專題培優(yōu)課　與球有關的切接問題

專題培優(yōu)課與球有關的切、接問題【考情分析】與球有關的切、接問題是高考命題的熱點之一，經(jīng)常以客觀題出現(xiàn)．一般圍繞球與柱、錐、臺體的內(nèi)切、外接命題，考查球的體積與表面積，其關鍵點是確定球心．關鍵能力·題型剖析題型一幾何體的外接球角度一補形法例1(1)[2024·山東濟寧模擬]如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點，將△ADE，△BEF，△CDF分別沿DE，EF，DF折起，使A，B，C三點重合于點A′，則三棱錐A′DEF的外接球體積為()A．86πB．66πC．46πD．26π(2)如圖，在四棱錐EABCD中，四邊形ABCD為矩形，CE⊥平面ABCD，AB＝6，BC＝CE＝4，該四棱錐的外接球的表面積為________．[聽課記錄]題后師說補形法的解題策略鞏固訓練1(1)在三棱錐PABC中，若PA⊥平面ABC，AC⊥BC，|AC|＝5，|BC|＝11，|PA|＝8，則三棱錐PABC外接球的表面積是()A．100π B．50πC．144π D．72π(2)在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB⊥BC，BC＝1，AB＝3，AA1＝23，則該直三棱柱的外接球的體積為()A．8π3 B．C．32π3 D．角度二截面法例2[2024·江西九江模擬]已知△ABC是邊長為2的等邊三角形，且其頂點都在球O的球面上．若球O的表面積為8π，則O到平面ABC的距離為()A．53 B．C．233 D[聽課記錄]題后師說與球截面有關的解題策略鞏固訓練2已知圓臺O1O2的上底面圓O1的半徑為2，下底面圓O2的半徑為6，圓臺的體積為104π，且它的兩個底面圓周都在球O的球面上，則OO1OO2＝A．3 B．4C．15 D．17角度三定義法例3(1)[2024·重慶模擬]已知正四棱錐各棱的長度均為2，其頂點都在同一個球面上，則該球的表面積是()A．8π3 B．C．16π D．32π(2)[2024·安徽合肥模擬]已知體積為V的正三棱柱ABCA1B1C1的所有頂點都在球O的球面上，當球O的表面積S取得最小值時，該正三棱柱的底面邊長a與高h的比值為()A．12 B．C．32 D．[聽課記錄]題后師說到各個頂點距離均相等的點為外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圓圓心，找其垂線，則球心一定在垂線上，再根據(jù)到其他頂點距離也是半徑，列關系式求解即可．鞏固訓練3[2024·安徽馬鞍山模擬]如圖，在正四棱臺ABCDA1B1C1D1中，AB＝2AA1＝2A1B1＝23，且各頂點都在同一球面上，則該球體的表面積為()A．16π B．97πC．105π4 D．題型二幾何體的內(nèi)切球例4(1)[2024·河北秦皇島模擬]如圖，該幾何體為兩個底面半徑為1，高為1的相同的圓錐形成的組合體，設它的體積為V1，它的內(nèi)切球的體積為V2，則V1∶V2＝()A．2∶3 B．22∶3C．2∶2 D．2∶1(2)已知正三棱錐PABC的高為3，底面ABC是邊長為6的等邊三角形，先在三棱錐PABC內(nèi)放入一個內(nèi)切球O1，然后再放入球O2，使得球O2與球O1以及三棱錐PABC的三個側面相切，記球O1和球O2的半徑分別為R1，R2，則R1R2＝A．2 B．23C．3 D．4[聽課記錄]題后師說有關內(nèi)切球問題的解題策略鞏固訓練4[2024·湖南岳陽模擬]已知球與圓臺的上下底面和側面都相切．若圓臺的側面積為16π，上、下底面的面積之比為1∶9，則球的表面積為()A．12π B．14πC．16π D．18π1．[2021·全國甲卷]已知A，B，C是半徑為1的球O的球面上的三個點，且AC⊥BC，AC＝BC＝1，則三棱錐OABC的體積為()A．&212 C．&24 2．[2022·新高考Ⅱ卷]已知正三棱臺的高為1，上、下底面邊長分別為33和43，其頂點都在同一球面上，則該球的表面積為()A．100π B．128πC．144π D．192π3．已知四面體ABCD滿足AB＝CD＝3，AD＝BC＝5，AC＝BD＝2，且該四面體ABCD的外接球的表面積是()A．2π B．6πC．6π11 D．4．已知圓錐的底面直徑為23，軸截面為正三角形，則該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積為________．專題培優(yōu)課與球有關的切、接問題關鍵能力·題型剖析例1解析：(1)依題意，A′D⊥A′E，A′E⊥A′F，A′D⊥A′F，且A′D＝4，A′E＝A′F＝2，于是四面體A′DEF可以補形成以A′D，A′E，A′F為相鄰三條棱的長方體，該長方體與四面體A′DEF的外接球相同，設四面體A′DEF的外接球的半徑為R，則2R為長方體的體對角線長，即2R＝A'D2+A'E2+A'F2＝26，所以四面體A′DEF的外接球體積為(2)如圖所示，可以將四棱錐EABCD補成一個長方體ADFGBCEH，故長方體的外接球即為四棱錐的外接球，即AE的中點O即為外接球球心，所以半徑R＝12＝12CD2+AD所以外接球表面積S＝4πR2＝68π.答案：(1)A(2)68π鞏固訓練1解析：(1)如圖，將三棱錐放于一個長方體內(nèi)，則三棱錐的外接球就是長方體的外接球，∴PB為三棱錐PABC外接球的直徑，∵PB＝52+112+82＝10，∴外接球的表面積為4π×((2)如圖所示，將直三棱柱ABCA1B1C1補成長方體，則長方體的外接球即直三棱柱的外接球．長方體的體對角線長為232+設長方體的外接球的半徑為R，則2R＝4，得R＝2，所以該直三棱柱的外接球的體積V＝43πR3＝32π3.答案：(1)A(2)C例2解析：如圖所示，設△ABC的中心為O1，則OO1⊥平面ABC，又O1B?平面ABC，故OO1⊥O1B，因為△ABC是邊長為2的等邊三角形，所以O1B＝23×32×2＝233，又因為球O的表面積為8π，所以4πR2＝8π，解得R＝2，即OB＝2，所以OO1＝OB2-O1B2＝2-答案：B鞏固訓練2解析：軸截面如圖所示，設圓臺的高為h，依題意V＝13(4π＋36π＋12π)h＝104π，解得h＝6.設O1O＝x，則22＋x2＝62＋(6－x)2，解得x＝17故OO1OO2＝173答案：D例3解析：(1)如圖，正四棱錐PABCD的外接球的球心在高PO1上記為O，PO＝AO＝R，PO1＝22-22＝2，OO1＝2－R，在Rt△AOO1中，R2＝(2)2＋(2－R)2，解得R＝2，所以外接球的表面積等于4πR2＝(2)如圖，設正三棱柱ABCA1B1C1的上、下底面的中心分別為O1和O2，則O1O2的中點為O.設球O的半徑為R，則OA＝R.設AB＝BC＝AC＝a，AA1＝h，則OO2＝12h，O2A＝23×32AB＝33a，S△所以正三棱柱ABCA1B1C1的體積V＝34a2h，所以a2h＝43在Rt△OO2A中，R2＝OA2＝OO22＋O2A2＝14h2＋1球O的表面積S＝4πR2＝4π(14h2＋13a2方法一S＝4πR2＝4π(14h2＋13a2)＝4π14h2+1當且僅當14h2＝16a2，即ah＝62時方法二由V＝34a2h，得a2＝43所以S＝4πR2＝4π(14h2＋13a2)＝4π(14h2＋13×433hV)＝4π(14令φ(h)＝14h2＋439V×1h(則φ′(h)＝12h－439V令φ′(h)＝0，得h＝h0＝23當h∈(0，h0)時，φ′(h)<0時，φ(h)單調(diào)遞減；當h∈(h0，2R)時，φ′(h)>0，φ(h)單調(diào)遞增．所以當h＝233V13時，S取得最小值，此時a＝2V13，所以答案：(1)B(2)D鞏固訓練3解析：如圖所示的正四棱臺ABCDA1B1C1D1取上下兩個底面的中心M，N，連接MN，A1M，AN，過點A1作底面的垂線與AN相交于點E，因為四棱臺ABCDA1B1C1D1為正四棱臺，所以外接球的球心一定在直線MN上，在MN上取一點O為球心，連接OA，OA1，則OA＝OA1＝R，設ON＝h，因為AB＝2AA1＝2A1B1＝23，所以AN＝6，A1M＝62MN＝A1E＝AA12-AE所以ENMA1為正方形，故O必在MN延長線上，在Rt△OAN中，OA2＝AN2＋ON2，即R2＝(6)2＋h2，在Rt△OA1M中，即R2＝((6)2＋h)2＋(6解得R2＝152，所以S＝4πR2＝30π，故選答案：D例4解析：(1)如題圖，四邊形PAP′B為該幾何體的軸截面，則四邊形PAP′B的內(nèi)切圓的半徑即為該幾何體內(nèi)切球的半徑，設內(nèi)切球的半徑為r，由OP＝OA＝1，得r＝22，則V2＝43πr3＝2π3，V1＝2×13π×12×1＝2π3，所以V1∶V2＝(2)依題意，正△ABC的面積S△ABC＝34AB2＝93，正三棱錐PABC的體積VPABC＝13×3×93＝93，正△ABC的邊心距r＝12ABtan30°＝3，則正三棱錐PABC的斜高h′＝r2+32＝23，正三棱錐PABC的全面積S＝3S△PAB＋S△ABC＝3×12AB×h＋93＝273，因球O1是三棱錐PABC內(nèi)切球，于是有VPABC＝13SR1＝93R1＝93，解得R1＝1，又球O2與球O1相切，且與三棱錐PABC的三個側面相切，則球O2可視為過O2、球O1相切的切點與三棱錐PABC底面ABC平行的平面截三棱錐PABC所得小正三棱錐的內(nèi)切球，顯然，小正三棱錐的高為1，底面是邊長為2的正三角形，同理計算可得R2答案：(1)D(2)C鞏固訓練4解析：依據(jù)題意，球內(nèi)切于圓臺，畫出兩者的軸截面，球的截面為圓，圓臺的軸截面為等腰梯形ABCD，如圖所示，過B點作CD的垂線，垂足為E，設球的半徑為R，則BE＝2R，設圓臺的母線為l，即BC＝l，上、下底面的面積之比為1∶9，即πr12πr22＝r12r22＝19，r2＝3r1圓臺的側面積為π(r1＋r2)l＝4πr1l＝16πr12＝16π，解得r1＝1，則2R＝BE＝l2-2r12＝則球的表面積S＝4πR2＝12π.故選A.答案：A隨堂檢測1．解析：如圖所示，因為AC⊥BC，且AC＝BC＝1，所以AB為截面圓O1的直徑，且AB＝2.連接OO1，則OO1⊥平面ABC，OO1＝1-AB22＝1-222＝22，所以三棱錐OABC的體積V＝13S△ABC×OO1＝13答案：A2．解析：設三棱臺上底面A1B1C1、下底面ABC的外接圓半徑分別為r1，r2，外接圓圓心分別為O1，O2，三棱臺的外接球半徑為R，球心為O.令|OO1|＝t，則|OO2|＝|t－1|.由題意及正弦定理，得2r1＝33sin60°＝6，2r2＝43sin60°＝8，所以r1＝3，r2＝4，所以R2＝r12＋t2＝r22＋(t－1)2，即R2＝9＋t2＝16＋(t－1)答案：A3.解析：將四面體ABCD放入長方體中，如圖，則四面體ABCD的外接球，即為長方體的外接球，設長方體中