第八章第八節(jié)利用空間向量研究夾角問題

第八節(jié)利用空間向量研究夾角問題課程標(biāo)準(zhǔn)能用向量方法解決點(diǎn)到直線、點(diǎn)到平面、相互平行的直線、相互平行的平面的距離問題和簡(jiǎn)單夾角問題,并能描述解決這一類問題的程序,體會(huì)向量方法在研究幾何問題中的作用.考情分析考點(diǎn)考法:高考題常以求線面角、二面角為載體,考查空間向量的應(yīng)用.與二面角相關(guān)的問題是高考的熱點(diǎn),主要出現(xiàn)在解答題中.核心素養(yǎng):直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理.【必備知識(shí)·逐點(diǎn)夯實(shí)】【知識(shí)梳理·歸納】1.異面直線所成角設(shè)a,b分別是兩異面直線l1,l2的方向向量,則項(xiàng)目a與b的夾角βl1與l2所成的角θ范圍__(0,π)__

(0,π2]求法__cosβ=a·cosθ=|cosβ|=|【微點(diǎn)撥】異面直線方向向量夾角的余弦值可能為負(fù)值,異面直線所成角的余弦值一定為非負(fù)值.2.直線與平面所成的角(1)范圍:

[0,π2]__(2)向量求法:設(shè)直線AB的方向向量為u,平面α的法向量為n,直線AB與平面α所成的角為θ,則sinθ=__|cos<u,n>|__=

|u·【微點(diǎn)撥】不平行于平面的直線與平面所成的角為銳角或直角,其正弦值等于直線的方向向量與平面的法向量所成角的余弦值的絕對(duì)值.3.平面與平面的夾角(1)定義:平面α與平面β相交,形成四個(gè)二面角,我們把這四個(gè)二面角中不大于90°的二面角稱為平面α與平面β的夾角;(2)求法:設(shè)n1,n2分別是兩平面α,β的法向量,α,β的夾角為θ,則cosθ=__|cos<n1,n2>|__=|n4.二面角的大小(1)如圖①,AB,CD是二面角αlβ的兩個(gè)面內(nèi)與棱l垂直的直線,則二面角的大小θ=__<AB,CD>__.

(2)如圖②③,n1,n2分別是二面角αlβ的兩個(gè)半平面α,β的法向量,則二面角的大小θ滿足|cosθ|=__|cos<n1,n2>|__.

【微點(diǎn)撥】在空間幾何體的直觀圖中,有時(shí)不容易直觀確定二面角的大小,若條件中未明確給出,一般以銳二面角為主.【基礎(chǔ)小題·自測(cè)】類型辨析改編易錯(cuò)題號(hào)12,341.(多維辨析)(多選題)下列說法正確的是()A.兩直線的方向向量所成的角就是兩條直線所成的角B.直線的方向向量和平面的法向量所成的角就是直線與平面所成的角C.兩異面直線所成角的范圍是0,π2D.直線的方向向量為u,平面的法向量為n,則線面角θ滿足sinθ=cos<【解析】選CD.直線的方向向量與平面的法向量所成的角不一定就是相應(yīng)的線線角、線面角,故A,B錯(cuò)誤;C,D正確.2.(選擇性必修一P38練習(xí)T4·變形式)已知直線l1的方向向量s1=(1,0,1)與直線l2的方向向量s2=(1,2,2),則直線l1和l2所成角的余弦值為()A.24 B.12 C.22 【解析】選C.因?yàn)閟1=(1,0,1),s2=(1,2,2),所以cos<s1,s2>=s1·s2|所以直線l1和l2所成角的余弦值為223.(選擇性必修一P37例8變形式)平面α的一個(gè)法向量為m=(1,2,2),平面β的一個(gè)法向量為n=(2,2,1),則平面α與平面β夾角的正切值為()A.49 B.94 C.46565【解析】選D.設(shè)平面α與平面β的夾角為θ0≤θ則cosθ=|cos<m,n>|=|m·n則sinθ=1-cos2θ所以tanθ=659494.(漏情況)在一個(gè)二面角的兩個(gè)半平面上,與二面角的棱垂直的兩個(gè)向量分別為(0,1,3),(2,2,4),則這個(gè)二面角的余弦值為()A.156 B.C.153 D.156【解析】選D.因?yàn)樵谝粋€(gè)二面角的兩個(gè)面內(nèi)都和二面角的棱垂直的兩個(gè)向量分別為(0,1,3),(2,2,4),則(0,-1所以這個(gè)二面角的余弦值為156或15【核心考點(diǎn)·分類突破】考點(diǎn)一異面直線所成的角[例1](1)如圖,已知圓錐CO的截面△ABC是正三角形,AB是底面圓O的直徑,點(diǎn)D在AB上,且∠AOD=2∠BOD,則異面直線AD與BC所成角的余弦值為()A.34 B.12 C.14 【解析】選A.因?yàn)椤螦OD=2∠BOD,且∠AOD+∠BOD=π,所以∠BOD=π3連接CO,則CO⊥平面ABD,以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),OB,OC所在直線分別為y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,設(shè)圓O的半徑為2,則A(0,2,0),B(0,2,0),C(0,0,23),D(3,1,0),AD=(3,3,0),BC=(0,2,23),設(shè)異面直線AD與BC所成的角為θ,則cosθ=|cos<AD,BC>|=|AD·BC||所以異面直線AD與BC所成角的余弦值為34(2)如圖所示,在三棱柱ABCA1B1C1中,AA1⊥底面ABC,AB=BC=AA1,∠ABC=90°,點(diǎn)E,F分別是棱AB,BB1的中點(diǎn),則直線EF和BC1所成的角為______.

【解析】分別以直線BA,BC,BB1為x,y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系(如圖).設(shè)AB=1,則B(0,0,0),E(12,0,0),F(0,0,12),C所以EF=(12,0,12),B于是cos<BC1,EF>=BC1·所以直線EF和BC1所成的角為60°.答案:60°【解題技法】利用空間向量求兩異面直線所成角的步驟(1)建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系.(2)求出兩條異面直線的方向向量的坐標(biāo).(3)利用向量的夾角公式求出兩直線方向向量的夾角.(4)結(jié)合異面直線所成角的范圍得到兩異面直線所成角.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】如圖,圓柱的軸截面為矩形ABCD,點(diǎn)M,N分別在上、下底面圓上,NB=2AN,CM=2MD,AB=2,BC=3,則異面直線AM與CN所成角的余弦值為()A.33010 C.35 D.【解析】選D.因?yàn)镹B=2AN,CM=2MD,AB為下底面圓直徑,AB=2,所以AN=1,NB=3.連接MN,由已知條件,得MN為圓柱的一條母線,以N為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以直線NB,NA,NM為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Nxyz,則N(0,0,0),A(0,1,0),M(0,0,3),C(3,0,3),所以AM=(0,1,3),NC=(3,0,3),則cos<AM,NC>=910×12所以異面直線AM與CN所成角的余弦值為330考點(diǎn)二直線與平面所成的角[例2](1)在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中,已知異面直線A1C與AD,A1C與AB所成角的大小分別為60°和45°,則直線B1D和平面A1BC所成的角的余弦值為()A.33 B.12 C.32 【解析】選A.設(shè)AD=1,AB=a,AA1=c,則A1C=a2由于AD∥BC,所以異面直線A1C與AD所成角為∠A1CB=60°,從而A1C=2,由于AB∥CD,所以異面直線A1C與AB所成角為∠A1CD=45°,從而A1C=2a,所以c=1,a=2,以D為原點(diǎn),分別以DA,DC,DD1所在直線為x,y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,則D(0,0,0),A1(1,0,1),B(1,2,0),C(0,2,0),B1(1,2,1),B1D=(1,2,1),A1B=(0,2,設(shè)平面A1BC的法向量為n=(x,y,z),則n·A1B=2所以直線B1D和平面A1BC所成的角的正弦值為|n·B1D從而直線B1D和平面A1BC所成的角的余弦值為33(2)(2023·江門模擬)如圖所示,在四棱錐PABCD中,底面ABCD是菱形,O是AD的中點(diǎn),點(diǎn)E在PC上,且AP∥平面BOE.①求PEPC的值②若PO⊥平面ABCD,OE⊥PC,AB=2,∠BAD=60°,求直線OE與平面PBC所成角的正弦值.【解析】①連接AC與BO交于點(diǎn)F,連接EF,因?yàn)榈酌鍭BCD是菱形,O是AD的中點(diǎn),所以AO∥BC,且AO=12BC所以AF=12因?yàn)锳P∥平面BOE,AP?平面APC,平面APC∩平面BOE=EF,所以AP∥EF,所以AFFC=PEEC=12,所以PE②因?yàn)榈酌鍭BCD是菱形,O是AD的中點(diǎn),∠BAD=60°,所以BO⊥AD.因?yàn)镺P⊥平面ABCD,AD?平面ABCD,BO?平面ABCD,所以O(shè)P⊥AD,OP⊥BO,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Oxyz.則O(0,0,0),A(1,0,0),B(0,3,0),C(2,3,0).設(shè)P(0,0,h),h>0,則PC=(2,3,h),所以O(shè)E=OP+PE=OP+13PC=因?yàn)镺E⊥PC,所以O(shè)E·PC=43+12解得h=142所以O(shè)E=-23,3PB=0,設(shè)n=(x,y,z)為平面PBC的法向量,則n·BC=0n取z=23,所以n=(0,14,23)為平面PBC的一個(gè)法向量.因?yàn)閨cos<n,OE>|=3=31313,所以直線OE與平面PBC所成角的正弦值是【解題技法】利用平面的法向量求直線與平面夾角的基本步驟(1)建立空間直角坐標(biāo)系;(2)求直線的方向向量m;(3)求平面的法向量n;(4)設(shè)線面角為θ,則sinθ=|m【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】(2023·東城區(qū)模擬)在四棱錐PABCD中,底面ABCD為直角梯形,BC∥AD,∠ADC=90°,BC=CD=12AD=1,E為線段AD的中點(diǎn),PE⊥底面ABCD,點(diǎn)F是棱PC的中點(diǎn),平面BEF與棱PD相交于點(diǎn)(1)求證:BE∥FG;(2)若PC與AB所成的角為π4,求直線PB與平面BEF所成角的正弦值【解析】(1)因?yàn)镋為線段AD的中點(diǎn),且BC=12AD,所以DE=BC又因?yàn)锳D∥BC,所以DE∥BC,所以四邊形BCDE為平行四邊形,得BE∥CD,因?yàn)镃D?平面PDC,BE?平面PDC,所以BE∥平面PDC,因?yàn)锽E?平面BEGF,平面BEGF∩平面PDC=FG,所以BE∥GF;(2)由(1)可得,BE∥CD,因?yàn)椤螦DC=90°,所以AEB=90°,且PE⊥平面ABCD,所以以E為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以EA,EB,EP所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示,設(shè)P(0,0,p),A(1,0,0),B(0,1,0),C(1,1,0),PC=(1,1,p),AB=(1,1,0),因?yàn)镻C與AB所成的角為π4所以|cos<PC,AB>|=|PC·AB||解得p=2.則P(0,0,2),F-12,1PB=(0,1,2),EB=(0,1,0),EF=(12,12,設(shè)平面BEF的一個(gè)法向量為n=(x,y,z).所以n·取z=1,得n=(2,0,1).PB·n=2.設(shè)直線PB與平面BEF所成角為α,則sinα=|cos<PB,n>|=|PB·n即直線PB與平面BEF所成角的正弦值為23考點(diǎn)三平面與平面所成的角(規(guī)范答題)[例3](12分)(2023·新高考Ⅰ卷)如圖,在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中,AB=2,AA1=4.點(diǎn)A2,B2,C2,D2分別在棱AA1,BB1,CC1,DD1上,AA2=1,BB2=DD2=2,CC2=3.(1)證明:B2C2∥A2D2;(2)點(diǎn)P在棱BB1上,當(dāng)二面角PA2C2D2為150°時(shí),求B2P.審題導(dǎo)思破題點(diǎn)·柳暗花明(1)路徑①:證明O是B2D2的中點(diǎn),又O是A2C2的中點(diǎn),所以A2,B2,C2,D2四點(diǎn)共面,并且構(gòu)成平行四邊形,因此B2C2∥A2D2路徑②:利用向量的基本運(yùn)算或建立空間直角坐標(biāo)系,求出A2,B2,C2,D2的坐標(biāo),進(jìn)而證明平行(2)路徑①:建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo),再求平面PA2C2和平面A2C2D2的法向量,通過法向量所成角的余弦值求得B2P的長(zhǎng)度路徑②:利用綜合幾何法,通過作輔助線找到二面角PA2C2D2的平面角,進(jìn)而求得B2P的長(zhǎng)度規(guī)范答題微敲點(diǎn)·水到渠成【解析】(1)解法1(幾何法):連接AC,A2B2,設(shè)A2C2,AC的中點(diǎn)分別為O,O1,連接BD,B2D2,O1O,由題設(shè)得,O1O是梯形AA2C2C的中位線,所以O(shè)1O=2. 1分由題設(shè)可得O1O∥BB2∥DD2,且O1O=BB2=DD2,又O1是BD的中點(diǎn),因此O是B2D2的中點(diǎn),2分故A2B2C2D2為平行四邊形, 3分所以B2C2∥A2D2. 4分關(guān)鍵點(diǎn)證明空間中兩條直線平行的關(guān)鍵是先證明這兩條直線確定了一個(gè)平面,再利用平面幾何中證明平行的定理加以論證即可.解法2(向量運(yùn)算):B2C2=B2B1+BA2D2=A2A+ADB2C2=A所以B2C2∥A2D2. 4分解法3(坐標(biāo)運(yùn)算):以C為坐標(biāo)原點(diǎn),CD,CB,CC1方向分別為x,y,z軸的正方向,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,如圖,則B2(0,2,2),C2(0,0,3),A2(2,2,1),D2(2,0,2),所以B2C2=(0,2,1),A2D所以B2C2=A所以B2C2因?yàn)锽2C2,A2D2不在同一條直線上,所以B2C2∥A2D2. 4分敲黑板本題考查線線平行的幾何證明方法,解決問題時(shí),利用向量法和坐標(biāo)運(yùn)算法要優(yōu)于幾何法.(2)解法1(空間向量法):設(shè)P(0,2,λ),0≤λ≤4,關(guān)鍵點(diǎn)設(shè)出BP的長(zhǎng),從而得到點(diǎn)P的坐標(biāo).所以A2C2=(2,2,2),PC2=(0,2,3λ),設(shè)平面PA2C2的法向量為m=x1所以A2令z1=2,y1=3λ,x1=λ1,所以m=(λ1,3λ,2). 7分設(shè)平面A2C2D2的法向量為n=x2所以A2令y2=1,得n=(1,1,2). 9分所以cos<m,n>=|即|λ-1+3整理得λ24λ+3=0,解得λ=1或λ=3,避誤區(qū)利用列方程求出λ=1或λ=3,兩個(gè)結(jié)果,不可舍去其中的一個(gè),造成解答不完整.所以P(0,2,1)或P(0,2,3),即BP=1或BP=3, 11分綜上,當(dāng)二面角PA2C2D2為150°時(shí),B2P=1.12分閱卷現(xiàn)場(chǎng)1.建系可以用文字語(yǔ)言敘述,也可以在圖上標(biāo)出,只要有建系就得1分.2.法向量只要正確就得2分.3.有兩個(gè)法向量的夾角公式得1分,不帶絕對(duì)值不扣分.4.若寫出B2P=1,沒有任何過程,可得結(jié)果分2分.解法2(綜合幾何法):連接A1C2,A1O,因?yàn)锳1C2=A1A2=3,所以A1O⊥A2C2.5分因?yàn)锳2B2=A2D2=5,所以四邊形A2B2C2D2為菱形,B2O⊥A2C2, 6分所以A2C2⊥平面A1OB2. 7分設(shè)A1B2∩A2P=Q,連接OQ,則OQ⊥A2C2.由題設(shè)可知,∠QOB2為二面角PA2C2D2的平面角的補(bǔ)角,即∠QOB2=30°. 9分敲黑板綜合幾何法解決立體幾何問題,需要有較強(qiáng)的空間想象能力、邏輯思維能力.解決本題的關(guān)鍵是通過二面角的平面角作圖找出二面角.因?yàn)镺A1=6,A1B2=22,OB2=2,所以在直角△A1OB2中,OQ⊥A1B2,所以B2Q=22,A1Q=322所以B2PA1A2=B2QA所以B2P=13A1A2=1綜上,當(dāng)二面角PA2C2D2為150°時(shí),B2P=1. 12分解法3:如圖,在平面ABB1A1上取一點(diǎn)E,使C2E=A2E,連接OE,EB2,直線A2E交棱BB1于點(diǎn)P.設(shè)點(diǎn)E到AA1的距離為x,點(diǎn)E到AB的距離為y,則(x2)2+(y3)2+4=x2+(y1)2,即x+y=4.由題設(shè)可知,∠EOB2為二面角PA2C2D2的平面角的補(bǔ)角.在△EOB2中,EB22=OE2+OB222OE·OB2·cos(x2)2+(y2)2=(x1)2+(y2)2+1+22×2×32×(即(2x3)(x3)=0,解得x=3y綜上,當(dāng)二面角PA2C2D2為150°時(shí),B2P=1. 12分拓思維要找到二面角PA2C2D2的平面角,需要在平面PA2C2中構(gòu)造OE⊥A2C2,難點(diǎn)就在于點(diǎn)E的位置如何確定,通過C2E=A2E,以及在△EOB2中利用余弦定理,構(gòu)建方程組,得到點(diǎn)E的確定位置,就可進(jìn)一步得到B2P的長(zhǎng)度.【解題技法】利用空間向量法求解二面角的步驟(1)建立合適的空間直角坐標(biāo)系,寫出二面角對(duì)應(yīng)的兩個(gè)半平面中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo);(2)設(shè)出法向量,根據(jù)法向量垂直于平面內(nèi)兩條相交直線的方向向量,求解出平面的法向量(注:若半平面為坐標(biāo)平面,直接取法向量即可);(3)計(jì)算(2)中兩個(gè)法向量夾角的余弦值,結(jié)合立體圖形中二面角的實(shí)際情況,判斷二面角是銳角還是鈍角,從而得到二面角的余弦值.提醒:(1)建系時(shí)若垂直關(guān)系不明顯,則應(yīng)先給出證明.(2)平面與平面的夾角的范圍是0,π2(3)二面角的范圍為[0,π],要結(jié)合圖形判斷取銳角還是鈍角.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】(2023·廣西模擬)在三棱錐PABC中,底面ABC是邊長(zhǎng)為23的等邊三角形,點(diǎn)P在底面ABC上的射影為棱BC的中點(diǎn)O,且PB與底面ABC所成角為π3,點(diǎn)M為線段PO上一動(dòng)點(diǎn)(1)求證:BC⊥AM;(2)是否存在點(diǎn)M,使得二面角PABM的余弦值為31010?若存在,求出點(diǎn)M的位置;若不存在,【解析】(1)連接AO,AM,因?yàn)椤鰽BC為等邊三角形,O為BC的中點(diǎn),則AO⊥BC,因?yàn)辄c(diǎn)P在底面ABC上的射影為點(diǎn)O,則PO⊥平面ABC,又BC?平面ABC,所以BC⊥PO,因?yàn)锳O∩PO=O,AO,PO?平面APO,所以BC⊥平面APO,因?yàn)锳M?平面APO,所以BC⊥AM;(2)因?yàn)镻O⊥平面ABC,AO⊥BC,所以以O(shè)B,AO,OP所在直線分別為x,y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系如圖,因?yàn)镻O⊥平面ABC,所以PB與底面ABC所成的角為∠PBC=π3,則A(0,3,0),B(3,0,0),P(0,0,3),設(shè)點(diǎn)M(0,0,c),其中0≤c所以AB=(3,3,0),AP=(0,3,3),AM=(0,3,c),設(shè)平面PAB的法向量為m=(x1,y1,z1),則m·取m=(3,1,1),設(shè)平面ABM的法向量為n=(x2,y2,z2),則n·取n=(3c,c,3),根據(jù)題意可知|cos<m,n>|=|m·n||所以4c248c+63=0,因?yàn)?≤c≤3,解得c=32,即點(diǎn)M(0,0,32因此,當(dāng)點(diǎn)M為PO的中點(diǎn)時(shí),二面角PABM的余弦值為31010【加練備選】

(2023·婁底模擬)如圖,在五面體ABCDEF中,AB∥CD∥EF,∠ABC=∠BAF=90°,CD=2AB=4EF=4,BC=AF=2,P,O分別為CD,AP的中點(diǎn),二面角FABD的大小為60°.

(1)證明:FO⊥平面ABCD;

(2)求平面ADF與平面BCE所成二面角的正弦值.【解析】(1)在直角梯形ABCD中,

因?yàn)锳B∥CD,CD=2AB,P為CD的中點(diǎn),

所以AP∥BC,且AP=BC,

又∠ABC=90°,所以AP⊥AB,

又已知AB⊥AF,所以∠PAF為二面角FABD的平面角,大小為60°,

且AB⊥平面FAP,可得AB⊥FO,

因?yàn)镺為AP的中點(diǎn),所以AO=12BC=1,

在△AOF中,AF=2,AO=1,∠FAO=60°,則FO2=12+222×1×2×12=3,

所以AO2+FO2=AF2,可得AO⊥OF,

因?yàn)锳B∩AO=A,所以FO⊥平面ABCD(2)如圖,以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以AO,OF所在直線為x,z軸,在平面ABCD內(nèi),以過點(diǎn)O垂直于AO的直線為y軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則A(1,0,0),D(1,2,0),F(0,0,3),C(1,2,0),B(1,2,0),E(0,1,3),

AF=(1,0,3),AD=(2,2,0),BE=(1,1,3),BC=(2,0,0),

設(shè)平面ADF的一個(gè)法向量為n=(x,y,z),

平面BCE的一個(gè)法向量為m=(a,b,c),

由n·AF=x+3z=0n·AD=2x-2y=0,

取z=1,可得n=(3,3,1),

由m·BE=a-b+3c=0m·BC=2a=0,【重難突破】幾何體的截面與交線問題“截面、交線”問題是高考立體幾何問題最具創(chuàng)新意識(shí)的題型,它滲透了一些動(dòng)態(tài)的線、面等元素,給靜態(tài)的立體幾何題賦予了活力.求解截面、交線問題,一是與解三角形、多邊形面積、扇形弧長(zhǎng)、面積等相結(jié)合求解,二是利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解.類型一截面問題命題點(diǎn)1多面體中的截面問題[例1](2023·福州質(zhì)檢)已知正方體ABCDA1B1C1D1的棱長(zhǎng)為4,E,F分別是棱AA1,BC的中點(diǎn),則平面D1EF截該正方體所得的截面圖形周長(zhǎng)為()A.6 B.102C.13+25 D.2【解析】選D.取CC1的中點(diǎn)G,連接BG,則D1E∥BG,取CG的中點(diǎn)N,連接FN,則FN∥BG,所以FN∥D1E.延長(zhǎng)D1E,DA交于點(diǎn)H,連接FH交AB于點(diǎn)M,連接ME,則平面D1EF截該正方體所得的截面圖形為多邊形D1EMFN.由題知A為HD的中點(diǎn),A1E=AE=2,C1N=3,CN=1,則AH=AD=4,D1E=42+2D1N=42+32=5,FN=取AD的中點(diǎn)Q,連接QF,則AM∥FQ,所以AMFQ=AH所以AM=AHHQ·FQ=46×4=83,則MB則ME=AE2+AMMF=MB2+BF所以截面圖形的周長(zhǎng)為D1E+EM+MF+FN+ND1=25+103+2133+5命題點(diǎn)2球的截面問題[例2]已知在三棱錐SABC中,SA⊥平面ABC,SA=AB=BC=2,AC=2,點(diǎn)E,F分別是線段AB,BC的中點(diǎn),直線AF,CE相交于點(diǎn)G,則過點(diǎn)G的平面α截三棱錐SABC的外接球球O所得截面面積的取值范圍是__________.

【解析】因?yàn)锳B2+BC2=AC2,故AB⊥BC,又因?yàn)镾A⊥平面ABC,故三棱錐SABC的外接球球O的半徑R=2+2+22=62;取AC的中點(diǎn)D,連接BD,BD必過點(diǎn)G,因?yàn)锳B=BC=2,故DG=13BD=1因?yàn)镺D=22,故OG2=(22)2+(13)2則過點(diǎn)G的平面截球O所得截面圓的最小半徑r=(62)

2-1118=223故截面面積的最小值為8π9,最大值為3π故截面面積的取值范圍是[8π9,3π答案:[8π9,【解題技法】作截面的三種常用方法(1)直接法:解題關(guān)鍵是利用截面的頂點(diǎn)在幾何體的棱上.(2)作平行線法:解題關(guān)鍵是利用截面與幾何體的兩個(gè)平行平面相交,或者截面上有一條直線與幾何體的某一個(gè)面平行.(3)延長(zhǎng)交線得交點(diǎn)法:解題關(guān)鍵是利用截面上的點(diǎn)中至少有兩個(gè)點(diǎn)在幾何體的同一個(gè)面上.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】1.(多選題)如圖,設(shè)正方體ABCDA1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2,E為A1D1的中點(diǎn),F為CC1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),設(shè)由點(diǎn)A,E,F構(gòu)成的平面為α,則()A.平面α截正方體的截面可能是三角形B.當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)C1重合時(shí),平面α截正方體的截面面積為26C.點(diǎn)D到平面α的距離的最大值為2D.當(dāng)F為CC1的中點(diǎn)時(shí),平面α截正方體的截面為五邊形【解析】選BCD.如圖,建立空間直角坐標(biāo)系,延長(zhǎng)AE與z軸交于點(diǎn)P,連接PF與y軸交于點(diǎn)M,則平面α由平面AEF擴(kuò)展為平面APM.由此模型可知截面不可能為三角形,故A錯(cuò)誤;當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)C1重合時(shí),平面α截正方體的截面為邊長(zhǎng)為5的菱形,易得截面面積為26,故B正確;當(dāng)F為CC1的中點(diǎn)時(shí),易知平面α截正方體的截面為五邊形,故D正確;D(0,0,0),A(2,0,0),P(0,0,4),設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(0,t,0)(t∈[2,4]),DA=(2,0,0),AM=(2,t,0),PA=(2,0,4),則可知點(diǎn)P到直線AM的距離為d=|PA|2S△APM=12t2+4·S△PAD=12設(shè)點(diǎn)D到平面α的距離為h,利用等體積法VDAPM=VMPAD,即13·S△APM·h=13·S△PAD·可得h=4t5t因?yàn)閔=45+16t2在t所以當(dāng)t=4時(shí),h取到最大值為263,故C2.已知正三棱柱ABCA1B1C1的各棱長(zhǎng)均為2,D為棱AB的中點(diǎn),則過點(diǎn)D的平面截該三棱柱外接球所得截面面積的取值范圍為________.

【解析】正三棱柱ABCA1B1C1的外接球的球心O為上、下底面的外接圓圓心的連線O1O2的中點(diǎn),連接AO2,AO,OD,如圖所示,設(shè)外接球的半徑為R,下底面外接圓的半徑為r,r=AO2=23則R2=r2+1=73①當(dāng)過點(diǎn)D的平面過球心時(shí),截得的截面圓最大,截面圓的半徑即為球的半徑,所以截面圓的面積最大為πR2=7π3②當(dāng)過點(diǎn)D的平面垂直O(jiān)D時(shí),截面圓的面積最小,OD2=OA2AD2=731=4截面圓的半徑為R2-O所以截面圓的面積最小為π·12=π,綜上,截面面積的取值范圍為[π,7π3答案:[π,7π類型二交線問題命題點(diǎn)1多面體中的交線問題[例3]在四面體ABCD中,△ABC是正三角形,△ACD是直角三角形且AD=CD,AB=BD=2,平面α過點(diǎn)A,C,且BD⊥平面α,則平面α與側(cè)面CBD的交線長(zhǎng)為________.

【解析】如圖1,因?yàn)椤鰽BC是正三角形,△ACD是直角三角形且AD=CD,AB=BD=2,所以AB=AC=BC=BD=2,AD=CD=2,所以△BCD與△BAD全等,且為等腰三角形,所以在△ABD中,過頂點(diǎn)A作邊BD上的高,垂足為E,取AD的中點(diǎn)O,連接OB,如圖2,因?yàn)锳B=BD=2,AD=2,所以O(shè)B⊥AD,OB=142,AE⊥BD所以由等面積法得12AD·OB=12BD·即12×2×142=12解得AE=72,所以DE=AD2所以在△BCD中,過頂點(diǎn)C作邊BD上的高,垂足為F,取CD的中點(diǎn)M,連接MB,如圖3,同在△ABD中的情況,可得CF=72,DF=12,所以點(diǎn)E,F重合,即BD⊥AE(F),BD⊥CE(F),因?yàn)锳E∩CE=E,所以BD⊥平面平面α即為平面ACE,平面α與側(cè)面CBD的交線為線段CF,長(zhǎng)度為72答案:7命題點(diǎn)2與球有關(guān)的交線問題[例4](2020·新高考Ⅰ卷)已知直四棱柱ABCDA1B1C1D1的棱長(zhǎng)均為2,∠BAD=60°.以D1為球心,5為半徑的球面與側(cè)面BCC1B1的交線長(zhǎng)為________.

【解析】如圖,設(shè)B1C1的中點(diǎn)為E,球面與棱BB1,CC1的交點(diǎn)分別為P,Q,連接DB,D1B1,D1P,D1Q,D1E,EP,EQ,由∠BAD=60°,AB=AD,知△ABD為等邊三角形,所以D1B1=DB=2,所以△D1B1C1為等邊三角形,則D1E=3且D1E⊥平面BCC1B1,所以E為球面截側(cè)面BCC1B1所得截面圓的圓心,設(shè)截面圓的半徑為r,則r=R球2-D1可得EP=EQ=2,所以球面與側(cè)面BCC1B1的交線為以E為圓心的PQ.又D1P=5,所以B1P=D1同理C1Q=1,所以P,Q分別為BB1,CC1的中點(diǎn),所以∠PEQ=π2,知PQ的長(zhǎng)為π2×2=答案:2【解題技法】?jī)煞N作交線的方法(1)利用基本事實(shí)3作交線;(2)利用線面平行及面面平行的性質(zhì)定理去尋找線面平行及面面平行,然后根據(jù)性質(zhì)作出交線.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】1.(2023·廣安模擬)如圖,正方體ABCDA1B1C1D1的棱長(zhǎng)是2,S是A1B1的中點(diǎn),P是A1D1的中點(diǎn),點(diǎn)Q在正方形DCC1D1及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng),若PQ∥平面SBC1,則點(diǎn)Q的軌跡的長(zhǎng)度是________.

【解析】如圖所示,要使PQ∥平面SBC1,作PE∥C1S交C1D1于E,SC1?平面SBC1,PE?平面SBC1,則PE∥平面SBC1,因?yàn)檎襟wABCDA1B1C1D1的棱長(zhǎng)是2,所以D1E=14C1D1=1連接BD,PS取BD的中點(diǎn)O,連接PO,則PSBO為平行四邊形,則PO∥SB,SB?平面SBC1,PO?平面SBC1,則PO∥平面SBC1,又PO∩PE=P,PO,PE?平面POE,所以平面POE∥平面SBC1,設(shè)平面POE∩平面DCC1D1=EF,則DF=34DC=3連接OF,EF,則PEFO為平行四邊形,Q的軌跡為線段EF,EF=(DF-D1E答案:52.(2023·南通模擬)已知在圓柱O1O2內(nèi)有一個(gè)球O,該球與圓柱的上、下底面及母線均相切.過直線O1O2的平面截圓柱得到四邊形ABCD,其面積為8.若P為圓柱底面CD的中點(diǎn),則平面PAB與球O的交線長(zhǎng)為________.

【解析】設(shè)球O的半徑為r,則AB=BC=2r,而S四邊形ABCD=AB·BC=4r2=8,所以r=如圖,連接PO2,O1P,作OH⊥O2P于H,易知O1O2⊥AB.因?yàn)镻為CD的中點(diǎn),所以AP=BP,又O2為AB的中點(diǎn),所以O(shè)2P⊥AB.又O1O2∩O2P=O2,所以AB⊥平面O1O2P,又OH?平面O1O2P,所以AB⊥OH.因?yàn)镺H⊥O2P,且AB∩PO2=O2,所以O(shè)H⊥平面ABP.因?yàn)镺1O2=2r=22,O1P=2,O1O2⊥O1P,所以O(shè)2P=O1O22+O1P2=(22)2+(2)2所以O(shè)H=OO2×sin∠O1O2P=2×55=10易知平面PAB與球O的交線為一個(gè)圓,其半徑為r1=r2-OH2交線長(zhǎng)為l=2πr1=2π×2105=4答案:410【重難突破】球與幾何體的動(dòng)態(tài)問題立體幾何中的“動(dòng)態(tài)”問題就變化起因而言大致可分為兩類:一是平移;二是旋轉(zhuǎn).在解“動(dòng)態(tài)”立體幾何題時(shí),如果我們能努力探尋運(yùn)動(dòng)過程中“靜”的一面,動(dòng)中求靜,往往能以靜制動(dòng)、克難制勝.類型一動(dòng)態(tài)位置關(guān)系的判斷[例1](多選題)如圖,在矩形ABCD中,BC=1,AB=x,BD和AC交于點(diǎn)O,將△BAD沿直線BD翻折,則下列說法中正確的是()A.存在x,在翻折過程中存在某個(gè)位置,使得AB⊥OCB.存在x,在翻折過程中存在某個(gè)位置,使得AC⊥BDC.存在x,在翻折過程中存在某個(gè)位置,使得AB⊥平面ACDD.存在x,在翻折過程中存在某個(gè)位置,使得AC⊥平面ABD【解析】選ABC.當(dāng)AB=x=1時(shí),此時(shí)矩形ABCD為正方形,則AC⊥BD,將△BAD沿直線BD翻折,當(dāng)平面ABD⊥平面BCD時(shí),由OC⊥BD,OC?平面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD,所以O(shè)C⊥平面ABD,又AB?平面ABD,所以AB⊥OC,故A正確;又OC⊥BD,OA⊥BD,且OA∩OC=O,OA,OC?平面OAC,所以BD⊥平面OAC,又AC?平面OAC,所以AC⊥BD,故B正確;在矩形ABCD中,AB⊥AD,AC=1+x所以將△BAD沿直線BD翻折時(shí),總有AB⊥AD,取x=12,當(dāng)將△BAD沿直線BD翻折到AC=32時(shí),有AB2+AC2=BC即AB⊥AC,且AC∩AD=A,AC,AD?平面ACD,則此時(shí)滿足AB⊥平面ACD,故C正確;若AC⊥平面ABD,又AO?平面ABD,則AC⊥AO,所以在△AOC中,OC為斜邊,這與OC=OA相矛盾,故D不正確.【解題技法】解決空間位置關(guān)系的動(dòng)點(diǎn)問題(1)應(yīng)用“位置關(guān)系相關(guān)定理”轉(zhuǎn)化.(2)建立“坐標(biāo)系”計(jì)算.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】(多選題)已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中,AB=1,AA1=2,點(diǎn)P,Q分別是棱BB1,AB上的動(dòng)點(diǎn),則下列說法正確的是()A.任意給定的點(diǎn)P,存在點(diǎn)Q,使得PQ∥平面A1C1DB.任意給定的點(diǎn)Q,存在點(diǎn)P,使得PQ∥平面A1C1DC.任意給定的點(diǎn)P,存在點(diǎn)Q,使得CP⊥D1QD.任意給定的點(diǎn)Q,存在點(diǎn)P,使得CP⊥D1Q【解析】選ABD.連接A1C1,A1D,C1D,AB1,選項(xiàng)A:任意給定的點(diǎn)P,可在△ABB1內(nèi)作PQ∥AB1,交AB于Q,又在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中,DC1∥AB1,則PQ∥DC1,又DC1?平面A1C1D,PQ?平面A1C1D,則PQ∥平面A1C1D.則任意給定的點(diǎn)P,存在點(diǎn)Q,使得PQ∥平面A1C1D.判斷正確;選項(xiàng)B:任意給定的點(diǎn)Q,可在△ABB1內(nèi)作PQ∥AB1,交BB1于P,又正四棱柱ABCDA1B1C1D1中,DC1∥AB1,則PQ∥DC1,又DC1?平面A1C1D,PQ?平面A1C1D,則PQ∥平面A1C1D.則任意給定的點(diǎn)Q,存在點(diǎn)P,使得PQ∥平面A1C1D.判斷正確;以D為原點(diǎn),分別以DA,DC,DD1所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,則C0,1,0,設(shè)P1,1,m則CP=1,0,m,選項(xiàng)C:由CP·D1Q=1,0,m·1,t,-2=12m=0,可得m=12;則當(dāng)m≠12時(shí),CP·D1Q≠0,即CP⊥D1Q不成立.選項(xiàng)D:由CP·D1Q=1,0,m·1,t,-2=12m=0,可得m=12;則對(duì)任意0≤t≤1,當(dāng)m=12時(shí)均有CP·D1Q=0,即CP⊥D1Q;類型二動(dòng)點(diǎn)的軌跡(長(zhǎng)度)[例2]已知邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD與CDEF所在的平面互相垂直,點(diǎn)P,Q分別是線段BC,DE上的動(dòng)點(diǎn)(包括端點(diǎn)),PQ=2.設(shè)線段PQ的中點(diǎn)M的軌跡為s,則s的長(zhǎng)度為()A.π4 B.π2 C.22 【解析】選A.如圖,以DA,DC,DE所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)P(m,1,0)(0≤m≤1),Q(0,0,n)(0≤n≤1),M(x,y,z).由中點(diǎn)坐標(biāo)公式易知x=m2,y=1z=n2,即m=2x,n=2z.因?yàn)閨PQ|=m2+n所以m2+n2=1,②把①代入②得,4x2+4z2=1.即x2+z2=14因?yàn)?≤m≤1,0≤n≤1,所以0≤x≤12,0≤z≤1所以PQ中點(diǎn)M的軌跡方程為x軌跡s為在垂直于y軸的平面內(nèi),半徑為12的四分之一圓周所以s的長(zhǎng)度為14×2π×12=【解題技法】解決幾何體動(dòng)點(diǎn)軌跡問題的方法(1)幾何法:根據(jù)平面的性質(zhì)進(jìn)行判定.(2)定義法:轉(zhuǎn)化為平面軌跡問題,用圓錐曲線的定義判定,或用代替法進(jìn)行計(jì)算.(3)特殊值法:根據(jù)空間圖形線段長(zhǎng)度關(guān)系取特殊值或位置進(jìn)行排除.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】(2023·濟(jì)南模擬)已知正方體ABCDA1B1C1D1的棱長(zhǎng)為23,E,F為體對(duì)角線BD1的兩個(gè)三等分點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)P在△ACB1內(nèi),且S△PEF=2,則點(diǎn)P的軌跡的長(zhǎng)度為________.

【解析】如圖1所示,連接BD,因?yàn)锳BCDA1B1C1D1是正方體,所以AC⊥BD,DD1⊥平面ABCD,又AC?平面ABCD,所以AC⊥DD1,因?yàn)镈D1∩BD=D,所以AC⊥平面BDD1,因?yàn)锽D1?平面BDD1,所以BD1⊥AC.同理BD1⊥B1C.因?yàn)锳C∩B1C=C,所以BD1⊥平面ACB1.因?yàn)檎襟wABCDA1B1C1D1的棱長(zhǎng)為23,所以AC=B1C=AB1=26,BD1=6,又E,F為體對(duì)角線BD1的兩個(gè)三等分點(diǎn),所以BF=EF=D1E=2.設(shè)點(diǎn)B到平面ACB1的距離為d,則VB-AC所以13S△ACB1·d=13解得d=2,即d=BF,所以F∈平面ACB1,即BF⊥平面ACB1.三棱錐BACB1的底面三角形ACB1為正三角形,且BB1=BC=BA,所以三棱錐BACB1為正三棱錐,所以點(diǎn)F為△ACB1的中心.因?yàn)镻∈平面ACB1,所以PF?平面ACB1,則EF⊥PF.又△PEF的面積為2,所以