專題培優(yōu)課　函數(shù)性質的綜合應用

專題培優(yōu)課函數(shù)性質的綜合應用【考情分析】函數(shù)性質的綜合應用是高考的一個熱點內容，經(jīng)常以客觀題出現(xiàn)，通過分析函數(shù)的性質特點，結合圖象研究函數(shù)的性質，往往多種性質結合在一起考查．關鍵能力·題型剖析題型一函數(shù)的奇偶性與單調性例1[2024·河北秦皇島模擬]定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足：對任意的x1，x2∈[0，＋∞)(x1≠x2)，都有fx2-fx1x2-x1<0，且f(3)＝0，則不等式(2x－1A．(－3，12B．(－3，12)∪(3，+C．(－∞，－3)∪(12，3D．(－∞，－3)∪(3，+∞)[聽課記錄]題后師說(1)解抽象函數(shù)不等式，先把不等式轉化為f(g(x))>f(h(x))，利用單調性把不等式的函數(shù)符號“f”脫掉，得到具體的不等式(組)．(2)比較大小，利用奇偶性把不在同一單調區(qū)間上的兩個或多個自變量的函數(shù)值轉化到同一單調區(qū)間上，進而利用單調性比較大小．鞏固訓練1[2024·河南洛陽模擬]已知奇函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù)，g(x)＝xf(x)．若a＝g(－log25.1)，b＝g(20.8)，c＝g(3)，則a，b，c的大小關系為()A．a(chǎn)<b<c B．c<b<aC．b<a<c D．b<c<a題型二函數(shù)的奇偶性與周期性例2[2024·河南開封模擬]已知函數(shù)f(x)的定義域為R，f(x)為奇函數(shù)，f(x＋1)為偶函數(shù)，且k=122fk＝1，則f(1)＝A．－1 B．0C．1 D．2[聽課記錄]題后師說奇偶性與周期性結合的問題多考查求值問題，常利用奇偶性及周期性進行變換，將所求函數(shù)值的自變量轉化到已知解析式的函數(shù)內求解．鞏固訓練2[2024·廣東廣州模擬]設f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且f(x－2)＝f(－x)．若f(34)＝－13，則f(134)＝A．13B．－13C．14D題型三奇偶性、周期性和對稱性的綜合應用例3(1)[2024·江西贛州模擬]已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)，滿足f(x＋1)是偶函數(shù)，且當x∈(0，1]時，f(x)＝x2，則f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2023)＝()A．－1 B．0C．1 D．1012(2)(多選)[2024·湖北武漢模擬]設函數(shù)y＝f(x)的定義域為R，且滿足f(1＋x)＝f(1－x)，f(x－2)＋f(－x)＝0，則下列說法正確的是()A．y＝f(x＋1)是偶函數(shù)B．y＝f(x＋3)為奇函數(shù)C．f(x)是周期為4的周期函數(shù)D．f(1)＝0[聽課記錄]題后師說函數(shù)的奇偶性與對稱性之間的轉化是解決此類問題的關鍵，同時牢記圖象平移的規(guī)律．鞏固訓練3(多選)[2024·黑龍江鶴崗模擬]已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且f(1＋x)＝f(1－x)．當0<x≤1時，f(x)＝3x－1，則()A．f(x)是周期為2的周期函數(shù)B．f(x)的值域為[－2，2]C．x＝3是f(x)圖象的一條對稱軸D．f(x)的圖象關于點(－2，0)對稱1.[2021·全國甲卷]設f(x)是定義域為R的奇函數(shù)，且f(1＋x)＝f(－x)．若f-13＝13，則f53A．－53 B．－C．13 D．2．[2020·新高考Ⅰ卷]若定義在R的奇函數(shù)f(x)在(－∞，0)單調遞減，且f(2)＝0，則滿足xf(x－1)≥0的x的取值范圍是()A．[－1，1]∪［3，+∞） B．[－3，－1]∪［0，1］C．[－1，0]∪［1，+∞） D．[－1，0]∪［1，3］3．(多選)[2024·九省聯(lián)考]已知函數(shù)f(x)的定義域為R，且f(12)≠0，若f(x＋y)＋f(x)f(y)＝4xy，則(A．f(－12)＝B．f(12)＝－C．函數(shù)f(x－12)D．函數(shù)f(x＋12)4．(多選)[2022·新高考Ⅰ卷]已知函數(shù)f(x)及其導函數(shù)f′(x)的定義域均為R，記g(x)＝f′(x).若f(32－2x)，g(2＋x)均為偶函數(shù)，則(A．f(0)＝0B．g(－12)＝C．f(－1)＝f(4)D．g(－1)＝g(2)專題培優(yōu)課函數(shù)性質的綜合應用關鍵能力·題型剖析例1解析：因為函數(shù)f(x)滿足對任意的x1，x2∈[0，＋∞)(x1≠x2)，都有fx2所以f(x)在[0，＋∞)上單調遞減，又f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，所以f(x)在(－∞，0)上單調遞增，又f(3)＝0，所以f(－3)＝f(3)＝0，作函數(shù)f(x)的草圖如圖，所以，當x<－3時，2x－1<0，f(x)<0，則(2x－1)f(x)>0；當－3<x<12時，2x－1<0，f(x)>0，則(2x－1)f(x)<0當12<x<3時，2x－1>0，f(x)>0，則(2x－1)f(x)>0當x>3時，2x－1>0，f(x)<0，則(2x－1)f(x)<0；當x＝－3或x＝3或x＝12時，(2x－1)f(x)＝綜上，不等式(2x－1)f(x)>0的解集為(－∞，－3)∪(12，3)答案：C鞏固訓練1解析：易知g(x)＝xf(x)在R上為偶函數(shù)，因為奇函數(shù)f(x)在R上單調遞增，且f(0)＝0.所以g(x)在(0，＋∞)上單調遞增．又3>log25.1>2>20.8，且a＝g(－log25.1)＝g(log25.1)，所以g(3)>g(log25.1)>g(20.8)，即c>a>b.答案：C例2解析：因為函數(shù)f(x)的定義域為R，f(x)為奇函數(shù)，所以f(0)＝0，又因為f(x＋1)為偶函數(shù)，所以f(x)的對稱軸為x＝1，則f(x)為周期函數(shù)，周期為4.則有k=122fk＝5(f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4))＋(f(1)＋f(設f(1)＝m，根據(jù)對稱性f(3)＝－m，且f(0)＝f(2)＝f(4)＝0，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝0，所以k=122fk＝5(f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4))＋(f(1)＋f(2))＝f(1)＋f(即f(1)＋f(2)＝m＋0＝m，因為k=122fk＝1，所以m＝1，即f(1)＝答案：C鞏固訓練2解析：由題設，f(x－2)＝f(－x)＝－f(x)，則f(x)＝－f(x＋2)，所以f(x－2)＝f(x＋2)，即f(x)＝f(x＋4)，故f(x)是周期為4的奇函數(shù)，所以f(134)＝f(4－34)＝f(－34)＝－f(34答案：A例3解析：(1)已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)，所以f(x)＝－f(－x)①，且f(0)＝0，又f(x＋1)是偶函數(shù)，所以f(x＋1)＝f(－x＋1)，即f(x)＝f(2－x)②，所以f(2)＝f(0)＝0，由①②可得：－f(－x)＝f(2－x)，所以－f(2－x)＝f(4－x)，則f(－x)＝f(4－x)，則函數(shù)f(x)的周期為4，當x∈(0，1]時，f(x)＝x2，則f(1)＝1，所以f(－1)＝－f(1)＝－1＝f(3)，所以f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2023)＝506[f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)]＝0.(2)由題意，函數(shù)y＝f(x)滿足f(1＋x)＝f(1－x)，可知函數(shù)f(x)的圖象關于直線x＝1對稱，即f(－x)＝f(2＋x)，將函數(shù)y＝f(x)的圖象向左平移1個單位，得到函數(shù)y＝f(x＋1)，此時y＝f(x＋1)的圖象關于y軸對稱，所以函數(shù)y＝f(x＋1)為偶函數(shù)，所以A正確；由f(x－2)＋f(－x)＝0，即－f(x－2)＝f(－x)，可得f(2＋x)＝－f(x－2)，即f(x)＝－f(x＋4)，若f(x)為常函數(shù)且f(x)＝0，則4是函數(shù)f(x)的周期，否則，4不是函數(shù)的周期，所以C不正確；因為f(x－2)＋f(－x)＝0，可得f(x－5)＋f(－x＋3)＝0，因為f(x＋8)＝－f(x＋4)＝f(x)，所以函數(shù)f(x)的周期為8，可得f(x＋3)＋f(－x＋3)＝0，即f(－x＋3)＝－f(x＋3)，所以y＝f(x＋3)為奇函數(shù)，所以B正確；由y＝f(x＋3)為奇函數(shù)，可得f(3)＝0，因為f(－x)＝f(2＋x)，則f(－1)＝f(2＋1)＝0，其中f(1)的值不能確定，所以D錯誤．答案：(1)B(2)AB鞏固訓練3解析：因為f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，所以f(－x)＝－f(x)，又f(1＋x)＝f(1－x)，所以f(1＋x)＝f(1－x)＝－f(x－1)，所以f(x)＝－f(x＋2)，故f(x)＝f(x＋4)，所以f(x)是周期為4的周期函數(shù)，故選項A錯誤；由題意可知，f(x)的圖象如圖所示，由f(x)的圖象可得f(x)的值域為[－2，2]，其中x＝3是函數(shù)f(x)圖象的一條對稱軸，f(x)的圖象關于點(－2，0)對稱，故選項B，C，D正確．答案：BCD隨堂檢測1．解析：因為f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，所以f(－x)＝－f(x)．又f(1＋x)＝f(－x)，所以f(2＋x)＝f[1＋(1＋x)]＝f[－(1＋x)]＝－f(1＋x)＝－f(－x)＝f(x)，所以函數(shù)f(x)是以2為周期的周期函數(shù)，f53＝f53-2＝f-13答案：C2．解析：由題意知f(x)在(－∞，0)，(0，＋∞)單調遞減，且f(－2)＝f(2)＝f(0)＝0.當x>0時，令f(x－1)≥0，得0≤x－1≤2，∴1≤x≤3；當x<0時，令f(x－1)≤0，得－2≤x－1≤0，∴－1≤x≤1，又x<0，∴－1≤x<0；當x＝0時，顯然符合題意．綜上，原不等式的解集為[－1，0]∪1，答案：D3．解析：令x＝12，y＝0，則有f(12)＋f(12)×f(0)＝f(12)[1＋f(0)]＝0，又f(12)≠0，故1＋f(0)＝0，即f(令x＝12，y＝－12，則有f(12-12)＋f(12)f(－12)＝4×12×(－12)，即f(0)＋f(12)f(－12)＝－1，由f(0)＝－1，可得f(12)f(－12)＝0，又f(12)令y＝－12，則有f(x－12)＋f(x)f(－12)＝4x×(－12)，即f(x－12)＝－2x，故函數(shù)f(x－12)是奇函數(shù)，有f(x＋1－12)＝－2(x＋1)＝－2x－2，即f(x＋12)＝－2x－2，即函數(shù)令x＝1，有f(12)＝－2×1＝－2故B正確、C錯誤、D正確．故選ABD.答案：ABD4．解析：因為f(32－2x)，g(2＋x)均為偶函數(shù)，所以f(32－2x)＝f(32＋2x)，g(2＋x)＝g(2－x)．令t＝32－2x，則x＝34-t2，所以f(t)＝f(3－t)，即f(x)＝f(3－x)．對兩邊求導，得f′(x)＝－f′(3－x)，即g(x)＋g(3－x)＝0，所以g(x)的圖象關于點(32，0)對稱，即g(32)＝0.又因為g(2＋x)＝g(2－x)，所以g(x)的圖象關于直線x＝2對稱，所以g(x)的周期為4×(2－32)＝2，所以g(32)＝g(－12)＝0，所以B正確．因為f′(2＋x