江西省景德鎮(zhèn)市高三第三次質(zhì)檢數(shù)學(xué)試題

景德鎮(zhèn)市2024屆高三第三次質(zhì)檢試題數(shù)學(xué)命題景德鎮(zhèn)一中邱金龍景德鎮(zhèn)二中馬小宇景德鎮(zhèn)十六中余倩本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.第Ⅰ卷（選擇題）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知全集，，，則是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先確定全集，畫出韋恩圖，結(jié)合集合的運(yùn)算表示【詳解】因?yàn)?，所以畫出韋恩圖如下：可知.故選：D2.下列有關(guān)復(fù)數(shù)，的等式中錯(cuò)誤的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用代數(shù)形式的復(fù)數(shù)加法、乘法運(yùn)算，結(jié)合復(fù)數(shù)的模及共軛計(jì)算判斷BCD；舉例說明判斷A.【詳解】設(shè)，對(duì)于A，令，，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，B正確；對(duì)于C，，則，，因此，C正確；對(duì)于D，，D正確.故選：A3.已知函數(shù)是奇函數(shù)，則時(shí)，的解析式為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)，利用時(shí)，和可求得的解析式.【詳解】設(shè)，則，所以，又函數(shù)是奇函數(shù)，所以，即，.即.故選：C4.已知是數(shù)列的前項(xiàng)和，，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)給定的遞推公式求出，再利用等比數(shù)列求出通項(xiàng)公式即得.【詳解】數(shù)列的前項(xiàng)和，由，，得，解得，因此數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為4的等比數(shù)列，，所以.故選：A5.已知，是空間內(nèi)兩條不同的直線，，，是空間內(nèi)三個(gè)不同的平面，則下列說法正確的是（）A.若，，則B.若，，則C.若，，，則D.若，，，則或【答案】C【解析】【分析】借助于模型，完成線面關(guān)系的推理可得C項(xiàng)正確，可通過舉反例或羅列由條件得到的所有結(jié)論，進(jìn)行對(duì)A,B,D選項(xiàng)的排除.【詳解】對(duì)于A，由，，設(shè)，當(dāng)時(shí)，可得，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由，可得或，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，如圖，設(shè)，，在平面作不與重合的直線，使，因，則，因，，則，因，則，于是，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)，，時(shí)，若且，則可以和平面成任意角度，故D錯(cuò)誤.故選：C.6.過拋物線上的一點(diǎn)作圓：的切線，切點(diǎn)為，，則可能的取值是（）A.1 B.4 C. D.5【答案】D【解析】【分析】設(shè)，利用圓的切線性質(zhì)，借助圖形的面積把表示為的函數(shù)，再求出函數(shù)的最小值即可.【詳解】設(shè)，則，圓的圓心，半徑由切圓于點(diǎn)，得，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為，ABC不是，D是.故選：D7.函數(shù)在內(nèi)恰有兩個(gè)對(duì)稱中心，，將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位得到函數(shù)的圖象.若，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)y軸右邊第二個(gè)對(duì)稱中心在內(nèi)，第三個(gè)對(duì)稱中心不在內(nèi)可求得，結(jié)合可得，再利用平移變換求出，根據(jù)三角變換化簡(jiǎn)可得，然后由二倍角公式可解.【詳解】由得，因?yàn)楹瘮?shù)在內(nèi)恰有兩個(gè)對(duì)稱中心，所以，解得，又，所以，即，所以，將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位得到函數(shù)，即，因?yàn)椋?故選：A8.六位爸爸站在幼兒園門口等待接六位小朋友放學(xué)，小朋友們隨機(jī)排成一列隊(duì)伍依次走出幼兒園，爸爸們也隨機(jī)分兩列隊(duì)伍依次排隊(duì)站在幼兒園門口的兩側(cè)，每列3人.則爸爸們不需要通過插隊(duì)就能接到自己家的小朋友的概率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用排列應(yīng)用問題、及組合計(jì)數(shù)求出基本事件數(shù)，再利用古典概率計(jì)算即得.【詳解】不妨假設(shè)六位爸爸已經(jīng)站好了位置，不同站位方法數(shù)為，小孩找到各自的爸爸，則其為定序問題，不同站位方法數(shù)為所以不需要插隊(duì)的概率.故選：B二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.等邊邊長(zhǎng)為2，，，與交于點(diǎn)，則（）A. B.C. D.在方向上的投影向量為【答案】BD【解析】【分析】利用平面向量的線性運(yùn)算可判斷A選項(xiàng)的正誤；以為坐標(biāo)原點(diǎn)，、分別為軸、軸正方向建立平面直角坐標(biāo)系，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，可判斷B選項(xiàng)的正誤；利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算和投影向量的定義可判斷CD選項(xiàng)的正誤.【詳解】對(duì)于A，由平面向量線性運(yùn)算可得，，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，、分別為軸、軸正方向建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，則設(shè)，，所以，因?yàn)?，所以，解得，所以，B正確；對(duì)于C，由B可知，，所以，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，所以，所以在方向上的投影向量為，D正確；故選：BD.10.正方體的棱長(zhǎng)為6，，分別是棱，的中點(diǎn)，過，，作正方體的截面，則（）A.該截面是五邊形B.四面體外接球的球心在該截面上C.該截面與底面夾角的正切值為D.該截面將正方體分成兩部分，則較小部分的體積為75【答案】ACD【解析】【分析】對(duì)于A，過三點(diǎn)作正方體的截面即可；對(duì)于B，計(jì)算四面體外接球半徑，以及外接圓半徑，比較球心與圓心是否重合即可；對(duì)于C，建立空間直角坐標(biāo)系，計(jì)算平面和平面的法向量即可；對(duì)于D，將被截正方體較小部分體積分為5個(gè)三棱錐計(jì)算即可.【詳解】對(duì)于A，如圖①所示，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于，連接交于，連接交于，連接，，則五邊形為平面截正方體所得截面，故A正確；對(duì)于B，如圖②所示，設(shè)三棱錐底面外心為，三棱錐外接球球心為，且,在中，,，所以外接圓半徑為,所以在中，三棱錐外接球半徑,所以三棱錐外接球球心到三點(diǎn)的距離都為.在中，，所以外接圓半徑,所以四面體外接球的球心不在該截面上，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，如圖③所示，以分別為軸建立如圖空間直角坐標(biāo)系，且正方體邊長(zhǎng)為6，即，所以，設(shè)為平面的法向量，則，取，所以，又因?yàn)槠矫妫蕿槠矫娴姆ㄏ蛄?，則，，故C正確；對(duì)于D，如圖④所示，取中點(diǎn)，連接,因?yàn)?，所以，即，又因?yàn)?，所以，即，同理，由得，由得，所以，，，?所以該截面將正方體分成兩部分，較小部分體積為，故D正確.故選：ACD.11.已知、是橢圓：上兩個(gè)不同的動(dòng)點(diǎn)（不關(guān)于兩坐標(biāo)軸及原點(diǎn)對(duì)稱），是左焦點(diǎn)，為離心率.則下列結(jié)論正確的是（）A.直線的斜率為1時(shí)，在軸上的截距小于B.周長(zhǎng)的最大值是C.當(dāng)直線過點(diǎn)，且中點(diǎn)縱坐標(biāo)的最大值為時(shí)，則D.當(dāng)時(shí)，線段中垂線與兩坐標(biāo)軸所圍成三角形面積的取值范圍是【答案】ABD【解析】【分析】由題意，設(shè)出直線的方程，將直線的方程與橢圓方程聯(lián)立，結(jié)合根的判別式以及和的關(guān)系即可判斷選項(xiàng)A；設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，得到周長(zhǎng)的表達(dá)式，進(jìn)而可判斷選項(xiàng)B；設(shè)出中點(diǎn)的坐標(biāo)，利用斜率公式以及離心率公式即可判斷選項(xiàng)C；設(shè)出線段的中垂線所在的直線方程，得到三角形面積，設(shè)出直線的方程，將直線的方程與橢圓方程聯(lián)立，得到線段的中點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合所求三角形面積再進(jìn)行整理，進(jìn)而可判斷選項(xiàng)D．【詳解】對(duì)于A，設(shè)：，聯(lián)立，消去并整理得：，由，又，，即，故A正確；對(duì)于B，設(shè)右焦點(diǎn)為，則周長(zhǎng)，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)取到，故B正確；對(duì)于C，設(shè)中點(diǎn)為，由點(diǎn)差法可知，即，設(shè)，則，，而，故，故C錯(cuò)誤；另解：易知軌跡是以為長(zhǎng)軸，離心率為的橢圓，，即該橢圓的短半軸長(zhǎng)為，故，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，顯然直線存在斜率且不為零.設(shè)線段的中垂線所在的直線方程為，則.設(shè)直線的方程為，聯(lián)立：，即，，線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，代入，即..又僅當(dāng)、關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱時(shí)，，故，，故D正確.另解：設(shè)線段中點(diǎn)坐標(biāo)為，易得，線段的中垂線方程為.令，得，令，得..又，，.顯然，，故D正確.故選：ABD.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：解決直線與橢圓的綜合問題時(shí)，要注意：(1)注意觀察應(yīng)用題設(shè)中的每一個(gè)條件，明確確定直線、橢圓的條件；(2)強(qiáng)化有關(guān)直線與橢圓聯(lián)立得出一元二次方程后的運(yùn)算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長(zhǎng)、斜率、三角形的面積等問題．第II卷（非選擇題）三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.12.在中，，，分別為三個(gè)內(nèi)角，，的對(duì)邊，其中，，，則______.【答案】3【解析】【分析】利用余弦定理可求解.【詳解】由余弦定理：得：.所以或（不合題意，舍去）.故答案為：313.若關(guān)于，的三項(xiàng)式的展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為64，則______；其中項(xiàng)系數(shù)的最大值為______.【答案】①.6②.##【解析】【分析】令，得，即可求得n的值，利用組合知識(shí)求得項(xiàng)系數(shù)為，然后利用基本不等式求解最值即可.【詳解】三項(xiàng)式的展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為64，則令，得，解得；所以三項(xiàng)式的展開式中項(xiàng)系數(shù)為：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即項(xiàng)系數(shù)的最大值為.故答案為：6；14.不經(jīng)過第四象限的直線與函數(shù)的圖象從左往右依次交于三個(gè)不同的點(diǎn)，，，且，，成等差數(shù)列，則的最小值為______.【答案】【解析】【分析】設(shè)不經(jīng)過第四象限的直線（，），設(shè)，問題轉(zhuǎn)化為該函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，根據(jù)函數(shù)函數(shù)零點(diǎn)的關(guān)系，把，都用表示出來，再根據(jù)，，成等差數(shù)列，可得的取值范圍，進(jìn)一步求出的最小值.【詳解】易知必存在斜率，設(shè)：，不經(jīng)過第四象限，，設(shè)，，，其中，，，為方程的三個(gè)根，構(gòu)造函數(shù)，則，所以，易知.我們先將視作為定值，則由，可得.又，且，.于是的取值隨著的增大而減小，故當(dāng)時(shí)取最大值，此時(shí)，解得.同理.，.若，，成等差，所以，即，整理即，解得，，即的最小值為.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，可把寫成的形式，展開后，利用多項(xiàng)式相等表示出，，.和，的關(guān)系是解決這問題的關(guān)鍵點(diǎn).四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知在正三棱柱中，，.（1）已知，分別為棱，的中點(diǎn)，求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）為中點(diǎn)，通過證明，證明平面；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，向量法求線面角的正弦值.【小問1詳解】取中點(diǎn)，連接，.，分別為，中點(diǎn)，且，又為中點(diǎn)，且，且，故四邊形是平行四邊形，.而平面，面，平面.【小問2詳解】如圖以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，分別為，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，則.設(shè)平面法向量為，則，令，得，，.又，.即直線與平面所成角的正弦值是.16.近年來，景德鎮(zhèn)市積極探索傳統(tǒng)文化與現(xiàn)代生活的連接點(diǎn)，活化利用陶溪川等工業(yè)遺產(chǎn)，創(chuàng)新場(chǎng)景和內(nèi)容，打造了創(chuàng)意集、陶然集、春秋大集“三大集市”IP，讓傳統(tǒng)文化綻放當(dāng)代生命力.為了了解游客喜歡景德鎮(zhèn)是否與年齡有關(guān)，隨機(jī)選取了來景旅游的老年人和年輕人各50人進(jìn)行調(diào)查，調(diào)查結(jié)果如表所示：喜歡景德鎮(zhèn)不喜歡景德鎮(zhèn)合計(jì)年輕人302050老年人153550合計(jì)4555100（1）判斷是否有的把握認(rèn)為游客喜歡景德鎮(zhèn)與年齡有關(guān)？（2）2024年春節(jié)期間，景德鎮(zhèn)某旅行社推出了A、B兩條旅游路線.現(xiàn)有甲、乙、丙共3名游客，他們都決定在A、B路線中選擇其中一條路線旅游，他們之間選擇哪條旅游路線相互獨(dú)立.其中甲選擇A路線的概率為，而乙、丙選擇A路線的概率均為，且在三人中有且僅有1人選擇A路線的條件下該人為甲的概率為.設(shè)表示這3位游客中選擇A路線的人數(shù)，求的分布列與數(shù)學(xué)期望.附：0.1000.0500.0102.7063.8416.635【答案】（1）有的把握認(rèn)為游客喜歡景德鎮(zhèn)與年齡有關(guān)；（2）分布列見解析，【解析】【分析】（1）根據(jù)公式求得卡方，從而即可求解；（2）根據(jù)貝葉斯公式結(jié)合題意可得，根據(jù)分布列的求解步驟和期望公式即可求解.【小問1詳解】，有的把握認(rèn)為游客喜歡景德鎮(zhèn)與年齡有關(guān)；【小問2詳解】根據(jù)貝葉斯公式可知三人中有且僅有1人選擇路線的條件下該人為甲的概率為，，解得：，由題意可知，的取值為0，1，2，3.；；；.的分布列為的數(shù)學(xué)期望是.17.已知是雙曲線：上的一個(gè)點(diǎn)，且與兩焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形的面積是.（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）是的右頂點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與交于異于的不同兩點(diǎn)、，與直線交于點(diǎn).連接，并過作的平行線分別與直線、交于、兩點(diǎn).求證：是線段的中點(diǎn).【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）將雙曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)代入方程，再結(jié)合三角形面積公式列式求解即可；（2）設(shè)直線方程，與雙曲線方程聯(lián)立，韋達(dá)定理，聯(lián)立直線與直線方程求得，同理求得，求得，即可證明.【小問1詳解】由題意可知，解得，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是.【小問2詳解】依題意直線斜率不為零，設(shè)：，，，由已知，，將直線與進(jìn)行聯(lián)立得：，整理得其中，根據(jù)韋達(dá)定理可知，.設(shè)直線：，直線：，兩者聯(lián)立，得：，同理得，，即線段的中點(diǎn)是定點(diǎn).18.已知函數(shù)，.（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；（2）已知實(shí)數(shù).①求證：函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)；②設(shè)該零點(diǎn)為，若圖象上有且只有一對(duì)點(diǎn)，關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）取極小值，無極大值（2）①證明見解析；②.【解析】【分析】（1）求導(dǎo)，分析函數(shù)的單調(diào)性，可得函數(shù)的極值.（2）①把問題轉(zhuǎn)化成，換元，令，，所以或，再分別判斷這兩個(gè)方程解得情況.②問題轉(zhuǎn)化成方程只有一個(gè)正根.根據(jù)零點(diǎn)的存在性求參數(shù)的取值范圍.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，則，令，函數(shù)在上單調(diào)遞減，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，取極小值.【小問2詳解】①令，換元，，即或.構(gòu)造函數(shù)，顯然單調(diào)遞增，且，方程必定存在一負(fù)根.對(duì)于函數(shù)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，恒成立，方程無根.當(dāng)實(shí)數(shù)時(shí)，函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn).②由上可知.構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)對(duì)稱性不妨假設(shè)，若存在唯一正根，則..，，，，令，即令，構(gòu)造函數(shù)，，且顯然上單調(diào)遞減，存在正零點(diǎn)的必要條件是.易證明當(dāng)時(shí)，，，只要當(dāng)時(shí)，就有，故是存在正零點(diǎn)的充要條件，而，且，，在上單調(diào)遞增，，又，故，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.19.設(shè)，是非空集合，定義二元有序?qū)蠟楹偷牡芽柗e.若，則稱是到的一個(gè)關(guān)系.當(dāng)時(shí)，則稱與是相關(guān)的，記作.已知非空集合上的關(guān)系是的一個(gè)子集，若滿足，有，則稱是自反的：若，有，則，則稱是對(duì)稱的；若，有，，則，則稱是傳遞的.且同時(shí)滿足以上三種關(guān)系時(shí)，則稱是集合中的一個(gè)等價(jià)關(guān)系，記作~.（1）設(shè)，，，，求集合與；（2）設(shè)是非空有限集合中的一個(gè)等價(jià)關(guān)系，記中的子集為的等價(jià)類，求證：存在有限個(gè)元素，使得，且對(duì)任意，；（3）已知數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列，其中，，數(shù)列滿足，其中，前項(xiàng)和為.若給出上的兩個(gè)關(guān)系和，請(qǐng)求出關(guān)系，判斷是否為上的等價(jià)關(guān)系.如果不是，請(qǐng)說明你的理由；如果是，請(qǐng)證明你的結(jié)論并請(qǐng)寫出中所有等價(jià)類作為元素構(gòu)成的商集合.【答案】（1），（2）證明見解析（3），是上的等價(jià)關(guān)系，證明見解析，【解析】【分析】（1）結(jié)合所給定義，分別求出時(shí)對(duì)應(yīng)的的值，時(shí)對(duì)應(yīng)的的值；（2）結(jié)合所給定義中的自反性、對(duì)稱性與傳遞