大學物理課件：機械震動基礎(chǔ)

教學基本要求一、掌握描述諧振動各物理量的意義及其關(guān)系；二、掌握諧振動的描述方法、基本特征及一維問題；

三、理解諧振動的合成規(guī)律；

四、了解阻尼振動、受迫振動和共振的規(guī)律。2.本章重點介紹：簡諧振動及其規(guī)律，簡諧振動的合成，阻尼振動、受迫振動等更接近客觀實際的機械振動模型。1.機械振動：機械工程、日常生活普遍可見的力學現(xiàn)象，第10章波動的基礎(chǔ)，電工學、無線電技術(shù)、自動控制技術(shù)等科學技術(shù)領(lǐng)域的理論基礎(chǔ)。3.本章的學習：掌握簡諧振動，動力學方程的建立與求解，簡諧振動合成復(fù)雜振動的研究。為專業(yè)課程的學習和技術(shù)工程中的應(yīng)用奠定理論基礎(chǔ)。9.1簡諧振動一.振動：定義：物理量在某一定值附近往復(fù)變化稱之為振動；振動是物質(zhì)運動的一種普遍形式；機械振動：物體在某一定位置附近作周期性往復(fù)運動；

簡諧運動雜振動合成分解諧振子：作簡諧運動的物體；彈簧諧振子：輕彈簧連接質(zhì)點，不計阻力；(1)2.受力分析：1.選振子m

平衡位置為坐標原點，水平向右為正，建立一維直角坐標系；以彈簧振子為例討論諧振動；二.彈簧振子令：(3)(2)(4)得：4.方程的解：(7)振動加速度：(6)振動速度：積分常數(shù)，根據(jù)初始條件確定(5)運動學方程：圖圖圖取1.振幅2.周期周期為：三.描述諧振動的物理量定義：諧振動物體距其平衡位置最大位移之絕對值，為描述振動強弱的物理量；定義：物體完成一次完全振動所需時間間隔，為描述振動快慢的物理量；(1)(2)頻率:圓頻率:例：對于彈簧振子：(3)(4)結(jié)論：周期、頻率僅與振動系統(tǒng)本身的物理性質(zhì)有關(guān)；圖3.相位：差為整數(shù)

質(zhì)點運動狀態(tài)全同，初相位描述質(zhì)點初始時刻的狀態(tài)；1.是一角度，但可確定已知系統(tǒng)在任意時刻的運動狀態(tài)，稱為振動相位，時為初相位；由看出：2.相位在內(nèi)變化，質(zhì)點無相同運動狀態(tài)；相4.和的確定初始條件：結(jié)論：對給定振動系統(tǒng)，周期由系統(tǒng)本身性質(zhì)決定，振幅和初相由初條件決定。(5)實際應(yīng)用一例：問題：鐵路檢修工人利用榔頭敲擊火車車輪等部位，使其發(fā)生諧振動，通過耳聽其發(fā)出的聲音判斷部件內(nèi)部的損傷，從而使火車成為世界上最安全的交通工具之一。分析：如果部件內(nèi)部有損傷，則其固有頻率發(fā)生變化，檢修工人聽到聲音的頻率也變化。對諧振動的描述，除上述解析法、圖像法外，還可用旋轉(zhuǎn)矢量法。此法可使我們形象理解相關(guān)物理量，且討論振動的合成方便。定義：矢量由原點出發(fā)繞z軸以逆時針轉(zhuǎn)動,任意時刻t矢量與x軸正向夾角為,稱其為旋轉(zhuǎn)矢量。注意：旋轉(zhuǎn)矢量的端點在x軸上的投影＝?9.2旋轉(zhuǎn)矢量當時旋轉(zhuǎn)矢量時；時旋轉(zhuǎn)矢量時；旋轉(zhuǎn)矢量對諧振動速度、加速度的描述例題9.3.1單擺(SimplePendulum)1.振動裝置：不可伸長的細線一端固定，另一端懸掛小球，在重力作用下球在鉛直平面內(nèi)就其平衡位置附近往復(fù)運動，擺球體積及阻力不計。單擺：理想模型，不可伸長細線、擺球體積及阻力不計；9.3簡諧振動的應(yīng)用解:分析任意時刻t對應(yīng)，小球受力，重力和繩拉力，重力對定軸有力矩：位于平衡點右為正、左為負；規(guī)定：(1)其中：；由剛體轉(zhuǎn)動定律可得：(3)令：(4)(5)得：(2)(6)(7)(8)由(8)式可見：單擺諧振動周期僅取決于擺長和當?shù)刂亓铀俣?，與m無關(guān)，由此可測當?shù)氐闹亓铀俣取＠}9.3.2復(fù)擺1.振動裝置：一剛體在重力作用下，可繞一固定水平軸擺動，阻力不計。重力和定軸支撐力；重力對軸有力矩；2.分析剛體受力：任意時刻t對應(yīng)；重力和定軸支撐力，重力對軸有力矩：2.分析剛體受力：任意時刻t對應(yīng)；位于平衡點右為正、左為負；規(guī)定：(1)*（點為質(zhì)心）轉(zhuǎn)動正向其中：；令：(3)由剛體轉(zhuǎn)動定律得：(4)得：(5)最后得：(2)問題：復(fù)擺與單擺的諧振動有無關(guān)系？(6)例題9.3.3地球隧道中質(zhì)點的諧振動。設(shè)地球為密度、半徑R的球體，若沿其直徑打通一條隧道，設(shè)隧道內(nèi)質(zhì)量為的質(zhì)點作無摩擦運動。（1）試證明隧道內(nèi)質(zhì)點作諧振動；（2）試計算質(zhì)點諧振動的周期；解分析（1）由動力學分析質(zhì)點在隧道運動時受力特征即可。取坐標如圖所示，原點為地球中心，故當質(zhì)點位于坐標處時受地球引力為：（9.3.10）其中，令。得質(zhì)點位于受力為:

（9.3.11）由（9.3.11）式知質(zhì)點在隧道內(nèi)所受地球引力為線性回復(fù)力，故質(zhì)點作諧振動。（2）質(zhì)點諧振動周期與彈簧振子諧振動周期（9.1.9）式類比可得:（9.3.12）（3）對于地球隧道中質(zhì)點振動問題的擴展討論，還可以增加地球自轉(zhuǎn)、公轉(zhuǎn)等因素；討論：（1）可以證明，沿地球表面圓軌道運行人造地球衛(wèi)星的周期與地球隧道質(zhì)點諧振動周期相同；（2）可以證明，將上述隧道貫穿地球任意位置，質(zhì)點諧振動周期均為（9.3.12）式結(jié)果；例題9.3.4彈簧振子簡諧振動的能量。以彈簧振子的諧振動為例，討論諧振動的能量問題，如彈簧振子的振動動能、彈性勢能和總能量等問題。解：分析由任意時刻彈簧振子簡諧振動的運動方程、振動速度得到任意時刻的動能、彈性勢能及系統(tǒng)的總能量:將（9.3.13）第二式帶入（9.3.14）又得到：討論：（1）系統(tǒng)的動能、勢能均為時間的周期函數(shù)。動能最大時，勢能最小。勢能最大時，動能最小。振動過程是系統(tǒng)動能、勢能的相互轉(zhuǎn)換過程；左上圖所示為動能、勢能隨時間的變化關(guān)系。（2）左下圖為系統(tǒng)的動能、勢能隨坐標變化的周期函數(shù)。動能最大時，勢能最小。勢能最大時，動能最小。振動過程就是系統(tǒng)、的相互轉(zhuǎn)換過程；（3）諧振動系統(tǒng)是保守系統(tǒng)，如左圖所示系統(tǒng)的總能量守恒。彈簧振子諧振動的守恒量與振幅的二次方成正比，諧振動是等幅振動；例題9.3.5試由彈簧振子總能量出發(fā)，導(dǎo)出其諧振動的動力學方程。解：分析由彈簧振子總能量兩邊對時間求導(dǎo)，并注意到總能量為守恒量，得到：討論：1.由上式可求得彈簧振子諧振動運動方程；2.由總能量導(dǎo)出其諧振動動力學方程的方法，較之牛頓第二定律解法簡單，可不顧及彈簧振子的受力，省去了受力分析等環(huán)節(jié)，該方法對于保守系統(tǒng)普遍成立；3.（9.3.13）—（9.3.15）式諧振動能量方法，在解決某些諧振動問題時有其方便之處；4.能量方法可用于求解諧振動系統(tǒng)的固有頻率，該方法在工程技術(shù)中具有廣泛應(yīng)用；例題9.3.6能量的時間平均值問題。與時間有關(guān)的物理量在時間間隔內(nèi)的平均值定義為：

（9.3.16）試計算彈簧振子諧振動在一個周期內(nèi)的平均動能、等于平均勢能。解：分析由上式積分可求得，彈簧振子諧振動在周期內(nèi)平均動能、平均勢能和平均機械能分別為：上述結(jié)果表明，彈簧振子諧振動在周期內(nèi)的機械能為常量，平均動能與平均勢能相等，分別等于機械能的一半。此為諧振動系統(tǒng)能量的重要結(jié)論，該結(jié)論在后續(xù)章節(jié)討論比熱容時有具體應(yīng)用。例題9.3.7氫原子的諧振動。原子的振動可近似為諧振動，已知氫原子質(zhì)量、振動頻率、振幅。試計算氫原子諧振動時：（1）最大振動速度；（2）振動總能量；解：分析由諧振動速度可得氫原子諧振動最大速度及氫原子的振動總能量為：

由此結(jié)果可以看出，氫原子諧振動速度較大，但諧振動能量具有非常小的數(shù)量級。（1）（2）注意：1.波動光學的學習以此為基礎(chǔ)；2.每一種合成均為振動合成的典型實例；

復(fù)雜的振動可由不同頻率的諧振動合成。重點討論四種特殊情況下諧振動的合成,合成方法為：1.旋轉(zhuǎn)矢量法；2.代數(shù)法；9.4簡諧振動合成9.4.1兩個同方向同頻率諧振動的合成結(jié)論：兩同向、同頻諧振動合成仍為同向、同頻諧振動；其振幅、初相與分振動振幅、初相有關(guān)；由(1)、(2)、(3)描述該合振動；(2)(3)(1)1.代數(shù)方法：2.旋轉(zhuǎn)矢量方法設(shè)同向、同頻兩諧振動分別對應(yīng)旋轉(zhuǎn)矢量及投影：于是有合成矢量：(1)由平行四邊形法則可作如圖：又有：同頻率＝相同角速度；故有以角速度轉(zhuǎn)動的平行四邊形形狀不變,其對角線即為合矢量，其投影即為x。于是可得合矢量投影：(2)由余弦定理可求合矢量的模：(3)求初相角：(4)于是可求合矢量的初相角：討論：對合振動振幅、初相與分振動振幅、初相的關(guān)系，可作以下討論：結(jié)論：同向、同頻兩諧振動合成，仍為同向、同頻諧振動，但振幅、初相與分振動有關(guān)。3.一般情況:2.令:1.令：相互加強相互削弱得：得：有：9.4.2兩相互垂直同頻率諧振動的合成設(shè)：兩個相互垂直的同頻率諧振動，分別沿x、y軸運動：(1)將上式時間消去可得質(zhì)點運動軌跡：(2)1.

或討論:(3)由軌跡方程討論幾種特殊情況下質(zhì)點的運動軌跡：(2)2.3.綜上所述：兩個相互垂直同頻頻率諧振動的合成，其合振動在一直線或橢圓上進行，而當分振動振幅相等時，質(zhì)點在圓軌道上運行。(5)(4)兩相互垂直同頻率諧振動的合成軌跡圖9.4.3兩同向不同頻諧振動的合成由于此時兩振動頻率不同，對應(yīng)的旋轉(zhuǎn)矢量角速度也不同，故其合振動一般不是諧振動，而是較復(fù)雜的合成結(jié)果。僅取特殊情況討論，限制條件為：分振動頻率均較大，兩頻率之差較??；討論：,的情況；(1)設(shè)：(0)合振動頻率振幅部分(1)振幅：(2)頻率：(4)(3)定義：頻率較大、頻差較小的兩個同方向諧振動的合成，其合振動的振幅時而加強時而減弱的現(xiàn)象叫拍.(6)拍頻：(5)“振幅”的周期：注意：拍頻=振幅變化的頻率；拍現(xiàn)象圖示拍現(xiàn)象應(yīng)用：1.校準鋼琴；

2.測量未知振動的頻率；9.4.4兩相互垂直不同頻率的諧振動合成此時振動的合成較復(fù)雜，其軌道一般是不穩(wěn)定的，而且也不是封閉曲線，即合振動一般不再是周期運動。但在特殊情況下合振動的軌道是穩(wěn)定的封閉曲線，運動具有周期性。這時的軌跡圖稱為李薩如圖形：應(yīng)用：1.測量頻率的方法；2.設(shè)計圖案；李薩如圖9.5.1

阻尼振動(DampedOscillation)1.阻尼振動：諧振動為等幅振動。而實際振動總要受到阻力影響，振動過程中振幅不斷減小。振幅隨時間變化因阻力而減小的振動稱為阻尼振動。2.阻尼力模型：客觀存在的阻力是復(fù)雜的，故提出許多阻尼力模型。當物體運動速度不太大時有：介紹兩種接近客觀實際較復(fù)雜的振動。9.5阻尼振動受迫振動共振

b.負號表示阻尼力與物體運動速度反向；a.，與物體形狀、介質(zhì)性質(zhì)有關(guān)；

為阻力系數(shù)3.彈簧振子的阻尼振動問題：在阻尼力模型(1)作用下彈簧振子的振動；思路：受力分析、建振動微分方程、求解與討論；阻尼力模型:(1)a.受力分析與方程的建立m受到兩種力作用：(2)由牛頓定律得：(3)固有角頻率阻尼系數(shù)(5)(4)對于確定的振動系統(tǒng)和環(huán)境，為常量，其中。于是有：(6)最后得：

注：1.上式是阻尼振動微分方程；2.固有角頻率振動系統(tǒng)確定；阻尼系數(shù)振動系統(tǒng)、介質(zhì)性質(zhì)確定；b.方程的求解與討論微分方程理論：根據(jù)方程系數(shù)數(shù)值的相對大小關(guān)系，(6)式有三種解，對應(yīng)三種運動狀態(tài)：1.阻尼力較小時：

弱阻尼；(6)角頻率振幅(7)此時系統(tǒng)作弱阻尼運動，對應(yīng)解為：其中：為積分常量，由初條件確定；并且有：(8)(9)1.(6)式的解由兩部分組成：衰減項：“振幅”；周期項：諧函數(shù)；2.由(7)得x-t函數(shù)曲線圖；阻尼振動位移時間曲線c.討論：3.位移方向變化仍由余弦函數(shù)定，周期為：此時系統(tǒng)作過阻尼運動，對應(yīng)的解為：(10)其中：為積分常量，可由初條件確定；過阻尼振動2.阻尼力較大時：過阻尼；3.阻尼力不大不小時：臨界阻尼；此時系統(tǒng)作臨界阻尼運動，對應(yīng)方程的解為：(11)其中：為積分常量，可由初條件確定；臨界阻尼振動三種阻尼的比較

b.過阻尼：

a.弱阻尼：

c.臨界阻尼：阻尼振動位移時間曲線總之：9.5.2

受迫振動共振周期性外力有時不可避免：周期性陣風作用下建筑物發(fā)生的振動，橋樑由于火車行駛而引起的振動等。受迫振動在電磁學、機械工程等領(lǐng)域均有重要應(yīng)用。

問題：上述阻尼力模型作用下彈簧振子的受迫振動；周期性外力：阻尼力：彈性力：受迫振動：施加周期性外力作用的振動；由牛頓定律得：(1)(2)2.其中：注意：1.(2)式為受迫振動微分方程＝非齊次常系數(shù)二階微分方程；整理得：(3)3.分析：強迫力不存在時，(2)式成為阻尼振動微分方程；由微分方程理論：(2)式的解應(yīng)包含阻尼振動的解，另外還應(yīng)包含(2)式的一個特解?？傊?/p>