河北省衡水市武強(qiáng)中學(xué)2025屆高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題 含解析

武強(qiáng)中學(xué)2024-2025學(xué)年度上學(xué)期期中考試高三數(shù)學(xué)試題一?單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）1.已知全集，集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求出集合B，再集合交集的概念求解可得答案.【詳解】由題意得，又因?yàn)?，所以，所以，故選：C.2.若角為第二象限角，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系得到方程組，解得即可.【詳解】因?yàn)?，，又角為第二象限角，解?故選：B3.已知是關(guān)于x的方程的一個(gè)根，，則（）A.0 B.2 C.1 D.4【答案】D【解析】【分析】根據(jù)實(shí)系數(shù)一元二次方程根的性質(zhì)，結(jié)合一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)槭顷P(guān)于x的方程的一個(gè)根，，所以是關(guān)于x的方程的一個(gè)根，于是有，故選：D4.若，且，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用正弦差角公式結(jié)合弦切關(guān)系分別計(jì)算，再根據(jù)和角公式計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)?，又，即，則，所以，故.故選：D5.已知函數(shù)，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】求導(dǎo)，通過賦值逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】因?yàn)?，所以，則，所以，則，所以.故選：C6.若，使得成立是真命題，則實(shí)數(shù)的最大值為（）A. B. C.4 D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)題意先將問題等價(jià)轉(zhuǎn)化成在上恒成立，接著將恒成立問題轉(zhuǎn)化成最值問題，再結(jié)合基本不等式即可求解.【詳解】，使得成立是真命題，所以,恒成立.所以在上恒成立，所以，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號成立，所以，所以，即實(shí)數(shù)的最大值為.故選：B.7.已知圓關(guān)于直線對稱，則的最小值是（）A.2 B.3 C.6 D.4【答案】D【解析】【分析】轉(zhuǎn)化為直線過圓心即，再利用基本不等式可得答案.【詳解】因?yàn)閳A關(guān)于直線對稱，所以直線過圓心，即，則因?yàn)?，且，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)即等號成立，則的最小值是4.故選：D.8.若函數(shù)，在上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)性質(zhì)判斷上的單調(diào)性和值域，結(jié)合其區(qū)間單調(diào)性及分式型函數(shù)的性質(zhì)，討論參數(shù)確定參數(shù)范圍.【詳解】當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增且值域?yàn)椋谏蠁握{(diào)遞增，則在上單調(diào)遞增，且，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，滿足題設(shè)；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，此時(shí)只需，即；綜上，.故選：A二?多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，選對但不全的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.）9.設(shè)正實(shí)數(shù)滿足，則（）A.的最小值為 B.的最大值為C.的最大值為 D.的最小值為【答案】ABD【解析】分析】運(yùn)用基本不等式逐一運(yùn)算判斷即可.【詳解】對于A，因?yàn)檎龑?shí)數(shù)，滿足，所以，當(dāng)且僅當(dāng)且，即，時(shí)等號成立，故A正確；對于B，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，故B正確；對于C，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，所以的最大值為，故C錯(cuò)誤；對于D，由，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，故D正確.故選：ABD.10.已知函數(shù)的最小正周期為，則（）A.的最大值為2B.在上單調(diào)遞增C.的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱D.的圖象可由的圖象向右平移個(gè)單位得到【答案】ACD【解析】【分析】利用輔助角公式及周期公式可得函數(shù)解析式，根據(jù)三角函數(shù)的值域、單調(diào)性、對稱性及圖象變換一一判定選項(xiàng)即可.【詳解】易知，其最小正周期為，所以，即，顯然，故A正確；令，顯然區(qū)間不是區(qū)間的子區(qū)間，故B錯(cuò)誤；令，則是的一個(gè)對稱中心，故C正確；將的圖象向右平移個(gè)單位得到，故D正確.故選：ACD11.已知函數(shù)，則（

）A.是的極小值點(diǎn) B.有兩個(gè)極值點(diǎn)C.的極小值為 D.在上的最大值為【答案】BD【解析】【分析】對應(yīng)求導(dǎo)，根據(jù)其符號確定單調(diào)區(qū)間并判斷極值點(diǎn)、求極值判斷ABC；進(jìn)而求函數(shù)在上的最大值判斷D.【詳解】由題設(shè)，令，則或，令，則，所以、上遞增，上遞減，故為極大值，為極小值，A、C錯(cuò)誤，B正確；在上，在上遞減，在上遞增，而，所以在上的最大值為，D正確.故選：BD三?填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分.）12.已知曲線在點(diǎn)處的切線的傾斜角為,則的值為______.【答案】##【解析】【分析】對原函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo),代入得出切線斜率.曲線在處的切線傾斜角為可得出斜率.構(gòu)造關(guān)于的方程，解方程即可.【詳解】曲線的導(dǎo)數(shù),∵曲線在處的切線的傾斜角為,∴,∴,∴故答案為:.13.已知函數(shù)圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為，若在上是增函數(shù)，則正數(shù)m的取值范圍是_______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)正弦型函數(shù)對稱軸與周期的關(guān)系，結(jié)合正弦型函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為，所以，解得，即，因?yàn)樵谏鲜窃龊瘮?shù)，則，所以函數(shù)的增區(qū)間包含，令，得，所以，所以故的取值范圍為.故答案為：14.已知a、b、c分別為的三個(gè)內(nèi)角A、B、C的對邊，，且，則面積的最大值為______．【答案】【解析】【分析】先求出角的大小，由，考慮余弦定理建立的方程，再由基本不等式求的最大值.【詳解】解析：因?yàn)椋鶕?jù)正弦定理可知，即，由余弦定理可知，又，故，又因?yàn)椋?，（?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號），即所以，即面積的最大值為，故答案為：.四?解答題（本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.）15.在中，角的對邊分別為，面積為S，且.（1）求B；（2）若，，D為邊的中點(diǎn)，求的長.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用三角形面積公式及余弦定理計(jì)算即可；（2）利用余弦定理先求c，結(jié)合平面向量數(shù)量積公式及其運(yùn)算律計(jì)算即可【小問1詳解】由三角形面積公式及條件可知：，由余弦定理知，所以，因?yàn)椋?；【小?詳解】結(jié)合（1）的結(jié)論，根據(jù)余弦定理有，所以，易知，所以，即.16.設(shè)三角形的內(nèi)角、、的對邊分別為、、且．（1）求角的大?。唬?）若，邊上的高為，求三角形的周長．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用內(nèi)角和為化簡，利用二倍角公式化簡，再利用輔助角公式化簡即可求得；（2）由面積公式和余弦定理，聯(lián)立方程組求解三角形即可.【小問1詳解】因?yàn)?，，為的?nèi)角，所以，因?yàn)?，所以可化為：，即，即，因?yàn)椋獾茫?，即．【小?詳解】由三角形面積公式得，代入得：，所以，由余弦定理得：，解得：或舍去，即，所以周長為.17.已知函數(shù)．（1）若在R上單調(diào)遞減，求a的取值范圍；（2）若，判斷是否有最大值，若有，求出最大值；若沒有，請說明理由．【答案】（1）（2）有最大值，最大值為e【解析】【分析】（1）求導(dǎo)，得到恒成立，根據(jù)根的判別式得到不等式，求出a的取值范圍；（2）求導(dǎo)，得到函數(shù)單調(diào)性，從而求出函數(shù)的最大值.【小問1詳解】因?yàn)椋?，因?yàn)樵赗上單調(diào)遞減，所以恒成立，所以，，所以a的取值范圍是．【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，，，令，解得，令，解得，所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)，時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，又時(shí)，，所以有最大值，最大值e．18.已知函數(shù).（1）若曲線在處的切線與軸垂直，求的極值.（2）若在只有一個(gè)零點(diǎn)，求.【答案】（1）極小值，無極大值；（2）.【解析】【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，結(jié)合幾何意義求出，再分析單調(diào)性求出極值.（2）由函數(shù)零點(diǎn)的意義，等價(jià)變形得在只有一解，轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)圖象只有一個(gè)交點(diǎn)求解.【小問1詳解】函數(shù)的定義域?yàn)镽，求導(dǎo)得，，依題意，，則，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在處取得極小值，無極大值.【小問2詳解】函數(shù)在只有一個(gè)零點(diǎn)，等價(jià)于在只有一個(gè)零點(diǎn)，設(shè)，則函數(shù)在只有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)在只有一解，即在只有一解，于是曲線與直線只有一個(gè)公共點(diǎn)，令，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，函數(shù)在取得極小值同時(shí)也是最小值，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，畫山大致的圖象，如圖，在只有一個(gè)零點(diǎn)時(shí)，，所以在只有一個(gè)零點(diǎn)吋，.19.基本不等式是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，我們可以應(yīng)用其解決數(shù)學(xué)中的最值問題．（1）已知，R，證明；（2）已知，，，R，證明，并指出等號成立的條件；（3）已知，，，，證明：，并指出等號成立的條件.（4）應(yīng)用（2）（3）兩個(gè)結(jié)論解決以下兩個(gè)問題：①已知，證明：；②已知，，且，求的最小值.【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”（3）證明見解析，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”（4）①證明見解析；②.【解析】【分析】（1）由展開即可得結(jié)果；（2）根據(jù)題意結(jié)合（1）中結(jié)論分析證明；（3）根據(jù)題意結(jié)合（1）中結(jié)論分析證明；（4）①根據(jù)題意結(jié)合（2）中結(jié)論分