百校聯(lián)盟TOP20四月聯(lián)考全國一卷數(shù)學(xué)（理）試題

第Ⅰ卷（共60分）一、選擇題：本大題共12個小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．設(shè)集合，，則（）A．B．C．D．2．設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則（）A．B．C．D．3．已知是所在平面內(nèi)一點，且，，則（）A．2B．1C．D．4．把不超過實數(shù)的最大整數(shù)記作，則函數(shù)稱作取整函數(shù)，又叫高斯函數(shù).在上任取，則的概率為（）A．B．C．D．5．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則的值變動時，輸出的值不可能是（）A．B．9C．11D．136．已知點是雙曲線：的左，右焦點，點是以為直徑的圓與雙曲線的一個交點，若的面積為4，則雙曲線的漸近線方程為（）A．B．C．D．7．如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為（）A．B．C．D．288．已知定義域為的函數(shù)滿足，且時，，若且，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C.D.9．已知實數(shù)滿足約束條件，若，的取值范圍為集合，且，則實數(shù)的取值范圍是（）A．B．C．D．10．已知數(shù)列滿足，且數(shù)列是以8為公差的等差數(shù)列，設(shè)的前項和為，則滿足的的最小值為（）A．60B．61C．121D．12211．已知，若直線與的圖象有3個交點，且交點橫坐標(biāo)的最大值為，則（）A．B．C．D．12．在三棱錐中，，則三棱錐外接球的體積的最小值為（）A．B．C．D．二、填空題（每題4分，滿分20分，將答案填在答題紙上）13．已知，若，則實數(shù)的值為.14．已知的展開式中所有偶數(shù)項系數(shù)之和為496，則展開式中第3項的系數(shù)為.15．已知是橢圓上關(guān)于原點對稱的兩點，若橢圓上存在點，使得直線斜率的絕對值之和為1，則橢圓的離心率的取值范圍是.16．已知四邊形中，，設(shè)與面積分別為，則的最大值為.三、解答題（本大題共6題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）17．已知數(shù)列滿足，，設(shè).（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和.18．每年的寒冷天氣都會帶熱“御寒經(jīng)濟”，以餐飲業(yè)為例，當(dāng)外面太冷時，不少人都會選擇叫外賣上門，外賣商家的訂單就會增加，下表是某餐飲店從外賣數(shù)據(jù)中抽取的5天的日平均氣溫與外賣訂單數(shù).（1）經(jīng)過數(shù)據(jù)分析，一天內(nèi)平均氣溫與該店外賣訂單數(shù)（份）成線性相關(guān)關(guān)系，試建立關(guān)于的回歸方程，并預(yù)測氣溫為時該店的外賣訂單數(shù)（結(jié)果四舍五入保留整數(shù)）；（2）天氣預(yù)報預(yù)測未來一周內(nèi)（七天），有3天日平均氣溫不高于，若把這7天的預(yù)測數(shù)據(jù)當(dāng)成真實數(shù)據(jù)，則從這7天任意選取3天，預(yù)測外賣訂單數(shù)不低于160份的天數(shù)為，求的分布列與期望.附注：回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：.19．如圖，在幾何體中，底面是平行四邊形，，，平面，與交于點.（1）求證：平面；（2）若平面與平面所成的銳二面角余弦值為，求線段的長度.20．已知動圓與直線相切，且與圓外切.（1）求動圓圓心軌跡的方程；（2）若直線：與曲線交于兩點，且曲線上存在兩點關(guān)于直線對稱，求實數(shù)的取值范圍及的取值范圍.21．已知.（1）若的圖象在處的切線與的圖象也相切，求實數(shù)的值；（2）若有兩個不同的極值點，求證：.請考生在22、23二題中任選一題作答，如果都做，則按所做的第一題記分.22．選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，），以原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）若直線過點，求直線的極坐標(biāo)方程；（2）若直線與曲線交于兩點，求的最大值.23．選修45：不等式選講已知函數(shù).（1）解不等式；（2）若（）對任意恒成立，求證：.數(shù)學(xué)（理科）參考答案 一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．題號123456789101112答案DBCDCC科_網(wǎng)]ABABBC二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡中對應(yīng)題號后的橫線上.13．114．27015．16．三、解答題：本大題共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．解：(Ⅰ)由,得，代入得，即，所以數(shù)列是公差為3的等差數(shù)列，又，所以，即，所以，所以.(Ⅱ)由得，所以，，兩式相減得所以.18．(Ⅰ)由題意可知，，，，所以，，所以關(guān)于的回歸方程為當(dāng)時，.所以可預(yù)測當(dāng)平均氣溫為時，該店的外賣訂單數(shù)為193份.（Ⅱ）由題意知，的取值可能為0，1，2，3.，，，所以的分布列為.19．解：(Ⅰ)取中點，連接，在中，是的中點，是的中點，所以，又，所以所以四邊形為平行四邊形，所以，又因為平面，平面，故平面.（Ⅱ）由，，可得，所以，又平面，故以為坐標(biāo)原點，直線分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，設(shè)，則，，所以，，.設(shè)平面的一個法向量，則即，取得，設(shè)平面的一個法向量，則即，取得，設(shè)平面與平面所成的銳二面角為，則，整理得，解得或，所以或.20.解：(Ⅰ)圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程為，設(shè)動圓圓心坐標(biāo)為，由動圓與直線相切，且與圓外切，得，兩邊平方整理得.所以動圓圓心軌跡的方程為.(Ⅱ)與聯(lián)立得，，因為直線與曲線交于兩點，所以，解得，①設(shè)，則，，所以，因為點關(guān)于直線對稱，設(shè)直線方程為，與聯(lián)立得，,由，得，設(shè)，中點則，因為點也在直線上，所以，所以，代入得，②由①②得，實數(shù)的取值范圍為.又，所以，因為，所以，所以，所以的取值范圍是.21．解：(Ⅰ)因為，所以所以，，所以的圖象在處的切線方程為，即，與聯(lián)立得，，因為直線與的圖象相切，所以，解得.(Ⅱ)，，若，是增函數(shù)，最多有一個實根，最多有一個極值點，不滿足題意，所以，由題意知，兩式相減得，由，設(shè)，則，要證，即證時，恒成立，即恒成立，即恒成立，設(shè)，則，所以在上是增函數(shù)，所以，所以時，恒成立，即.22.解：(Ⅰ)由直線過點，得所以，結(jié)合，得，所以直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），消去，得，把，代入得