第04講中心對稱與中心對稱圖形

第04講中心對稱與中心對稱圖形知識點中心對稱（兩個圖形）1.概念把一個圖形繞著某一點旋轉(zhuǎn)180°，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關(guān)于這個點對稱或中心對稱；2.性質(zhì)（1）關(guān)于中心對稱的兩個圖形是全等形。（2）關(guān)于中心對稱的兩個圖形，對稱點連線都經(jīng)過對稱中心，并且被對稱中心平分。（3）關(guān)于中心對稱的兩個圖形，對應(yīng)線段平行（或在同一直線上）且相等。3.判定如果兩個圖形的對應(yīng)點連線都經(jīng)過某一點，并且被這一點平分，那么這兩個圖形關(guān)于這一點對稱。4.作圖步驟：連接原圖形上所有的特殊點和對稱中心。將以上所連線段延長找對稱點，使得特殊點與對稱中心的距離和對稱點與對稱中心的距離相等。將對稱點按原圖形的形狀順次連接起來，即可得出關(guān)于中心對稱的圖形中心對稱圖形（一個圖形）把一個圖形繞某一個點旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠和原來的圖形互相重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個店就是它的對稱中心?？键c剖析考點一：中心對稱圖形【典例1】（2023秋?寧津縣期中）下列圖形中，中心對稱圖形是（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：A、圖形不是中心對稱圖形，不符合題意；B、圖形是中心對稱圖形，符合題意；C、圖形不是中心對稱圖形，不符合題意；D、圖形不是中心對稱圖形，不符合題意．故選：B．【變式11】（2023秋?遼寧期中）下列圖形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：A、該圖形不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故A選項不合題意；B、該圖形是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故B選項不符合題意；C、該圖形既不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故C選項不合題意；D、該圖形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形，故D選項合題意．故選：D．【變式12】（2023?鹽城）下列圖形中，屬于中心對稱圖形的是（）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：A、不是中心對稱圖形，所以不符合題意；B、是中心對稱圖形，所以符合題意；C、不是中心對稱圖形，所以不符合題意；D、不是中心對稱圖形，所以不符合題意；故選：B．【變式13】（2023秋?利州區(qū)期中）下列圖形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：A、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形；B、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形；C、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形；D、是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形．故選：D．考點二：中心對稱的性質(zhì)【典例2】（2022秋?西湖區(qū)校級期中）如圖，△ABC與△A′B'C'關(guān)于O成中心對稱，下列結(jié)論中不成立的是（）A．OC＝OC′ B．∠ABC＝∠A'C'B' C．點B的對稱點是B′ D．BC∥B'C'【答案】B【解答】解：∵△ABC與△A′B'C'關(guān)于O成中心對稱，∴OC＝OC′，BC∥B′C′，點B的對稱點B′，故A，C，D正確，故選：B．【變式21】（2022秋?邯山區(qū)校級期中）如圖，△ABC與△A'B'C'關(guān)于點O成中心對稱，則下列結(jié)論不成立的是（）A．點A與點A'是對稱點 B．BO＝B'O C．AB＝A'B' D．∠ACB＝∠C'A'B'【答案】D【解答】解：∵△ABC與△A'B'C'關(guān)于點O成中心對稱，∴點A與點A'是對稱點，BO＝B'O，AB＝A'B'，∴A，B，C正確，故選：D．【變式22】（2022秋?新華區(qū)校級期末）如圖，△ABC與△A'B'C'關(guān)于點O成中心對稱，下列結(jié)論中不成立的是（）A．OB＝OB' B．∠ACB＝∠A'B'C' C．點A的對稱點是點A' D．BC∥B'C'【答案】B【解答】解：∵△ABC與△A′B'C'關(guān)于O成中心對稱，∴OB＝OB'，∠ACB＝∠A'C'B'，點A的對稱點是點A'，BC∥B'C'，故A，C，D正確，故選：B．【變式23】（2023春?南召縣期末）如圖，△ABC與△A′B′C′關(guān)于點O成中心對稱，有以下結(jié)論：①點A與點A′是對稱點；②BO＝B′O；③AB∥A′B′；④∠ACB＝∠C′A′B′．其中正確結(jié)論的序號為①②③．【答案】①②③．【解答】解：∵△ABC與△A′B′C′關(guān)于點O成中心對稱，∴△ABC≌△A′B′C′，∴點A與點A′是對稱點，BO＝B′O，AB∥A′B′，故①②③正確，故答案為：①②③．考點三：利用中心對稱的性質(zhì)找對稱中心【典例3】（2023春?渭南期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，△ABC經(jīng)過中心對稱變換得到△A′B′C′，那么對稱中心的坐標(biāo)為（）A．（0，0） B．（﹣1，0） C．（﹣1，﹣1） D．（0，﹣1）【答案】B【解答】解：由圖可知，點A與點A'關(guān)于（﹣1，0）對稱，點B與點B'關(guān)于（﹣1，0）對稱，點C與點C′關(guān)于（﹣1，0）對稱，所以△ABC與△A′B′C′關(guān)于點（﹣1，0）成中心對稱，故選：B．【變式31】（2023春?高碑店市期末）如圖，△ABC與△DEF關(guān)于某點成中心對稱，則其對稱中心是（）A．點P B．點Q C．點M D．點N【答案】C【解答】解：如圖，連接BE、CF，發(fā)現(xiàn)其交于點M，根據(jù)中心對稱的性質(zhì)可知點M即為其對稱中心．故選C．【變式32】（2022?市南區(qū)一模）如圖，以某網(wǎng)格線所在直線建立平面直角坐標(biāo)系，將△ABC繞點P旋轉(zhuǎn)180°得到△DEF，已知點A（2，﹣1），點P的坐標(biāo)為（）A．（﹣2，2） B．（2，﹣2） C．（1，﹣3） D．（﹣3，1）【答案】C【解答】解：如圖所示，連接AD，CF，交點即為點P，∵點A（2，﹣1），∴點A在第四象限，距離x軸1個單位，距離y軸2個單位，如圖所示，∴點P的坐標(biāo)為（1，﹣3）故選：C．【變式33】（2023春?常德期中）如圖所示，△ABC與△A′B′C′關(guān)于點O中心對稱，但點O不慎被涂掉了．（1）請你找到對稱中心O的位置；（2）連接線段BC′和線段B′C，試判斷四邊形BC′B′C的形狀，并說明理由．【答案】（1）見圖形；（2）四邊形BC′B′C是平行四邊形，理由見解析．【解答】解：（1）連接CC′，BB′交于O，∴點O即為對稱中心的位置；（2）四邊形BC′B′C是平行四邊形，理由如下：∵△ABC與△A′B′C′關(guān)于點O中心對稱，∴OC＝OC′，OB＝OB′，∴四邊形BC′B′C是平行四邊形．考點四：利用中心對稱的性質(zhì)求邊長長度【典例4】（2023秋?豐滿區(qū)校級期中）如圖，BO是等腰三角形ABC的底邊的中線，AC＝2，，△PQC與△BOC關(guān)于點C成中心對稱，連接AP，則AP的長是（）A．4 B． C． D．【答案】D【解答】解：∵BO是等腰三角形ABC的底邊中線，∴AO＝CO＝1，BO⊥AC，∵△PQC與△BOC關(guān)于點C中心對稱，∴CQ＝CO＝1，∠Q＝∠BOC＝90°，PQ＝BO＝，∴AQ＝AO+CO+CQ＝3，∴AP＝＝＝2．故選：D．【變式41】（2022秋?廣宗縣期末）如圖是一個中心對稱圖形，A為對稱中心，若∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝1，則BB′的長為（）A．4 B． C． D．【答案】A【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠B＝30°，AC＝1，∴AB＝2AC＝2，∴BB′＝2AB＝4．故選：A．【變式42】（2022春?相城區(qū)校級期中）如圖，菱形ABCD的對角線AC、BD交于點O，將△BOC繞著點C旋轉(zhuǎn)180°得到△B'O'C，若AC＝2，AB′＝5，則菱形ABCD的邊長是（）A．3 B．4 C． D．【答案】D【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，且△BOC繞著點C旋轉(zhuǎn)180°得到△B'O'C，AC＝2，∴OA＝OC＝O'C＝1，OB⊥OC，BC＝B′C，∴O'B'⊥O'C，O'A＝AC+O'C＝2+1＝3，∵AB′＝5，∴，∴，∴，即菱形ABCD的邊長是，故選：D．【變式43】（2023秋?前郭縣期中）如圖，△AOB與△COD關(guān)于點O成中心對稱，已知∠BAO＝90°，AB＝4，AO＝3，則AD的長為2．【答案】2．【解答】解：∵△AOB與△COD關(guān)于點O成中心對稱，∴AO＝CO＝3，CD＝AB＝4，∠C＝∠BAO＝90°，∴AD＝，故答案為：2．考點五：利用中心對稱的性質(zhì)求點坐標(biāo)【典例5】（2021秋?黃石期末）如圖，線段AB與線段CD關(guān)于點P對稱，若點A（a，b）、B（5，1）、D（﹣3，﹣1），則點C的坐標(biāo)為（）A．（﹣a，﹣b） B．（﹣a+2，﹣b） C．（﹣a﹣1，﹣b+1） D．（﹣a+1，﹣b﹣1）【答案】B【解答】解：設(shè)C（m，n），∵線段AB與線段CD關(guān)于點P對稱，點P為線段AC、BD的中點．∴，，∴m＝2﹣a，n＝﹣b，∴C（2﹣a，﹣b），故選：B．【變式51】（2022?市南區(qū)校級二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC與△A'B'C'關(guān)于D（﹣1，0）成中心對稱．已知點A的坐標(biāo)為（﹣3，﹣2），則點A'的坐標(biāo)是（）A．（1，3） B．（1，2） C．（3，2） D．（2，3）【答案】B【解答】解：設(shè)點A'的坐標(biāo)是（a，b），根據(jù)題意知：＝﹣1，＝0．解得a＝1，b＝2．即點A'的坐標(biāo)是（1，2），故選：B．【變式52】（2023春?市南區(qū)校級月考）如圖，將△ABC繞點C（0，1）旋轉(zhuǎn)180°得到△A'B'C，設(shè)點A的坐標(biāo)為（a，b），則點A′的坐標(biāo)為（﹣a，2﹣b）．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：設(shè)A′（m，n）．由題意AC＝CA′，C（0，1），A（a，b），則有，解得m＝﹣a，n＝2﹣b，∴A′（﹣a，2﹣b），故答案為（﹣a，2﹣b）．考點六：利用中心對稱的性質(zhì)求面積【典例6】（2022春?綏寧縣期中）如圖，三個邊長均為2的正方形重疊在一起，O1，O2是其中兩個正方形的對角線交點，若把這樣的n個小正方形按如圖所示方式擺放，則重疊部分的面積為n﹣1．【答案】n﹣1．【解答】解：連接O1B、O1C，如圖：∵∠BO1F+∠FO1C＝90°，∠FO1C+∠CO1G＝90°，∴∠BO1F＝∠CO1G，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠O1BF＝∠O1CG＝45°，在△O1BF和△O1CG中，，∴△O1BF≌△O1CG（ASA），∴O1、O2兩個正方形陰影部分的面積是S正方形＝1，同理另外兩個正方形陰影部分的面積也是S正方形＝1，∴把這樣的n個小正方形按如圖所示方式擺放，則重疊部分的面積為（n﹣1）．故答案為：n﹣1【變式61】（2022秋?福山區(qū)期末）用四塊大正方形地磚和一塊小正方形地磚拼成如圖所示的實線圖案，每塊大正方形地磚面積為9，小正方形地磚面積為2，依次連接四塊大正方形地磚的中心得到正方形ABCD．則正方形ABCD的面積為11．【答案】11．【解答】解：如圖，連接DK，DN，∵∠KDN＝∠MDT＝90°，∴∠KDM＝∠NDT，∵DK＝DN，∠DKM＝∠DNT＝45°，∴△DKM≌△DNT（ASA），∴S△DKM＝S△DNT，∴S四邊形DMNT＝S△DKN＝×9＝，∴正方形ABCD的面積＝4×9×+2＝11．故答案為：11．【變式62】（2022秋?烏魯木齊縣校級期中）如圖，正方形邊長為a，則陰影部分面積為．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：由題意得：S陰影＝S正方形＝，故答案為：．【變式63】（2022秋?寶山區(qū)期末）如圖，已知點O是矩形ABCD的對稱中心，E、F分別是邊AD、BC上的點，且關(guān)于點O中心對稱，如果矩形的面積是22，那么圖中陰影部分的面積是5.5．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：在矩形ABCD中，OA＝OC、AD∥CB，∴∠EAO＝∠FCO，在△EAO與△FCO中，，∴△EOA≌△FOC（ASA），∴S陰影部分＝S△BOC＝S矩形ABCD＝×22＝5.5，故答案為：5.5．考點七：利用中心對稱的性質(zhì)作圖【典例7】（2022春?歷城區(qū)期末）如圖，正方形網(wǎng)格中，△ABC的頂點均在格點上，請在所給直角坐標(biāo)系中按要求解答下列問題：（1）△A1B1C1與△ABC關(guān)于坐標(biāo)原點O成中心對稱，則B1的坐標(biāo)為（2，2）．（2）△A1B1C1的面積為2.5．（3）將△ABC繞某點逆時針旋轉(zhuǎn)90°后，其對應(yīng)點分別為A2（﹣1，﹣2），B2（1，﹣3），C2（0，﹣5），則旋轉(zhuǎn)中心的坐標(biāo)為（0，﹣1）．【答案】（1）（2，2）．（2）2.5．（3）（0，﹣1）．【解答】解：（1）∵B（﹣2，﹣2），∴B1（2，2）．故答案為：（2，2）．（2）△A1B1C1的面積為：××＝2.5故答案為：2.5．（3）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)中心在對稱點的連線的垂直平分線上，所以兩對對稱點的垂直平分線的交點就是旋轉(zhuǎn)中心．所以旋轉(zhuǎn)中心的坐標(biāo)為：（0，﹣1）．故答案為：（0，﹣1）．【變式71】（2023春?柯橋區(qū)月考）如圖，正方形網(wǎng)格中，△ABC的頂點均在格點上，請在所給直角坐標(biāo)系中按要求解答下列問題：（1）△A1B1C1與△ABC關(guān)于坐標(biāo)原點O成中心對稱，則B1的坐標(biāo)為（2，2）；（2）△A1B1C1的面積為2.5．【答案】（1）（2，2）；（2）2.5．【解答】解：（1）∵△A1B1C1與△ABC關(guān)于坐標(biāo)原點O成中心對稱，B（﹣2，﹣2），∴B1的坐標(biāo)（2，2），故答案為：（2，2）；（2）由網(wǎng)格圖知，△ABC的各邊上分別為，，，即△ABC是等腰直角三角形，∴△A1B1C1的面積＝△ABC的面積＝，故答案為：2.5．【變式72】（2023?未央?yún)^(qū)校級三模）有一塊方角形鋼板如圖所示，如何用一條直線將其分為面積相等的兩部分．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：如圖所示，有三種思路：【變式73】（2023春?雁塔區(qū)校級期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的三個頂點坐標(biāo)分別為A（1，4），（4，2），C（3，5）．（1）請畫出△A1B1C1，使△A1B1C1與△ABC關(guān)于原點成中心對稱，并寫出點A1，B1，C1的坐標(biāo)．（2）求△A1B1C1的面積？【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）如圖所示，△A1B1C1即為所求．A1（﹣1，﹣4），B1（﹣4，﹣2），C1（﹣3，﹣5）；（2）根據(jù)中心對稱的性質(zhì)可得S＝3×3﹣＝9﹣﹣1﹣3＝．過關(guān)檢測一．選擇題（共7小題）1．（2022秋?綿陽期末）如圖的圖形是用數(shù)學(xué)家名字命名的，其中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖的是（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：A、該圖形是中心對稱圖形，但不是軸對稱圖形，故本選項不符合題意；B、該圖形是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形，故本選項不符合題意；C、該圖形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形，故本選項符合題意；D、該圖形既不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故本選項不符合題意．故選：C．2．（2022?徐州一模）已知正方形的對稱中心在坐標(biāo)原點，頂點A、B、C、D按逆時針依次排列，若A點的坐標(biāo)為（3，5），則點B與點C的坐標(biāo)分別為（）A．（﹣3，5），（﹣3，﹣5） B．（﹣5，3），（5，﹣3） C．（﹣5，3），（3，﹣5） D．（﹣5，3），（﹣3，﹣5）【答案】D【解答】解：∵正方形的對稱中心在坐標(biāo)原點，頂點A、B、C、D按逆時針依次排列，且A點的坐標(biāo)為（3，5），∴C點的坐標(biāo)為（﹣3，﹣5），B點的坐標(biāo)為（﹣5，3），故選：D．3．（2021秋?柳江區(qū)期中）如圖，將正方形ABCD繞點D逆時針方向旋轉(zhuǎn)180°后，點B的坐標(biāo)是（）A．（0，2） B．（0，﹣3） C．（2，﹣1） D．（2，1）【答案】B【解答】解：由題意，B（0，1），D（0，﹣1），∵將正方形ABCD繞點D順時針方向旋轉(zhuǎn)180°，∴旋轉(zhuǎn)后的點B與原來的點B關(guān)于點D對稱，∴旋轉(zhuǎn)后點B的坐標(biāo)為（0，﹣3），故選：B．4．（2022秋?沂源縣期末）如圖，△ABC與△A′B′C′關(guān)于點O成中心對稱，則下列結(jié)論不成立的是（）A．點A與點A′是對稱點 B．BO＝B′O C．∠AOB＝∠A′OB′ D．∠ACB＝∠C′A′B′【答案】D【解答】解：∵△ABC與△A′B′C′關(guān)于點O成中心對稱，∴點A與A′是一組對稱點，OB＝OB′，∠AOB＝∠A′OB′，∴A，B，C都不合題意．∵∠ACB與∠C′A′B′不是對應(yīng)角，∴∠ACB＝∠C′A′B′不成立．故選：D．5．（2023春?內(nèi)江期末）如圖，△ADE與△CDB關(guān)于點D成中心對稱，連結(jié)AB，以下結(jié)論錯誤的是（）A．AD＝CD B．∠C＝∠E C．AE＝CB D．S△ADE＝S△ADB【答案】B【解答】解：∵△ADE與△CDB關(guān)于點D成中心對稱，∴AD＝CD，BD＝ED，AE＝CB，∠E＝∠CBD，∵BD＝ED，∴S△ABD＝S△ADE，故選：B．6．（2023?大興區(qū)一模）如圖，在正方形網(wǎng)格中，A，B，C，D，E，F(xiàn)，G，H，I，J是網(wǎng)格線交點，△ABC與△DEF關(guān)于某點成中心對稱，則其對稱中心是（）A．點G B．點H C．點I D．點J【答案】C【解答】解：∵△ABC與△DEF關(guān)于某點成中心對稱，∴對應(yīng)點B和E的連線與對應(yīng)點C和F的連線的交點I是對稱中心．故選：C．7．（2023秋?德城區(qū)期中）在平面內(nèi)由極點、極軸和極徑組成的坐標(biāo)系叫做極坐標(biāo)系．如圖，在平面上取定一點O稱為極點；從點O出發(fā)引一條射線Ox稱為極軸；線段OP的長度稱為極徑，點P的極坐標(biāo)就可以用線段OP的長度以及從Ox轉(zhuǎn)動到OP的角度（規(guī)定逆時針方向轉(zhuǎn)動角度為正）來確定，即P（3，60°）或P（3，﹣300°）或P（3，420°）等，則點P關(guān)于點O成中心對稱的點Q的極坐標(biāo)表示不正確的是（）A．Q（3，240°） B．Q（3，﹣450°） C．Q（3，600°） D．（3，﹣120°）【答案】B【解答】解：點P關(guān)于點O成中心對稱的點Q的極坐標(biāo)Q（3，240°）或（3，600°）或（3，﹣120°）．故選：B．二．填空題（共5小題）8．（2023春?建平縣期末）如圖，△ABC與△DEC關(guān)于點C成中心對稱，，AE＝3，∠D＝90°，則AC＝1．【答案】1．【解答】解：∵△ABC與△DEC關(guān)于點C成中心對稱，∴AC＝CD，DE＝AB＝，∵AE＝3，∠D＝90°，∴AD＝＝＝2，∴AC＝AD＝1，故答案為：1．9．（2023春?青岡縣期末）如圖，△ABC與△DEC關(guān)于點C成中心對稱，AG為△ABC的高