大學(xué)物理課件：機(jī)械震動(dòng)基礎(chǔ)

教學(xué)基本要求一、掌握描述諧振動(dòng)各物理量的意義及其關(guān)系；二、掌握諧振動(dòng)的描述方法、基本特征及一維問(wèn)題；

三、理解諧振動(dòng)的合成規(guī)律；

四、了解阻尼振動(dòng)、受迫振動(dòng)和共振的規(guī)律。2.本章重點(diǎn)介紹：簡(jiǎn)諧振動(dòng)及其規(guī)律，簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成，阻尼振動(dòng)、受迫振動(dòng)等更接近客觀實(shí)際的機(jī)械振動(dòng)模型。1.機(jī)械振動(dòng)：機(jī)械工程、日常生活普遍可見(jiàn)的力學(xué)現(xiàn)象，第10章波動(dòng)的基礎(chǔ)，電工學(xué)、無(wú)線電技術(shù)、自動(dòng)控制技術(shù)等科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域的理論基礎(chǔ)。3.本章的學(xué)習(xí)：掌握簡(jiǎn)諧振動(dòng)，動(dòng)力學(xué)方程的建立與求解，簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成復(fù)雜振動(dòng)的研究。為專業(yè)課程的學(xué)習(xí)和技術(shù)工程中的應(yīng)用奠定理論基礎(chǔ)。9.1簡(jiǎn)諧振動(dòng)一.振動(dòng)：定義：物理量在某一定值附近往復(fù)變化稱之為振動(dòng)；振動(dòng)是物質(zhì)運(yùn)動(dòng)的一種普遍形式；機(jī)械振動(dòng)：物體在某一定位置附近作周期性往復(fù)運(yùn)動(dòng)；

簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)雜振動(dòng)合成分解諧振子：作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的物體；彈簧諧振子：輕彈簧連接質(zhì)點(diǎn)，不計(jì)阻力；(1)2.受力分析：1.選振子m

平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，水平向右為正，建立一維直角坐標(biāo)系；以彈簧振子為例討論諧振動(dòng)；二.彈簧振子令：(3)(2)(4)得：4.方程的解：(7)振動(dòng)加速度：(6)振動(dòng)速度：積分常數(shù)，根據(jù)初始條件確定(5)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程：圖圖圖取1.振幅2.周期周期為：三.描述諧振動(dòng)的物理量定義：諧振動(dòng)物體距其平衡位置最大位移之絕對(duì)值，為描述振動(dòng)強(qiáng)弱的物理量；定義：物體完成一次完全振動(dòng)所需時(shí)間間隔，為描述振動(dòng)快慢的物理量；(1)(2)頻率:圓頻率:例：對(duì)于彈簧振子：(3)(4)結(jié)論：周期、頻率僅與振動(dòng)系統(tǒng)本身的物理性質(zhì)有關(guān)；圖3.相位：差為整數(shù)

質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)全同，初相位描述質(zhì)點(diǎn)初始時(shí)刻的狀態(tài)；1.是一角度，但可確定已知系統(tǒng)在任意時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，稱為振動(dòng)相位，時(shí)為初相位；由看出：2.相位在內(nèi)變化，質(zhì)點(diǎn)無(wú)相同運(yùn)動(dòng)狀態(tài)；相4.和的確定初始條件：結(jié)論：對(duì)給定振動(dòng)系統(tǒng)，周期由系統(tǒng)本身性質(zhì)決定，振幅和初相由初條件決定。(5)實(shí)際應(yīng)用一例：?jiǎn)栴}：鐵路檢修工人利用榔頭敲擊火車車輪等部位，使其發(fā)生諧振動(dòng)，通過(guò)耳聽(tīng)其發(fā)出的聲音判斷部件內(nèi)部的損傷，從而使火車成為世界上最安全的交通工具之一。分析：如果部件內(nèi)部有損傷，則其固有頻率發(fā)生變化，檢修工人聽(tīng)到聲音的頻率也變化。對(duì)諧振動(dòng)的描述，除上述解析法、圖像法外，還可用旋轉(zhuǎn)矢量法。此法可使我們形象理解相關(guān)物理量，且討論振動(dòng)的合成方便。定義：矢量由原點(diǎn)出發(fā)繞z軸以逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng),任意時(shí)刻t矢量與x軸正向夾角為,稱其為旋轉(zhuǎn)矢量。注意：旋轉(zhuǎn)矢量的端點(diǎn)在x軸上的投影＝?9.2旋轉(zhuǎn)矢量當(dāng)時(shí)旋轉(zhuǎn)矢量時(shí)；時(shí)旋轉(zhuǎn)矢量時(shí)；旋轉(zhuǎn)矢量對(duì)諧振動(dòng)速度、加速度的描述例題9.3.1單擺(SimplePendulum)1.振動(dòng)裝置：不可伸長(zhǎng)的細(xì)線一端固定，另一端懸掛小球，在重力作用下球在鉛直平面內(nèi)就其平衡位置附近往復(fù)運(yùn)動(dòng)，擺球體積及阻力不計(jì)。單擺：理想模型，不可伸長(zhǎng)細(xì)線、擺球體積及阻力不計(jì)；9.3簡(jiǎn)諧振動(dòng)的應(yīng)用解:分析任意時(shí)刻t對(duì)應(yīng)，小球受力，重力和繩拉力，重力對(duì)定軸有力矩：位于平衡點(diǎn)右為正、左為負(fù)；規(guī)定：(1)其中：；由剛體轉(zhuǎn)動(dòng)定律可得：(3)令：(4)(5)得：(2)(6)(7)(8)由(8)式可見(jiàn)：?jiǎn)螖[諧振動(dòng)周期僅取決于擺長(zhǎng)和當(dāng)?shù)刂亓铀俣龋cm無(wú)關(guān)，由此可測(cè)當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣取＠}9.3.2復(fù)擺1.振動(dòng)裝置：一剛體在重力作用下，可繞一固定水平軸擺動(dòng)，阻力不計(jì)。重力和定軸支撐力；重力對(duì)軸有力矩；2.分析剛體受力：任意時(shí)刻t對(duì)應(yīng)；重力和定軸支撐力，重力對(duì)軸有力矩：2.分析剛體受力：任意時(shí)刻t對(duì)應(yīng)；位于平衡點(diǎn)右為正、左為負(fù)；規(guī)定：(1)*（點(diǎn)為質(zhì)心）轉(zhuǎn)動(dòng)正向其中：；令：(3)由剛體轉(zhuǎn)動(dòng)定律得：(4)得：(5)最后得：(2)問(wèn)題：復(fù)擺與單擺的諧振動(dòng)有無(wú)關(guān)系？(6)例題9.3.3地球隧道中質(zhì)點(diǎn)的諧振動(dòng)。設(shè)地球?yàn)槊芏?、半徑R的球體，若沿其直徑打通一條隧道，設(shè)隧道內(nèi)質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)作無(wú)摩擦運(yùn)動(dòng)。（1）試證明隧道內(nèi)質(zhì)點(diǎn)作諧振動(dòng)；（2）試計(jì)算質(zhì)點(diǎn)諧振動(dòng)的周期；解分析（1）由動(dòng)力學(xué)分析質(zhì)點(diǎn)在隧道運(yùn)動(dòng)時(shí)受力特征即可。取坐標(biāo)如圖所示，原點(diǎn)為地球中心，故當(dāng)質(zhì)點(diǎn)位于坐標(biāo)處時(shí)受地球引力為：（9.3.10）其中，令。得質(zhì)點(diǎn)位于受力為:

（9.3.11）由（9.3.11）式知質(zhì)點(diǎn)在隧道內(nèi)所受地球引力為線性回復(fù)力，故質(zhì)點(diǎn)作諧振動(dòng)。（2）質(zhì)點(diǎn)諧振動(dòng)周期與彈簧振子諧振動(dòng)周期（9.1.9）式類比可得:（9.3.12）（3）對(duì)于地球隧道中質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)問(wèn)題的擴(kuò)展討論，還可以增加地球自轉(zhuǎn)、公轉(zhuǎn)等因素；討論：（1）可以證明，沿地球表面圓軌道運(yùn)行人造地球衛(wèi)星的周期與地球隧道質(zhì)點(diǎn)諧振動(dòng)周期相同；（2）可以證明，將上述隧道貫穿地球任意位置，質(zhì)點(diǎn)諧振動(dòng)周期均為（9.3.12）式結(jié)果；例題9.3.4彈簧振子簡(jiǎn)諧振動(dòng)的能量。以彈簧振子的諧振動(dòng)為例，討論諧振動(dòng)的能量問(wèn)題，如彈簧振子的振動(dòng)動(dòng)能、彈性勢(shì)能和總能量等問(wèn)題。解：分析由任意時(shí)刻彈簧振子簡(jiǎn)諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程、振動(dòng)速度得到任意時(shí)刻的動(dòng)能、彈性勢(shì)能及系統(tǒng)的總能量:將（9.3.13）第二式帶入（9.3.14）又得到：討論：（1）系統(tǒng)的動(dòng)能、勢(shì)能均為時(shí)間的周期函數(shù)。動(dòng)能最大時(shí)，勢(shì)能最小。勢(shì)能最大時(shí)，動(dòng)能最小。振動(dòng)過(guò)程是系統(tǒng)動(dòng)能、勢(shì)能的相互轉(zhuǎn)換過(guò)程；左上圖所示為動(dòng)能、勢(shì)能隨時(shí)間的變化關(guān)系。（2）左下圖為系統(tǒng)的動(dòng)能、勢(shì)能隨坐標(biāo)變化的周期函數(shù)。動(dòng)能最大時(shí)，勢(shì)能最小。勢(shì)能最大時(shí)，動(dòng)能最小。振動(dòng)過(guò)程就是系統(tǒng)、的相互轉(zhuǎn)換過(guò)程；（3）諧振動(dòng)系統(tǒng)是保守系統(tǒng)，如左圖所示系統(tǒng)的總能量守恒。彈簧振子諧振動(dòng)的守恒量與振幅的二次方成正比，諧振動(dòng)是等幅振動(dòng)；例題9.3.5試由彈簧振子總能量出發(fā)，導(dǎo)出其諧振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程。解：分析由彈簧振子總能量?jī)蛇厡?duì)時(shí)間求導(dǎo)，并注意到總能量為守恒量，得到：討論：1.由上式可求得彈簧振子諧振動(dòng)運(yùn)動(dòng)方程；2.由總能量導(dǎo)出其諧振動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程的方法，較之牛頓第二定律解法簡(jiǎn)單，可不顧及彈簧振子的受力，省去了受力分析等環(huán)節(jié)，該方法對(duì)于保守系統(tǒng)普遍成立；3.（9.3.13）—（9.3.15）式諧振動(dòng)能量方法，在解決某些諧振動(dòng)問(wèn)題時(shí)有其方便之處；4.能量方法可用于求解諧振動(dòng)系統(tǒng)的固有頻率，該方法在工程技術(shù)中具有廣泛應(yīng)用；例題9.3.6能量的時(shí)間平均值問(wèn)題。與時(shí)間有關(guān)的物理量在時(shí)間間隔內(nèi)的平均值定義為：

（9.3.16）試計(jì)算彈簧振子諧振動(dòng)在一個(gè)周期內(nèi)的平均動(dòng)能、等于平均勢(shì)能。解：分析由上式積分可求得，彈簧振子諧振動(dòng)在周期內(nèi)平均動(dòng)能、平均勢(shì)能和平均機(jī)械能分別為：上述結(jié)果表明，彈簧振子諧振動(dòng)在周期內(nèi)的機(jī)械能為常量，平均動(dòng)能與平均勢(shì)能相等，分別等于機(jī)械能的一半。此為諧振動(dòng)系統(tǒng)能量的重要結(jié)論，該結(jié)論在后續(xù)章節(jié)討論比熱容時(shí)有具體應(yīng)用。例題9.3.7氫原子的諧振動(dòng)。原子的振動(dòng)可近似為諧振動(dòng)，已知?dú)湓淤|(zhì)量、振動(dòng)頻率、振幅。試計(jì)算氫原子諧振動(dòng)時(shí)：（1）最大振動(dòng)速度；（2）振動(dòng)總能量；解：分析由諧振動(dòng)速度可得氫原子諧振動(dòng)最大速度及氫原子的振動(dòng)總能量為：

由此結(jié)果可以看出，氫原子諧振動(dòng)速度較大，但諧振動(dòng)能量具有非常小的數(shù)量級(jí)。（1）（2）注意：1.波動(dòng)光學(xué)的學(xué)習(xí)以此為基礎(chǔ)；2.每一種合成均為振動(dòng)合成的典型實(shí)例；

復(fù)雜的振動(dòng)可由不同頻率的諧振動(dòng)合成。重點(diǎn)討論四種特殊情況下諧振動(dòng)的合成,合成方法為：1.旋轉(zhuǎn)矢量法；2.代數(shù)法；9.4簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成9.4.1兩個(gè)同方向同頻率諧振動(dòng)的合成結(jié)論：兩同向、同頻諧振動(dòng)合成仍為同向、同頻諧振動(dòng)；其振幅、初相與分振動(dòng)振幅、初相有關(guān)；由(1)、(2)、(3)描述該合振動(dòng)；(2)(3)(1)1.代數(shù)方法：2.旋轉(zhuǎn)矢量方法設(shè)同向、同頻兩諧振動(dòng)分別對(duì)應(yīng)旋轉(zhuǎn)矢量及投影：于是有合成矢量：(1)由平行四邊形法則可作如圖：又有：同頻率＝相同角速度；故有以角速度轉(zhuǎn)動(dòng)的平行四邊形形狀不變,其對(duì)角線即為合矢量，其投影即為x。于是可得合矢量投影：(2)由余弦定理可求合矢量的模：(3)求初相角：(4)于是可求合矢量的初相角：討論：對(duì)合振動(dòng)振幅、初相與分振動(dòng)振幅、初相的關(guān)系，可作以下討論：結(jié)論：同向、同頻兩諧振動(dòng)合成，仍為同向、同頻諧振動(dòng)，但振幅、初相與分振動(dòng)有關(guān)。3.一般情況:2.令:1.令：相互加強(qiáng)相互削弱得：得：有：9.4.2兩相互垂直同頻率諧振動(dòng)的合成設(shè)：兩個(gè)相互垂直的同頻率諧振動(dòng)，分別沿x、y軸運(yùn)動(dòng)：(1)將上式時(shí)間消去可得質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡：(2)1.

或討論:(3)由軌跡方程討論幾種特殊情況下質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡：(2)2.3.綜上所述：兩個(gè)相互垂直同頻頻率諧振動(dòng)的合成，其合振動(dòng)在一直線或橢圓上進(jìn)行，而當(dāng)分振動(dòng)振幅相等時(shí)，質(zhì)點(diǎn)在圓軌道上運(yùn)行。(5)(4)兩相互垂直同頻率諧振動(dòng)的合成軌跡圖9.4.3兩同向不同頻諧振動(dòng)的合成由于此時(shí)兩振動(dòng)頻率不同，對(duì)應(yīng)的旋轉(zhuǎn)矢量角速度也不同，故其合振動(dòng)一般不是諧振動(dòng)，而是較復(fù)雜的合成結(jié)果。僅取特殊情況討論，限制條件為：分振動(dòng)頻率均較大，兩頻率之差較?。挥懻摚?的情況；(1)設(shè)：(0)合振動(dòng)頻率振幅部分(1)振幅：(2)頻率：(4)(3)定義：頻率較大、頻差較小的兩個(gè)同方向諧振動(dòng)的合成，其合振動(dòng)的振幅時(shí)而加強(qiáng)時(shí)而減弱的現(xiàn)象叫拍.(6)拍頻：(5)“振幅”的周期：注意：拍頻=振幅變化的頻率；拍現(xiàn)象圖示拍現(xiàn)象應(yīng)用：1.校準(zhǔn)鋼琴；

2.測(cè)量未知振動(dòng)的頻率；9.4.4兩相互垂直不同頻率的諧振動(dòng)合成此時(shí)振動(dòng)的合成較復(fù)雜，其軌道一般是不穩(wěn)定的，而且也不是封閉曲線，即合振動(dòng)一般不再是周期運(yùn)動(dòng)。但在特殊情況下合振動(dòng)的軌道是穩(wěn)定的封閉曲線，運(yùn)動(dòng)具有周期性。這時(shí)的軌跡圖稱為李薩如圖形：應(yīng)用：1.測(cè)量頻率的方法；2.設(shè)計(jì)圖案；李薩如圖9.5.1

阻尼振動(dòng)(DampedOscillation)1.阻尼振動(dòng)：諧振動(dòng)為等幅振動(dòng)。而實(shí)際振動(dòng)總要受到阻力影響，振動(dòng)過(guò)程中振幅不斷減小。振幅隨時(shí)間變化因阻力而減小的振動(dòng)稱為阻尼振動(dòng)。2.阻尼力模型：客觀存在的阻力是復(fù)雜的，故提出許多阻尼力模型。當(dāng)物體運(yùn)動(dòng)速度不太大時(shí)有：介紹兩種接近客觀實(shí)際較復(fù)雜的振動(dòng)。9.5阻尼振動(dòng)受迫振動(dòng)共振

b.負(fù)號(hào)表示阻尼力與物體運(yùn)動(dòng)速度反向；a.，與物體形狀、介質(zhì)性質(zhì)有關(guān)；

為阻力系數(shù)3.彈簧振子的阻尼振動(dòng)問(wèn)題：在阻尼力模型(1)作用下彈簧振子的振動(dòng)；思路：受力分析、建振動(dòng)微分方程、求解與討論；阻尼力模型:(1)a.受力分析與方程的建立m受到兩種力作用：(2)由牛頓定律得：(3)固有角頻率阻尼系數(shù)(5)(4)對(duì)于確定的振動(dòng)系統(tǒng)和環(huán)境，為常量，其中。于是有：(6)最后得：

注：1.上式是阻尼振動(dòng)微分方程；2.固有角頻率振動(dòng)系統(tǒng)確定；阻尼系數(shù)振動(dòng)系統(tǒng)、介質(zhì)性質(zhì)確定；b.方程的求解與討論微分方程理論：根據(jù)方程系數(shù)數(shù)值的相對(duì)大小關(guān)系，(6)式有三種解，對(duì)應(yīng)三種運(yùn)動(dòng)狀態(tài)：1.阻尼力較小時(shí)：

弱阻尼；(6)角頻率振幅(7)此時(shí)系統(tǒng)作弱阻尼運(yùn)動(dòng)，對(duì)應(yīng)解為：其中：為積分常量，由初條件確定；并且有：(8)(9)1.(6)式的解由兩部分組成：衰減項(xiàng)：“振幅”；周期項(xiàng)：諧函數(shù)；2.由(7)得x-t函數(shù)曲線圖；阻尼振動(dòng)位移時(shí)間曲線c.討論：3.位移方向變化仍由余弦函數(shù)定，周期為：此時(shí)系統(tǒng)作過(guò)阻尼運(yùn)動(dòng)，對(duì)應(yīng)的解為：(10)其中：為積分常量，可由初條件確定；過(guò)阻尼振動(dòng)2.阻尼力較大時(shí)：過(guò)阻尼；3.阻尼力不大不小時(shí)：臨界阻尼；此時(shí)系統(tǒng)作臨界阻尼運(yùn)動(dòng)，對(duì)應(yīng)方程的解為：(11)其中：為積分常量，可由初條件確定；臨界阻尼振動(dòng)三種阻尼的比較

b.過(guò)阻尼：

a.弱阻尼：

c.臨界阻尼：阻尼振動(dòng)位移時(shí)間曲線總之：9.5.2

受迫振動(dòng)共振周期性外力有時(shí)不可避免：周期性陣風(fēng)作用下建筑物發(fā)生的振動(dòng)，橋樑由于火車行駛而引起的振動(dòng)等。受迫振動(dòng)在電磁學(xué)、機(jī)械工程等領(lǐng)域均有重要應(yīng)用。

問(wèn)題：上述阻尼力模型作用下彈簧振子的受迫振動(dòng)；周期性外力：阻尼力：彈性力：受迫振動(dòng)：施加周期性外力作用的振動(dòng)；由牛頓定律得：(1)(2)2.其中：注意：1.(2)式為受迫振動(dòng)微分方程＝非齊次常系數(shù)二階微分方程；整理得：(3)3.分析：強(qiáng)迫力不存在時(shí)，(2)式成為阻尼振動(dòng)微分方程；由微分方程理論：(2)式的解應(yīng)包含阻尼振動(dòng)的解，另外還應(yīng)包含(2)式的一個(gè)特解?？傊?/p>