專題02一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)（原卷版）

專題02一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)思維導(dǎo)圖核心考點(diǎn)聚焦1.識(shí)別一次函數(shù)2.根據(jù)一次函數(shù)的定義求參數(shù)3.已知點(diǎn)在直線上求代數(shù)式的值4.一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)5.根據(jù)函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)的象限求參數(shù)6.根據(jù)一次函數(shù)的增減性求參數(shù)7.比較一次函數(shù)值的大小8.一次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)問題9.畫一次函數(shù)圖象10.判斷兩個(gè)一次函數(shù)圖象的共存問題11.一次函數(shù)圖象平移問題12.一次函數(shù)的規(guī)律探究問題一、函數(shù)的自變量的取值范圍（1）自變量的取值范圍函數(shù)自變量的取值范圍是根據(jù)函數(shù)的表達(dá)式的形式來(lái)考慮的，表達(dá)式的形式主要有以下幾種：整式：自變量取一切實(shí)數(shù)；分式：分母不為零；偶次方根：被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)；零指數(shù)與負(fù)整數(shù)指數(shù)冪：底數(shù)不為零.在實(shí)際問題中，自變量的取值范圍必須保證每個(gè)量都有意義.（2）函數(shù)值：自變量中每個(gè)x所對(duì)的y的值，即為函數(shù)值．二、函數(shù)的圖象及畫法（1）函數(shù)的圖象：對(duì)于一個(gè)函數(shù)，把自變量與對(duì)應(yīng)的函數(shù)值分別作為點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)，坐標(biāo)平面內(nèi)由這些點(diǎn)組成的圖形.如：某天氣溫隨時(shí)間的變化．（2）已知函數(shù)的表達(dá)式，繪制函數(shù)圖象步驟：=1\*GB3①確定自變量的取值范圍；=2\*GB3②列表：列出若干自變量與對(duì)應(yīng)的函數(shù)值；=3\*GB3③描點(diǎn)：在坐標(biāo)軸上對(duì)應(yīng)點(diǎn)描點(diǎn)；=4\*GB3④連線：用平滑曲線依次連接.三、一次函數(shù)與正比例函數(shù)的概念（1）一般地，形如y=kx+b（k，b為常數(shù)，k≠0）的函數(shù)，叫做一次函數(shù)，其中x是自變量，y是x的函數(shù).特別地，當(dāng)b=0時(shí)，y=kx（k為常數(shù)，k≠0），y叫做x的正比例函數(shù).故正比例函數(shù)是特殊的一次函數(shù).（2）函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)的含義：函數(shù)圖象上的點(diǎn)是由適合函數(shù)的表達(dá)式的一對(duì)x，y的值組成的，因此，若已知一個(gè)點(diǎn)在函數(shù)圖象上，那么以這個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x，縱坐標(biāo)為y，方程成立.（3）兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)：就是兩個(gè)表達(dá)式組成的方程組的解.四、一次函數(shù)（，為常數(shù)，）的圖象與性質(zhì)（1）一次（正比例）函數(shù)的圖象是一條直線；（2）已知兩點(diǎn)可以作圖，也可求出表達(dá)式；（3）交y軸于點(diǎn)（0，b），交x軸于點(diǎn)（，0）；（4）所經(jīng)過(guò)象限及函數(shù)的增減性（過(guò)第一、二象限）（過(guò)第三、四象限）（過(guò)原點(diǎn)）（過(guò)第一、三象限）隨的增大而增大經(jīng)過(guò)第一、二、三象限經(jīng)過(guò)第一、三、四象限經(jīng)過(guò)第一、三象限（過(guò)第二、四象限）隨的增大而減小經(jīng)過(guò)第一、二、四象限經(jīng)過(guò)第二、三、四象限經(jīng)過(guò)第二、四象限五、一次函數(shù)（，為常數(shù)，）沿坐標(biāo)軸平移個(gè)單位長(zhǎng)度后的函數(shù)關(guān)系式平移平移變換后的函數(shù)關(guān)系式沿軸向上平移個(gè)單位長(zhǎng)度向下平移個(gè)單位長(zhǎng)度沿軸向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度六、一次函數(shù)（，為常數(shù)，）關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱后的函數(shù)關(guān)系式關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱對(duì)稱變換后的函數(shù)關(guān)系式關(guān)于軸對(duì)稱關(guān)于軸對(duì)稱七、由函數(shù)圖象比較函數(shù)值的大小函數(shù)圖象上的點(diǎn)（x，y）是由適合函數(shù)的表達(dá)式的一對(duì)x，y的值組成的，x的值是點(diǎn)的橫坐標(biāo)，縱坐標(biāo)就是與這個(gè)x的值相對(duì)應(yīng)的y的值，因此，觀察x或y的值就是看函數(shù)圖象上點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)的值，比較函數(shù)值的大小就是比較同一個(gè)x對(duì)應(yīng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)的大小，也就是函數(shù)圖象上的點(diǎn)的位置的高低.1.一次函數(shù)的定義，一般地，形如y=kx+b（k，b為常數(shù)，k≠0）的函數(shù)，叫做一次函數(shù).特別注意的是自變量的指數(shù)是1，自變量的系數(shù)不為0.2.一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是需要重點(diǎn)掌握的內(nèi)容.表達(dá)式是一條直線，能求解與x軸，y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，可以判斷一次函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)的象限，以及一次函數(shù)的增減性.考點(diǎn)剖析考點(diǎn)一、識(shí)別一次函數(shù)例題1：下列函數(shù)：①；②；③；④；⑤；⑥中，是一次函數(shù)的有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【解析】①②④是一次函數(shù)，③不是一次函數(shù)，⑤需要添加這個(gè)條件才是一次函數(shù)，⑥不是一次函數(shù)，故選C．考點(diǎn)二、根據(jù)一次函數(shù)的定義求參數(shù)例題2：已知函數(shù)是關(guān)于的一次函數(shù)，則m=，若該函數(shù)是正比例函數(shù)，則m=，n=．【答案】，，0【解析】當(dāng)函數(shù)是關(guān)于的一次函數(shù)時(shí)，，且，解得；當(dāng)函數(shù)是關(guān)于的正比例函數(shù)時(shí)，，，且，解得，．考點(diǎn)三、已知點(diǎn)在直線上求代數(shù)式的值例題3：已知點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，則．【答案】2013【解析】∵點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，∴，∴，∴．故答案為：2013．考點(diǎn)四、一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)例題4：關(guān)于一次函數(shù)，下列說(shuō)法正確的是（

）A．圖象經(jīng)過(guò)第一、二、四象限 B．當(dāng)時(shí)，C．函數(shù)值y隨自變量x的增大而增大 D．圖象與y軸交于點(diǎn)【答案】B【解析】A、由，則圖象必過(guò)第二、四象限，由，則圖象還過(guò)第三象限，即函數(shù)圖象過(guò)第二、三、四象限，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、令，則，又，y隨x的增大而減小，則當(dāng)時(shí)，，故本選項(xiàng)正確；C、，y隨x的增大而減小，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、令，則，圖象與y軸交于點(diǎn)，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選B．考點(diǎn)五、根據(jù)函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)的象限求參數(shù)例題5：在平面直角坐標(biāo)系中，若一次函數(shù)的圖象不經(jīng)過(guò)第二象限，則的值可以是．（請(qǐng)寫出一個(gè)符合的值）【答案】（答案不唯一）【解析】∵一次函數(shù)的圖象不經(jīng)過(guò)第二象限，∴一次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)第一、三、四象限，∴，∴可取．故答案為：（答案不唯一，為正值即可）．考點(diǎn)六、根據(jù)一次函數(shù)的增減性求參數(shù)例題6：當(dāng)時(shí)（寫出m的一個(gè)值），一次函數(shù)的值都是隨x的增大而減?。敬鸢浮?（答案不唯一）【解析】一次函數(shù)的值都是隨x的增大而減小，，，取時(shí)，一次函數(shù)的值都是隨x的增大而減小，故答案為：1（答案不唯一，即可）．考點(diǎn)七、比較一次函數(shù)值的大小例題7：若點(diǎn)，都在一次函數(shù)的圖象上，則．（用“”或“”填空）【答案】【解析】由題意，，隨的增大而增大，，，故答案為：．考點(diǎn)八、一次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)問題例題8：一次函數(shù)的圖象與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B．(1)點(diǎn)A的坐標(biāo)為______，點(diǎn)B的坐標(biāo)為______．(2)求的長(zhǎng)．(3)已知橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)稱為整點(diǎn)，直接寫出內(nèi)（不含邊界）的所有整點(diǎn)坐標(biāo)．【解析】（1）在中，令，則，即；令，則，即.（2）∵，，∴.（3）如圖，易知一次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)，和，四個(gè)整點(diǎn)，則內(nèi)（不含邊界）的整點(diǎn)為，，，．考點(diǎn)九、畫一次函數(shù)圖象例題9：已知函數(shù)．(1)填表，并在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中畫出這個(gè)函數(shù)的圖象；x…_____……____4…(2)在函數(shù)中，隨著x的增大，y將______（填“增大”或“減小”）；(3)當(dāng)時(shí)，求x的取值范圍．【解析】（1）∵，∴列表如下表.畫圖如圖.（2）∵，∴，∴y隨x的增大而增大，故答案為：增大．（3））由表格可知，當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，，，∴當(dāng)時(shí)，x的取值范圍是．考點(diǎn)十、判斷兩個(gè)一次函數(shù)圖象共存問題例題10：下列圖中，表示一次函數(shù)與正比例函數(shù)（其中為常數(shù)，且）的大致圖象，其中表示正確的是（）A．

B．C．D．

【答案】A【解析】A．由一次函數(shù)的圖象可知，則；由正比例函數(shù)的圖象可知，故本選項(xiàng)符合題意；B．由一次函數(shù)的圖象可知，則；由正比例函數(shù)的圖象可知，矛盾，故本選項(xiàng)不符合題意；C．由一次函數(shù)的圖象可知，則；由正比例函數(shù)的圖象可知，矛盾，故本選項(xiàng)不符合題意；D．由一次函數(shù)的圖象可知，則；由正比例函數(shù)的圖象可知，矛盾，故本選項(xiàng)不符合題意；故選A．考點(diǎn)十一、一次函數(shù)圖象平移問題例題11：在平面直角坐標(biāo)系中，直線沿軸方向向上平移了個(gè)單位長(zhǎng)度后，該直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積增加了2，則的值為．【答案】2【解析】∵，∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為：，∴直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為；把直線沿軸方向向上平移了個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到的新函數(shù)的表達(dá)式為：，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為：，∴直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為；∴，∴，∴或（不合題意，舍去）．故答案為：2．考點(diǎn)十二、一次函數(shù)的規(guī)律探究問題例題12：正方形，，，…按如圖所示放置，點(diǎn)，，，…和，，，…分別在直線和x軸上，則點(diǎn)的縱坐標(biāo)是．【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，，點(diǎn)的坐標(biāo)為．∵四邊形為正方形，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為．同理，可得：，，，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，點(diǎn)的縱坐標(biāo)為．故答案為：．過(guò)關(guān)檢測(cè)一、選擇題1．下列各點(diǎn)中在直線上的是（

）A． B． C． D．2．下列函數(shù)：①；②；③；④；⑤中，是一次函數(shù)的有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)3．關(guān)于一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，下列描述正確的是（）A．圖象過(guò)第二、三、四象限 B．y隨x的增大而減小C．圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn) D．圖象與y軸的交點(diǎn)是4．在同一平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)和的圖象可能是（

）A． B． C．D．5．已知一次函數(shù)與正比例函數(shù)，下列說(shuō)法正確的是（

）A．一次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)B．一次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)第一、二、三象限C．一次函數(shù)的圖象向下平移4個(gè)單位長(zhǎng)度可得到正比例函數(shù)的圖象D．兩個(gè)函數(shù)中，y的值均隨著x值的增大而增大二、填空題6．點(diǎn)和點(diǎn)都在直線上，則．（填“＞”“＜”“”或“”）7．已知是關(guān)于x的一次函數(shù)，則k的值為．8．已知點(diǎn)在一次函數(shù)的圖象上，則．9．把直線向左平移a個(gè)單位長(zhǎng)度后，與直線的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為8，則a的值為．10．如圖，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，，點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且，則點(diǎn)的坐標(biāo)為．三、解答題11．已知y與成正比例，且時(shí)，．(1)求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式；(2)當(dāng)時(shí)，求y的值．12．已知一次函數(shù)，完成下列問題：(1)在直角坐標(biāo)系中畫出該函數(shù)的圖象；(2)觀察圖象，當(dāng)時(shí)，y的取值范圍是_______；(3)將直線平移后經(jīng)過(guò)點(diǎn)，直接寫出平移后的直線表達(dá)式________．13．已知一次函數(shù)．(1)根據(jù)關(guān)系式畫出函數(shù)的圖象；(2)求出圖象與x軸、y軸的交點(diǎn)A，B的坐標(biāo)；(3)求A、B兩點(diǎn)間的距離；(4)y的值隨x值的增大怎樣變化？14．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線交軸于點(diǎn)A，交軸于點(diǎn)．(1)若，兩點(diǎn)在該函數(shù)圖象上，且，則______；(2)求的長(zhǎng)；(3)求點(diǎn)到直線的距離．15．如圖，平面直角坐標(biāo)系中，直線（）與x軸、y軸