32基本不等式（六大題型）（原卷版）

3.2基本不等式課程標(biāo)準學(xué)習(xí)目標(biāo)1、理解基本不等式的內(nèi)容及證明.2、熟練掌握基本不等式及變形的應(yīng)用.3、會用基本不等式解決簡單的最大(小)值問題.4、能夠運用基本不等式解決生活中的應(yīng)用問題.1、數(shù)學(xué)建模：能夠運用基本不等式解決生活中的應(yīng)用問題.2、邏輯推理：熟練掌握基本不等式及變形的應(yīng)用.3、數(shù)學(xué)運算：會用基本不等式解決簡單的最大(小)值問題.4、直觀想象：運用圖像解釋基本不等式.知識點01基本不等式1、對公式及的理解．（1）成立的條件是不同的：前者只要求都是實數(shù)，而后者要求都是正數(shù)；（2）取等號“=”的條件在形式上是相同的，都是“當(dāng)且僅當(dāng)時取等號”．2、由公式和可以引申出常用的常用結(jié)論①（同號）；②（異號）；③或知識點詮釋：可以變形為：，可以變形為：．【即學(xué)即練1】（2023·全國·高一專題練習(xí)）不等式中，等號成立的條件是（

）A． B． C． D．知識點02基本不等式的證明方法一：幾何面積法如圖，在正方形中有四個全等的直角三角形．設(shè)直角三角形的兩條直角邊長為、，那么正方形的邊長為．這樣，4個直角三角形的面積的和是，正方形的面積為．由于4個直角三角形的面積小于正方形的面積，所以：．當(dāng)直角三角形變?yōu)榈妊苯侨切?，即時，正方形縮為一個點，這時有．得到結(jié)論：如果，那么（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號“=”）特別的，如果，，我們用、分別代替、，可得：如果，，則，（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號“=”）．通常我們把上式寫作：如果，，，（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號“=”）方法二：代數(shù)法∵，當(dāng)時，；當(dāng)時，．所以，（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號“=”）．知識點詮釋：特別的，如果，，我們用、分別代替、，可得：如果，，則，（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號“=”）．通常我們把上式寫作：如果，，，（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號“=”）．【即學(xué)即練2】（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知，，，求證：.知識點03基本不等式的幾何意義如圖，是圓的直徑，點是上的一點，，，過點作交圓于點D，連接、．易證，那么，即．這個圓的半徑為，它大于或等于，即，其中當(dāng)且僅當(dāng)點與圓心重合，即時，等號成立．知識點詮釋：1、在數(shù)學(xué)中，我們稱為的算術(shù)平均數(shù)，稱為的幾何平均數(shù)．因此基本不等式可敘述為：兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)．2、如果把看作是正數(shù)的等差中項，看作是正數(shù)的等比中項，那么基本不等式可以敘述為：兩個正數(shù)的等差中項不小于它們的等比中項．【即學(xué)即練3】（2023·全國·高一專題練習(xí)）數(shù)學(xué)命題的證明方式有很多種．利用圖形證明就是一種方式．現(xiàn)有如圖所示圖形，在等腰直角三角形中，點O為斜邊AB的中點，點D為斜邊AB上異于頂點的一個動點，設(shè)，，用該圖形能證明的不等式為（

）．A． B．C． D．知識點04用基本不等式求最大（?。┲翟谟没静坏仁角蠛瘮?shù)的最值時，應(yīng)具備三個條件：一正二定三取等．①一正：函數(shù)的解析式中，各項均為正數(shù)；②二定：函數(shù)的解析式中，含變數(shù)的各項的和或積必須有一個為定值；③三取等：函數(shù)的解析式中，含變數(shù)的各項均相等，取得最值．知識點詮釋：1、兩個不等式：與成立的條件是不同的，前者要求a，b都是實數(shù)，后者要求a，b都是正數(shù)．2、兩個不等式：與都是帶有等號的不等式，對于“當(dāng)且僅當(dāng)……時，取“=”號這句話的含義要有正確的理解．3、基本不等式的功能在于“和積互化”．若所證不等式可整理成一邊是和，另一邊是積的形式，則考慮使用平均不等式；若對于所給的“和式”中的各項的“積”為定值，則“和”有最小值，對于給出的“積式”中的各項的“和”為定值，則“積”有最大值．4、利用兩個數(shù)的基本不等式求函數(shù)的最值必須具備三個條件：①各項都是正數(shù)；②和（或積）為定值；③各項能取得相等的值．5、基本不等式在解決實際問題中有廣泛的應(yīng)用，在應(yīng)用時一般按以下步驟進行：①先理解題意，設(shè)變量，設(shè)變量時一般把要求最大值或最小值的變量定為函數(shù)；②建立相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，把實際問題抽象為函數(shù)的最大值或最小值問題；③在定義域內(nèi)，求出函數(shù)的最大或最小值；④寫出正確答案．【即學(xué)即練4】（2023·陜西西安·高一校考期中）已知，且滿足，求的最小值是.題型一：對基本不等式的理解及簡單應(yīng)用【典例11】（2024·高一·河南·階段練習(xí)）不等式中，等號成立的條件是（

）A． B． C． D．【典例12】（2024·高一·福建寧德·階段練習(xí)）《幾何原本》卷2的幾何代數(shù)法（幾何方法研究代數(shù)問題）成了后世西方數(shù)學(xué)家處理問題的重要依據(jù).通過這一原理，很多的代數(shù)的公理或定理都能夠通過圖形實現(xiàn)證明，也稱之為無字證明；如圖所示圖形，點、在圓上，點在直徑上，且，，于點，設(shè)，，該圖形完成的無字證明.則圖中表示，的調(diào)和平均數(shù)、平方平均數(shù)的線段分別是（

）A．， B．， C．， D．，【方法技巧與總結(jié)】應(yīng)用基本不等式時的三個關(guān)注點（1）一正數(shù)：指式子中的a，b均為正數(shù)．（2）二定值：只有ab為定值時才能應(yīng)用基本不等式，因此有時需要構(gòu)造定值．（3）三相等：即“=”必須成立，求出的定值才是要求的最值．【變式11】（多選題）（2024·高三·全國·專題練習(xí)）下列推導(dǎo)過程，正確的為（

）A．因為a，b為正實數(shù)，所以≥2＝2B．因為x∈R，所以1C．因為a＜0，所以+a≥2＝4D．因為，所以【變式12】（2024·高二·寧夏·期中）下列運用基本不等式求最值，使用正確的個數(shù)是（

）已知，求的最小值；解答過程：；求函數(shù)的最小值；解答過程：可化得；設(shè)，求的最小值；解答過程：，當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立，把代入得最小值為4．A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【變式13】（2024·高一·全國·課后作業(yè)）下面四個推導(dǎo)過程正確的有（

）A．若a，b為正實數(shù)，則B．若，則C．若，則D．若，則【變式14】（2024·高一·江蘇南京·階段練習(xí)）《幾何原本》中的幾何代數(shù)法是以幾何方法研究代數(shù)問題，這種方法是后西方數(shù)學(xué)家處理問題的重要依據(jù)，通過這一原理，很多的代數(shù)公理或定理都能夠通過圖形實現(xiàn)證明，也稱之為無字證明．下圖是我國古代數(shù)學(xué)家趙爽創(chuàng)作的弦圖，弦圖由四個全等的直角三角形與一個小正方形（邊長可以為0）拼成的一個大正方形．若直角三角形的直角邊長分別為和，則該圖形可以完成的無字證明為（

）．A． B．C． D．題型二：利用基本不等式比較大小【典例21】設(shè)，為正數(shù)，則，，，的大小關(guān)系是．【典例22】（2024·高一·上?！ふn后作業(yè)）若、、、、、是正實數(shù)，且，，則有．（比較大?。痉椒记膳c總結(jié)】利用基本不等式比較大小在利用基本不等式比較大小時，應(yīng)創(chuàng)設(shè)應(yīng)用基本不等式的使用條件，合理地拆項、配湊或變形．在拆項、配湊或變形的過程中，首先要考慮基本不等式使用的條件，其次要明確基本不等式具有將“和式”轉(zhuǎn)化為“積式”或者將“積式”轉(zhuǎn)化為“和式”的放縮功能．【變式21】（多選題）（2024·高一·廣東深圳·期中）若，且，則下列不等式中，恒成立的是（

）A． B． C． D．【變式22】（多選題）（2024·高一·湖南長沙·階段練習(xí)）小王從甲地到乙地往返的時速分別為a和b（），其全程的平均時速為v，則（

）A． B． C． D．【變式23】（2024·高一·上?！ふn堂例題）若，，則、、、中最大的一個是．【變式24】（2024·高一·江蘇·專題練習(xí)）比較大小：2(填“”“”“”或“”)．【變式25】（2024·高一·全國·課后作業(yè)）若，，，則，，2ab，中最大的一個是．題型三：利用基本不等式證明不等式【典例31】已知a、b是正數(shù)，求證：．【典例32】（2024·高一·江蘇南京·期中）（1）設(shè)a，b，c，d為實數(shù)，求證：；（2）已知，求證：．【方法技巧與總結(jié)】利用基本不等式證明不等式時應(yīng)注意的問題（1）注意基本不等式成立的條件；（2）多次使用基本不等式，要注意等號能否成立；（3）對不能直接使用基本不等式證明的可重新組合，形成基本不等式模型，再使用．【變式31】（2024·高一·上?！て谥校┮阎猘、b、c、，證明下列不等式，并指出等號成立的條件：(1)；(2)．【變式32】（2024·高一·上?！ふn后作業(yè)）（1）已知、都是正數(shù)，求證：；（2）已知，，，求證：．【變式33】（2024·高一·云南曲靖·期末）已知，，且，證明：(1)；(2)．【變式34】（2024·青?！ひ荒＃┮阎龜?shù)滿足．求證：(1)；(2)．題型四：利用基本不等式求最值命題方向1：直接法求最值【典例41】（2024·高一·河南鄭州·階段練習(xí)）已知，且，則的最大值為．【典例42】已知，，且，則xy的最大值為．【變式41】（2024·高一·云南楚雄·期末）若實數(shù)滿足，則的最大值為．【變式42】（2024·高二·浙江寧波·期末）已知正實數(shù)x，y滿足，則xy的最大值為．【變式43】（2024·高一·河北保定·開學(xué)考試）若正數(shù)滿足，則的最大值為．【變式44】（2024·高一·內(nèi)蒙古巴彥淖爾·期末）已知，的最小值為.命題方向2：常規(guī)湊配法求最值【典例51】（2024·高一·上?！ふn前預(yù)習(xí)）設(shè)、滿足，且、都是正數(shù)，則的最大值為．【典例52】（2024·高一·上?！るS堂練習(xí)）已知，則的最大值為．【變式51】（2024·高二·安徽六安·期末）已知，則的最大值為．【變式52】（2024·河北秦皇島·三模）設(shè)，則的最大值為.【變式53】（2024·高一·福建福州·階段練習(xí)）已知實數(shù)，則函數(shù)的最小值為（

）A．5 B．6 C．7 D．8【變式54】（2024·高一·湖北·階段練習(xí)）已知，且，則的最小值是（

）A．6 B．8 C．14 D．16【變式55】（2024·高二·浙江紹興·期中）若，則有（

）A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值命題方向3：消參法求最值【典例61】（2024·新疆·高一校聯(lián)考期末）設(shè)，則的最小值為（

）A． B．C． D．6【典例62】（2024·全國·高一專題練習(xí)）已知實數(shù)滿足，則的最小值為（

）A． B． C． D．2【變式61】（2024·全國·高一專題練習(xí)）已知，則的最小值為（

）A． B． C． D．【變式62】（2024·高一·全國·課后作業(yè)）若正實數(shù)滿足，則的最小值為（

）A．7 B．8 C．9 D．10命題方向4：換元求最值【典例71】（2024·全國·高一專題練習(xí)）設(shè)x，y是正實數(shù)，且，則的最大值是.【典例72】（2024·全國·高一專題練習(xí)）已知正數(shù)、滿足，則的最小值為.【變式71】（2024·浙江·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）若實數(shù)，滿足，則的最小值為．命題方向5：“1”的代換求最值【典例81】（2024·高一·福建南平·期中）已知，，，則的最小值為（

）A．2 B．1 C． D．【典例82】（2024·高一·重慶沙坪壩·期中）已知正實數(shù)，滿足，則的最小值為（

）A．1 B．2 C．4 D．8【變式81】（2024·高二·河北張家口·期末）已知，且，則的最小值為（

）A． B． C． D．【變式82】（2024·高一·全國·課后作業(yè)）已知，且，則的最小值為（

）A．8 B．6 C．4 D．2【變式83】（2024·高二·安徽·階段練習(xí)）若正實數(shù)，滿足，則的最大值為（

）A． B． C． D．【變式84】（2024·高一·陜西榆林·階段練習(xí)）若正數(shù)，滿足，則的最小值為（

）A．2 B． C．3 D．【變式85】（2024·河南信陽·模擬預(yù)測），則的最小值為（

）A． B． C． D．6【變式86】（2024·高一·重慶沙坪壩·階段練習(xí)）已知正數(shù)滿足，則的最小值為（

）A． B． C． D．命題方向6：△法【典例91】（2024·湖南衡陽·衡陽市八中?？寄M預(yù)測）已知實數(shù)，滿足，則的最大值為（

）A． B． C． D．【典例92】（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知，滿足則的最小值是（

）A． B． C． D．命題方向7：條件等式求最值【典例101】（2024·高一·山東濟寧·階段練習(xí)）設(shè)正實數(shù)x，y，z滿足，則當(dāng)取得最大值時，的值為．【典例102】（2024·全國·高一專題練習(xí)）已知正數(shù)x，y滿足，則的最大值為．【變式101】（2024·全國·高一專題練習(xí)）已知，，，則的最大值為．【變式102】（2024·全國·高一專題練習(xí)）若，且，則的最大值為.【方法技巧與總結(jié)】利用基本不等式求代數(shù)式的最值（1）利用基本不等式求代數(shù)式的最值，要通過恒等變形以及配湊，使“和”或“積”為定值，從而求得代數(shù)式的最大值或最小值．（2）若是求和式的最小值，通常化（或利用）積為定值；若是求積的最大值，通?；ɑ蚶茫┖蜑槎ㄖ担獯鸺记啥际乔‘?dāng)變形、合理拆分項或配湊因式．題型五：利用基本不等式求解恒成立問題【典例111】（2024·高一·江蘇徐州·階段練習(xí)）若對任意，恒成立，則a的最小值為（

）．A． B． C． D．【典例112】（2024·高一·山東濟寧·階段練習(xí)）設(shè)，若恒成立，則k的最大值為（

）A．2 B．4 C．6 D．8【方法技巧與總結(jié)】利用基本不等式求解恒成立問題，通常通過分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為利用基本不等式求最值【變式111】（2024·高一·重慶·期末）當(dāng)，且滿足時，有恒成立，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【變式112】（2024·高一·浙江麗水·階段練習(xí)）已知不等式對滿足的所有正實數(shù)都成立，則正實數(shù)的最小值為（

）A． B．1 C． D．2【變式113】（2024·高二·湖南·期中）已知實數(shù)，且滿足，若不等式恒成立，則實數(shù)的最大值為（

）A．9 B．12 C．16 D．25【變式114】（2024·高一·湖北武漢·階段練習(xí)）若對任意實數(shù)，，不等式恒成立，則實數(shù)a的最小值為（

）．A． B． C． D．【變式115】（2024·高一·山東泰安·階段練習(xí)）設(shè)，且不等式恒成立，則正實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．題型六：基本不等式在實際問題中的應(yīng)用【典例121】（2024·高一·河北石家莊·階段練習(xí)）如圖，公園想建一塊面積為144平方米的矩形草地，一邊靠墻，另外三邊用鐵絲網(wǎng)圍住，現(xiàn)有44米長的鐵絲網(wǎng)可供使用（鐵絲網(wǎng)可以剩余），若利用x米墻，求最少需要多少米鐵絲網(wǎng)．【典例122】（2024·高一·上海徐匯·期中）某工廠建造一個無蓋的長方體貯水池，其容積為4800，深度為3m．如果池底每平方米的造價為100元，池壁每平方米的造價為80元，怎樣設(shè)計水池能使總造價最低？最低總造價為多少元？【方法技巧與總結(jié)】利用基本不等式解決實際問題的步驟解實際問題時，首先審清題意，然后將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，再利用數(shù)學(xué)知識（函數(shù)及不等式性質(zhì)等）解決問題．用基本不等式解決此類問題時，應(yīng)按如下步驟進行：（1）先理解題意，設(shè)變量，設(shè)變量時一般把要求最大值或最小值的變量定為函數(shù)．（2）建立相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，把實際問題抽象為函數(shù)的最大值或最小值問題．（3）在定義域內(nèi)，求出函數(shù)的最大值或最小值．（4）正確寫出答案．【變式121】（2024·高一·全國·隨堂練習(xí)）某工廠擬造一座平面圖（如圖）為長方形且面積為的三級污水處理池．由于地形限制，該處理池的長、寬都不能超過16m，且高度一定．如果四周池壁的造價為400元/，中間兩道隔墻的造價為248元/，池底造價為80元/，那么如何設(shè)計該處理池的長和寬，才能使總造價最低？（池壁的厚度忽略不計）

【變式122】（2024·高一·江蘇揚州·階段練習(xí)）已知a、、、為正實數(shù)，利用平均不等式證明（1）（2）并指出等號成立條件，然后解（3）中的實際問題．(1)請根據(jù)基本不等式，證明：；(2)請利用（1）的結(jié)論，證明：；(3)如圖，將邊長為米的正方形硬紙板，在它的四個角各減去一個小正方形后，折成一個無蓋紙盒．如果要使制作的盒子容積最大，那么剪去的小正方形的邊長應(yīng)為多少米?【變式123】（2024·高一·安徽淮北·期中）某蛋糕店推出兩款新品蛋糕，分別為薄脆百香果蛋糕和朱古力蜂果蛋糕，已知薄脆百香果蛋糕單價為x元，朱古力蜂果蛋糕單位為y元，現(xiàn)有兩種購買方案：方案一：薄脆百香果蛋糕購買數(shù)量為a個，朱古力蜂果蛋糕購買數(shù)量為b個，花費記為;方案二：薄脆百香果蛋糕購買數(shù)量為b個，朱古力蜂果蛋糕購買數(shù)量為a個，花費記為．（其中）(1)試問哪種購買方案花費更少？請說明理由；(2)若a，b，x，y同時滿足關(guān)系，求這兩種購買方案花費的差值S最小值（注：差值花費較大值花費較小值）．【變式124】（2024·高一·貴州·階段練習(xí)）某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，其生產(chǎn)的總成本（萬元）年產(chǎn)量（噸）之間的函數(shù)關(guān)系可近似的表示為已知此工廠的年產(chǎn)量最小為噸，最大為噸．(1)年產(chǎn)量為多少噸時，生產(chǎn)每噸產(chǎn)品的平均成本最低？并求出最低平均成本；(2)若每噸產(chǎn)品的平均出廠價為萬元，且產(chǎn)品全部售出，則年產(chǎn)量為多少噸時，可以獲得最大利潤？并求出最大利潤．【變式125】（2024·高一·浙江寧波·自主招生）對于任意正實數(shù)，僅當(dāng)時，等號成立．結(jié)論：．若為定值，僅當(dāng)時，有最小值．根據(jù)上述內(nèi)容，回答下列問題：(1)初步探究：若x>0，僅當(dāng)___時，有最小值___；(2)變式探究：對于函數(shù)，當(dāng)取何值時，函數(shù)的值最??？最小值是多少？(3)拓展應(yīng)用：疫情期間、為了解決疑似人員的臨隔離問題．高速公路榆測站入口處，檢測人員利用檢測站的一面墻(墻的長度不限)，用63米長的鋼絲網(wǎng)圍成了9間相同的長方形隔離房，如圖．設(shè)每間離房的面積為(米)．問：每間隔離房的長、寬各為多少時，可使每間隔離房的面積最大？最大面積是多少？1．（2024·高一·河北保定·期末）已知為正實數(shù)且，則的最小值為（

）A． B． C．3 D．2．（2024·高一·全國·課后作業(yè)）若，則有（

）A．最小值0 B．最大值2C．最大值 D．不能確定3．（2024·高三·陜西榆林·階段練習(xí)）已知，，且，則的最小值為（

）A．1 B．2 C．4 D．84．（2024·高一·山西朔州·階段練習(xí)）已知，，滿足，則下列結(jié)論正確的是（

）A．有最小值 B．有最大值C．有最小值 D．