高考總復(fù)習(xí)文數(shù)（人教版）講義第10章概率第2節(jié)古典概型

第二節(jié)古典概型考點高考試題考查內(nèi)容核心素養(yǎng)古典概型2017·全國卷Ⅱ·T11·5分利用古典概型概率公式求解數(shù)學(xué)運算2017·天津卷·T3·5分利用古典概型概率公式求解數(shù)學(xué)運算2017·山東卷·T16·12分列出基本事件空間利用古典概型的概率公式求解數(shù)學(xué)運算2016·全國卷Ⅰ·T3·5分列出基本事件空間利用古典概型的概率公式求解數(shù)學(xué)運算2016·全國卷Ⅲ·T5·5分列出基本事件空間利用古典概型的概率公式求解數(shù)學(xué)運算2015·全國卷Ⅰ·T4·5分列出基本事件空間利用古典概型的概率公式求解數(shù)學(xué)運算命題分析古典概型是高考?？贾R，一般是根據(jù)題意列出基本事件空間，然后利用古典概型的概率公式求概率，一般以選擇題形式出現(xiàn)，有時候也出在解答題中，難度不大.1．基本事件的特點(1)任何兩個基本事件都是__互斥__的；(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成__基本事件__的和．2．古典概型具有以下兩個特點的概率模型稱為古典概率模型，簡稱古典概型．(1)有限性：試驗中所有可能出現(xiàn)的基本事件__只有有限個__；(2)等可能性：每個基本事件出現(xiàn)的可能性__相等__．3．古典概型的概率公式P(A)＝eq\f(A包含的基本事件的個數(shù),基本事件的總數(shù))．提醒：1．在計算古典概型中試驗的所有結(jié)果數(shù)和事件發(fā)生結(jié)果時，易忽視它們是否是等可能的．2．概率的一般加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)中，易忽視只有當(dāng)A∩B＝?，即A，B互斥時，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，此時P(A∩B)＝0．1．判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)“在適宜條件下，種下一粒種子觀察它是否發(fā)芽”屬于古典概型，其基本事件是“發(fā)芽與不發(fā)芽”．()(2)擲一枚硬幣兩次，出現(xiàn)“兩個正面”“一正一反”“兩個反面”，這三個事件是等可能事件．()(3)在古典概型中，如果事件A中基本事件構(gòu)成集合A，所有的基本事件構(gòu)成集合I，則事件A的概率為eq\f(cardA,cardI).()答案：(1)×(2)×(3)√2．(教材習(xí)題改編)一個口袋內(nèi)裝有2個白球和3個黑球，則先摸出1個白球后放回的條件下，再摸出1個白球的概率是()A．eq\f(2,3) B．eq\f(1,4)C．eq\f(2,5) D．eq\f(1,5)解析：選C先摸出1個白球后放回，再摸出1個白球的概率，實質(zhì)上就是第二次摸到白球的概率，因為袋內(nèi)裝有2個白球和3個黑球，因此概率為eq\f(2,5)．3．(2017·天津卷)有5支彩筆(除顏色外無差別)，顏色分別為紅、黃、藍(lán)、綠、紫．從這5支彩筆中任取2支不同顏色的彩筆，則取出的2支彩筆中含有紅色彩筆的概率為()A．eq\f(4,5) B．eq\f(3,5)C．eq\f(2,5) D．eq\f(1,5)解析：選C從5支彩筆中任取2支不同顏色彩筆的取法有紅黃、紅藍(lán)、紅綠、紅紫、黃藍(lán)、黃綠、黃紫、藍(lán)綠、藍(lán)紫、綠紫，共10種，其中取出的2支彩筆中含有紅色彩筆的取法有紅黃、紅藍(lán)、紅綠、紅紫，共4種，所以所求概率P＝eq\f(4,10)＝eq\f(2,5).故選C．4．(教材習(xí)題改編)同時擲兩個骰子，向上點數(shù)不相同的概率為________．解析：1－eq\f(6,36)＝eq\f(5,6)．答案：eq\f(5,6)基本事件與古典概型的判斷[明技法]一個試驗是否為古典概型，在于這個試驗是否具有古典概型的兩個特點——有限性和等可能性，只有同時具備這兩個特點的概型才是古典概型．[提能力]【典例1】有兩顆正四面體的玩具，其四個面上分別標(biāo)有數(shù)字1、2、3、4，下面做投擲這兩顆正四面體玩具的試驗：用(x，y)表示結(jié)果，其中x表示第1顆正四面體玩具出現(xiàn)的點數(shù)，y表示第2顆正四面體玩具出現(xiàn)的點數(shù)．試寫出：(1)試驗的基本事件；(2)事件“出現(xiàn)點數(shù)之和大于3”包含的基本事件(3)事件“出現(xiàn)點數(shù)相等”包含的基本事件．解：(1)這個試驗的基本事件為(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)．(2)事件“出現(xiàn)點數(shù)之和大于3”包含的基本事件為(1,3)，(1,4)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4(3)事件“出現(xiàn)點數(shù)相等”包含的基本事件為(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)．【典例2】袋中有大小相同的5個白球，3個黑球和3個紅球，每球有一個區(qū)別于其他球的編號，從中摸出一個球．(1)有多少種不同的摸法？如果把每個球的編號看作一個基本事件建立概率模型，該模型是不是古典概型？(2)若按球的顏色為劃分基本事件的依據(jù)，有多少個基本事件？以這些基本事件建立概率模型，該模型是不是古典概型？解：(1)由于共有11個球，且每個球有不同的編號，故共有11種不同的摸法．又因為所有球大小相同，因此每個球被摸中的可能性相等，故以球的編號為基本事件的概率模型為古典概型．(2)由于11個球共有3種顏色，因此共有3個基本事件，分別記為A：“摸到白球”，B：“摸到黑球”，C：“摸到紅球”，又因為所有球大小相同，所以一次摸球每個球被摸中的可能性均為eq\f(1,11)，而白球有5個，故一次摸球摸到白球的可能性為eq\f(5,11)，同理可知摸到黑球、紅球的可能性均為eq\f(3,11)，顯然這三個基本事件出現(xiàn)的可能性不相等，所以以顏色為劃分基本事件的依據(jù)的概率模型不是古典概型．[刷好題]1．袋中有大小、形狀相同的紅、黑球各一個，現(xiàn)依次有放回地隨機(jī)摸取3次，每次摸取一個球．(1)試問：一共有多少種不同的結(jié)果？請列出所有可能的結(jié)果；(2)若摸到紅球時得2分，摸到黑球時得1分，求3次摸球所得總分為5的概率．解：(1)一共有8種不同的結(jié)果，列舉如下：(紅，紅，紅)、(紅，紅，黑)、(紅，黑，紅)、(紅，黑，黑)、(黑，紅，紅)、(黑，紅，黑)、(黑，黑，紅)、(黑，黑，黑)．(2)記“3次摸球所得總分為5”為事件A事件A包含的基本事件為：(紅，紅，黑)、(紅，黑，紅)、(黑，紅，紅)，事件A包含的基本事件數(shù)為3．由(1)可知，基本事件總數(shù)為8，所以事件A的概率為P(A)＝eq\f(3,8)．2．下列試驗中，古典概型的個數(shù)為()①向上拋一枚質(zhì)地不均勻的硬幣，觀察正面向上的概率；②向正方形ABCD內(nèi)，任意拋擲一點P，點P恰與點C重合；③從1,2,3,4四個數(shù)中，任取兩個數(shù)，求所取兩數(shù)之一是2的概率；④在線段[0,5]上任取一點，求此點小于2的概率．A．0 B．1C．2 D．3解析：選B①中，硬幣質(zhì)地不均勻，不是等可能事件，所以不是古典概型；②④的基本事件都不是有限個，不是古典概型；③符合古典概型的特點，是古典概型．簡單的古典概型的概率[明技法]求古典概型概率的基本步驟eq\x(第1步)—eq\x(算出所有基本事件的個數(shù)n)↓eq\x(第2步)—eq\x(算出事件A包含的所有基本事件的個數(shù)m)↓eq\x(第3步)—eq\x(代入公式PA＝\f(m,n)，求出PA)[提能力]【典例】(1)(2017·全國卷Ⅱ)從分別寫有1,2,3,4,5的5張卡片中隨機(jī)抽取1張，放回后再隨機(jī)抽取1張，則抽得的第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的概率為()A．eq\f(1,10) B．eq\f(1,5)C．eq\f(3,10) D．eq\f(2,5)解析：選D從5張卡片中隨機(jī)抽取1張，放回后再隨機(jī)抽取1張的情況如圖：基本事件總數(shù)為25，第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的事件數(shù)為10，∴所求概率P＝eq\f(10,25)＝eq\f(2,5).故選D．(2)(2016·全國卷Ⅲ)小敏打開計算機(jī)時，忘記了開機(jī)密碼的前兩位，只記得第一位是M，I，N中的一個字母，第二位是1,2,3,4,5中的一個數(shù)字，則小敏輸入一次密碼能夠成功開機(jī)的概率是()A．eq\f(8,15) B．eq\f(1,8)C．eq\f(1,15) D．eq\f(1,30)解析：選C第一位是M，I，N中的一個字母，第二位是1,2,3,4,5中的一個數(shù)字，所以總的基本事件的個數(shù)為15，密碼正確只有一種，概率為eq\f(1,15)，故選C．[刷好題]如果3個正整數(shù)可作為一個直角三角形三條邊的邊長，則稱這3個數(shù)為一組勾股數(shù)，從1,2,3,4,5中任取3個不同的數(shù)，則這3個數(shù)構(gòu)成一組勾股數(shù)的概率為()A．eq\f(3,10) B．eq\f(1,5)C．eq\f(1,10) D．eq\f(1,20)解析：選C從1,2,3,4,5中任取3個數(shù)有10個基本事件，構(gòu)成勾股數(shù)的只有3,4,5一組，故概率為eq\f(1,10)．古典概型的交匯問題[析考情]古典概型在高考中常與平面向量、集合、函數(shù)、解析幾何、統(tǒng)計等知識交匯命題，命題點新穎，考查知識全面，能力要求較高．[提能力]命題點1：古典概型與平面向量相結(jié)合【典例1】已知向量a＝(x，－1)，b＝(3，y)，其中x隨機(jī)選自集合{－1,1,3}，y隨機(jī)選自集合{1,3,9}．(1)求a∥b的概率；(2)求a⊥b的概率．解：由題意，得(x，y)所有的基本事件為(－1,1)，(－1,3)，(－1,9)，(1,1)，(1,3)，(1,9)，(3,1)，(3,3)，(3,9)，共9個．(1)設(shè)“a∥b”為事件A，則xy＝－3．事件A包含的基本事件有(－1,3)，共1個．故a∥b的概率為P(A)＝eq\f(1,9)．(2)設(shè)“a⊥b”為事件B，則y＝3x．事件B包含的基本事件有(1,3)，(3,9)，共2個．故a⊥b的概率為P(B)＝eq\f(2,9)．命題點2：古典概型與直線、圓相結(jié)合【典例2】(2018·洛陽統(tǒng)考)將一顆骰子先后投擲兩次分別得到點數(shù)a，b，則直線ax＋by＝0與圓(x－2)2＋y2＝2有公共點的概率為________．解析：依題意，將一顆骰子先后投擲兩次得到的點數(shù)所形成的數(shù)組(a，b)有(1,1)，(1,2)，(1,3)，…，(6,6)，共36種，其中滿足直線ax＋by＝0與圓(x－2)2＋y2＝2有公共點，即滿足eq\f(2a,\r(a2＋b2))≤eq\r(2)，a2≤b2的數(shù)組(a，b)有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，…，(6,6)，共6＋5＋4＋3＋2＋1＝21種，因此所求的概率等于eq\f(21,36)＝eq\f(7,12)．答案：eq\f(7,12)命題點3：古典概型與函數(shù)相結(jié)合【典例3】(2018·成都高三月考)將一顆骰子拋擲兩次，所得向上點數(shù)分別為m，n，則函數(shù)y＝eq\f(2,3)mx3－nx＋1在[1，＋∞)上為增函數(shù)的概率是()A．eq\f(1,2) B．eq\f(5,6)C．eq\f(3,4) D．eq\f(2,3)解析：選B∵y＝eq\f(2,3)mx3－nx＋1，∴y′＝2mx2－n，令y′＝0得x＝±eq\r(\f(n,2m))，∴x1＝eq\r(\f(n,2m))，x2＝－eq\r(\f(n,2m))是函數(shù)的兩個極值點，∴函數(shù)在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(\f(n,2m))，＋∞))上是增函數(shù)，則eq\r(\f(n,2m))≤1，即n≤2m．通過建立關(guān)于m，n的直角坐標(biāo)系可得出滿足n≤2m的點有30個，由古典概型公式可得函數(shù)y＝eq\f(2,3)mx3－nx＋1在[1，＋∞)上為增函數(shù)的概率是P＝eq\f(30,36)＝eq\f(5,6)．命題點4：古典概型與統(tǒng)計相結(jié)合【典例4】某企業(yè)為了解下屬某部門對本企業(yè)職工的服務(wù)情況，隨機(jī)訪問50名職工．根據(jù)這50名職工對該部門的評分，繪制頻率分布直方圖(如圖所示)，其中樣本數(shù)據(jù)分組區(qū)間為：[40,50)，[50,60)，…，[80,90)，[90,100]．(1)求頻率分布直方圖中a的值；(2)估計該企業(yè)的職工對該部門評分不低于80的概率；(3)從評分在[40,60)的受訪職工中，隨機(jī)抽取2人，求此2人的評分都在[40,50)的概率．解：(1)因為(0.004＋a＋0.018＋0.022×2＋0.028)×10＝1，所以a＝0.006．(2)由所給頻率分布直方圖知，50名受訪職工評分不低于80的頻率為(0.022＋0.018)×10＝0.4，所以該企業(yè)職工對該部門評分不低于80的概率的估計值為0.4．(3)受訪職工中評分在[50,60)的有：50×0.006×10＝3(人)，記為A1，A2，A3；受訪職工中評分在[40,50)的有：50×0.004×10＝2(人)，記為B1，B2．從這5名受訪職工中隨機(jī)抽取2人，所有可能的結(jié)果共有10種，它們是{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，A3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A3，B1}，{A3，B2}，{B1，B2}．又因為所抽取2人的評分都在[40,50)的結(jié)果有1種，即{B1，B2}，故所求的概率為eq\f(1,10)．[悟技法]解決古典概型交匯命題的關(guān)注點解決與古典概型交匯命題的問題時，把相關(guān)的知識轉(zhuǎn)化為事件，列舉基本事件，求出基本事件和隨機(jī)事件的個數(shù)，然后利用古典概型的概率計算公式進(jìn)行計算．[刷好題]1．將一顆骰子擲兩次，觀察出現(xiàn)的點數(shù)，并記第一次出現(xiàn)的點數(shù)為m，第二次出現(xiàn)的點數(shù)為n，向量p＝(m，n)，q＝(3,6)．則向量p與q共線的概率為()A．eq\f(1,3) B．eq\f(1,4)C．eq\f(1,6) D．eq\f(1,12)解析：選D由題意可得：基本事件(m，n)(m，n＝1,2，…，6)的個數(shù)為6×6＝36．若p∥q，則6m－3n＝0，得到n＝2m.滿足此條件的共有(1,2)，(2,4)，(3,6)三個基本