高中數學函數的單調性

PAGE|初一·數學·基礎-提高-精英·學生版|第1講第頁2-2函數的基本性質 pagePAGE4ofNUMPAGES6 函數的函數的單調性（一）知識內容函數單調性的定義：①如果函數對區(qū)間內的任意，當時都有，則稱在內是增函數；當時都有，則在內時減函數．②設函數在某區(qū)間內可導，若，則為的增函數；若，則為的減函數．單調性的定義①的等價形式：設，那么在是增函數；在是減函數；在是減函數．復合函數單調性的判斷：“同增異減”函數單調性的應用．利用定義都是充要性命題．即若在區(qū)間上遞增（遞減）且（）；若在區(qū)間上遞遞減且．（）．①比較函數值的大?、诳捎脕斫獠坏仁剑矍蠛瘮档闹涤蚧蜃钪档龋ǘ┲饕椒?．討論函數單調性必須在其定義域內進行，因此要研究函數單調性必須先求函數的定義域，函數的單調區(qū)間是定義域的子集；2．判斷函數的單調性的方法有：⑴用定義；用定義法證明函數單調性的一般步驟：①取值：即設，是該區(qū)間內的任意兩個值，且②作差變形：通過因式分解、配方，有理化等方法，向有利于判斷差的符號的方向變形．③定號：確定差（或）的符號，若符號不確定，可以進行分類討論．④下結論：即根據定義得出結論，注意下結論時不要忘記說明區(qū)間．⑵用已知函數的單調性；⑶利用函數的導數；⑷如果在區(qū)間上是增（減）函數，那么在的任一非空子區(qū)間上也是增（減）函數；⑸圖象法；⑹復合函數的單調性結論：“同增異減”；復合函數的概念：如果是的函數，記作，是的函數，記為，且的值域與的定義域的交集非空，則通過確定了是的函數，這時叫做的復合函數，其中叫做中間變量，叫做外層函數，叫做內層函數．注意：只有當外層函數的定義域與內層函數的值域的交集非空時才能構成復合函數．⑺奇函數在對稱的單調區(qū)間內有相同的單調性，偶函數在對稱的單調區(qū)間內具有相反的單調性．⑻互為反函數的兩個函數具有相同的單調性．⑼在公共定義域內，增函數增函數是增函數；減函數減函數是減函數；增函數減函數是增函數；減函數增函數是減函數．⑽函數在上單調遞增；在上是單調遞減．3．證明函數單調性的方法：⑴利用單調性定義①；⑵利用單調性定義②（三）典例分析如圖是定義在區(qū)間上的函數，根據圖象說出函數的單調區(qū)間，以及在每一單調區(qū)間上，它是增函數還是減函數？試用函數單調性的定義判斷函數在區(qū)間上的單調性．根據函數單調性的定義，證明函數在上是減函數．證明函數在定義域上是減函數．證明函數在定義域上是增函數．求下列函數的單調區(qū)間：⑴；⑵（）．求下列函數的單調區(qū)間：⑴；⑵作出函數的圖象，并結合圖象寫出它的單調區(qū)間．討論函數的單調性．討論函數在內的單調性．拓展：若在是減函數，在上是增函數，則=______討論函數的單調性．求函數的單調區(qū)間．設，是定義在有限集合上的單調遞增函數，且對任何，有．那么，（）A．B．C．D．若是上的減函數，且的圖象經過點和點，則不等式的解集為（）．A． B． C． D．函數（，）的遞增區(qū)間是（）A． B．或C． D．或已知（且）是上的增函數．則實數的取值范圍是（）．A． B．C． D．已知是定義在上的增函數，且當時，，，則．求函數，的最小值．點評由對函數的分析，可以很快得到函數的性質：⑴函數為奇函數；⑵函數在上為增函數，在上為減函數，在上為減函數，在上為增函數；⑶函數在上有最小值為，在上有最大值為．求函數的最小值．求函數的最值．已知是定義在上的增函數，且．⑴求證：，；⑵若，解不等式．已知函數對任意實數，均有．且當＞0時，，試判斷的單