912余弦定理教學(xué)設(shè)計(jì)-2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教B版

9.1.2余弦定理教學(xué)設(shè)計(jì)一、教材分析“余弦定理”是解決有關(guān)斜三角形問題的兩個重要定理之一,也是初中“勾股定理”內(nèi)容的直接延拓,它是三角函數(shù)一般知識和平面向量知識在三角形中的具體運(yùn)用,是解可轉(zhuǎn)化為三角形計(jì)算問題的其他數(shù)學(xué)問題及生產(chǎn)、生活實(shí)際問題的重要工具,是高考的必考內(nèi)容之一。本節(jié)的主要內(nèi)容是引入并證明余弦定理;余弦定理及其推論;余弦定理解三角形;余弦定理判斷三角形的形狀及在幾何計(jì)算等方面的應(yīng)用。突破難點(diǎn)的關(guān)鍵是在推導(dǎo)余弦定理之前復(fù)習(xí)平面向量的相關(guān)知識,引導(dǎo)學(xué)生注意向量在幾何中的用途是通過給線段賦予方向,由數(shù)量積可以將線段之間的長度、角度之間的關(guān)系聯(lián)系起來,為推導(dǎo)余弦定理的思維埋下伏筆。二、學(xué)情分析學(xué)生在已有的認(rèn)知基礎(chǔ)上，已經(jīng)學(xué)習(xí)了解直角三角形的內(nèi)容,又學(xué)習(xí)了三角函數(shù)的有關(guān)知識和平面向量的相關(guān)內(nèi)容，對解直角三角形、三角函數(shù)、平面向量知識已形成一定的知識框架,另外,前面學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了正弦定理的有關(guān)內(nèi)容,對正弦定理的探究過程有了一定的掌握，對于三角形中的邊角關(guān)系有了較深一步的認(rèn)識。但學(xué)生可能還會遇到問題:由于學(xué)生缺乏應(yīng)用數(shù)學(xué)知識的意識,創(chuàng)造力較弱,看待與分析問題不深入，知識的系統(tǒng)性不完善，使得學(xué)生在余弦定理推導(dǎo)方法的探求上有一定的難度,即如何聯(lián)想到用向量、解析方法和三角方法等多種途徑證明余弦定理有困難，即將求邊的問題轉(zhuǎn)化為求向量的模、兩點(diǎn)間的距離的問題有困難。三、教學(xué)過程課標(biāo)要求掌握余弦定理及其推論2.會用平面向量方法證明余弦定理3.能利用余弦定理解決兩類解三角形問題教學(xué)目標(biāo)學(xué)科素養(yǎng)直觀想象邏輯推理數(shù)學(xué)抽象與數(shù)學(xué)運(yùn)算特色目標(biāo)匠心筑夢琢玉成器育人目標(biāo)在探索余弦定理的過程中，培養(yǎng)學(xué)生探索精神和創(chuàng)新意識，形成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)思維方式，培養(yǎng)用數(shù)學(xué)觀點(diǎn)解決問題的能力和意識教學(xué)重難點(diǎn)重點(diǎn)余弦定理及其推論在解三角形中的應(yīng)用難點(diǎn)余弦定理的發(fā)現(xiàn)與證明教學(xué)方式啟發(fā)式教學(xué)探究式教學(xué)教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)內(nèi)容師生互動設(shè)計(jì)意圖創(chuàng)設(shè)情境引出課題多媒體展示岫巖山峰圖片，以及喜鵲大嶺施工照片，引出情境與問題:高速公路的路線規(guī)劃經(jīng)過一座小山丘，我縣施工隊(duì)現(xiàn)需要挖一段隧道.開挖前需要測量出山腳的長度，但兩山腳之間的距離無法直接測量.若在點(diǎn)C用測量儀已經(jīng)測出AC、BC的距離及∠ACB的大小，請問要如何才能知道山腳AB的長度呢？問題1該問題給出了三角形中哪些元素？用來解決什么問題？問題2.該問題能直接用正弦定理求解嗎？教師操作多媒體.師生共同得出問題的答案,問題1:知道了三角形的兩邊AC、BC和夾角C,求另一邊AB。問題2:不能,正弦定理不能直接解已知兩邊及其夾角的三角形。并多媒體展示學(xué)習(xí)目標(biāo)。通過設(shè)置情境，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，在情境中提出問題，引導(dǎo)學(xué)生探究問題，調(diào)動學(xué)生的積極性，使他們以強(qiáng)烈的求知欲和飽滿的熱情來學(xué)習(xí)新知識。設(shè)置問題學(xué)習(xí)新知目標(biāo)1：借助向量的運(yùn)算推導(dǎo)余弦定理問題1：情境導(dǎo)入中的問題轉(zhuǎn)抽象成數(shù)學(xué)模型，已知AC，BC和角C，如何求AB？用向量坐標(biāo)表示或者其他方法可以求出AB嗎？作為本節(jié)課第一個課后作業(yè)。得出新知：余弦定理，公式表達(dá)：語言敘述：三角形任何一邊的平方，等于其他兩邊的平方和減去這兩邊與它們夾角余弦的積的2倍.3.回到導(dǎo)入中的問題：在△ABC中，已知a=3km，b=5km，C=120°，求c．教師引導(dǎo)學(xué)生用向量法求AB，師生得出余弦定理求邊c的表達(dá)式，多媒體演示動態(tài)圖歸納出余弦定理表達(dá)式。師生共同總結(jié)余弦定理的公式表達(dá)與語言敘述，教師板書，學(xué)生觀察公式的特點(diǎn)，熟記。師生共同解決導(dǎo)入問題。通過情境導(dǎo)入抽象成數(shù)學(xué)模型培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)，從而引出余弦定理的表達(dá)式,讓學(xué)生感受公式的推導(dǎo)過程，多媒體動態(tài)展示讓學(xué)生更容易歸納出余弦定理表達(dá)式，培養(yǎng)學(xué)生直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)。完成學(xué)習(xí)目標(biāo)1。通過余弦定理的學(xué)習(xí)，解決導(dǎo)入問題。提升學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用能力。應(yīng)用舉例歸納方法目標(biāo)2：掌握余弦定理及其推論，能用余弦定理解三角形1.例1已知△ABC中，a=3，b=6，C=60°，求c.歸納:余弦定理可以解已知兩邊及其夾角的三角形.變式訓(xùn)練:本題條件不變，結(jié)論改為求解這個三角形2.例2已知△ABC中，a=6，b=4，c=2√7，求C.歸納：余弦定理可以解已知三邊的三角形.【鏈接高考】：（2023上海.8）已知△ABC中，a=4，b=5，c=6，sinA=.3.提出問題：借助余弦定理，怎樣用三條邊來表示三個角？4.得出新知:余弦定理的推論。5.提出問題，根據(jù)余弦定理和推論你能得出余弦定理可以解什么條件的三角形嗎？6.如果把夾角變成一邊對角，如何用余弦定理進(jìn)行求解呢？在△ABC中，教師操作課件，引導(dǎo)學(xué)生自己解決問題，教師環(huán)視。學(xué)生獨(dú)立思考變式訓(xùn)練，判斷解三角形的其他元素的先后順序，以及使用的定理.師生共同總結(jié)出余弦定理可以解已知三邊的三角形。學(xué)生獨(dú)立思考，一名同學(xué)上黑板板演，教師檢查學(xué)生解答過程，并巡視。師生得出余弦定理的推論教師板書余弦定理的推論學(xué)生記憶公式。學(xué)生回答加深記憶學(xué)生小組討論，教師巡視，并指導(dǎo)?？偨Y(jié)正弦定理和余弦定理解本題的優(yōu)缺點(diǎn)。幫助學(xué)生深化對余弦定理的理解，感受數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用，鍛煉學(xué)生的應(yīng)用能力和計(jì)算能力。培養(yǎng)學(xué)生養(yǎng)成及時進(jìn)行歸納的意識,提高其總結(jié)能力。進(jìn)一步加深學(xué)生對余弦定理及其推論的認(rèn)識，理解其應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算的學(xué)科素養(yǎng)。通過高考題引發(fā)學(xué)生興趣，板演看過程。對余弦定理變形，引出余弦定理的推論，培養(yǎng)學(xué)生大膽探索、勤于發(fā)現(xiàn)新知識的意識。幫助學(xué)生記準(zhǔn)余弦定理及其推論。進(jìn)一步加深學(xué)生對余弦定理公式中知三求一的理解，培養(yǎng)學(xué)生的歸納推理能力。歸納小結(jié)回顧新知由學(xué)生總結(jié)本節(jié)課的重