專題02一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)（原卷版）

專題02一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)思維導圖核心考點聚焦1.識別一次函數(shù)2.根據(jù)一次函數(shù)的定義求參數(shù)3.已知點在直線上求代數(shù)式的值4.一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)5.根據(jù)函數(shù)圖象經(jīng)過的象限求參數(shù)6.根據(jù)一次函數(shù)的增減性求參數(shù)7.比較一次函數(shù)值的大小8.一次函數(shù)圖象與坐標軸的交點問題9.畫一次函數(shù)圖象10.判斷兩個一次函數(shù)圖象的共存問題11.一次函數(shù)圖象平移問題12.一次函數(shù)的規(guī)律探究問題一、函數(shù)的自變量的取值范圍（1）自變量的取值范圍函數(shù)自變量的取值范圍是根據(jù)函數(shù)的表達式的形式來考慮的，表達式的形式主要有以下幾種：整式：自變量取一切實數(shù)；分式：分母不為零；偶次方根：被開方數(shù)為非負數(shù)；零指數(shù)與負整數(shù)指數(shù)冪：底數(shù)不為零.在實際問題中，自變量的取值范圍必須保證每個量都有意義.（2）函數(shù)值：自變量中每個x所對的y的值，即為函數(shù)值．二、函數(shù)的圖象及畫法（1）函數(shù)的圖象：對于一個函數(shù)，把自變量與對應的函數(shù)值分別作為點的橫坐標、縱坐標，坐標平面內(nèi)由這些點組成的圖形.如：某天氣溫隨時間的變化．（2）已知函數(shù)的表達式，繪制函數(shù)圖象步驟：=1\*GB3①確定自變量的取值范圍；=2\*GB3②列表：列出若干自變量與對應的函數(shù)值；=3\*GB3③描點：在坐標軸上對應點描點；=4\*GB3④連線：用平滑曲線依次連接.三、一次函數(shù)與正比例函數(shù)的概念（1）一般地，形如y=kx+b（k，b為常數(shù)，k≠0）的函數(shù)，叫做一次函數(shù)，其中x是自變量，y是x的函數(shù).特別地，當b=0時，y=kx（k為常數(shù)，k≠0），y叫做x的正比例函數(shù).故正比例函數(shù)是特殊的一次函數(shù).（2）函數(shù)圖象經(jīng)過點的含義：函數(shù)圖象上的點是由適合函數(shù)的表達式的一對x，y的值組成的，因此，若已知一個點在函數(shù)圖象上，那么以這個點的橫坐標為x，縱坐標為y，方程成立.（3）兩個函數(shù)圖象的交點坐標：就是兩個表達式組成的方程組的解.四、一次函數(shù)（，為常數(shù)，）的圖象與性質(zhì)（1）一次（正比例）函數(shù)的圖象是一條直線；（2）已知兩點可以作圖，也可求出表達式；（3）交y軸于點（0，b），交x軸于點（，0）；（4）所經(jīng)過象限及函數(shù)的增減性（過第一、二象限）（過第三、四象限）（過原點）（過第一、三象限）隨的增大而增大經(jīng)過第一、二、三象限經(jīng)過第一、三、四象限經(jīng)過第一、三象限（過第二、四象限）隨的增大而減小經(jīng)過第一、二、四象限經(jīng)過第二、三、四象限經(jīng)過第二、四象限五、一次函數(shù)（，為常數(shù)，）沿坐標軸平移個單位長度后的函數(shù)關系式平移平移變換后的函數(shù)關系式沿軸向上平移個單位長度向下平移個單位長度沿軸向右平移個單位長度向左平移個單位長度六、一次函數(shù)（，為常數(shù)，）關于坐標軸對稱后的函數(shù)關系式關于坐標軸對稱對稱變換后的函數(shù)關系式關于軸對稱關于軸對稱七、由函數(shù)圖象比較函數(shù)值的大小函數(shù)圖象上的點（x，y）是由適合函數(shù)的表達式的一對x，y的值組成的，x的值是點的橫坐標，縱坐標就是與這個x的值相對應的y的值，因此，觀察x或y的值就是看函數(shù)圖象上點的橫、縱坐標的值，比較函數(shù)值的大小就是比較同一個x對應點的縱坐標的大小，也就是函數(shù)圖象上的點的位置的高低.1.一次函數(shù)的定義，一般地，形如y=kx+b（k，b為常數(shù)，k≠0）的函數(shù)，叫做一次函數(shù).特別注意的是自變量的指數(shù)是1，自變量的系數(shù)不為0.2.一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是需要重點掌握的內(nèi)容.表達式是一條直線，能求解與x軸，y軸的交點坐標，可以判斷一次函數(shù)圖象經(jīng)過的象限，以及一次函數(shù)的增減性.考點剖析考點一、識別一次函數(shù)例題1：下列函數(shù)：①；②；③；④；⑤；⑥中，是一次函數(shù)的有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【解析】①②④是一次函數(shù)，③不是一次函數(shù)，⑤需要添加這個條件才是一次函數(shù)，⑥不是一次函數(shù)，故選C．考點二、根據(jù)一次函數(shù)的定義求參數(shù)例題2：已知函數(shù)是關于的一次函數(shù)，則m=，若該函數(shù)是正比例函數(shù)，則m=，n=．【答案】，，0【解析】當函數(shù)是關于的一次函數(shù)時，，且，解得；當函數(shù)是關于的正比例函數(shù)時，，，且，解得，．考點三、已知點在直線上求代數(shù)式的值例題3：已知點在函數(shù)的圖象上，則．【答案】2013【解析】∵點在函數(shù)的圖象上，∴，∴，∴．故答案為：2013．考點四、一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)例題4：關于一次函數(shù)，下列說法正確的是（

）A．圖象經(jīng)過第一、二、四象限 B．當時，C．函數(shù)值y隨自變量x的增大而增大 D．圖象與y軸交于點【答案】B【解析】A、由，則圖象必過第二、四象限，由，則圖象還過第三象限，即函數(shù)圖象過第二、三、四象限，故本選項錯誤；B、令，則，又，y隨x的增大而減小，則當時，，故本選項正確；C、，y隨x的增大而減小，故本選項錯誤；D、令，則，圖象與y軸交于點，故本選項錯誤；故選B．考點五、根據(jù)函數(shù)圖象經(jīng)過的象限求參數(shù)例題5：在平面直角坐標系中，若一次函數(shù)的圖象不經(jīng)過第二象限，則的值可以是．（請寫出一個符合的值）【答案】（答案不唯一）【解析】∵一次函數(shù)的圖象不經(jīng)過第二象限，∴一次函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、三、四象限，∴，∴可取．故答案為：（答案不唯一，為正值即可）．考點六、根據(jù)一次函數(shù)的增減性求參數(shù)例題6：當時（寫出m的一個值），一次函數(shù)的值都是隨x的增大而減小．【答案】1（答案不唯一）【解析】一次函數(shù)的值都是隨x的增大而減小，，，取時，一次函數(shù)的值都是隨x的增大而減小，故答案為：1（答案不唯一，即可）．考點七、比較一次函數(shù)值的大小例題7：若點，都在一次函數(shù)的圖象上，則．（用“”或“”填空）【答案】【解析】由題意，，隨的增大而增大，，，故答案為：．考點八、一次函數(shù)圖象與坐標軸的交點問題例題8：一次函數(shù)的圖象與x軸交于點A，與y軸交于點B．(1)點A的坐標為______，點B的坐標為______．(2)求的長．(3)已知橫、縱坐標均為整數(shù)的點稱為整點，直接寫出內(nèi)（不含邊界）的所有整點坐標．【解析】（1）在中，令，則，即；令，則，即.（2）∵，，∴.（3）如圖，易知一次函數(shù)的圖象經(jīng)過，和，四個整點，則內(nèi)（不含邊界）的整點為，，，．考點九、畫一次函數(shù)圖象例題9：已知函數(shù)．(1)填表，并在如圖所示的平面直角坐標系中畫出這個函數(shù)的圖象；x…_____……____4…(2)在函數(shù)中，隨著x的增大，y將______（填“增大”或“減小”）；(3)當時，求x的取值范圍．【解析】（1）∵，∴列表如下表.畫圖如圖.（2）∵，∴，∴y隨x的增大而增大，故答案為：增大．（3））由表格可知，當時，．當時，，，∴當時，x的取值范圍是．考點十、判斷兩個一次函數(shù)圖象共存問題例題10：下列圖中，表示一次函數(shù)與正比例函數(shù)（其中為常數(shù)，且）的大致圖象，其中表示正確的是（）A．

B．C．D．

【答案】A【解析】A．由一次函數(shù)的圖象可知，則；由正比例函數(shù)的圖象可知，故本選項符合題意；B．由一次函數(shù)的圖象可知，則；由正比例函數(shù)的圖象可知，矛盾，故本選項不符合題意；C．由一次函數(shù)的圖象可知，則；由正比例函數(shù)的圖象可知，矛盾，故本選項不符合題意；D．由一次函數(shù)的圖象可知，則；由正比例函數(shù)的圖象可知，矛盾，故本選項不符合題意；故選A．考點十一、一次函數(shù)圖象平移問題例題11：在平面直角坐標系中，直線沿軸方向向上平移了個單位長度后，該直線與坐標軸圍成的三角形的面積增加了2，則的值為．【答案】2【解析】∵，∴當時，，當時，，∴直線與坐標軸的交點坐標為：，∴直線與坐標軸圍成的三角形的面積為；把直線沿軸方向向上平移了個單位長度后，得到的新函數(shù)的表達式為：，當時，，當時，，∴直線與坐標軸的交點坐標為：，∴直線與坐標軸圍成的三角形的面積為；∴，∴，∴或（不合題意，舍去）．故答案為：2．考點十二、一次函數(shù)的規(guī)律探究問題例題12：正方形，，，…按如圖所示放置，點，，，…和，，，…分別在直線和x軸上，則點的縱坐標是．【答案】【解析】當時，，點的坐標為．∵四邊形為正方形，點的坐標為，點的坐標為．同理，可得：，，，點的坐標為，點的縱坐標為，點的縱坐標為．故答案為：．過關檢測一、選擇題1．下列各點中在直線上的是（

）A． B． C． D．2．下列函數(shù)：①；②；③；④；⑤中，是一次函數(shù)的有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個3．關于一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，下列描述正確的是（）A．圖象過第二、三、四象限 B．y隨x的增大而減小C．圖象經(jīng)過點 D．圖象與y軸的交點是4．在同一平面直角坐標系中，函數(shù)和的圖象可能是（

）A． B． C．D．5．已知一次函數(shù)與正比例函數(shù)，下列說法正確的是（

）A．一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點B．一次函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、二、三象限C．一次函數(shù)的圖象向下平移4個單位長度可得到正比例函數(shù)的圖象D．兩個函數(shù)中，y的值均隨著x值的增大而增大二、填空題6．點和點都在直線上，則．（填“＞”“＜”“”或“”）7．已知是關于x的一次函數(shù)，則k的值為．8．已知點在一次函數(shù)的圖象上，則．9．把直線向左平移a個單位長度后，與直線的交點的縱坐標為8，則a的值為．10．如圖，直線經(jīng)過點A，，點在坐標軸上，且，則點的坐標為．三、解答題11．已知y與成正比例，且時，．(1)求y關于x的函數(shù)表達式；(2)當時，求y的值．12．已知一次函數(shù)，完成下列問題：(1)在直角坐標系中畫出該函數(shù)的圖象；(2)觀察圖象，當時，y的取值范圍是_______；(3)將直線平移后經(jīng)過點，直接寫出平移后的直線表達式________．13．已知一次函數(shù)．(1)根據(jù)關系式畫出函數(shù)的圖象；(2)求出圖象與x軸、y軸的交點A，B的坐標；(3)求A、B兩點間的距離；(4)y的值隨x值的增大怎樣變化？14．如圖，在平面直角坐標系中，直線交軸于點A，交軸于點．(1)若，兩點在該函數(shù)圖象上，且，則______；(2)求的長；(3)求點到直線的距離．15．如圖，平面直角坐標系中，直線（）與x軸、y軸