋物線經(jīng)過點B（2，0），∴4a+2＝0，解得：a＝﹣，∴拋物線的解析式為：y＝﹣x2+2；（2）證明：∵A（0，2），B（2，0），∴OA＝OB＝2，∴AB＝2，∵OC⊥AB，∴?OA?OB＝?AB?OC，∴×2×2＝×2?OC，解得：OC＝，∵⊙O的半徑r＝，∴OC是⊙O的半徑，∴直線AB與⊙O相切；（3）∵點P在拋物線y＝﹣x2+2上，∴可設P（x，﹣x2+2），以M，O，A，C為頂點的四邊形是平行四邊形時，可得：AC＝OM＝，CM＝OA＝2，∵點C是AB的中點，∴C（1，1），M（1，﹣1），設直線OM的解析式為y＝kx，將點M（1，﹣1）代入，得：k＝﹣1，∴直線OM的解析式為y＝﹣x，∵點P在OM上，∴﹣x2+2＝﹣x，解得：x1＝1+，x2＝1﹣，∴y1＝﹣1﹣，y2＝﹣1+，∴P1（1+，﹣1﹣），P2（1﹣，﹣1+），如圖，當點P位于P1位置時，OP1＝＝＝（1+）＝+，∴P1M＝OP1﹣OM＝+﹣＝，當點P位于P2位置時，同理可得：OP2＝﹣，∴P2M＝OP2﹣OM＝﹣﹣＝﹣2；綜上所述，PM的長是或﹣2．變式訓練【變1-1】．如圖，拋物線y＝ax2+bx+2與直線AB相交于A（﹣1，0），B（3，2），與x軸交于另一點C．（1）求拋物線的解析式；（2）在y上是否存在一點E，使四邊形ABCE為矩形，若存在，請求出點E的坐標；若不存在，請說明理由；（3）以C為圓心，1為半徑作⊙O，D為⊙O上一動點，求DA+DB的最小值解：（1）把A（﹣1，0）、B（3，2）代入y＝ax2+bx+2，得，解得，∴拋物線的解析式為y＝x2+x+2．（2）存在．如圖1，作AE⊥AB交y軸于點E，連結CE；作BF⊥x軸于點F，則F（3，0）．當y＝0時，由x2+x+2＝0，得x1＝1，x2＝4，∴C（4，0），∴CF＝AO＝1，AF＝3﹣（﹣1）＝4；又∵BF＝2，∴，∵∠BFC＝∠AFB＝90°，∴△BFC∽△AFB，∴∠CBF＝∠BAF，∴∠ABC＝∠CBF+∠ABF＝∠BAF+∠ABF＝90°，∴BC∥AE，∵∠BCF＝90°﹣∠BAC＝∠EAO，∠BFC＝∠EOA＝90°，∴△BCF≌△EAO（ASA），∴BC＝EA，∴四邊形ABCE是矩形；∵OE＝FB＝2，∴E（0，﹣2）．（3）如圖2，作FL⊥BC于點L，連結AL、CD.由（2）得∠BFC＝90°，BF＝2，CF＝1，∴CF＝CD，CB＝＝．∵∠FLC＝∠BFC＝90°，∠FCL＝∠BCF（公共角），∴△FCL∽△BCF，∴＝，∴＝，∵∠DCL＝∠BCD（公共角），∴△DCL∽△BCD，∴＝，∴LD＝DB；∵DA+LD≥AL，∴當DA+LD＝AL，即點D落在線段AL上時，DA+DB＝DA+LD＝AL最?。逤L＝CF＝，∴BL＝＝，∴BL2＝（）2＝，又∵AB2＝22+42＝20，∴AL＝＝＝，DA+DB的最小值為．【例2】．如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線與x軸分別交于A、B兩點，與y軸交于點C（0，6），拋物線的頂點坐標為E（2，8），連結BC、BE、CE．（1）求拋物線的表達式；（2）判斷△BCE的形狀，并說明理由；（3）如圖2，以C為圓心，為半徑作⊙C，在⊙C上是否存在點P，使得BP+EP的值最小，若存在，請求出最小值；若不存在，請說明理由．解：（1）∵拋物線的頂點坐標為E（2，8），∴設該拋物線的表達式為y＝a（x﹣2）2+8，∵與y軸交于點C（0，6），∴把點C（0，6）代入得：a＝﹣，∴該拋物線的表達式為y＝x2+2x+6；（2）△BCE是直角三角形．理由如下：∵拋物線與x軸分別交于A、B兩點，∴令y＝0，則﹣（x﹣2）2+8＝0，解得：x1＝﹣2，x2＝6，∴A（﹣2，0），B（6，0），∴BC2＝62+62＝72，CE2＝（8﹣6）2+22＝8，BE2＝（6﹣2）2+82＝80，∴BE2＝BC2+CE2，∴∠BCE＝90°，∴△BCE是直角三角形；（3）⊙C上存在點P，使得BP+EP的值最小且這個最小值為．理由如下：如圖，在CE上截取CF＝（即CF等于半徑的一半），連結BF交⊙C于點P，連結EP，則BF的長即為所求．理由如下：連結CP，∵CP為半徑，∴＝＝，又∵∠FCP＝∠PCE，∴△FCP∽△PCE，∴＝＝，即FP＝EP，∴BF＝BP+EP，由“兩點之間，線段最短”可得：BF的長即BP+EP為最小值．∵CF＝CE，E（2，8），∴由比例性質，易得F（，），∴BF＝＝．變式訓練【變2-1】．在平面直角坐標系中，二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象與x軸交于A（﹣2，0），B（4，0）兩點，交y軸于點C，點P是第四象限內拋物線上的一個動點．（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）如圖甲，當△ACP是以AC為直角邊的直角三角形時，求點P的坐標；（3）如圖乙，過A，B，P三點作⊙M，過點P作PE⊥x軸，垂足為D．交OM于點E．點P在運動過程中線段DE的長是否變化，若有變化，求出DE的取值范圍；若不變，求DE的長．解：（1）把A（﹣2，0），B（4，0）代入y＝x2+bx+c得：，解得，∴二次函數(shù)的解析式為y＝x2﹣x﹣4；（2）如圖：由y＝x2﹣x﹣4可得C（0，﹣4），設P（x，x2﹣x﹣4），∴AC2＝（﹣2﹣0）2+（0+4）2＝20，CP2＝x2+（x2﹣x）2，AP2＝（x+2）2+（x2﹣x﹣4）2，∵△ACP是以AC為直角邊的直角三角形，∴AC2+CP2＝AP2，即20+x2+（x2﹣x）2＝（x+2）2+（x2﹣x﹣4）2，∴20+x2+（x2﹣x）2＝x2+4x+4+（x2﹣x）2﹣8（x2﹣x）+16，解得x＝0（與C重合，舍去）或x＝3，∴P（3，﹣）；（3）點P在運動過程中線段DE的長不變，理由如下：連接AP、BE，如圖：∵＝，＝，∴∠APD＝∠DBE，∠DAP＝∠DEB，∴△ADP∽△EDB，∴＝，∴DE＝，設P（m，m2﹣m﹣4），則D（m，0），∵A（﹣2，0），B（4，0），C（0，﹣4），∴AD＝m+2，BD＝4﹣m，PD＝﹣（m2﹣m﹣4）＝﹣m2+m+4，∴DE＝＝＝2，∴DE是定值2，∴點P在運動過程中線段DE的長不變，是定值2．1．如圖，已知⊙P的半徑為2，圓心P在拋物線y＝x2﹣1上運動，當⊙P與坐標軸相切時，圓心P的坐標可以是（，2）或（﹣，2）或（2，1）或（﹣2，1）．解：分兩種情況：（1）當⊙P與x軸相切時，依題意，可設P（x，2）或P（x，﹣2）．①當P的坐標是（x，2）時，將其代入y＝x2﹣1，得2＝x2﹣1，解得x＝±，此時P（，2）或（﹣，2）；②當P的坐標是（x，﹣2）時，將其代入y＝x2﹣1，得﹣2＝x2﹣1，無解．（2）當⊙P與y軸相切時，∵⊙P的半徑為2，∴當⊙P與y軸相切時，點P到y(tǒng)軸的距離為2，∴P點的橫坐標為2或﹣2，當x＝2時，代入y＝x2﹣1可得y＝1，當x＝﹣2時，代入y＝x2﹣1可得y＝1，∴點P的坐標為（2，1）或（﹣2，1），綜上所述，符合條件的點P的坐標是（，2）或（﹣，2）或（2，1）或（﹣2，1）；故答案為：（，2）或（﹣，2）或（2，1）或（﹣2，1）．2．如圖1，拋物線與x軸交于O、A兩點，點B為拋物線的頂點，連接OB．（1）求∠AOB的度數(shù)；（2）如圖2，以點A為圓心，4為半徑作⊙A，點M在⊙A上．連接OM、BM，①當△OBM是以OB為底的等腰三角形時，求點M的坐標；②如圖3，取OM的中點N，連接BN，當點M在⊙A上運動時，求線段BN長度的取值范圍．解：（1）令y＝0，則﹣2x＝0，解得：x＝0或8．∴A（8，0）．∴OA＝8．∵y＝﹣2x＝﹣4，∴B（4，﹣4）．過點B作BD⊥OA于點D，如圖，則OD＝4，BD＝4，∴OD＝BD，∴∠AOB＝∠OBD＝45°；（2）①設⊙A與x軸交于點C，則C（4，0）．連接BC，如圖，∵B（4，﹣4），∴BC⊥OA．∵CO＝CB＝4，∴△CBO是以OB為底的等腰三角形．∴點M與點C重合時，△MBO是以OB為底的等腰三角形．此時點M（4，0）；過點A作AM⊥x軸，交⊙A于點M，延長MA交⊙A于點E，連接BE，過點M作MF⊥y軸于點F，如圖，則M（8，4），E（8，﹣4），F(xiàn)（0，4）．∴MF＝ME＝8．∵B（4，﹣4），∴BE∥x軸．∴BE⊥ME，BE＝4．∴∠BEM＝∠MFO＝90°，BE＝OF＝4．在△MOF和△MBE中，，∴△MOF≌△MBE（SAS）．∴MO＝MB．∴△MBO是以OB為底的等腰三角形．此時點M（8，4）；綜上，當△OBM是以OB為底的等腰三角形時，點M的坐標為（4，0）或（8，4）；②設⊙A與x軸交于點C，則C（4，0）．連接BC，CN，AM，如圖，∵A（8，0），∴點C是OA的中點．∵N為OM的中點，∴CN是△OMA的中位線．∴CN＝AM＝2．當點M在⊙A上運動時，由三角形的三邊的關系定理可知：BC﹣CN≤BN≤BC+CN．∵BC＝4，∴4﹣2≤BN≤4+2．∴線段BN長度的取值范圍為：2≤BN≤6．3．如圖，拋物線y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左邊），與y軸交于點C，且OB＝OC．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖1，若點P是線段BC（不與B，C重合）上一動點，過點P作x軸的垂線交拋物線于M點，連接CM，將△PCM沿CM對折，如果點P的對應點N恰好落在y軸上，求此時點P的坐標；（3）如圖2，若第四象限有一動點E，滿足BE＝OB，過E作EF⊥x軸于點F，設F坐標為（t，0），0＜t＜3，△BEF的內心為I，連接CI，直接寫出CI的最小值．解：（1）在y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）中，令y＝0，得：ax2﹣2ax﹣3a＝0，解得：x1＝3，x2＝﹣1，∴A（﹣1，0），B（3，0），∴OB＝3，∵OB＝OC，∴OC＝3，∴C（0，﹣3），∴﹣3a＝﹣3，∴a＝1，∴拋物線解析式為：y＝x2﹣2x﹣3．（2）設直線BC解析式為y＝kx+b，∵B（3，0），C（0，﹣3），∴，解得：，∴直線BC解析式為：y＝x﹣3，設M點坐標為（m，m2﹣2m﹣3），∵PM⊥x軸，∴P（m，m﹣3），∴PM＝m﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+3m，∵OB＝OC，∠BOC＝90°，∴CB＝OB，∴CP＝m，∵△PCM沿CM對折，點P的對應點N恰好落在y軸上，∴∠PCM＝∠NCM，∵PM∥y軸，∴∠NCM＝∠PMC，∴∠PCM＝∠PMC，∴PC＝PM，∴m＝﹣m2+3m，整理得：m2+（﹣3）m＝0，解得：m1＝0（舍去），m2＝3﹣，∴當m＝3﹣時，m﹣3＝﹣，∴P（3﹣，﹣）．（3）如圖2，連接BI，OI，EI，作△OBI的外接圓⊙M，連接OM，BM，MI，CM，過M作MH⊥y軸于H，∵EF⊥x軸，∴∠BFE＝90°，∴∠FBE+∠FEB＝90°，∵△BEF的內心為I，∴BI，EI分別平分∠FBE，∠FEB，∴∠IBE＝∠FBE，∠IEB＝∠FEB，∴∠IBE+∠IEB＝（∠FBE+∠FEB）＝45°，∴∠BIE＝135°，在△BIO和△BIE中，，∴△BIO≌△BIE（SAS），∴∠BIO＝∠BIE＝135°，∵⊙M是△OBI的外接圓，∴∠OMB＝2×（180°﹣∠BIO）＝90°，∴OM＝BM＝OB＝，∴MI＝OM＝，∴∠MOB＝∠MOH＝45°，∵MH⊥y軸，∴∠HOM＝∠HMO＝45°，∴OH＝HM＝OM＝，∴CH＝OH+OC＝+3＝，∴CM＝＝，∵CI≥CM﹣MI，當且僅當C、M、I三點共線時，CI取得最小值，∴CI的最小值為﹣．4．已知拋物線y＝x2﹣（2m﹣1）x+4m﹣6．（1）試說明對于每一個實數(shù)m，拋物線都經(jīng)過x軸上的一個定點；（2）設拋物線與x軸的兩個交點A（x1，0）和B（x2，0）（x1＜x2）分別在原點的兩側，且A、B兩點間的距離小于6，求m的取值范圍；（3）拋物線的對稱軸與x軸交于點C，在（2）的條件下，試判斷是否存在m的值，使經(jīng)過點C及拋物線與x軸的一個交點的⊙M與y軸的正半軸相切于點D，且被x軸截得的劣弧與是等??？若存在，求出所有滿足條件的m的值；若不存在，說明理由．解：（1）由題意可知：y＝（x﹣2）（x﹣2m+3），因此拋物線與x軸的兩個交點坐標為：（2，0）（2m﹣3，0），因此無論m取何值，拋物線總與x軸交于（2，0）點；（2）令y＝0，有：x2﹣（2m﹣1）x+4m﹣6＝0，則：x1+x2＝2m﹣1，x1x2＝4m﹣6；∵AB＜6∴x2﹣x1＜6，即（x2﹣x1）2＜36，（x1+x2）2﹣4x1x2＜36，即（2m﹣1）2﹣4（4m﹣6）＜36，解得﹣＜x＜．①根據(jù)A、B分別在原點兩側可知：x1x2＜0，即4m﹣6＜0，m＜．②綜合①②可得﹣＜m＜；（3）假設存在這樣的m，設圓M與y軸的切點為D，過M作x軸的垂線設垂足為E．①當C點在x軸正半軸時，x＝＞0，因此＜m＜，∵弧BC＝弧CD，因此BC＝CD．OC＝，CD＝BC＝OB﹣OC＝2﹣＝，EC＝BC＝，OE＝MD＝OC+CE＝+＝．易知：OD＝ME，即OD2＝ME2∴CD2﹣OC2＝CM2﹣CE2，（）2﹣（）2＝（）2﹣（）2；解得m＝，符合m的取值范圍．②當C點在x軸負半軸時，x＝＜0，因此﹣＜m＜，同①可求得OC＝，CD＝AC＝，CE＝，MD＝OE＝．同理有：CD2﹣OC2＝MC2﹣CE2（）2﹣（）2＝（）2﹣（）2化簡得：m2＝，∴m＝±，均不符合m的取值范圍，因此這種情況不成立．綜上所述，存在符合條件的m，且m＝．5．已知拋物線y＝x2+mx﹣2m﹣4（m＞0）．（1）證明：該拋物線與x軸總有兩個不同的交點；（2）設該拋物線與x軸的兩個交點分別為A，B（點A在點B的右側），與y軸交于點C，A，B，C三點都在⊙P上．①試判斷：不論m取任何正數(shù)，⊙P是否經(jīng)過y軸上某個定點？若是，求出該定點的坐標；若不是，說明理由；②若點C關于直線x＝﹣的對稱點為點E，點D（0，1），連接BE，BD，DE，△BDE的周長記為l，⊙P的半徑記為r，求的值．解：（1）令y＝0，∴x2+mx﹣2m﹣4＝0，∴△＝m2﹣4[﹣2m﹣4]＝m2+8m+16，∵m＞0，∴Δ＞0，∴該拋物線與x軸總有兩個不同的交點；（2）令y＝0，∴x2+mx﹣2m﹣4＝0，∴（x﹣2）[x+（m+2）]＝0，∴x＝2或x＝﹣（m+2），∴A（2，0），B（﹣（m+2），0），∴OA＝2，OB＝m+2，令x＝0，∴y＝﹣2（m+2），∴C（0，﹣2（m+2）），∴OC＝2（m+2），①通過定點（0，1）理由：如圖，∵點A，B，C在⊙P上，∴∠OCB＝∠OAF，在Rt△BOC中，tan∠OCB＝＝＝，在Rt△AOF中，tan∠OAF＝＝＝，∴OF＝1，∴點F的坐標為（0，1）；②如圖1，由①知，點F（0，1），∵D（0，1），∴點D在⊙P上，∵點E是點C關于拋物線的對稱軸的對稱點，∴∠DCE＝90°，∵⊙P是△ABC的外接圓，∴點P在拋物線的對稱軸上，∴點E在⊙P上，∴DE是⊙P的直徑，∴∠DBE＝90°，∵∠BED＝∠OCB，∴tan∠BED＝，設BD＝n，在Rt△BDE中，tan∠BED＝＝＝，∴BE＝2n，根據(jù)勾股定理得，DE＝＝n，∴l(xiāng)＝BD+BE+DE＝（3+）n，r＝DE＝n，∴＝＝．6．如圖所示，在平面直角坐標系中，⊙C經(jīng)過坐標原點O，且與x軸，y軸分別相交于M（4，0），N（0，3）兩點．已知拋物線開口向上，與⊙C交于N，H，P三點，P為拋物線的頂點，拋物線的對稱軸經(jīng)過點C且垂直x軸于點D．（1）求線段CD的長及頂點P的坐標；（2）求拋物線的函數(shù)表達式；（3）設拋物線交x軸于A，B兩點，在拋物線上是否存在點Q，使得S四邊形OPMN＝8S△QAB，且△QAB∽△OBN成立？若存在，請求出Q點的坐標；若不存在，請說明理由．解：（1）如圖，連接OC，∵M（4，0），N（0，3），∴OM＝4，ON＝3，∴MN＝5，∴OC＝MN＝，∵CD為拋物線對稱軸，∴OD＝MD＝2，在Rt△OCD中，由勾股定理可得CD＝＝＝，∴PD＝PC﹣CD＝﹣＝1，∴P（2，﹣1）；（2）∵拋物線的頂點為P（2，﹣1），∴設拋物線的函數(shù)表達式為y＝a（x﹣2）2﹣1，∵拋物線過N（0，3），∴3＝a（0﹣2）2﹣1，解得a＝1，∴拋物線的函數(shù)表達式為y＝（x﹣2）2﹣1，即y＝x2﹣4x+3；（3）在y＝x2﹣4x+3中，令y＝0可得0＝x2﹣4x+3，解得x＝1或x＝3，∴A（1，0），B（3，0），∴AB＝3﹣1＝2，∵ON＝3，OM＝4，PD＝1，∴S四邊形OPMN＝S△OMP+S△OMN＝OM?PD+OM?ON＝×4×1+×4×3＝8＝8S△QAB，∴S△QAB＝1，設Q點縱坐標為y，則×2×|y|＝1，解得y＝1或y＝﹣1，當y＝1時，則△QAB為鈍角三角形，而△OBN為直角三角形，不合題意，舍去，當y＝﹣1時，可知P點即為所求的Q點，∵D為AB的中點，∴AD＝BD＝QD，∴△QAB為等腰直角三角形，∵ON＝OB＝3，∴△OBN為等腰直角三角形，∴△QAB∽△OBN，綜上可知存在滿足條件的點Q，其坐標為（2，﹣1）．7．如圖，已知二次函數(shù)的圖象頂點在原點，且點（2，1）在二次函數(shù)的圖象上，過點F（0，1）作x軸的平行線交二次函數(shù)的圖象于M、N兩點．（1）求二次函數(shù)的表達式；（2）P為平面內一點，當△PMN是等邊三角形時，求點P的坐標；（3）在二次函數(shù)的圖象上是否存在一點E，使得以點E為圓心的圓過點F和點N，且與直線y＝﹣1相切．若存在，求出點E的坐標，并求⊙E的半徑；若不存在，說明理由．解：（1）∵二次函數(shù)的圖象頂點在原點，故設二次函數(shù)表達式為：y＝ax2，將（2，1）代入上式并解得：a＝，故二次函數(shù)表達式為：y＝x2；（2）將y＝1代入y＝x2并解得：x＝±2，故點M、N的坐標分別為（﹣2，1）、（2，1），則MN＝4，∵△PMN是等邊三角形，∴點P在y軸上且PM＝4，∴PF＝2；∵點F（0，1），∴點P的坐標為（0，1+2）或（0，1﹣2）；（3）假設二次函數(shù)的圖象上存在一點E滿足條件，設點Q是FN的中點，則點Q（1，1），故點E在FN的中垂線上．∴點E是FN的中垂線與y＝x2圖象的交點，∴y＝×12＝，則點E（1，），EN＝＝，同理EF＝＝，點E到直線y＝﹣1的距離為|﹣（﹣1）|＝，故存在點E，使得以點E為圓心半徑為的圓過點F，N且與直線y＝﹣1相切．8．已知二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c+1，①當b＝1時，求這個二次函數(shù)的對稱軸的方程；②若c＝﹣b2﹣2b，問：b為何值時，二次函數(shù)的圖象與x軸相切？③若二次函數(shù)的圖象與x軸交于點A（x1，0），B（x2，0），且x1＜x2，b＞0，與y軸的正半軸交于點M，以AB為直徑的半圓恰好過點M，二次函數(shù)的對稱軸l與x軸、直線BM、直線AM分別交于點D、E、F，且滿足＝，求二次函數(shù)的表達式．解：①二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c+1的對稱軸為x＝，當b＝1時，＝，∴當b＝1時，求這個二次函數(shù)的對稱軸的方程為x＝．②二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c+1的頂點坐標為（，），∵二次函數(shù)的圖象與x軸相切且c＝﹣b2﹣2b，∴，解得：b＝，∴b為，二次函數(shù)的圖象與x軸相切．③∵AB是半圓的直徑，∴∠AMB＝90°，∴∠OAM+∠OBM＝90°，∵∠AOM＝∠MOB＝90°，∴∠OAM+∠OMA＝90°，∴∠OMA＝∠OBM，∴△OAM∽△OMB，∴，∴OM2＝OA?OB，∵二次函數(shù)的圖象與x軸交于點A（x1，0），B（x2，0），∴OA＝﹣x1，OB＝x2，x1+x2，＝b，x1?x2＝﹣（c+1），∵OM＝c+1，∴（c+1）2＝c+1，解得：c＝0或c＝﹣1（舍去），∴c＝0，OM＝1，∵二次函數(shù)的對稱軸l與x軸、直線BM、直線AM分別交于點D、E、F，且滿足＝，∴AD＝BD，DF＝4DE，DF∥OM，∴△BDE∽△BOM，△AOM∽△ADF，∴，，∴DE＝，DF＝，∴×4，∴OB＝4OA，即x2＝﹣4x1，∵x1?x2＝﹣（c+1）＝﹣1，∴，解得：，∴b＝﹣+2＝，∴二次函數(shù)的表達式為y＝﹣x2+x+1．9．已知拋物線y＝ax2+bx+c過點A（0，2）．若該拋物線上任意不同兩點M（x1，y1），N（x2，y2）都滿足；當x1＜x2＜0時，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0；當0＜x1＜x2時，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0．以原點O為圓心，OA為半徑的圓與拋物線的另兩個交點為B，C，且△ABC有一個內角為60°．①求拋物線的解析式；②若點P與點O關于點A對稱，且O，M，N三點共線，求證：PA平分∠MPN．解：①當x1＜x2＜0時，x1﹣x2＜0，∵（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0，∴y1﹣y2＜0，∴當x＜0時，y隨x的增大而增大，當0＜x1＜x2時，x1﹣x2＜0，∵（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0，∴y1﹣y2＞0，∴當x＞0時，y隨x的增大而減?。鄴佄锞€關于y軸對稱，∴b＝0，∵拋物線y＝ax2+bx+c過點A（0，2），∴c＝2，如圖，連接OB、OC，設BC交y軸于點D．由對稱性可知，△ABC為等腰三角形，又∵△ABC有一個內角為60°，∴△ABC是等邊三角形，∴OD＝OA＝1，CD＝OD＝，∴B（﹣，﹣1），C（，﹣1），將C點坐標代入y＝ax2+2可求得a＝﹣1，∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+2．②設直線OM的解析式為y＝k1x，∵O、M、N三點共線，∴x1≠0，x2≠0，且＝，化為x1﹣x2＝，∵x1≠x2，∴x1x2＝﹣2，∴，∴，設點N關于y軸的對稱點為N'，則N'的坐標為，∵點P是點O關于點A的對稱點，∴OP﹣2OA＝4，即點P的坐標為（0，4），設直線PM的解析式為y＝k2x+4，∵點M的坐標為，∴，∴，∴直線PM的解析式為x+4．∵，即N'在直線PM上，∴PA平分∠MPN．10．如圖，在平面直角坐標系xOy中，O為坐標原點，點A（4，0），點B（0，4），△ABO的中線AC與y軸交于點C，且⊙M經(jīng)過O，A，C三點．（1）求圓心M的坐標；（2）若直線AD與⊙M相切于點A，交y軸于點D，求直線AD的函數(shù)表達式；（3）在（2）的條件下，在過點B且以圓心M為頂點的拋物線上有一動點P，過點P作PE∥y軸，交直線AD于點E．若以PE為半徑的⊙P與直線AD相交于另一點F．當EF＝4時，求點P的坐標．解：（1）點B（0，4），則點C（0，2），∵點A（4，0），則點M（2，1）；（2）應該是圓M與直線AD相切，則∠CAD＝90°，設：∠CAO＝α，則∠CAO＝∠ODA＝∠PEH＝α，tan∠CAO＝＝＝tanα，則sinα＝，cosα＝，AC＝，則CD＝＝10，則點D（0，﹣8），將點A、D的坐標代入一次函數(shù)表達式：y＝mx+n并解得：直線AD的表達式為：y＝2x﹣8；（3）拋物線的表達式為：y＝a（x﹣2）2+1，將點B坐標代入上式并解得：a＝，故拋物線的表達式為：y＝x2﹣3x+4，過點P作PH⊥EF，則EH＝EF＝2，cos∠PEH＝，解得：PE＝5，設點P（x，x2﹣3x+4），則點E（x，2x﹣8），則PE＝x2﹣3x+4﹣2x+8＝5，解得x＝或2，則點P（，）或（2，1）．11．如圖，拋物線y＝ax2+6ax（a為常數(shù)，a＞0）與x軸交于O，A兩點，點B為拋物線的頂點，點D的坐標為（t，0）（﹣3＜t＜0），連接BD并延長與過O，A，B三點的⊙P相交于點C．（1）求點A的坐標；（2）過點C作⊙P的切線CE交x軸于點E．①如圖1，求證：CE＝DE；②如圖2，連接AC，BE，BO，當a＝，∠CAE＝∠OBE時，求﹣的值．解：（1）令ax2+6ax＝0，ax（x+6）＝0，∴A（﹣6，0）；（2）①證明：如圖，連接PC，連接PB，延長交x軸于點M，∵⊙P過O、A、B三點，B為頂點，∴PM⊥OA，∠PBC+∠BDM＝90°，又∵PC＝PB，∴∠PCB＝∠PBC，∵CE為切線，∴∠PCB+∠ECD＝90°，又∵∠BDM＝∠CDE，∴∠ECD＝∠CDE，∴CE＝DE．②解：設OE＝m，點D的坐標為（t，0），∵∠CAE＝∠CBO，∠CAE＝∠OBE，∴∠CBO＝∠EBO，由角平分線成比例定理可得：，即：，∴，∴，∴，＝，＝．12．拋物線y＝﹣x2+x﹣1與x軸交于點A，B（點A在點B的左側），與y軸交于點C，其頂點為D．將拋物線位于直線l：y＝t（t＜）上方的部分沿直線l向下翻折，拋物線剩余部分與翻折后所得圖形組成一個“M”形的新圖象．（1）點B，D的坐標分別為（3，0），（，）；（2）如圖①，拋物線翻折后，點D落在點E處，當點E在△ABC內（含邊界）時，求t的取值范圍；（3）如圖②，當t＝0時，點Q是“M”形新圖象上一動點．①直接寫出“M”形圖象AB段的函數(shù)關系式；②是否存在以CQ為直徑的圓與x軸相切于點P？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．解：（1）令y＝0，則﹣x2+x﹣1＝0，解得x＝3或x＝，∴B（3，0），A（，0），令x＝0，則y＝﹣1，∴C（0，﹣1），∵y＝﹣x2+x﹣1＝﹣（x﹣）2+，∴頂點D（，），故答案為：（3，0），（，）；（2）∵E與D關于直線y＝t對稱，∴E（，2t﹣），設直線BC的解析式為y＝kx+b，將B（3，0），C（0，﹣1）代入，得，∴，∴y＝x﹣1，當x＝時，y＝﹣，∵E點在△ABC內（含邊界），∴2t﹣≥﹣，∴t≥，∵2t﹣≤0，∴t≤，∵t＜，∴t的取值范圍是≤t≤；（3）①當t＝0時，y＝﹣x2+x﹣1關于x軸對稱的函數(shù)為y＝x2﹣x+1，∴“M”形圖象AB段的函數(shù)關系式為y＝x2﹣x+1（≤x≤3）；②存在點P，理由如下：設Q點的橫坐標為m，∵以CQ為直徑的圓與x軸相切于點P，∴P點的橫坐標為m，當m＞3或m＜時，Q（m，﹣m2+m﹣1），∵△CPQ為直角三角形，∴CQ2＝CP2+PQ2，即m2+（﹣m2+m）2＝m2+1+m2+（﹣m2+m﹣1）2，解得m＝或m＝，∴P（，0）或P（，0）；當≤m≤3時，Q（m，m2﹣m+1），∵△CPQ為直角三角形，∴CQ2＝CP2+PQ2，即m2+（m2﹣m+2）2＝m2+1+m2+（m2﹣m+1）2，解得m＝2或m＝，∴P（，0）或P（1，0）；綜上所述：存在以CQ為直徑的圓與x軸相切于點P，P點坐標為（，0）或（，0）或（，0）或P（1，0）．13．已知拋物線y＝ax2+bx+c過點A（0，2）．（1）若點（﹣，0）也在該拋物線上，求a，b滿足的關系式；（2）若該拋物線上任意不同兩點M（x1，y1），N（x2，y2）都滿足：當x1＜x2＜0時，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0；當0＜x1＜x2時，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0．以原點O為心，OA為半徑的圓與拋物線的另兩個交點為B，C，且△ABC有一個內角為60°．①求拋物線的解析式；②若點P與點O關于點A對稱，且O，M，N三點共線，求證：PA平分∠MPN．解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx+c過點A（0，2），∴c＝2．又∵點（﹣，0）也在該拋物線上，∴a（﹣）2+b（﹣）+c＝0，∴2a﹣b+2＝0（a≠0）．（2）①∵當x1＜x2＜0時，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0，∴x1﹣x2＜0，y1﹣y2＜0，∴當x＜0時，y隨x的增大而增大；同理：當x＞0時，y隨x的增大而減小，∴拋物線的對稱軸為y軸，開口向下，∴b＝0．∵OA為半徑的圓與拋物線的另兩個交點為B、C，∴△ABC為等腰三角形，又∵△ABC有一個內角為60°，∴△ABC為等邊三角形．設線段BC與y軸交于點D，則BD＝CD，且∠OCD＝30°，又∵OB＝OC＝OA＝2，∴CD＝OC?cos30°＝，OD＝OC?sin30°＝1．不妨設點C在y軸右側，則點C的坐標為（，﹣1）．∵點C在拋物線上，且c＝2，b＝0，∴3a+2＝﹣1，∴a＝﹣1，∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+2．②證明：由①可知，點M的坐標為（x1，﹣+2），點N的坐標為（x2，﹣+2）．直線OM的解析式為y＝k1x（k1≠0）．∵O、M、N三點共線，∴x1≠0，x2≠0，且＝，∴﹣x1+＝﹣x2+，∴x1﹣x2＝﹣，∴x1x2＝﹣2，即x2＝﹣，∴點N的坐標為（﹣，﹣+2）．設點N關于y軸的對稱點為點N′，則點N′的坐標為（，﹣+2）．∵點P是點O關于點A的對稱點，∴OP＝2OA＝4，∴點P的坐標為（0，4）．設直線PM的解析式為y＝k2x+4，∵點M的坐標為（x1，﹣+2），∴﹣+2＝k2x1+4，∴k2＝﹣，∴直線PM的解析式為y＝﹣x+4．∵﹣?+4＝＝﹣+2，∴點N′在直線PM上，∴PA平分∠MPN．14．如圖，已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+3（a≠0）的圖象經(jīng)過點A（3，0），B（4，1），且與y軸交于點C，連接AB、AC、BC．（1）求此二次函數(shù)的關系式；（2）判斷△ABC的形狀；若△ABC的外接圓記為⊙M，請直接寫出圓心M的坐標；（3）若將拋物線沿射線BA方向平移，平移后點A、B、C的對應點分別記為點A1、B1、C1，△A1B1C1的外接圓記為⊙M1，是否存在某個位置，使⊙M1經(jīng)過原點？若存在，求出此時拋物線的關系式；若不存在，請說明理由．解：（1）把點A（3，0），B（4，1）代入y＝ax2+bx+3中，，解得：，所以所求函數(shù)關系式為：y＝x2﹣x+3；（2）△ABC是直角三角形，過點B作BD⊥x軸于點D，易知點C坐標為：（0，3），所以OA＝OC，所以∠OAC＝45°，又∵點B坐標為：（4，1），∴AD＝BD，∴∠DAB＝45°，∴∠BAC＝180°﹣45°﹣45°＝90°，∴△ABC是直角三角形，圓心M的坐標為：（2，2）；（3）存在取BC的中點M，過點M作ME⊥y軸于點E，∵M的坐標為：（2，2），∴MC＝＝，OM＝2，∴∠MOA＝45°，又∵∠BAD＝45°，∴OM∥AB，∴要使拋物線沿射線BA方向平移，且使⊙M1經(jīng)過原點，則平移的長度為：2﹣或2+；∵∠BAD＝45°，∴拋物線的頂點向左、向下均分別平移＝個單位長度或＝個單位長度，∵y＝x2﹣x+3＝（x﹣）2﹣，∴平移后拋物線的關系式為：y＝（x﹣+）2﹣﹣，即y＝（x﹣）2﹣，或y＝（x﹣+）2﹣﹣，即y＝（x﹣）2﹣．綜上所述，存在一個位置，使⊙M1經(jīng)過原點，此時拋物線的關系式為：y＝（x﹣）2﹣或y＝（x﹣）2﹣．15．已知拋物線C1：y＝ax2過點（2，2）（1）直接寫出拋物線的解析式y(tǒng)＝x2；（2）如圖，△ABC的三個頂點都在拋物線C1上，且邊AC所在的直線解析式為y＝x+b，若AC邊上的中線BD平行于y軸，求的值；（3）如圖，點P的坐標為（0，2），點Q為拋物線上C1上一動點，以PQ為直徑作⊙M，直線y＝t與⊙M相交于H、K兩點是否存在實數(shù)t，使得HK的長度為定值？若存在，求出HK的長度；若不存在，請說明理由．解：（1）把點（2，2）坐標代入y＝ax2，解得：a＝，∴拋物線的解析式為y＝x2；（2）把y＝x+b和y＝x2得：x2﹣2x﹣2b＝0，設A、C兩點的坐標為（x1，y1）、（x2，y2），則：x1+x2＝2，x1?x2＝﹣2b，點D坐標為（，），即；D（1，1+b），B坐標為（1，），AC2＝[（x2﹣x1）]2＝16b+8，BD＝+b，∴＝16；（3）設點Q坐標為（a，a2），點P的坐標為（0，2），由P、Q坐標得點M的坐標為（，a2+1），設圓的半徑為r，由P（0，2）、M兩點坐標可以求出r2＝+（a2﹣1）2＝a4﹣a2+1，設點M到直線y＝t的距離為d，則d2＝（a2+1﹣t）2＝a4+a2+1+t2﹣2t﹣a2t，則HK＝2＝2，當t﹣＝0時，HK為常數(shù)，t＝，HK＝．16．定義：平面直角坐標系xOy中，過二次函數(shù)圖象與坐標軸交點的圓，稱為該二次函數(shù)的坐標圓．（1）已知點P（2，2），以P為圓心，為半徑作圓．請判斷⊙P是不是二次函數(shù)y＝x2﹣4x+3的坐標圓，并說明理由；（2）如圖1，已知二次函數(shù)y＝x2﹣4x+4圖象的頂點為A，坐標圓的圓心為P，求△POA周長的最小值；（3）如圖2，已知二次函數(shù)y＝ax2﹣4x+4（0＜a＜1）圖象交x軸于點A，B，交y軸于點C，與坐標圓的第四個交點為D，連結PC，PD．若∠CPD＝120°，求a的值．解：（1）對于二次函數(shù)y＝x2﹣4x+3，當x＝0時，y＝3；當y＝0時，解得x＝1或x＝3，∴二次函數(shù)圖象與x軸交點為A（1，0），B（3，0），與y軸交點為C（0，3），∵點P（2，2），∴PA＝PB＝PC＝，∴⊙P是二次函數(shù)y＝x2﹣4x+3的坐標圓．（2）如圖1，連接PH，∵二次函數(shù)y＝x2﹣4x+4圖象的頂點為A，坐標圓的圓心為P，∴A（2，0），與y軸的交點H（0，4），∴△POA周長＝PO+PA+OA＝PO+PH+2≥OH+2＝6，∴△POA周長的最小值為6．（3）如圖2，連接CD，PA，設二次函數(shù)y＝ax2﹣4x+4圖象的對稱軸l與CD交于點E，與x軸交于點F，由對稱性知，對稱軸l經(jīng)過點P，且l⊥CD，∵AB＝，∴AF＝BF＝，∵∠CPD＝120°，PC＝PD，C（0，4），∴∠PCD＝∠PDC＝30°，設PE＝m，則PA＝PC＝2m，CE＝m，PF＝4﹣m，∵二次函數(shù)y＝ax2﹣4x+4圖象的對稱軸l為，∴，即，在Rt△PAF中，PA2＝PF2+AF2，∴，即，化簡，得，解得，∴．17．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝x2﹣bx﹣c交x軸于點A，B，點B的坐標為（4，0），與y軸于交于點C（0，﹣2）．（1）求此拋物線的解析式；（2）在拋物線上取點D，若點D的橫坐標為5，求點D的坐標及∠ADB的度數(shù)；（3）在（2）的條件下，設拋物線對稱軸l交x軸于點H，△ABD的外接圓圓心為M（如圖1），過點B作⊙M的切線交于點P（如圖2），設Q為⊙M上一動點，則在點運動過程中的值是否變化？若不變，求出其值；若變化，請說明理由．解：（1）將點B、C的坐標代入拋物線表達式得：，解得：，∴拋物線的解析式為y＝x2﹣x﹣2；（2）當x＝5時，y＝x2﹣x﹣2＝3，故D的坐標為（5，3），令y＝0，則x＝4（舍去）或﹣1，故點A（﹣1，0），如圖，連接BD，作BN⊥AD于N，∵A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣2），∴AD＝3，BD＝，AB＝5，∵S△ABD＝＝，∴BN＝，∴sin∠BDN＝＝＝，∴∠BDN＝45°，∴∠ADB＝∠BDN＝45°；（3）不變．如圖，連接MQ，MB，∵過點B作⊙M的切線交1于點P，∴∠MBP＝90°，∵∠MBO＝45°，∴∠PBH＝45°，∴PH＝HB＝2.5，∵＝＝，＝＝，∵∠HMQ＝∠QMP，∴△HMQ∽△QMP，∴＝＝，∴在點Q運動過程中的值不變，其值為．18．如圖，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0），與x軸交于A（4，0）、O兩點，點D（2，﹣2）為拋物線的頂點．（1）求該拋物線的解析式；（2）點E為AO的中點，以點E為圓心、以1為半徑作⊙E，交x軸于B、C兩點，點M為⊙E上一點．①射線BM交拋物線于點P，設點P的橫坐標為m，當tan∠MBC＝2時，求m的值；②如圖2，連接OM，取OM的中點N，連接DN，則線段DN的長度是否存在最大值或最小值？若存在，請求出DN的最值；若不存在，請說明理由．解：（1）由拋物線頂點式表達式得：y＝a（x﹣2）2﹣2，將點A的坐標代入上式并解得：a＝，故拋物線的表達式為：y＝（x﹣2）2﹣2＝x2﹣2x①；（2）①點E是OA的中點，則點E（2，0），圓的半徑為1，則點B（1，0），當點P在x軸下方時，如圖1，∵tan∠MBC＝2，故設直線BP的表達式為：y＝﹣2x+s，將點B（1，0）的坐標代入上式并解得：s＝2，故直線BP的表達式為：y＝﹣2x+2②，聯(lián)立①②并解得：x＝±2（舍去﹣2），故m＝2；當點P在x軸上方時，同理可得：m＝4±2（舍去4﹣2）；故m＝2或4+2；②存在，理由：連接BN、BD、EM，則BN是△OEM的中位線，故BN＝EM＝，而BD＝＝，在△BND中，BD﹣BN≤ND≤BD+BN，即﹣0.5≤ND≤+0.5，故線段DN的長度最小值和最大值分別為﹣0.5和+0.5．19．如圖，在平面直角坐標系上，一條拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）經(jīng)過A（1，0）、B（3，0）、C（0，3）三點，連接BC并延長．（1）求拋物線的解析式；（2）點M是直線BC在第一象限部分上的一個動點，過M作MN∥y軸交拋物線于點N．1°求線段MN的最大值；2°當MN取最大值時，在線段MN右側的拋物線上有一個動點P，連接PM、PN，當△PMN的外接圓圓心Q在△PMN的邊上時，求點P的坐標．解：（1）把A、B、C三點的坐標代入拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）中，得，解得，，∴拋物線的解析式為：y＝x2﹣4x+3；（2）1°設直線BC的解析式為y＝mx+n（m≠0），則，解得，，∴直線BC的解析式為：y＝﹣x+3，設M（t，﹣t+3）（0＜t＜3），則N（t，t2﹣4t+3），∴MN＝﹣t2+3t＝﹣，∴當t＝時，MN的值最大，其最大值為；2°∵△PMN的外接圓圓心Q在△PMN的邊上，∴△PMN為直角三角形，由1°知，當MN取最大值時，M（），N（），①當∠PMN＝90°時，PM∥x軸，則P點與M點的縱坐標相等，∴P點的縱坐標為，當y＝時，y＝x2﹣4x+3＝，解得，x＝，或x＝（舍去），∴P（）；②當∠PNM＝90°時，PN∥x軸，則P點與N點的縱坐標相等，∴P點的縱坐標為﹣，當y＝﹣時，y＝x2﹣4x+3＝﹣，解得，x＝，或x＝（舍去），∴P（，）；③當∠MPN＝90°時，則MN為△PMN的外接圓的直徑，∴△PMN的外接圓的圓心Q為MN的中點，∴Q（），半徑為，過Q作QK∥x軸，與在MN右邊的拋物線圖象交于點K，如圖②，令y＝，得y＝x2﹣4x+3＝，解得，x＝＜（舍），或x＝，∴K（，），∴QK＝＞，即K點在以MN為直徑的⊙Q外，設拋物線y＝x2﹣4x+3的頂點為點L，則l（2，﹣1），連接LK，如圖②，則L到QK的距離為，LK＝，設Q點到LK的距離為h，則，∴＝，∴直線LK下方的拋物線與⊙Q沒有公共點，∵拋物線中NL部分（除N點外）在過N點與x軸平行的直線下方，∴拋物線中NL部分（除N點外）與⊙Q沒有公共點，∵拋物線K點右邊部分，在過K點與y軸平行的直線的右邊，∴拋物線K點右邊部分與⊙Q沒有公共點，綜上，⊙Q與MN右邊的拋物線沒有交點，∴在線段MN右側的拋物線上不存在點P，使△PMN的外接圓圓心Q在MN邊上；綜上，點P的坐標為（）或（）．20．如圖1，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸分別相交于A、B兩點，與y軸相交于點C，下表給出了這條拋物線上部分點（x，y）的坐標值：x…﹣10123…y…03430…（1）求出這條拋物線的解析式；（2）如圖1，直線y＝kx+1（k＜0）與拋物線交于P，Q兩點，交拋物線的對稱軸于點T，若△QMT的面積是△PMT面積的兩倍，求k的值；（3）如圖2，點D是第四象限內拋物線上一動點，過點D作DF⊥x軸，垂足為F，△ABD的外接圓與DF相交于點E．試問：線段EF的長是否為定值？如果是，請求出這個定值；如果不是，請說明理由．解：（1）根據(jù)表格可得出A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），設拋物線解析式為y＝a（x+1）（x﹣3），將C（0，3）代入，得：3＝a（0+1）（0﹣3），解得：a＝﹣1，∴y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3，∴該拋物線解析式為y＝﹣x2+2x+3；（2）設P（x1，y1），Q（x2，y2），令y＝kx+1＝﹣x2+2x+3，整理得：x2+（k﹣2）x﹣2＝0，∴x1+x2＝2﹣k，x1x2＝﹣2①，∵△QMT的面積是△PMT面積的兩倍，∴MT?（x2﹣1）＝2×MT?（1﹣x1），∴2x1+x2＝3，即x2＝3﹣2x1②，將②代入①得：2x12﹣3x1﹣2＝0，解得：x1＝2或，∴或，∴k＝1或，∵