青島 數(shù)學(xué) 八上 第5章《幾何證明舉例》課件

5.6幾何證明舉例第5章幾何證明初步逐點(diǎn)導(dǎo)講練課堂小結(jié)作業(yè)提升課時(shí)講解1課時(shí)流程2全等三角形的判定方法與等腰三角形的性質(zhì)定理與判定定理有關(guān)的證明與線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)、角平分線(xiàn)有關(guān)的證明直角三角形全等的判定定理知識(shí)點(diǎn)全等三角形的判定方法知1－講11.基本事實(shí)兩邊及其夾角分別相等的兩個(gè)三角形全等，可簡(jiǎn)寫(xiě)為SAS.兩角及其夾邊分別相等的兩個(gè)三角形全等，可簡(jiǎn)寫(xiě)為ASA.三邊分別相等的兩個(gè)三角形全等，可簡(jiǎn)寫(xiě)為SSS.知1－講2.判定定理兩角分別相等且其中一組等角的對(duì)邊也相等的兩個(gè)三角形全等，可簡(jiǎn)寫(xiě)為AAS.知1－講特別提醒從基本事實(shí)SAS，ASA，SSS以及定理AAS出發(fā)可以判定兩個(gè)三角形全等，利用全等三角形對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角的定義，可以進(jìn)一步推證兩個(gè)全等三角形有關(guān)線(xiàn)段或角的關(guān)系知1－練例1[中考·陜西]如圖5.6－1，BD∥AC，BD=BC，點(diǎn)E

在BC

上，且BE=AC．求證：∠ABC=∠D．解題秘方：先根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)得到∠ACB=∠EBD，然后根據(jù)“SAS”可判斷△ABC≌△EDB，從而根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到結(jié)論．知1－練

知1－練1－1.[期中·濰坊]如圖，在△ABC

和△DBC中，∠ACB=∠DBC=90°，DE⊥AB于點(diǎn)F，且AB=DE，求證：BD=AC＋CE．證明：∵∠ACB＝90°，∴∠A＋∠ABC＝90°.∵DE⊥AB，∴∠EFB＝90°.∴∠DEB＋∠ABC＝90°.∴∠DEB＝∠A.知1－練知2－講知識(shí)點(diǎn)與等腰三角形的性質(zhì)定理與判定定理有關(guān)的證明21.等腰三角形的性質(zhì)定理(1)等腰三角形的兩個(gè)底角相等；(2)等腰三角形底邊上的高、中線(xiàn)及頂角的平分線(xiàn)重合.2.等腰三角形的判定定理有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形.知2－講3.等邊三角形的性質(zhì)定理等邊三角形的三邊相等，三個(gè)內(nèi)角都等于60°；等邊三角形每一邊上的高、中線(xiàn)及對(duì)角的平分線(xiàn)重合.4.等邊三角形的判定定理三邊都相等的三角形是等邊三角形；三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形；有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形.知2－講特別提醒1.利用等腰三角形的性質(zhì)與判定，也可以證明線(xiàn)段相等和角相等.2.等邊三角形是特殊的等腰三角形,除具有等腰三角形的一切性質(zhì)外，它還有特殊的性質(zhì):①它有三條對(duì)稱(chēng)軸;②三邊都相等;③三個(gè)內(nèi)角都等于60°等.知2－練[中考·泰安]如圖5.6－2，∠ABC=90°，D，E

分別在BC，AC

上，AD⊥DE，且AD=DE，點(diǎn)F

是AE

的中點(diǎn)，延長(zhǎng)FD

與AB

的延長(zhǎng)線(xiàn)相交于點(diǎn)M.例2解題秘方：本題考查了等腰三角形的性質(zhì)與判定、平行線(xiàn)的判定等.知2－練(1)求證：∠FMC=∠FCM.證明：∵AD=DE，AD⊥DE，點(diǎn)F

是AE

的中點(diǎn)，∴DF⊥AE，AF=EF，∠FDE=∠FDA=∠DEF=∠DAF=45°.∴DF=AF=EF，∠AMF＋∠MAC=90°.∵∠ABC=90°，∴∠DCF＋∠MAC=90°.∴∠DCF=∠AMF.知2－練

知2－練(2)AD

與MC

垂直嗎？并說(shuō)明理由.解：AD⊥MC.理由如下：由(1)知，∠MFC=90°，F(xiàn)D=EF，F(xiàn)M=FC，∴∠FDE=∠FMC=45°.∴DE∥CM.又∵AD⊥DE，∴AD⊥MC.知2－練2－1.[期末·煙臺(tái)]如圖，在△ABC

中，AB=AC，∠ABC

的角平分線(xiàn)交AC

于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)A

作AE∥

BC交BD

的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E．若F

是DE

上的一點(diǎn)，且AD=AF，求證：BD=EF．證明：∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE.∵AE∥BC，∴∠E＝∠CBE.∴∠E＝∠ABE.知2－練知2－練如圖5.6－3，△

ABC為等邊三角形，BD

平分∠ABC交AC

于點(diǎn)D，DE∥BC

交AB

于點(diǎn)E.求證：例3解題秘方：本題考查了等邊三角形的性質(zhì)與判定以及平行線(xiàn)的性質(zhì).知2－練(1)△

ADE是等邊三角形；證明：因?yàn)椤鰽BC

為等邊三角形，所以∠

A=∠ABC=∠C=60°.因?yàn)镈E∥BC，所以∠AED=∠ABC=60°，∠ADE=∠C=60°.所以△ADE

是等邊三角形.知2－練

知2－練3－1.[模擬·青島]如圖，在等邊三角形ABC中，D為邊AC

的中點(diǎn)，DG

//BC

交AB

于點(diǎn)G，E為BC

延長(zhǎng)線(xiàn)上的一點(diǎn)，且∠

EDF=120

°，DF交AB于點(diǎn)F．求證：知2－練(1)△CDE≌△GDF；知2－練知2－練

知3－講知識(shí)點(diǎn)與線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)、角平分線(xiàn)有關(guān)的證明31.線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)定理線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)到線(xiàn)段兩端的距離相等.2.線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)定理的逆定理到一條線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)，在這條線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上3.角平分線(xiàn)的性質(zhì)定理角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等.4.角平分線(xiàn)的性質(zhì)定理的逆定理角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線(xiàn)上.知3－講知3－講特別提醒線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)定理中的“距離”是指“兩點(diǎn)間的線(xiàn)段的長(zhǎng)”，而角平分線(xiàn)的性質(zhì)定理中的“距離”是指“點(diǎn)到直線(xiàn)的垂線(xiàn)段的長(zhǎng)”，要注意區(qū)分.知3－練[中考·杭州]如圖5.6－4，在△

ABC中，AC

＜AB＜BC．例4知3－練(1)如圖5.6－4①，已知線(xiàn)段AB

的垂直平分線(xiàn)與BC邊交于點(diǎn)P，連接AP，求證：∠APC=2∠B；解題秘方：根據(jù)線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)可知PA=PB，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠B=∠BAP，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)即可證得∠APC=2∠B；知3－練解：∵線(xiàn)段AB

的垂直平分線(xiàn)與BC

邊交于點(diǎn)P，∴PA=PB.∴∠B=∠BAP.∵∠APC=∠B＋

∠BAP，∴∠APC=2∠B.知3－練(2)如圖5.6－4②，以點(diǎn)B

為圓心，線(xiàn)段AB

的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，與BC

邊交于點(diǎn)Q，連接AQ．若∠AQC=3∠B，求∠

B的度數(shù).解題秘方：根據(jù)題意可知BA=BQ，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠BAQ=∠BQA，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可解答．知3－練解：根據(jù)題意可知BA=BQ，∴∠BAQ=∠BQA.∵∠AQC=3∠B，∠AQC=∠B＋

∠BAQ，∴∠BAQ=2∠B.∴∠BQA=2∠B.∵∠BAQ＋

∠BQA＋

∠B=180°，∴5∠B=180°.∴∠B=36°.知3－練4－1.[模擬·青島]在△ABC

中，AD⊥BC，且BD=DE，EF

垂直平分AC，交AC于點(diǎn)F，交BC于點(diǎn)E，連接AE.知3－練(1)若∠BAD=16°，求∠

CEF的度數(shù)；知3－練(2)若DC=8cm，求△ABE

的周長(zhǎng).解：由(1)知，EC＝AE＝AB，∵DE＝BD，∴AB＋BD＝AE＋DE＝EC＋DE＝DC.∴△ABE的周長(zhǎng)為AB＋BD＋AE＋DE＝2DC＝2×8＝16(cm)．知3－練已知，如圖5.6－5，AB=AC，BD=CD，DE⊥AB

交AB

的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E，DF⊥AC

交AC

的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F，求證：DE=DF.例5知3－練解題秘方：連接AD，利用“SSS”得到△

ABD與△ACD全等，利用全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等得到∠EAD=∠FAD，即AD

為∠EAF的平分線(xiàn)，再由DE⊥AB，DF⊥AC，利用角平分線(xiàn)的性質(zhì)定理即可得證.知3－練

知3－練5－1.如圖所示,在△ABC

中，∠

BAC=120°,AD,BE

分別為△

ABC的角平分線(xiàn),連接DE.求證:點(diǎn)E

在∠ADC的平分線(xiàn)上.知3－練證明：如圖，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥BA交BA的延長(zhǎng)線(xiàn)于H，EF⊥BC于F，EG⊥AD于G.知3－練∵AD平分∠BAC，∠BAC＝120°，∴∠BAD＝∠CAD＝60°.∵∠CAH＝180°－120°＝60°，∴∠CAD＝∠CAH，∴AE平分∠HAD，∴EH＝EG.∵BE平分∠ABC，EH⊥AB，EF⊥BC，∴EH＝EF.∴EF＝EG，∴點(diǎn)E在∠ADC的平分線(xiàn)上．知4－講知識(shí)點(diǎn)直角三角形全等的判定定理4如果一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊分別相等，那么這兩個(gè)直角三角形全等.這個(gè)定理可以簡(jiǎn)單地記作“斜邊、直角邊”或“HL”.

知4－講知4－講特別提醒“HL”是判定兩直角三角形全等的特殊方法，但不是唯一方法，前面學(xué)習(xí)的判定三角形全等的方法在直角三角形中同樣適用.知4－練[中考·孝感]如圖5.6-7，已知∠C=∠D=90°，BC

與AD交于點(diǎn)E，AC=BD，求證：AE=BE．例6解題秘方：由HL證明Rt△ACB≌Rt△BDA