青島 數(shù)學(xué) 八上 第2章《線段的垂直平分線》課件

2.4線段的垂直平分線第2章圖形的軸對(duì)稱逐點(diǎn)導(dǎo)講練課堂小結(jié)作業(yè)提升課時(shí)講解1課時(shí)流程2線段的垂直平分線線段垂直平分線的性質(zhì)線段垂直平分線的判定作線段的垂直平分線過(guò)一點(diǎn)作已知直線的垂最短路徑問(wèn)題知識(shí)點(diǎn)線段的垂直平分線知1－講1

知1－講特別提醒：(1)線段的垂直平分線是一條直線，不是線段或射線.(2)線段是軸對(duì)稱圖形，它的垂直平分線就是它的一條對(duì)稱軸.知1－講特別解讀線段的垂直平分線必須滿足兩個(gè)條件：(1)經(jīng)過(guò)線段的中點(diǎn)；(2)垂直于這條線段.知1－練例1[新考法定義辨析法]下列說(shuō)法正確的有()①

P是線段AB

上的一點(diǎn)，直線l

經(jīng)過(guò)點(diǎn)P

且l⊥AB，則l是線段AB的垂直平分線；②直線l

經(jīng)過(guò)線段AB

的中點(diǎn)P，則l是線段AB的垂直平分線；③經(jīng)過(guò)線段AB

的中點(diǎn)P

且垂直于線段AB

的直線l

是線段AB的垂直平分線.A.0個(gè)

B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)知1－練解：①只滿足垂直條件，而沒(méi)有經(jīng)過(guò)線段中點(diǎn)的條件，故錯(cuò)誤；②只滿足經(jīng)過(guò)線段中點(diǎn)的條件，而沒(méi)有垂直條件，故錯(cuò)誤；③直線l

既經(jīng)過(guò)線段AB

的中點(diǎn)P，又垂直于線段AB，故正確.答案：B解題秘方：本題應(yīng)用定義法，根據(jù)線段垂直平分線的定義進(jìn)行判斷即可.知1－練1-1.如圖，AB

的垂直平分線為直線MN，點(diǎn)P在MN

上，連接PA，PB.下列結(jié)論不一定正確的是()A.S

△

APO=S

△

BPOB.OA=OBC.OP=OBD.PO

平分∠APBC知2－講知識(shí)點(diǎn)線段垂直平分線的性質(zhì)21.性質(zhì)線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等.前提是點(diǎn)在線段的垂直平分線上.2.幾何語(yǔ)言如圖2.4-2.因?yàn)镻O⊥AB于點(diǎn)O，AO=BO，所以PA=PB.知2－講特別解讀用線段垂直平分線的性質(zhì)可直接說(shuō)明線段相等，不必用三角形全等來(lái)說(shuō)明，因此它為說(shuō)明線段相等提供了新方法.知2－練如圖2.4-3，AD⊥BC，BD=DC，點(diǎn)C

在線段AE

的垂直平分線上，則AB，AC，CE

的長(zhǎng)度關(guān)系為()A.AB>AC=CE

B.AB=AC>CEC.AB>AC>CE

D.AB=AC=CE例2知2－練解題秘方：根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出AB，AC，CE之間的關(guān)系.解：因?yàn)锳D⊥BC，BD=DC，所以AB=AC.因?yàn)辄c(diǎn)C

在線段AE

的垂直平分線上，所以AC=CE.所以AB=AC=CE.答案：D知2－練2-1.如圖，直線PD

和直線PE

分別是線段AB，BC

的垂直平分線，判斷PA

和PC

的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.知2－練解：PA＝PC.理由如下：如圖，連接PB，因?yàn)橹本€PD是線段AB的垂直平分線，所以PA＝PB.同理PC＝PB，所以PA＝PC.知2－練如圖2.4-4，在△

ABC中，∠A=40°，∠B=90°，邊AC的垂直平分線交AB

于點(diǎn)M，交AC

于點(diǎn)N，求∠BCM的度數(shù).例3解題秘方：利用線段垂直平分線的性質(zhì)得到線段相等，為三角形全等創(chuàng)造條件，從而將要求的角向已知角轉(zhuǎn)化.知2－練解：在△ABC

中，因?yàn)椤螧=90°，∠A=40°.所以∠ACB=90°－40°=50°.因?yàn)镸N

是線段AC

的垂直平分線，所以MA=MC，AN=CN.知2－練

知2－練3-1.[模擬·濟(jì)寧]如圖，∠C=90°，AB

的垂直平分線交BC

于點(diǎn)D，交AB于E，連接AD，若∠

CAD=20°，則∠B=()A.20°B.30°C.35°D.40°C知2－練[母題教材P50習(xí)題T5]如圖2.4-5，在△ABC中，AB=5cm，BC

的垂直平分線分別交AB，BC

于點(diǎn)D，E，△ACD

的周長(zhǎng)為8cm，求線段AC

的長(zhǎng).例4解題秘方：利用線段垂直平分線的性質(zhì)將要求的線段向已知線段轉(zhuǎn)化.知2－練解：因?yàn)镈E

為BC

的垂直平分線，所以CD=BD.所以△ACD

的周長(zhǎng)=AC＋AD＋CD=AC＋AD＋BD=AC＋AB=8cm.因?yàn)锳B=5cm，所以AC=3cm.知2－練4-1.如圖，在△

ABC中，AB邊的垂直平分線分別交AB，BC

于點(diǎn)D，E，AC

邊的垂直平分線分別交AC，BC

于點(diǎn)F，G，連接AE，AG.若△AGE

的周長(zhǎng)為12，GE=2，則BC

的長(zhǎng)為()A.6B.8C.10D.12B知3－講知識(shí)點(diǎn)線段垂直平分線的判定31.判定到線段兩端距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上.條件是點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等；結(jié)論是點(diǎn)在線段的垂直平分線上.2.幾何語(yǔ)言如圖2.4-6，因?yàn)镻A=PB，所以點(diǎn)P

在線段AB

的垂直平分線上.3.作用①作線段的垂直平分線的依據(jù)；②可用來(lái)說(shuō)明線段垂直、相等.拓展：三角形三邊的垂直平分線相交于一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等.知3－講知3－講特別解讀1.說(shuō)明一個(gè)點(diǎn)在一條線段的垂直平分線上，思路有兩種：一是作垂直，說(shuō)明平分；二是取中點(diǎn)，說(shuō)明垂直.2.說(shuō)明線段的垂直平分線，必須說(shuō)明兩個(gè)點(diǎn)在垂直平分線上.知3－練如圖2.4-7，AD

為∠

BAC的平分線，且交BC于點(diǎn)D，AE=AF，請(qǐng)判斷線段AD

所在的直線是否為線段EF

的垂直平分線，并說(shuō)明理由.例5解題秘方：說(shuō)明直線AD

上的點(diǎn)A和點(diǎn)D

到線段EF的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等即可.知3－練解：線段AD

所在的直線是線段EF的垂直平分線.理由如下：如圖2.4-7，連接DE，DF.因?yàn)锳D

是∠

BAC的平分線，所以∠EAD=∠FAD.知3－練

切忌只說(shuō)明一個(gè)點(diǎn)在線段的垂直平分線上，就說(shuō)過(guò)該點(diǎn)的直線是線段的垂直平分線.知3－練教你一招：判定線段垂直平分線的方法有兩種.一是定義法，二是判定方法.一般習(xí)慣用定義法進(jìn)行判定，而利用判定方法判定更簡(jiǎn)單.用判定方法判定一條直線是線段的垂直平分線時(shí)，一定要說(shuō)明直線上有兩點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.知3－練5-1.[模擬·云南]如圖，AC=BC，AD=BD，這個(gè)圖形叫做“箏形”，數(shù)學(xué)興趣小組的幾名同學(xué)探究出關(guān)于它的如下結(jié)論：①△ACD≌△BCD；②

AO=BO；③AB

⊥CD；④∠CAB=∠ABD.其中正確結(jié)論的序號(hào)是()A.①③④B.①②③C.①②④D.②③④B知3－練5-2.如圖，AD

與BC相交于點(diǎn)O，AB=CD，∠ABC=∠CDA，EB=ED，試說(shuō)明:OE⊥BD.知3－練如圖2.4-8，已知AB=AD，BC=DC，E是AC

上一點(diǎn).試說(shuō)明：(1)BE=DE；例6解題秘方：連接BD，要說(shuō)明BE=DE，只需說(shuō)明AC所在的直線是線段BD

的垂直平分線，再根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)即可得到BE=DE；知3－練解：如圖2.4-8，連接BD.因?yàn)锳B=AD，BC=CD，所以A，C

兩點(diǎn)均在線段BD

的垂直平分線上.所以AC所在的直線是線段BD

的垂直平分線.又因?yàn)镋

是AC上一點(diǎn)，所以BE=DE.知3－練(2)∠

ABE=∠ADE.解題秘方：說(shuō)明△

ABE≌△ADE即可.解：在△

ABE和△

ADE中，因?yàn)锳B=AD，BE=DE，AE=AE，所以△ABE≌△ADE(SSS).所以∠ABE=∠ADE.知3－練6-1.[2024·榮德原創(chuàng)]如圖，在△ABC

中，DM，EN

分別垂直平分邊AC

和邊BC，交邊AB于M，N

兩點(diǎn)，DM與EN

相交于點(diǎn)F.試說(shuō)明：點(diǎn)F

在AB的垂直平分線上.知3－練解：連接AF,CF，BF.因?yàn)镈M垂直平分邊AC，所以AF＝CF.因?yàn)镋N垂直平分邊BC，所以BF＝CF.所以AF＝BF.所以點(diǎn)F在AB的垂直平分線上．知4－講知識(shí)點(diǎn)作線段的垂直平分線4作已知線段的垂直平分線如圖2.4-9，已知線段AB，求作線段AB

的垂直平分線.

知4－講知4－講

知4－練[情境題生活應(yīng)用]如圖2.4-11，某城市規(guī)劃局為了方便居民的生活，計(jì)劃在A，B，C

三個(gè)住宅小區(qū)之間修建一個(gè)購(gòu)物中心，試問(wèn)：該購(gòu)物中心應(yīng)建于何處，才能使得它到三個(gè)住宅小區(qū)的距離相等？例7知4－練解題秘方：本題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題就是要找一個(gè)點(diǎn)，使它到三個(gè)點(diǎn)的距離相等.連接AB，BC，到A，B

兩點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在線段AB

的垂直平分線上，到B，C兩點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在線段BC的垂直平分線上，因此兩條垂直平分線的交點(diǎn)即為所求.知4－練解：如圖2.4-11所示.連接AB，BC，分別作AB，BC

的垂直平分線DE，GF，兩直線交于點(diǎn)M，則點(diǎn)M

就是所要確定的修建購(gòu)物中心的位置.知4－練7-1.某通訊工程隊(duì)準(zhǔn)備在一段筆直的公路l上修建一個(gè)5G信號(hào)基站，以服務(wù)公路旁的A，B

兩個(gè)工業(yè)園區(qū)(如圖)，要求該基站到A，B兩個(gè)工業(yè)園區(qū)的距離相等，通過(guò)作圖，確定該基站修建的位置.(不寫做法，但要保留作圖痕跡)知4－練解：如圖，點(diǎn)P即為所求．知5－講知識(shí)點(diǎn)過(guò)一點(diǎn)作已知直線的垂線51.過(guò)已知直線上一點(diǎn)作垂線如圖2.4-12，已知直線l

和l

上一點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P

作直線l的垂線．知5－講做法：先在直線l

上作出以點(diǎn)P

為中點(diǎn)的線段AB，再作線段AB的垂直平分線CD，則直線CD為經(jīng)過(guò)點(diǎn)P

的直線l的垂線．如圖2.4-13.知5－練特別提醒因?yàn)辄c(diǎn)與直線的位置關(guān)系有點(diǎn)在直線上和點(diǎn)在直線外兩種情況，因此，過(guò)一點(diǎn)作已知直線的垂線需要分類討論.知5－講2.過(guò)已知直線外一點(diǎn)作垂線如圖2.4-14，已知直線l和l

外一點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作直線l的垂線．知5－講做法：任意取一點(diǎn)K，使點(diǎn)K

與點(diǎn)P

分別在直線l兩側(cè)，以點(diǎn)P為圓心，PK長(zhǎng)為半徑作弧交直線l

于A，B

兩點(diǎn)，再作線段AB

的垂直平分線CD，則直線CD

為經(jīng)過(guò)點(diǎn)P

的直線l的垂線.如圖2.4-15.知5－講知識(shí)儲(chǔ)備垂線的性質(zhì)：同一平面內(nèi)，經(jīng)過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直.知5－練[新趨勢(shì)過(guò)程性]學(xué)習(xí)下面是小明設(shè)計(jì)“作三角形一邊上的高”的尺規(guī)作圖過(guò)程.已知：△

ABC.求作：△

ABC的邊BC上的高AD.做法：(1)分別以點(diǎn)B和點(diǎn)C

為圓心，BA，CA

為半徑作弧，兩弧在BC

的下方相交于點(diǎn)E；(2)作直線AE交BC

邊于點(diǎn)D.所以線段AD

就是所求作的高.例8知5－練解題秘方：根據(jù)小明設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過(guò)程作圖即可；(1)如圖2.4-16，使用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖形(保留作圖痕跡)；解：如圖2.4-17，AD

即為所作.知5－練(2)完成下面的說(shuō)明.連接BE，CE.解：如圖2.4-17.解題秘方：根據(jù)線段垂直平分線的判定填空即可.知5－練因?yàn)锽A=______，所以點(diǎn)B

在線段AE

的垂直平分線上(___________________________________________).(填推理的依據(jù))同理，點(diǎn)C

也在線段AE

的垂直平分線上.所以BC

垂直平分AE(___________________).(填推理的依據(jù))所以AD

是△ABC

的高.BE到線段兩端距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上兩點(diǎn)確定一條直線知5－練規(guī)律總結(jié)作已知直線的垂線實(shí)質(zhì)上就是作該直線上某條線段的垂直平分線.知5－練8-1.如圖，已知鈍角三角形ABC，其中∠C

為鈍角，求作△ABC的中線AD和高AH.(保留作圖痕跡)知5－練解：如圖，作BC的垂直平分線m，交BC于點(diǎn)D，連接AD，則AD是所求作的△ABC的中線；延長(zhǎng)BC，過(guò)點(diǎn)A向BC的延長(zhǎng)線作垂線，垂足為H，則AH是所求作的△ABC的高．知6－講知識(shí)點(diǎn)最短路徑問(wèn)題61.直線異側(cè)的兩點(diǎn)到直線上一點(diǎn)的距離的和最短的問(wèn)題如圖2.4-18，點(diǎn)A，B

分別是直線l

異側(cè)的兩個(gè)點(diǎn)，在直線l

上找一點(diǎn)C，使CA＋CB

最小，這時(shí)直接連接AB

交直線l于點(diǎn)C，此時(shí)點(diǎn)C

就是所求作的點(diǎn).知6－講2.直線同側(cè)的兩點(diǎn)到直線上一點(diǎn)的距離的和最短的問(wèn)題如圖2.4-19，點(diǎn)A，B

分別是直線l

同側(cè)的兩個(gè)點(diǎn)，在直線l上找一點(diǎn)C，使CA＋CB

最小，這時(shí)作點(diǎn)B

關(guān)于直線l

的對(duì)稱點(diǎn)B′，連接AB′交直線l

于點(diǎn)C，此時(shí)點(diǎn)C

就是所求作的點(diǎn).知6－講特別解讀1.直線異側(cè)的兩點(diǎn)到直線上一點(diǎn)的距離的和最短的問(wèn)題是根據(jù)“兩點(diǎn)之間，線段最短”來(lái)解決的.2.直線同側(cè)的兩點(diǎn)到直線上一點(diǎn)的距離的和最短的問(wèn)題依據(jù)兩點(diǎn)：一是對(duì)稱軸上任何一點(diǎn)到一組對(duì)稱點(diǎn)的距離相等；二是利用依據(jù)一將同側(cè)的兩點(diǎn)轉(zhuǎn)化為異側(cè)的兩點(diǎn).知6－講[母題教材P49例2]某供電部門準(zhǔn)備在輸電主干線l

上連接一個(gè)分支線路，分支點(diǎn)為M，同時(shí)向新落成的A，B兩個(gè)小區(qū)送電．例9知6－練(1)如果小區(qū)A，B

在主干線l的異側(cè)，如圖2.4-20，那么分支點(diǎn)M

在什么地方時(shí)總路線最短？解題秘方：兩點(diǎn)在直線異側(cè)的最短路線問(wèn)題,直接連接兩點(diǎn)即可；知6－練解：如圖2.4-20，連接AB，AB

與l

的交點(diǎn)即為所求的分支點(diǎn)M．知6－練(2)如果小區(qū)A，B

在主干線l

的同側(cè)，如圖2.4-21，那么分支點(diǎn)M

在什么地方時(shí)總路線最短？解題秘方：兩點(diǎn)在直線同側(cè)的最短路線問(wèn)題，作其中一個(gè)點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，再和另一點(diǎn)連線即可.知6－練解：如圖2.4-21，作點(diǎn)B

關(guān)于l

的對(duì)稱點(diǎn)B1，連接AB1交l

于點(diǎn)M，連接BM，此時(shí)AM＋BM

最短，所以點(diǎn)M即為所求的分支點(diǎn).知6－練9-1.如圖，在邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，點(diǎn)A，B，C

在小正方形的頂點(diǎn)上．知6－練(1)在圖中畫出與△ABC

關(guān)于直線l

成軸對(duì)稱的△

AB′C′；解：如圖，△AB′C′即為所求．知6－練(2)在直線l上找一點(diǎn)O，使OA=OC；解：如圖，點(diǎn)O即為所求的點(diǎn)．知6－練(3)在直線l

上找一點(diǎn)P，使PB＋PC

的長(zhǎng)最短.解：點(diǎn)P如圖所示．知6－練[情境題生活應(yīng)用]如圖2.4-22，牧馬營(yíng)地在點(diǎn)P

處，每天牧馬人要趕著馬群先到草地a

上吃草，再到河邊b

處飲水，最后回到營(yíng)地.請(qǐng)你設(shè)計(jì)一條放牧路線，使其所走的總路程最短.例10知6－練解題秘方：要使其所走的總路程最短，可聯(lián)想到“兩點(diǎn)之間，線段最短”，因此需將三條線段轉(zhuǎn)化到一條線段上.如圖2.4-23，作點(diǎn)P

關(guān)于直線a

的對(duì)稱點(diǎn)P1，關(guān)于直線b

的對(duì)稱點(diǎn)P2，連接P1P2，分別交直線a，b

于點(diǎn)A，B，連接PA，PB，即得放牧所走的最短路線.知6－練解：如圖2.4-23，作點(diǎn)P

關(guān)于直線a的對(duì)稱點(diǎn)P1，關(guān)于直線b

的對(duì)稱點(diǎn)P2，連接P1P2，分別交直線a，b

于點(diǎn)A，B，連接PA，PB.由軸對(duì)稱的性質(zhì)知，PA=P1A，PB=P2B，所以先沿PA

到點(diǎn)A

處吃草，再沿AB

到點(diǎn)B

處飲水，最后沿BP

回到營(yíng)地，按這樣的路線放牧所走的總路程最短.