猜題02軸對(duì)稱圖形（易錯(cuò)拔尖必刷64題17種題型專項(xiàng)訓(xùn)練）

第2章軸對(duì)稱圖形（易錯(cuò)拔尖必刷64題17種題型專項(xiàng)訓(xùn)練）【易錯(cuò)】一．軸對(duì)稱圖形的識(shí)別（共2小題）二．根據(jù)成軸對(duì)稱圖形的特征進(jìn)行判斷（共3小題）三．利用軸對(duì)稱的性質(zhì)求解（共3小題）四．鏡面對(duì)稱（共3小題）五．設(shè)計(jì)軸對(duì)稱圖案（共4小題）六．軸對(duì)稱圖形的面積問題（共5小題）七．雙垂直平分線求角度或周長（共4小題）八．角平分線與線段的垂直平分線綜合運(yùn)用（共4小題）九．與軸對(duì)稱有關(guān)的新定義問題（共2小題）【拔尖】十．軸對(duì)稱的規(guī)律探究（共4小題）十一．分類討論思想在等腰三角形中的運(yùn)用（共5小題）十二．等邊三角形的十字模型（共3小題）十三．與等邊三角形有關(guān)的旋轉(zhuǎn)模型（共5小題）（半角、手拉手）十四．折疊問題（共3小題）十五．兩圓一線畫等腰（共小題）十六．與等腰三角形、等邊三角形的性質(zhì)與判定解決多結(jié)論問題（共5小題）十七．與等腰三角形有關(guān)的存在性問題（共6小題）一．軸對(duì)稱圖形的識(shí)別（共2小題）1．（2022·江蘇南通·統(tǒng)考中考真題）下面由北京冬奧會(huì)比賽項(xiàng)目圖標(biāo)組成的四個(gè)圖形中，可看作軸對(duì)稱圖形的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】根據(jù)如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線叫做對(duì)稱軸進(jìn)行分析即可．【詳解】解：A．不是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不合題意；B．不是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不合題意；C．不是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)不合題意；D．是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)符合題意．故選：D．【點(diǎn)睛】此題主要考查了軸對(duì)稱圖形，關(guān)鍵是正確確定對(duì)稱軸位置．2．（2022·重慶·統(tǒng)考中考真題）下列北京冬奧會(huì)運(yùn)動(dòng)標(biāo)識(shí)圖案是軸對(duì)稱圖形的是（

）A．B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形的定義進(jìn)行逐一判斷即可．【詳解】A.不是軸對(duì)稱圖形，故A錯(cuò)誤；B.不是軸對(duì)稱圖形，故B錯(cuò)誤；C.是軸對(duì)稱圖形，故C正確；D.不是軸對(duì)稱圖形，故D錯(cuò)誤．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了軸對(duì)稱圖形的定義，如果一個(gè)平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形就叫做軸對(duì)稱圖形．二．根據(jù)成軸對(duì)稱圖形的特征進(jìn)行判斷（共3小題）3．（2019下·山西太原·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)A在直線l上，△ABC與△AB'C'關(guān)于直線l對(duì)稱，連接BB'，分別交AC，AC'于點(diǎn)D，D'，連接CC'A．∠BAC=∠B'AC' B．CC'∥BB'C．BD=B'D' D．AD=DD'【答案】D【分析】利用軸對(duì)稱的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】解：∵△ABC與△AB'C'關(guān)于直線l對(duì)稱，∴△ABC?△AB'C'，BB'⊥l，CC'⊥l，AB=AB'，AC=AC'，∴∠BAC=∠B'AC'，CC'∥BB'，即選項(xiàng)A、B正確；由軸對(duì)稱的性質(zhì)得：OD=OD',OB=OB'，∴OB-OD=OB'-OD'，即BD=B'D'，選項(xiàng)C正確；由軸對(duì)稱的性質(zhì)得：AD=AD'，但AD不一定等于DD'，即選項(xiàng)故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)，熟練掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．4．（2022上·廣西崇左·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，△ABC和△A'B'C'關(guān)于直線l對(duì)稱，下列結(jié)論：（1）△ABC?△A'B'C'；（2）∠BAC=∠B'A'C'；（3）直線l垂直平分CC'；（4）直線l平分∠CAC'．正確的有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】D【分析】根據(jù)成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形能夠完全重合可得△ABC和△A'B'C'全等，然后對(duì)各小題分析判斷后即可得到答案．【詳解】解：△ABC和△A'B'C'關(guān)于直線l對(duì)稱，（1）△ABC?△A'B'C'；（2）∠BAC=∠B'A'C'；（3）直線l垂直平分CC'；（4）直線l平分∠CAC'綜上所述，正確的結(jié)論有4個(gè)，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)，根據(jù)成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形能夠完全重合判斷出兩個(gè)三角形全等是解題的關(guān)鍵．5．（2021上·江蘇鹽城·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，△ABD和△ACD關(guān)于直線AD對(duì)稱，若S△ABC＝10，則圖中陰影部分的面積為．【答案】5【分析】根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)解決問題即可；【詳解】解：∵△ABD和△ACD關(guān)于直線AD對(duì)稱，∴S△CEF=S△BEF，∴陰影部分的面積=12S△ABC=12故答案為：5；【點(diǎn)睛】本題考查軸對(duì)稱的性質(zhì)，軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形是全等圖形；掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．三．利用軸對(duì)稱的性質(zhì)求解（共3小題）6．（2013下·山西·七年級(jí)階段練習(xí)）如圖，把一個(gè)長方形紙片沿EF折疊后，點(diǎn)D，C分別落在D′，C′的位置，若∠EFB=65°，則∠AED'等于°．【答案】50【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠EFB=∠DEF=65°，由折疊可得∠D'EF=∠DEF=65°，利用鄰【詳解】解：∵AD∥BC，∴∠EFB=∠DEF=65°，由折疊可知，∠D∠AED'=180°-∠D故答案為：50．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是根據(jù)平行線的性質(zhì)得出角相等，利用折疊求出角度．7．（2014上·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在三角形紙片ABC中，AB＝10，BC＝7，AC＝6，沿過點(diǎn)B的直線折疊這個(gè)三角形，使頂點(diǎn)C落在AB邊上的點(diǎn)E處，折痕為BD，則△AED的周長等于．【答案】9【分析】根據(jù)翻折變換的性質(zhì)可得DE=CD，BE=BC，然后求出AE，再根據(jù)三角形的周長列式求解即可．【詳解】解：∵BC沿BD折疊點(diǎn)C落在AB邊上的點(diǎn)E處，∴DE=CD，BE=BC．∵AB=10，BC=7，∴AE=AB-BE=AB-BC=10-7=3，∴△ADE的周長=AD+DE+AE=AD+CD+AE=AC+AE=6+3=9．故答案為：9．【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換的性質(zhì)，熟記翻折前后兩個(gè)圖形能夠完全重合得到相等的線段是解題的關(guān)鍵．8．（2020·四川達(dá)州·中考真題）如圖，點(diǎn)P(-2,1)與點(diǎn)Q(a,b)關(guān)于直線l(y=-1)對(duì)稱，則a+b=【答案】5【分析】根據(jù)點(diǎn)P(-2,1)與點(diǎn)Q(a,b)關(guān)于直線l(y=-1)對(duì)稱求得a，b【詳解】解：∵點(diǎn)P(-2,1)與點(diǎn)Q(a,b)關(guān)于直線l(y=-1)∴a=2，1+b2=-1,解得∴a+b=2+（3）=5故答案為5．【點(diǎn)睛】本題考查了關(guān)于y=1對(duì)稱點(diǎn)的性質(zhì)，根據(jù)對(duì)稱點(diǎn)的性質(zhì)求得a、b的值是解答本題的關(guān)鍵．四．鏡面對(duì)稱（共3小題）9．（2022下·山東青島·七年級(jí)統(tǒng)考期末）墻上有一個(gè)數(shù)字式電子鐘，在對(duì)面墻上的鏡子里看到該電子鐘顯示的時(shí)間如圖所示，那么它的實(shí)際時(shí)間是．【答案】12：51【分析】根據(jù)鏡面對(duì)稱的性質(zhì)求解，在平面鏡中的像與現(xiàn)實(shí)中的事物恰好左右或上下順序顛倒，且關(guān)于鏡面對(duì)稱．【詳解】解：根據(jù)鏡面對(duì)稱的性質(zhì)，分析可得題中所顯示的圖片與12：51成軸對(duì)稱，所以此時(shí)實(shí)際時(shí)刻為12：51．故答案為：12：51．【點(diǎn)睛】本題考查鏡面對(duì)稱，解決此類題應(yīng)認(rèn)真觀察，注意技巧．10．（2023上·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）一個(gè)車牌號(hào)碼在水中的倒影如圖所示，則該車牌號(hào)碼為．

【答案】FM5379【分析】由題意得所求的牌照與看到的牌照關(guān)于水面成軸對(duì)稱，作出相應(yīng)圖形即可求解．【詳解】解：根據(jù)生活經(jīng)驗(yàn)可知，物體與其在水中的倒影關(guān)于水面成軸對(duì)稱，且關(guān)于水面上下對(duì)稱，因此在倒影的上面畫一條水平直線，然后作出倒影關(guān)于這條直線成軸對(duì)稱的圖形，如圖所示，

故該車牌號(hào)碼為FM5379．故答案為：FM5379．【點(diǎn)睛】解題的關(guān)鍵是熟練掌握軸對(duì)稱圖形的定義：如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形．11．（2022上·遼寧鐵嶺·八年級(jí)校考期末）如圖是從鏡子里看到的號(hào)碼，則實(shí)際號(hào)碼應(yīng)是．

【答案】3265【分析】根據(jù)鏡面對(duì)稱的性質(zhì)，在平面鏡中的像與現(xiàn)實(shí)中的事物恰好順序顛倒，且關(guān)于鏡面對(duì)稱；據(jù)此分析并作答．【詳解】解：根據(jù)鏡面對(duì)稱的性質(zhì)，關(guān)于鏡面對(duì)稱，又在平面鏡中的像與現(xiàn)實(shí)中的事物恰好順序顛倒，則這個(gè)號(hào)碼是3265，故答案為：3265．【點(diǎn)睛】此題考查了鏡面對(duì)稱，正確理解對(duì)稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，注意體會(huì)物體與鏡面平行放置和垂直放置的不同．五．設(shè)計(jì)軸對(duì)稱圖案（共4小題）12．（2022·貴州貴陽·統(tǒng)考一模）圖中陰影部分是由4個(gè)完全相同的正方形拼接而成，若要在①，②，③，④四個(gè)區(qū)域中的某個(gè)區(qū)域處添加一個(gè)同樣的正方形，使它與陰影部分組成的新圖形是軸對(duì)稱圖形，則這個(gè)正方形應(yīng)該添加在區(qū)域．（填序號(hào)）【答案】④【分析】直接利用軸對(duì)稱圖形的定義，如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形，分析得出答案．【詳解】解：如圖所示，在④處添加一個(gè)同樣的正方形，使它與陰影部分組成的新圖形是軸對(duì)稱圖形，故答案為：④．【點(diǎn)睛】此題主要考查了軸對(duì)稱變換，正確把握軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．13．（2014上·江蘇無錫·八年級(jí)統(tǒng)考期中）在4×4的方格中有五個(gè)同樣大小的正方形如圖擺放，移動(dòng)其中一個(gè)正方形到空白方格中，與其余四個(gè)正方形組成的新圖形是一個(gè)軸對(duì)稱圖形，這樣的移法共有種．【答案】13【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)，分別移動(dòng)一個(gè)正方形，即可得出符合要求的答案．【詳解】如圖所示：一共有13畫法，故答案為：1314．（2013·寧夏·中考真題）如圖,正三角形網(wǎng)格中,已有兩個(gè)小正三角形被涂黑,再將圖中其余小正三角形涂黑一個(gè),使整個(gè)被涂黑的圖案構(gòu)成一個(gè)軸對(duì)稱圖形的方法有種.

【答案】3【分析】根據(jù)軸對(duì)稱的概念作答．如果一個(gè)圖形沿一條直線對(duì)折，直線兩旁的部分能互相重合，那么這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形．【詳解】解：選擇小正三角形涂黑，使整個(gè)被涂黑的圖案構(gòu)成一個(gè)軸對(duì)稱圖形，

選擇的位置有以下幾種：1處，2處，3處，選擇的位置共有3處．故答案為3．考點(diǎn)：概率公式；軸對(duì)稱圖形．15．（2019上·河北唐山·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在網(wǎng)格圖中選擇一個(gè)格子涂陰影，使得整個(gè)圖形是以虛線為對(duì)稱軸的軸對(duì)稱圖形，則把陰影涂在圖中標(biāo)有數(shù)字的格子內(nèi)．【答案】2【分析】根據(jù)軸對(duì)稱的定義，沿著虛線進(jìn)行翻折后能夠重合，所以陰影應(yīng)該涂在標(biāo)有數(shù)字2的格子內(nèi)．【詳解】解：根據(jù)軸對(duì)稱的定義，沿著虛線進(jìn)行翻折后能夠重合，∴根據(jù)題意，陰影應(yīng)該涂在標(biāo)有數(shù)字2的格子內(nèi)；故答案為2．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)，沿著虛線進(jìn)行翻折后能夠重合，進(jìn)而求出答案．六．軸對(duì)稱圖形的面積問題（共5小題）16．（2023上·全國·七年級(jí)專題練習(xí)）一張長方形紙，長8cm，寬5cm．將它的一個(gè)角折起后（如圖）平放在桌面上，若∠1=44°，則∠2=°．陰影部分的周長是cm，面積是cm2．

【答案】682630【分析】由折疊知，∠1+2∠2=180°，計(jì)算求解∠2；折疊前后，陰影部分周長即原長方形周長；折疊部分折疊前后面積不變，用長方形面積減去折疊部分面積的2倍即陰影部分面積．【詳解】解：如圖，∠1+2∠2=180°∠2=(180°-44°)÷2=136°÷2=68°；陰影部分周長，即原長方形周長：(5+8)×2=13×2=26（厘米）陰影部分面積：5×8-2×=40-10=30（平方厘米）所以，∠2=68°，陰影部分的周長是26cm，面積是30故答案為：68；26；30．【點(diǎn)睛】本題考查折疊問題，不規(guī)則圖形周長及面積計(jì)算；理解折疊中形成的線段、角的相等關(guān)系是解題的關(guān)鍵．17．（2022上·浙江寧波·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，△ABC是軸對(duì)稱圖形，且直線AD是△ABC的對(duì)稱軸，點(diǎn)E，F(xiàn)是線段AD上的任意兩點(diǎn)，若△ABC的面積為18cm2，則圖中陰影部分的面積是【答案】9【分析】根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)可得：陰影部分的面積等于△ABC面積的一半，即可解答．【詳解】解：∵△ABC是軸對(duì)稱圖形，且直線AD是對(duì)稱軸，∴S△ABD=S△ACD=∴陰影部分的面積等于△ABC面積的一半，∴S陰影=1故答案為：9．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)，得出陰影部分的面積等于△ABC面積的一半是解題的關(guān)鍵．18．（2022上·七年級(jí)單元測(cè)試）如圖，正方形ABCD的邊長為a，E，F(xiàn)分別是對(duì)角線BD上的兩點(diǎn)，過點(diǎn)E，F(xiàn)分別作AD，AB的平行線，則圖中陰影部分的面積之和為．

【答案】1【分析】由于正方形ABCD關(guān)于直線BD對(duì)稱，將四邊形PQEF沿BD翻折到四邊形NMEF的位置，此時(shí)陰影部分的面積之和轉(zhuǎn)化為等腰直角三角形ABD的面積．【詳解】∵正方形ABCD關(guān)于直線BD對(duì)稱，∴將四邊形PQEF沿BD翻折到四邊形NMEF的位置后兩個(gè)四邊形重合，∴圖中陰影部分的面積之和為S故答案為：12【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)，得出將四邊形PQEF沿BD翻折到四邊形NMEF的位置后兩個(gè)四邊形重合是解題的關(guān)鍵．19．（2022上·貴州黔東南·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，將一張長方形紙片ABCD按圖中那樣折疊，若AE=6，AB=8，BE=10，則重疊部分的面積是．【答案】40【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)得到∠1＝∠2，而∠1＝∠3，易得ED＝BE，然后根據(jù)三角形的面積公式進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：如圖，∵四邊形ABCD是長方形紙片，∴∠A=90°，AD∥BC，∴∠1＝∠3，∵長方形紙片ABCD按圖中那樣折疊，∴∠1＝∠2，∴∠2＝∠3，∴ED＝BE，∵BE＝10，AB＝8，∴ED=BE=10，∴重疊部分的面積＝12故答案為：40．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)以及折疊的性質(zhì)：折疊前后兩圖形全等，即對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)線段相等．也考查了三角形的面積公式．20．（2022下·安徽合肥·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，四邊形紙片ABCD的面積為10，將其沿過A點(diǎn)的直線折疊，使B落在CD上的點(diǎn)Q處，折痕為AP；再將三角形PCQ、三角形ADQ分別沿PQ、AQ折疊，此時(shí)點(diǎn)C、D落在AP上的同一點(diǎn)R處，（1）∠DAR的度數(shù)是．（2）若R為AP的三等分點(diǎn)，則此時(shí)三角形AQR的面積是．【答案】60°/60度109或【分析】（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)和平角定義證明AD∥BC，∠DAB＝90°，進(jìn)而可以解決問題；（2）根據(jù)折疊的性質(zhì)：折疊前后的三角形的面積相等，及三等分點(diǎn)的定義，分情況討論即可解決問題．【詳解】解：（1）由折疊的性質(zhì)可得：∠B＝∠AQP，∠DAQ＝∠QAP＝∠PAB，∠DQA＝∠AQR，∠CQP＝∠PQR，∠D＝∠ARQ，∠C＝∠QRP，∵∠QRA＋∠QRP＝180°，∴∠D＋∠C＝180°，∴AD∥BC，∴∠B＋∠DAB＝180°，∵∠DQR＋∠CQR＝180°，∴∠DQA＋∠CQP＝∠AQR＋∠PQR＝90°，∴∠AQP＝90°，∴∠B＝∠AQP＝90°，∴∠DAB＝90°，∴∠DAQ＝∠QAP＝∠PAB＝30°，∴∠DAR＝60°．故答案是：60°；（2）設(shè)△ARQ的面積為a，則△ADQ的面積為a，若R為AP的三等分點(diǎn)，存在兩種情況：AR＝2PR或PR＝2AR，①當(dāng)AR＝2PR時(shí)，S△PQR＝S△PCQ＝12a∴S△ABP＝S△AQP＝a＋12a＝32∵四邊形紙片ABCD的面積為10，∴2a＋a＋32a＝10∴a＝209∴三角形AQR的面積是209②當(dāng)PR＝2AR時(shí)，S△PQR＝S△PCQ＝2a，∴S△ABP＝S△AQP＝a＋2a＝3a，∵四邊形紙片ABCD的面積為10，∴2a＋4a＋3a＝10，∴a＝109∴三角形AQR的面積是109綜上，三角形AQR的面積是109或20故答案為：109或20【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換，平行線的性質(zhì)和判定，平角的定義，解決本題的關(guān)鍵是掌握翻折的性質(zhì)．七．雙垂直平分線求角度或周長（共4小題）21．（2023上·陜西延安·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在△ABC中，AB,AC的垂直平分線l1、l2相交于點(diǎn)O，若∠BAC=80°，則A．15° B．20° C．10° D．25°【答案】C【分析】本題主要考查線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)與判定，三角形內(nèi)角和定理．連接OA，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠ABC+∠ACB，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)得到∠OAB=∠OBA，【詳解】解：如圖所示，連接OA，∵∠BAC=80°，∴∠ABC+∠ACB=180°-∠BAC=100°，∵AB、AC的垂直平分線交于點(diǎn)O，∴OB=OA，∴∠OAB=∠OBA，∴∠OBA+∠OCA=∠OAB+∠OAC=∠BAC，∴∠OBC+∠OCB=100°-(∠OBA+∠OCA)=100°-∠BAC=20°，∴∠OCB=∠OBC=10°，故選：C．22．（2023上·廣西玉林·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在△ABC中，AB的垂直平分線DM交BC于點(diǎn)D，邊AC的垂直平分線EN交BC于點(diǎn)E．已知△ADE的周長為8cm，則BC的長為（

A．4cm B．5cm C．6cm【答案】D【分析】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，利用線段垂直平分線的性質(zhì)可得DA=DB，EA=EC，然后利用等量代換可得△ADE的周長=BC，即可解答．【詳解】解：∵DM是AB的垂直平分線，∴DA=DB，∵EN是AC的垂直平分線，∴EA=EC，∵△ADE的周長8cm，∴AD+DE+AE=8cm∴BD+DE+EC=8cm∴BC=8cm∴BC的長為8cm故選D．23．（2023上·湖北武漢·八年級(jí)統(tǒng)考期中）△ABC中，∠A=α40°<α<60°，點(diǎn)M在△ABC的內(nèi)部，BM、MC的垂直平分線分別交AB、AC于點(diǎn)P、Q，若連接PQ恰好經(jīng)過點(diǎn)M，則∠BMC=（

）（用含αA．90+α B．135-α2 C．2α D【答案】D【分析】此題主要考查垂直平分線的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)，可得∠PBM=∠PMB,∠QMC=∠QCM,即得180°-∠BMC=∠PBM+∠QCM=∠MBC+∠MCB,180°-2180°-∠BMC=α,【詳解】解：∵BM、MC的垂直平分線分別交AB、AC于點(diǎn)P、Q.∴∠PBM=∠PMB,∠QMC=∠QCM.180°-∠BMC=∠PBM+∠QCM=∠MBC+∠MCB.∵∠A=α40°<α<60°∴180°-2180°-∠BMC∠BMC=90°+α故選：D.24．（2023下·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，△ABC中，AB的垂直平分線分別交AB、BC于點(diǎn)D、E，AC的垂直平分線分別交AC、BC于點(diǎn)F、G，BC=10，△AEG的周長是．【答案】10【分析】本題考查線段的垂直平分線的性質(zhì)，三角形的周長；可得EA=EB，GA=GC，則△AEG的周長為AE+EG+AG=BE+EG+GC=BC，即可求解；靈活運(yùn)用線段的垂直平分線的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵ED垂直平分AB，∴EA=EB，∵GF垂直平分AC，∴GA=GC，∴△AEG的周長為：AE+EG+AG=BE+EG+GC=BC=10．故答案為10．八．角平分線與線段的垂直平分線綜合運(yùn)用（共4小題）25．（2021下·河北保定·八年級(jí)期末）如圖，在△ABC中，點(diǎn)O為三邊垂直平分線交點(diǎn)，I是三角形角平分線的交點(diǎn)，連接AI，BI，BO，若∠AOB=140°，則∠AIB的大小為（）A．160° B．140° C．130° D．125°【答案】D【分析】本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理：連接CO，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠OAB+∠OBA，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到OA=OC，OB=OC，進(jìn)而得到∠OCA=∠OAC，∠OCB=∠OBC，求出∠CAB+∠CBA，根據(jù)角平分線的定義、三角形內(nèi)角和定理計(jì)算，得到答案．掌握線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：連接CO，

∵∠AOB=140°，∴∠OAB+∠OBA=180°-140°=40°，∴∠OCA+∠OAC+∠OCB+∠OBC=180°-40°=140°，∵O是三邊垂直平分線的交點(diǎn)，∴OA=OC，OB=OC，∴∠OCA=∠OAC，∠OCB=∠OBC，∴∠OCA+∠OCB=70°，∴∠CAB+∠CBA=180°-70°=110°，∵AI平分∠BAC，BI平分∠ABC，∴∠IAB=12∴∠IAB+∠IBA=∴∠AIB=180°-55°=125°，故選：D．26．（2023上·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠BAC的角平分線AD與BC的垂直平分線GD交于點(diǎn)D，DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥AC，交AC的延長線于點(diǎn)F．若AB=6，AC=4，則BE的長為（

）

A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】由DG是BC的垂直平分線，得BD=CD,由AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，得出DE=DF,借助Rt△BDE≌Rt△CDF證出BE=CF，由Rt△ADE≌Rt△ADF證出AE=AF，從而有【詳解】解：如圖，連接BD，CD，

∵DG是BC的垂直平分線，∴BD=CD，∵AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，在Rt△BDE和RtBD=CDDE=DF∴Rt∴BE=CF．在Rt△ADE和RtAD=ADDE=DF∴Rt∴AE=AF，∵BE=CF，∴AB-BE=AC+CF，∴6-BE=4+BE，∴BE=1．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查線段垂直平分線和角平分線的性質(zhì)，以及三角形全等的判定與性質(zhì)，添加輔助線構(gòu)造全等三角形是解決問題的關(guān)鍵．27．（2023上·四川瀘州·八年級(jí)瀘縣五中?？茧A段練習(xí)）如圖，△ABC中，∠C=90°，∠CAB的角平分線AD交BC于D，DE是AB的垂直平分線，CD=2cm，且DB=4cm，BA=43cm，則

A．6cm B．7cm C．8cm D．(6+23【答案】D【分析】根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等可得ED=CD=2cm【詳解】解：∵DE是AB的垂直平分線，∴AE=BE=12AB=23∵∠CAB的角平分線AD交BC于D，且∠C=90°，∠AED=90°∴ED=CD=2∴△EAD的周長是：AD+ED+AE=4+2+23故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出ED=CD=2cm28．（2022下·河南焦作·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，為了達(dá)到就近檢測(cè)的目的，某地決定設(shè)立一個(gè)核酸檢測(cè)點(diǎn)，要求其到兩村莊A，B的距離相等，且到兩公路m，n的距離相等，則該監(jiān)測(cè)點(diǎn)應(yīng)設(shè)（）

A．線段AB的垂線上 B．兩公路m，n夾角的角平分線上C．線段AB的垂直平分線上 D．線段AB的垂直平分線和兩公路m，n夾角平分線的交點(diǎn)【答案】D【詳解】根據(jù)垂直平分線的判定定理，角平分線的判定定理處理；【解答】解：∵核酸檢測(cè)點(diǎn)到兩村莊A，B的距離相等，∴核酸檢測(cè)點(diǎn)在線段AB的垂直平分線上，∵核酸檢測(cè)點(diǎn)到兩公路m，n的距離相等，∴核酸檢測(cè)點(diǎn)在兩公路m，n夾角平分線上，∴核酸檢測(cè)點(diǎn)為線段AB的垂直平分線和兩公路m，n夾角平分線的交點(diǎn)．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查垂直平分線的判定定理、角平分線的判定定理；掌握判定定理，根據(jù)線段相等判定點(diǎn)的位置是解題的關(guān)鍵．九．與軸對(duì)稱有關(guān)的新定義問題（共2小題）29．（2023上·黑龍江哈爾濱·八年級(jí)哈爾濱市第四十九中學(xué)校?？计谥校┒x：一個(gè)三角形的一邊長是另一邊長的2倍，這樣的三角形叫做“倍長三角形”.若等腰三角形ABC是“倍長三角形”，底邊的長為3，則這個(gè)三角形的周長是.【答案】15【分析】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，根據(jù)倍長三角形分類討論即可得到答案；【詳解】解：①當(dāng)腰為：3×2=6時(shí)，6-6<3<6+6，此時(shí)周長為：3+6+6=15，②當(dāng)腰長為：3232故答案為：15．30．（2023下·云南昆明·八年級(jí)統(tǒng)考期末）定義：如果三角形有兩個(gè)內(nèi)角的差為60°，那么這樣的三角形叫做“準(zhǔn)等邊三角形”那么頂角為120°的等腰三角形“準(zhǔn)等邊三角形”．（填“是”或“不是”）【答案】不是【分析】由等腰三角形頂角為120°，得到等腰三角形的底角是30°．于是得到頂角為120°的等腰三角形不是“準(zhǔn)等邊三角形”．【詳解】解：∵等腰三角形頂角為120°，∴等腰三角形的底角是30°．∵120°-30°=90°，∴頂角為120°的等腰三角形不是“準(zhǔn)等邊三角形”．故答案為：不是．【點(diǎn)睛】本題考查“準(zhǔn)等邊三角形”，等腰三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是理解新定義“準(zhǔn)等邊三角形”．十．軸對(duì)稱的規(guī)律探究（共4小題）31．（2023上·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖1，已知△ABD和△ACD關(guān)于直線AD對(duì)稱；在射線AD上取點(diǎn)E，連接BE，CE，如圖2，在射線AD上取點(diǎn)F，連接BF，CF，如圖

A．10 B．15 C．21 D．28【答案】C【分析】根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)和全等三角形的判定方法先得出圖1和圖2中全等三角形的對(duì)數(shù)，進(jìn)而得出規(guī)律：第n個(gè)圖形中全等三角形的對(duì)數(shù)是nn+1【詳解】解：∵△ABD和△ACD關(guān)于直線AD對(duì)稱，∴∠BAD=∠CAD．在△ABD和△ACD中，AB=AC∠BAD=∠CAD∴△ABD≌△ACD（∴圖1中有1對(duì)三角形全等；同理圖2中，△ABE≌△ACE（∴BE=EC，∵△ABD≌△ACD．∴BD=CD，在△BDE，△CDE中，∴△BDE≌△CDE（∴圖2中有1+2=3對(duì)三角形全等；同理：圖3中有1+2+3=6對(duì)三角形全等；由此發(fā)現(xiàn)：第n個(gè)圖形中全等三角形的對(duì)數(shù)是nn+1所以：第6個(gè)圖形中全等三角形的對(duì)數(shù)是6×72故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握上述知識(shí)是解題關(guān)鍵．32．（2022上·山東濟(jì)寧·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A坐標(biāo)是0，4，以為邊在右側(cè)作等邊三角形OAA1，過點(diǎn)A1作x軸的垂線，垂足為點(diǎn)O1，以O(shè)1A1為邊在右側(cè)作等邊三角形O1A1A2，再過點(diǎn)A2作xA．122021 B．122022 C．【答案】A【分析】利用含30°的直角三角形的最短邊是斜邊的一半解題即可．【詳解】解：∵三角形OAA1為等邊三角形，∴∠AOA∴O1同理得：O2A2綜上可得：O故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查含30°的直角三角形的性質(zhì)，能夠熟記性質(zhì)并能夠熟練進(jìn)行指數(shù)計(jì)算是解題關(guān)鍵．33．（2021·北京·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在射線OA，OB上分別截取OA1=OB1，連接A1B1，在B1A1，B1BA．a(chǎn)22020 B．a(chǎn)22019 C．【答案】B【分析】根據(jù)等腰三角形兩底角相等結(jié)合三角形外角性質(zhì)用α表示出∠A【詳解】解：∵B1A∴∠A同理∠A∴∠A∴∠A∴∠A故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形兩底角相等的性質(zhì)，和三角形外角性質(zhì),圖形的變化規(guī)律，依次求出每個(gè)三角形的一個(gè)底角，得到分母成2的指數(shù)次冪變化，分子不變的規(guī)律是解題的關(guān)鍵．34．（2022上·七年級(jí)單元測(cè)試）如圖，正方形ABCD的面積S1=2，以CD為斜邊，向外作等腰直角三角形，再以該等腰直角三角形的一條直角邊為邊，向外作正方形，其面積標(biāo)記為S2，?按照此規(guī)律繼續(xù)下去，則SA．122021 B．122020 C．【答案】B【詳解】根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)結(jié)合三角形的面積公式可得出部分Sn的值，根據(jù)面積的變化即可找出變化規(guī)律S【解答】解：∵S1=2，則正方形ABCDS2S3S4……S2022故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、三角形的面積、正方形的面積以及規(guī)律型中數(shù)字的變化類，根據(jù)面積的變化找出變化規(guī)律Sn十一．分類討論思想在等腰三角形中的運(yùn)用（共5小題）35．（2020上·福建南平·八年級(jí)統(tǒng)考期中）若等腰三角形有一個(gè)內(nèi)角為80°，則它的頂角度數(shù)為．【答案】80°或20°【分析】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵；因此此題可分當(dāng)80°為該等腰三角形的底角及頂角進(jìn)行求解即可．【詳解】解：當(dāng)80°是該等腰三角形的底角時(shí)，則它的頂角度數(shù)為180°-2×80°=20°；當(dāng)80°是該等腰三角形的頂角時(shí)，它的頂角度數(shù)為80°；故答案為80°或20°．36．（2023上·廣東汕頭·八年級(jí)汕頭市世貿(mào)實(shí)驗(yàn)學(xué)校校考階段練習(xí)）等腰三角形有兩條邊分別為3cm和7cm，則這個(gè)等腰三角形的周長是【答案】17cm/17【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系．根據(jù)等腰三角形有兩條邊長為3cm和7cm【詳解】解：①若3cm為腰長，7cm由于3+3<7，則三角形不存在；②若7cm為腰長，則符合三角形的兩邊之和大于第三邊．所以這個(gè)三角形的周長為7+7+3=17cm這個(gè)三角形的周長是17cm故答案為：17cm37．（2023上·黑龍江哈爾濱·八年級(jí)校考期中）等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為20°，則該等腰三角形的底角的度數(shù)為．【答案】55°或35°【分析】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的定義及性質(zhì)，等腰三角形的兩腰相等，等腰三角形的兩個(gè)底角相等，根據(jù)性質(zhì)解題即可.【詳解】解：情況①，如下圖：∵AB=AC,∠ABD=20°，BD⊥AC，∴∠A=70°，∴∠ABC=∠C=情況②，如下圖：∵AB=AC,∠ABD=20°，BD⊥AC，∴∠BAC=20°+90°=110°，∴∠ABC=∠C=故答案為：55°或35°．38．（2019下·甘肅蘭州·七年級(jí)校考期末）已知等腰三角形一腰上的中線將三角形的周長分為34cm和30cm兩部分，則多腰三角形的底邊長為．【答案】563cm【分析】設(shè)等腰三角形的腰長、底邊長分別為xcm、ycm，根據(jù)題意列二元一次方程組，沒有指明具體是哪部分的長為34cm、30cm，故應(yīng)該列兩個(gè)方程組求解．【詳解】解：等腰△ABC，AB=AC，BD是腰AC上的中線，如圖：設(shè)腰長為xcm，底邊長為ycm，根據(jù)題意得，①當(dāng)AB+AD=34cm，BC+DC=30cm時(shí)，有x+∴x=∴等腰三角形的三邊分別為：683、683、②當(dāng)AB+AD=30cm，BC+DC=34cm時(shí)，有x+∴x=20∴等腰三角形的三邊分別為：20、20、24，根據(jù)三角形三邊關(guān)系定理可知可以構(gòu)成三角形；∴綜上所述，等腰三角形的底邊長為563cm或故答案是：563cm【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是分兩種情況進(jìn)行分析，由解二元一次方程組求得解之后注意用三角形三邊關(guān)系進(jìn)行檢驗(yàn)．39．（2023上·江蘇南京·八年級(jí)統(tǒng)考期中）在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，在△ABC邊上有一點(diǎn)P，且△BCP是等腰三角形，則滿足條件的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為【答案】4【分析】本題考查了等腰三角形的定義，根據(jù)題意，進(jìn)行分類討論，畫出符合實(shí)際條件的圖形即可．【詳解】解：當(dāng)BC=BP時(shí)，點(diǎn)P在AB上；當(dāng)BC=PC時(shí)，點(diǎn)P在AB上或點(diǎn)P在AC當(dāng)BP=CP時(shí)，點(diǎn)P在AB上；綜上：滿足條件的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為4，故答案為：4．

十二．等邊三角形的十字模型（共3小題）40．（2022上·浙江寧波·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，在等邊△ABC的AC，BC邊上各取一點(diǎn)P，Q，使AP=CQ，AQ，BP相交于O，若OB=2，則B點(diǎn)到AQ的距離等于（

）A．1 B．2 C．3 D．3【答案】C【分析】作BD⊥AQ于點(diǎn)D，則∠ODB=90°，先證明△BAP?△ACQ，得∠ABP=∠CAQ，再推導(dǎo)出∠BOD=60°，則∠OBD=30°，而OB=2，得OD=12OB=1，即可根據(jù)勾股定理求得【詳解】解：作BD⊥AQ于點(diǎn)D，則∠ODB=90°，∵△ABC是等邊三角形，∴AB=CA，∠BAP=∠C=60°，在△BAP和△ACQ中，AB=CA∠BAP=∠C∴△BAP?△ACQ(SAS∵∠ABP=∠CAQ，∴∠BOD=∠BAQ+∠ABP=∠BAQ+∠CAQ=∠BAC=60°，∴∠OBD=30°，∵OB=2，∴OD=1∴BD=O∴點(diǎn)B到AQ的距離等于3，故選：C．【點(diǎn)睛】此題重點(diǎn)考查等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和、直角三角形中30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半、勾股定理等知識(shí)，證明△BAP?△ACQ是解題的關(guān)鍵．41．（2023上·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在等邊三角形ABC中，點(diǎn)P，Q分別在AC，BC上，且AP=CQ，AQ與BP交于點(diǎn)M，在BP上取一點(diǎn)N，使MN=MQ，連接NQ．求證：△MNQ是等邊三角形．

【答案】見解析【分析】先由已知條件得出△ABP≌△CAQ，得出∠ABP=∠CAQ，進(jìn)而得到∠BMQ=60°，再根據(jù)有一個(gè)角等于60°的等腰三角形是等邊三角形即可證明△MNQ是等邊三角形．【詳解】證明：∵△ABC為等邊三角形，∴AB=AC，∠BAC=∠C=60°．又∵AP=CQ，∴△ABP≌△CAQSAS∴∠ABP=∠CAQ，∠BMQ=∠ABP+∠BAQ=∠CAQ+∠BAQ=∠BAC=60°．又∵M(jìn)N=MQ，∴△MNQ是等邊三角形．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的判定及三角形全等的綜合知識(shí)，熟練掌握有一個(gè)角等于60°的等腰三角形是等邊三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．42．（2022上·浙江嘉興·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在等邊三角形ABC的AC,BC邊上各取一點(diǎn)P，Q，使AP=CQ，AQ,BP相交于點(diǎn)O．則∠POQ的度數(shù)為．【答案】120°/120度【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得：AB=AC,∠BAP=∠C=60°，根據(jù)全等三角形的判定可得△ABP≌△CAQ，繼而可得∠PBA=∠QAC，根據(jù)三角形外角與不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的關(guān)系及對(duì)頂角相等可得【詳解】∵△ABC是等邊三角形，∴AB=AC,∠BAP=∠C=60°，∵AP=CQ，∴△ABP≌∴∠PBA=∠QAC，∴∠AOP=∠PBA+∠BAO=∠QAC+∠BAO=∠BAC=60°，∴∠POQ=180°-∠AOP=120°．故答案為120°【點(diǎn)睛】本題主要考查等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，外角與不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的關(guān)系，對(duì)頂角，解題的關(guān)鍵是是證得△ABP≌十三．與等邊三角形有關(guān)的旋轉(zhuǎn)模型（共5小題）（半角、手拉手）43．（2023上·福建泉州·八年級(jí)期末）閱讀材料：“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”．如圖①，等腰△ABC和等腰△ADE中，AB=AC，AD=AE，將△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，連接(1)若∠BAC=∠DAE=35°，求證：BD=CE；(2)連接BE，當(dāng)點(diǎn)D在線段BE上時(shí)．①如圖②，若∠BAC=∠DAE=60°，則∠BEC的度數(shù)為；線段BD與CE之間的數(shù)量關(guān)系是；②如圖③，若∠BAC=∠DAE=90°，AM為△ADE中DE邊上的高，判斷∠BEC的度數(shù)及線段AM、【答案】(1)見解析(2)①60°，BD=CE；②【分析】（1）由“SAS”可證△ABD?△ACE，可得BD=CE；（2）①由∠BAC=∠DAE=60°，得到∠BAD=∠CAE，證明△BAD?△CAE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)證明結(jié)論；②類比①可得BD=CE，【詳解】（1）∵∠BAC=∠DAE∴∠BAD+∠DAC=∠DAC+∠EAC∴∠BAD=∠EAC在△ABD和△ACE中AB=AC∴△ABD?△ACE(∴BD=CE（2）①∵∠BAC=∠DAE=60°，∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，即∠BAD=∠CAE，∵AD=AE∴△ADE是等邊三角形，∴∠ADE=60°∴∠ADB=120°又AB=AC，AD=AE∴△ABD?△ACE(SAS∴∠AEC=∠ADB=180°-∠ADE=120°∴∠BEC=∠AEC-∠AED=120°-60°=60°，故答案為：60°；②關(guān)系：∠BEC=90°理由：∵∠DAE=90°∴∠ADE=∠AED=45°，∴∠ADB=∠AEC=135°∴∠BEC=∠AEC-∠AED=135°-45°=90°∵AM⊥DE∴DE=2AM∵△ABD≌△ACE∴BD=CE∴BE=BD+DE=CE+2AM【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．44．（2022上·湖北襄陽·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知四邊形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD，AB=BC，∠ABC=120°，∠MBN=60°，將∠MBN繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)．(1)當(dāng)∠MBN旋轉(zhuǎn)到(如圖1)的位置，此時(shí)∠MBN的兩邊分別交AD，DC于E，F(xiàn)，且AE=CF，求證：①BE=BF(2)當(dāng)∠MBN旋轉(zhuǎn)到(如圖1)的位置，此時(shí)∠MBN的兩邊分別交AD，DC于E，F(xiàn)，且AE≠CF時(shí)，小穎猜想1中的AE+CF=EF仍然成立，并嘗試作出了延長DC至點(diǎn)K，使CK=AE，連接BK，請(qǐng)你證明小穎的猜想；(3)當(dāng)∠MBN旋轉(zhuǎn)到(如圖1)的位置，此時(shí)∠MBN的兩邊分別交AD，DC于E，F(xiàn)，猜想線段AE、CF、EF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)AE-CF=EF，見解析【分析】（1）①用“SAS”證明△ABE和△CBF全等，再利用全等三角形的性質(zhì)求解；②由①知△ABE≌△CBF，進(jìn)而得到△BEF是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求解；（2）延長DC至K點(diǎn)使得CK=AE，先求得△ABE≌△CBK,再求得△EBF≌△KBF來求解；（3）猜想AE-CF=EF，在DC的延長線上取點(diǎn)K，使CK=AE，連接BK，易得到△ABE≌△CBK，再利用全等三角形的性質(zhì)求解．【詳解】（1）證明：①在△ABE和△CBF中，AB=BC∠A=∠BCFAE=CF∴△ABE≌△CBFSAS∴BE=BF；②由①知△ABE≌△CBF，∴∠ABE=∠CBF=1∴AE=12BE∴△BEF是等邊三角形．∴BE=BF=EF．∴AE+CF=1（2）解：延長DC至K點(diǎn)使得CK=AE，如圖．在△ABE和△CBK.中，BK=BE∠KBF=∠EBF∴△ABE≌△CBKSAS∴BE=BK，∠ABE=∠KBC，∵∠ABE+∠CBE=120°，∴∠KBC+∠CBE=120°，即∠KBE=120°，∵∠EBF=60°，∴∠KBF=∠EBF=60°．在△EBF和△KBF中，BK=BE∠KBF=∠EBF∴△EBF≌△KBFSAS∴EF=KF．∴EF=CK+CF．∴AE+CF=EF；（3）解：如圖3，猜想AE-CF=EF．證明如下：在DC的延長線上取點(diǎn)K，使CK=AE，連接BK．在△ABE和△CBK中，∴△ABE≌△CBKSAS∴BE=BK，∠ABE=∠KBC，∵∠ABE+∠CBE=120°，∴∠KBC+∠CBE=120°，即∠KBE=120°．∵∠EBF=60°，∴∠KBF=∠EBF=60°．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，作出輔助線和理解相關(guān)知識(shí)是解答關(guān)鍵．45．（2020·重慶北碚·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖1，點(diǎn)A是線段BC上一點(diǎn)，△ABD，△AEC都是等邊三角形，BE交AD于點(diǎn)M，CD交AE于N．（1）求證：BE=DC；（2）求證：△AMN是等邊三角形；（3）將△ACE繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°，其它條件不變，在圖2中補(bǔ)出符合要求的圖形，并判斷（1）、（2）兩小題結(jié)論是否仍然成立，并加以證明．【答案】（1）證明見詳解；（2）證明見詳解；（3）（1）的結(jié)論成立，（2）的結(jié)論不成立，證明見詳解【分析】(1)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到AB=AD，AC=AE，∠DAB=∠EAC=60°，則∠DAC=∠BAE,根據(jù)“SAS"可判斷△ABE≌△ADC，則BE=DC;(2)由△ABE≌△ADC得到∠ABE=∠ADC，根據(jù)"AAS"可判斷△ABM≌△ADN(AAS)，則AM=AN;∠DAE=60°，根據(jù)等邊三角形的判定方法可得到△AMN是等邊三角形.(3)判定結(jié)論1是否正確，也是通過證明△ABE≌△ADC求得，這兩個(gè)三角形中AB=AD，AE=AC，∠BAE和∠CAD都是60°+∠ACB，因此兩三角形就全等BE=CD，結(jié)論1正確；將△ACE繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°，則∠DAC>90°，因此三角形AMN絕對(duì)不可能是等邊三角形.【詳解】解：（1）∵△ABD，△AEC都是等邊三角形，∴AB=AD，AC=AE，∠DAB=∠EAC=60°，∴∠DAC=∠BAE，在△ABE和△ADC中，{AB=AD∴△ABE≌△ADC（SAS），∴BE=DC；（2）由上述（1）證得：△ABE≌△ADC，∴∠ABM=∠ADN．在△ABM和△ADN中，{AB=AD∠ABM=∠ADN∴△ABM≌△ADN（AAS），∴AM=AN．∵∠DAE=60°，∴△AMN是等邊三角形；（3）∵△ABD，△AEC都是等邊三角形，∴AB=AD，AC=AE，∠DAB=∠EAC=60°，∴∠DAC=∠BAE，在△ABE和△ADC中，{AB=AD∴△ABE≌△ADC（SAS），∴BE=DC，∠ABE=∠ADC，∵∠BAC=90°∴∠MAN＞90°，∵∠MAN≠60°，∴△AMN不是等邊三角形，∴（1）的結(jié)論成立，（2）的結(jié)論不成立．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)與判定，三角形全等的性質(zhì)與判定以及圖形旋轉(zhuǎn)等知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，需要按小題逐個(gè)分析論證.46．（2020·河南南陽·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知四邊形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD，AB=BC，∠ABC=120°，∠MBN=60°，將∠MBN繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交邊AD、DC（或它們的延長線）于點(diǎn)E、F．（1）當(dāng)∠MBN繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到AE=CF時(shí)（如圖1），①求證：△ABE≌△CBF；②求證：AE+CF=EF；（2）當(dāng)∠MBN繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到如圖2所示的位置時(shí)，AE≠CF，此時(shí)，（1）中的兩個(gè)結(jié)論是否還成立？請(qǐng)直接回答．【答案】（1）①詳見解析；②詳見解析；（2）①不成立，②成立．【分析】（1）①根據(jù)AB＝BC，∠A＝∠C，AE＝CF即可得證；②先證△BEF為等邊三角形，進(jìn)而得到EF＝BE＝BF，再由∠ABE=∠CBF結(jié)合∠ABC=120°，∠MBN=60°可得∠ABE=∠CBF=30°，進(jìn)而可證得BE=2AE，再用等量代換即可得證；（2）延長FC至G，使AE＝CG，連接BG，先證△BAE≌△BCG，再證△GBF≌△EBF即可．【詳解】（1）①證明：∵AB⊥AD，BC⊥CD，∴∠BAE=∠BCF=90°．在△ABE和△CBF中，AE=CF∴△ABE≌△CBF（SAS）．②證明：由①知△ABE≌△CBF，∴BE=BF，∠ABE=∠CBF．∵∠MBN=60°，∴△BEF是等邊三角形，∴EF=BE=BF．又∵∠ABC=120°，∴∠ABE=∠CBF=1∵∠BAE=90°，∴BE=2AE．∵AE=CF，∴AE+CF=2AE=BE=EF．（2）如圖2，延長FC至G，使CG＝AE，連接BG，在△BAE和△BCG中，BA=BC∠BAE=∠BCG∴△BAE≌△BCG（SAS），∴∠ABE＝∠CBG，BE＝BG，∵∠ABC＝120°，∠EBF＝60°，∴∠ABE＋∠CBF＝60°，∴∠CBG＋∠CBF＝60°，∴∠GBF＝∠EBF，在△GBF和△EBF中，BG=BE∠GBF=∠EBF∴△GBF≌△EBF（SAS），∴EF＝GF＝CF＋CG＝CF＋AE，∴①不成立，②成立．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)變換等知識(shí)點(diǎn)，難度適中．本題是典型的“大角夾半角模型”，其基本思路是“旋轉(zhuǎn)補(bǔ)短”，從而構(gòu)造全等三角形．47．（2018上·上海浦東新·八年級(jí)統(tǒng)考期中）已知：如圖，點(diǎn)A、B、C在同一直線上，AB=2，BC=1，分別以AB、BC為邊，在AC同側(cè)作等邊△ABD和等邊△BCE，分別聯(lián)結(jié)AE、CD．（1）找出圖中的全等三角形（不添加輔助線），并證明你的結(jié)論.(2)線段AE與線段CD的關(guān)系是：AECD（填>、=、<）.AE與CD的夾角是：.(3)△ABD固定不動(dòng)，使△BCE繞著點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，①這時(shí)（2）得出的結(jié)論還成立嗎（不要求證明）？②在旋轉(zhuǎn)過程中，線段DC的長是變化的，它的變化范圍是.【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）①成立；②1≤DC≤3.【分析】（1）根據(jù)題意可得△ABE≌△DBC；（2）由△ABE≌△DBC得，AE=CD,∠BAE=∠BDC，∠BDC+∠BCD=180°60°60°=60°，故可得AE與CD的夾角為∠BAE+∠BCD=∠BDC+∠BCD=60°；（3）①成立；②當(dāng)BC在DB上時(shí)，DC最短等于1；當(dāng)BC在DB的延長線上時(shí)，DC最長等于3，從而可得結(jié)論.【詳解】（1）△ABE證明：∵△ABD∴AB=DB∵△BCE∴∴∠即∠在△ABE和△∵∴△(2)線段AE與線段CD的關(guān)系是：AE=CD；AE與CD的夾角是：60°.(3)①（2）得出的結(jié)論仍成立.②在旋轉(zhuǎn)過程中，線段DC的長是變化的，它的變化范圍是1≤DC【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)與判定、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．十四．折疊問題（共3小題）48．（2023上·山東臨沂·八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）現(xiàn)有一張△ABC紙片，點(diǎn)D、E分別是△ABC邊上兩點(diǎn)，若沿直線DE折疊，折成如圖的形狀．

(1)若∠1=25°、∠2=35°，求∠A的度數(shù)；(2)猜想∠1、∠2和∠A的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)∠A=30°(2)猜想：∠1+∠2=2∠A，理由見解析【分析】（1）由折疊得∠ADE=∠A'DE，∠AED=∠A'ED，由平角得，∠AED+∠A（2）先根據(jù)折疊得：∠ADE=∠A'DE，∠AED=∠A'ED，由兩個(gè)平角∠ADB和【詳解】（1）解：由折疊得：∠ADE=∠A'DE∠AED+∠A∠ADE+∠A∴∠ADE+∠AED=(155°+145°)÷2=150°，∴∠A=180°-150°=30°；（2）猜想：∠1+∠2=2∠A，理由是：由折疊得：∠ADE=∠A'DE∵∠ADB+∠AEC=360°，∴∠1+∠2=360°-∠ADE-∠A∴∠1+∠2=2(180°-∠ADE-∠AED)=2∠A，∴∠1+∠2=2∠A．【點(diǎn)睛】本題是折疊變換問題，掌握兩種思路：①一類是利用外角定理得結(jié)論；②一類是利用平角定義和多邊形內(nèi)角和相結(jié)合得結(jié)論是解題的關(guān)鍵．49．（2023上·河北石家莊·七年級(jí)?？计谥校┚C合與實(shí)踐課上，同學(xué)們動(dòng)手折疊一張正方形紙片ABCD，如圖1，其中E點(diǎn)在邊AD上，F(xiàn)、G分別在邊AB、CD上，分別以EF、EG為折痕進(jìn)行折疊并壓平，點(diǎn)A、D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)A'和點(diǎn)D甲同學(xué)的操作如圖2；其中∠FEG=120°；乙同學(xué)的操作如圖3，A'落在E丙同學(xué)的操作如圖4，A'落在EG上，D'落在

(1)求出圖2中∠A(2)直接寫出圖3中∠FEG的度數(shù)；(3)直接寫出圖4中∠FEG的度數(shù)；(4)若折疊后∠A'ED'【答案】(1)∠A(2)∠FEG=90°(3)FEG=60°(4)180°+n°2或【分析】（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)可得∠2+∠3=∠1+∠4=60°，即可求解；（2）根據(jù)折疊的性質(zhì)得∠AEA'=2∠A'（3）根據(jù)折疊的性質(zhì)可得由折疊的性質(zhì)得，∠AEF=∠A再由∠AEF+∠FEG+∠GED=180°，即可求解；（4）分兩種情況：如圖5、6，先表示出∠A'EF+∠GED'【詳解】（1）解：∵∠FEG=120°，∴∠1+∠4=60°，由折疊的性質(zhì)得∠1=∠2，∠3=∴∠2+∠3=∠1+∠4=60°，∴∠A

（2）解：由折疊的性質(zhì)得，∠AEF=∠A'EF∴∠AEA'=2∠∵∠AEA∴2∠A∴∠A（3）解：由折疊的性質(zhì)得，∠AEF=∠A∵∠AEF+∠FEG+∠GED=180°，即3∠FEG=180°，∴∠FEG=60°，（4）解：如圖5，∵∠A∴∠AEA由折疊的性質(zhì)得，∠AEF=∠A'EF∴2∠A∴∠A∴∠FEG=∠A如圖6，∠AEA由折疊的性質(zhì)得，∠AEF=∠A'EF∴2∠A∴2∠∴∠A∴∠FEG=∠A綜上所述，∠FEG的度數(shù)為180°+n°2或180°-n°

【點(diǎn)睛】本題考查折疊的性質(zhì)、角度的和差倍分運(yùn)算，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．50．（2023上·浙江寧波·八年級(jí)寧波市海曙外國語學(xué)校?？计谥校┤鐖D是兩個(gè)全等的直角三角形紙片，且AC:BC:AB=3:4:5，按如圖的兩種方法分別將其折疊，使折痕（圖中虛線）過其中的一個(gè)頂點(diǎn)，且使該頂點(diǎn)所在角的兩邊重合，記折疊后不重疊部分面積分別為S1

(1)若AC=3，求S1(2)若AE=2，求S2【答案】(1)3(2)8【分析】（1）由題意可得BC=4，AB=5，設(shè)DM=CM=x，則BM=4-x，依據(jù)S△ABM=12AB×DM=（2）設(shè)AC=3x，BC=4x，AB=5x，由折疊可得，BC=BE=4x，EN=CN，可得AE=AB-BE=x=2，可知AB=10，BC=8，AN=3x-EN=6-EN，由S△ABN=12AB×EN=【詳解】（1）解：∵AC:BC:AB=3:4:5，AC=3，∴BC=4，AB=5，由折疊可得，DM=CM，∠ADM=∠C=90°，AD=AC=3，設(shè)DM=CM=x，則BM=4-x，∵S△ABM∴AB×DM=BM×AC，即5x=34-x解得x=3∴DM=3∴BD=AB-AD=2，∴S1（2）由AC:BC:AB=3:4:5，可設(shè)AC=3x，BC=4x，AB=5x，由折疊可得，BC=BE=4x，EN=CN，∴AE=AB-BE=x=2，則AB=5x=10，BC=4x=8，AN=3x-EN=6-EN，∵S△ABN∴AB×EN=AN×BC，即10×EN=6-EN解得EN=8∴S2【點(diǎn)睛】本題主要考查了翻折變換（折疊問題），折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等．解決問題的關(guān)鍵是利用面積法求得某些線段的長度．十五．兩圓一線畫等腰（共3小題）51．（2023下·重慶渝中·七年級(jí)重慶巴蜀中學(xué)?？计谀┰谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，已知A0,3，B3,0，若點(diǎn)C在坐標(biāo)軸上，且△ABC為等腰三角形，則滿足條件的點(diǎn)C的個(gè)數(shù)是（

A．3 B．4 C．6 D．7【答案】D【分析】根據(jù)等腰三角形的定義，分別以A為圓心，AB為半徑畫圓；以B為圓心，AB為半徑畫圓；作AB的垂直平分線；它們與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)即為點(diǎn)C的位置．【詳解】解：如圖，①以A為圓心，AB為半徑畫圓，交坐標(biāo)軸于點(diǎn)B，C1，C2，C5，得到以A為頂點(diǎn)的等腰△ABC1②以B為圓心，AB為半徑畫圓，交坐標(biāo)軸于點(diǎn)A，C3，C6，C7，得到以B為頂點(diǎn)的等腰△BAC3③作AB的垂直平分線，交坐標(biāo)原點(diǎn)于C4，得到以C4為頂點(diǎn)的等腰∴符合條件的點(diǎn)C共7個(gè)，故選：D．

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的定義，線段垂直平分線的性質(zhì)，能夠找出所有C點(diǎn)的位置是解題的關(guān)鍵．52．（2022下·福建三明·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，已知點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為3,0和0,5，在坐標(biāo)軸上確定一點(diǎn)C，使△ABC是等腰三角形，則符合條件的C點(diǎn)共有（

）個(gè)A．4 B．6 C．8 D．10【答案】C【分析】分三種情形，AB=AC，BA=BC，CA=CB，分別畫圖即可．【詳解】解：如圖，當(dāng)AB=AC時(shí)，以點(diǎn)A為圓心，AB為半徑畫圓，與坐標(biāo)軸有三個(gè)交點(diǎn)（B點(diǎn)除外），當(dāng)BA=BC時(shí)，以點(diǎn)B為圓心，AB為半徑畫圓，與坐標(biāo)軸有三個(gè)交點(diǎn)（A點(diǎn)除外），當(dāng)CA=CB時(shí)，畫AB的垂直平分線與坐標(biāo)軸有2個(gè)交點(diǎn)，綜上所述：符合條件的點(diǎn)C的個(gè)數(shù)有8個(gè)，故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)等知識(shí)，運(yùn)用分類討論思想是解題的關(guān)鍵．53．（2022上·山東濰坊·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，已知坐標(biāo)系內(nèi)點(diǎn)P4,3，在坐標(biāo)軸上找一點(diǎn)A，使△AOP是等腰三角形（利用尺規(guī)【答案】見解析【分析】根據(jù)等腰三角形的定義畫出圖形即可．【詳解】解：如圖，以O(shè)為圓心，OP為半徑作⊙O，與坐標(biāo)軸有4個(gè)交點(diǎn)；以P為圓心，OP為半徑作⊙P，與坐標(biāo)軸有2個(gè)交點(diǎn)（點(diǎn)O除外）；作線段OP的垂直平分線與坐標(biāo)軸有2個(gè)交點(diǎn)，觀察圖象可知，滿足條件的點(diǎn)A有8個(gè)．【點(diǎn)睛】本題考查作圖復(fù)雜作圖、等腰三角形的判定、線段垂直平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，會(huì)利用分類討論的思想解決問題，屬于中考?？純?nèi)容．十六．與等腰三角形、等邊三角形的性質(zhì)與判定解決多結(jié)論問題（共5小題）54．（2023上·云南昆明·八年級(jí)云南省昆明市第二中學(xué)校聯(lián)考期中）在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=6cm，E、F分別是AB、AC邊上的動(dòng)點(diǎn)，且∠EDF=90°；下列結(jié)論：①BE=AF；②∠BED+∠CFD的度數(shù)不變；③△AEF的面積存在最小值；④△DEF的面積存在最小值，⑤四邊形AEDFA．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【答案】C【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，垂線段最短等知識(shí)點(diǎn).①根據(jù)ASA證明△BED≌△AFD，從而即可得到BE=AF；②由△BED≌△AFD可得∠BED=∠AFD，再根據(jù)∠AFD+∠CFD=180°即可判斷；③綜合④△DEF的面積存在最小值和⑤四邊形AEDF的面積為9cm即可判斷；④根據(jù)S△DEF=12×ED×DF=12ED2，再根據(jù)點(diǎn)到直線垂線段最短可知當(dāng)【詳解】解：∵∠BAC=90°，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠B=∠C=45°，∵AD⊥BC，∴∠ADC=∠ADB=90°，∴△ACD、∴AD=BD，又∵∠EDF=90°，∴∠BDE+∠ADE=∠ADF+∠ADE=90°，∴∠BDE=∠ADF，在△BED和△AFD中，∠B=∠DACBD=AD∴△BED≌△AFD（∴BE=AF，故①正確，∵∠AFD+∠CFD=180°，∴∠BED+∠CFD=180°，∴∠BED+∠CFD的度數(shù)不變，故②正確，∵DE=DF，∴S△DEF∵當(dāng)ED⊥AB時(shí)，ED最小，∴當(dāng)ED最小時(shí)，△DEF的面積存在最小值，故④正確，∵△BED≌△AFD，∴S△BED∴S四邊形∵D是BC中點(diǎn)，∴S△ABD∴S四邊形∴四邊形AEDF的面積為9cm故⑤正確，∵S四邊形∴S△AEF∵△DEF的面積存在最小值，∴△AEF的面積存在最大值，故③錯(cuò)誤，故選：C．55．（2022上·安徽銅陵·八年級(jí)銅陵市第十五中學(xué)?？计谥校┰凇鰽BC中，∠BAC=90°，AB=AC=6cm，D為BC中點(diǎn)且AD⊥BC，E、F分別是AB、AC邊上的動(dòng)點(diǎn)，且∠EDF=90°，下列結(jié)論：①BE=AF；②∠BED+∠CFD的度數(shù)不變；③△AEF的面積存在最小值；④△DEF的面積存在最小值；⑤四邊形AEDF的面積為9cm，其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)是（A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【答案】C【分析】①易證△BED≌△AFD，從而即可得到BE=AF；②由△BED≌△AFD可得∠BED=∠AFD，再根據(jù)∠AFD+∠CFD=180°即可判斷；③綜合④△DEF的面積存在最小值和⑤四邊形AEDF的面積為9cm即可判斷；④根據(jù)S△DEF=12×ED×DF=12×E【詳解】解：∵∠BAC=90°，AB=AC，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠B=∠C=45°，∵AD⊥BC，∴∠ADC=∠ADB=90°，∴△ACD、△ABD是等腰直角三角形，∴AD=BD,∠DAC=∠C=∠B=45°，又∵∠EDF=90°，∴∠BDE+∠ADE=∠ADF+∠ADE=90°，∴∠BDE=∠ADF，在△BED和△AFD中，∠B=∠DACBD=AD∴△BED≌∴BE=AF，∠BED=∠AFD,DE=DF，故①正確，∵∠AFD+∠CFD=180°，∴∠BED+∠CFD=180°，∴∠BED+∠CFD的度數(shù)不變，故②正確，∵DE=DF,∠EDF=90°，∴S∵當(dāng)ED⊥AB時(shí)，ED最小，∴當(dāng)ED最小時(shí)，△DEF的面積存在最小值，故④正確，∵△BED≌∴S∴S∵D是BC中點(diǎn)，∴S∴S∴四邊形AEDF的面積為9cm故⑤正確，∵S∴S∵△DEF的面積存在最小值，∴△AEF的面積存在最大值，故③錯(cuò)誤，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)、點(diǎn)到直線之間，垂線段最短等知識(shí)點(diǎn)，通過推理論證每個(gè)命題的正誤是解決此題的關(guān)鍵．56．（2019上·山東日照·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，已知△ABC和△CDE都是等邊三角形，且A、C、E三點(diǎn)共線．AD與BE交于點(diǎn)O，AD與BC交于點(diǎn)P，BE與CD交于點(diǎn)Q，連接PQ．以下五個(gè)結(jié)論：①AD=BE；②∠AOB=60°；③AP=BQ；④△PCQ是等邊三角形；

⑤PQ∥AE．其中正確結(jié)論的有（）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】A【分析】本題考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，熟練應(yīng)用三角形全等的證明是正確解答本題的關(guān)鍵．求出∠ACD=∠BCE，證明△ACD≌△BCESAS，可得AD=BE，①正確；求出∠BCQ=∠ACP，證明△CQB≌△CPAASA，可得AP=BQ，CP=CQ，③正確；證明△PCQ為等邊三角形，故④正確；求出∠PQC=∠DCE=60°，可得PQ∥AE，【詳解】解：∵△ABC和△CDE為等邊三角形，∴AC=BC，CD=CE，∠BCA=∠DCE=60°，∴∠ACD=∠BCE，∴△ACD≌∴AD=BE，故①正確；∴∠CBE=∠DAC∵∠ACB=∠DCE=60°，∴∠BCQ=180°-60°-60°=60°=∠ACP，又∵AC=BC，∴△CQB≌∴AP=BQ，CP=CQ，故③正確；∴△PCQ是等邊三角形，故④正確；∴∠PQC=∠DCE=60°，∴PQ∥AE，故∵∠ACB=∠CED=60°，∴BC∥DE，∴∠CBE=∠BED，∵∠CBE=∠DAE∴∠AOB=∠OAE+∠AEO=∠CBE+∠AEO=∠ACB=60°，故②正確；故選：A．57．（2023上·黑龍江哈爾濱·八年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分線相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作EF∥BC交AB于E，交AC于F，過點(diǎn)O作OD⊥AC于①EF=BE+CF；②∠BOC=90③點(diǎn)O到△ABC各邊的距離都相等；④設(shè)OD=m，AE+AF=n，則S△AEF其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】本題主要考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握角平分線的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．①根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到∠EBO=∠CBO，∠BCO=∠FCO，再由平行的性質(zhì)得到∠CBO=∠EOB,∠BCO=∠COF，即可得出BE=EO,OF=CF，即可得到結(jié)論；②根據(jù)角平分線的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理即可證明結(jié)論；③根據(jù)三角形內(nèi)心的性質(zhì)即可得到結(jié)論；④連接AO，根據(jù)三角形面積公式即可得到結(jié)論．【詳解】解：∵∠ABC和∠ACB的角平分線相交于點(diǎn)O，∴∠EBO=∠CBO，∠BCO=∠FCO，∵EF∥∴∠CBO=∠EOB,∠BCO=∠COF，∴∠EBO=∠EOB,∠FCO=∠COF，∴BE=EO,OF=CF，∴EF==EO+OF=BE+CF，故①正確；∵∠ABC和∠ACB的角平分線相交于點(diǎn)O，∴∠OBC+∠OCB=1∴∠BOC=180°-(∠GBC+∠GCB)=180°-12(180°-∠A)=∵∠ABC和∠ACB的角平分線相交于點(diǎn)O，故點(diǎn)O是△ABC的內(nèi)心，∴點(diǎn)O到△ABC各邊的距離都相等，故③正確；連接AO，由于點(diǎn)O是△ABC的內(nèi)心，OD=m，AE+AF=n，∴S△AEF=故正確有3個(gè)．故選C．58．（2023上·河南新鄉(xiāng)·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在△ABC中，∠ACB=45°，CD平分∠ACB，BE⊥AC于點(diǎn)E，CD⊥AB于點(diǎn)D，且與BE交于點(diǎn)H，EF⊥BC于點(diǎn)F，且與CD交于點(diǎn)G．則下面的結(jié)論：①BF=FC；②∠ABE=∠ACD；③BH=EH；④DB=DG．其中正確結(jié)論的序號(hào)有（

）A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④【答案】B【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，掌握角平分線的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．利用等腰直角三角形的性質(zhì)得到①正確，利用已知垂直關(guān)系，得到②正確，利用角平分線的性質(zhì)得到③不正確，利用等腰直角三角形的性質(zhì)，得到④正確，由此選出答案．【詳解】解：由題意得：①∠ACB=45°，BE⊥AC，∴△BEC為等腰直角三角形，又∵EF⊥BC，∴BF=FC，∴①正確；②∵BE⊥AC，CD⊥AB，∴∠A+∠ACD=∠A+∠ABE=90°，∴∠ABE=∠ACD，∴②正確；③∵CD平分∠ACB，BE⊥AC，但BH和BC不垂直，∴BH≠EH，∴③不正確；④如圖，連接BG，∵△BEC為等腰直角三角形，EF⊥BC,∴△BGC為等腰三角形，∴∠GBC=∠GCB，∵∠DGB=∠GCB+∠GBC∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠GCB，又∵∠ACB=45°，∴∠DGB=45°，∵CD⊥AB，∴△BDG為等腰三角形，∴DB=DG，∴④正確，故選：B．十七．與等腰三角形有關(guān)的存在性問題（共6小題）59．（2023上·山東淄博·七年級(jí)統(tǒng)考期中）已知：在△ABC中，∠ACB=90°,AC=BC，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E是AB邊上一點(diǎn)．(1)直線BF垂直于CE于點(diǎn)F，交CD于點(diǎn)G（如圖1）．請(qǐng)說明：AE=CG；(2)直線AH垂直于CE，垂足為H，交CD的延長線于點(diǎn)M（如圖2）．那么圖中是否存在與AM相等的線段？若存在，請(qǐng)寫出來并證明；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)見解析(2)圖中存在與AM相等的線段，AM=CE，理由見解析【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)熟練掌握全等三角形的判定方法是解決問題的關(guān)鍵；（1）根據(jù)題意得到三角形ABC為等腰直角三角形，且CD為斜邊上的中線，利用三線合一得到CD垂直于AB，且CD為角平分線，得到∠CAE=∠BCG=45°，再利用同角的余角相等得到一對(duì)角相等，AC=BC，利用ASA得到△AEC與△CGB全等，利用全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等即可得證．（2）圖中存在與AM相等的線段，AM=CE．先證出∠CEB=∠CMA，再由AAS證明△CAM≌△BCE，即可解答．【詳解】（1）∵點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，AC=BC,∠ACB=90°,∴CD⊥AB，∠ACD=∠BCD=45°,∠CAD=∠CBD=45°,∴∠CAE=∠BCG，∵BF⊥CE,∴∠CBG+∠BCF=90°,∵∠ACE+∠BCF=90°,∴∠ACE=∠CBG，在△AEC和△CGB中，∠CAE=∠BCGAC=BC∴△AEC≌△CGB∴AE=CG；（2）圖中存在與AM相等的線段，AM=CE．理由：∵CH⊥HM,CD⊥ED,∴∠CMA+∠MCH=90°,∠BEC+∠MCH=90°．∴∠CMA=∠BEC．在△CAM和△BCE中，∠CMA=∠BEC∠ACM=∠CBE=45°∴△CAM≌△BCEAAS∴AM=CE．60．（2023上·福建三明·八年級(jí)統(tǒng)考期中）在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，點(diǎn)D是△ABC內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E在BC下方，且CD=CE，CD⊥CE，連接AD、BE，如圖

(1)求證：AD=BE；(2)連接AE、BD，如圖2．若①求證：AD⊥BE；②當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否存在常數(shù)λ，使得BD=λCD？若存在，請(qǐng)求出λ的值；若不存在，說明理由．【答案】(1)見解析(2)①見解析；②存在常數(shù)λ=2，使得BD=λCD【分析】（1）根據(jù)CD⊥CE和∠ACB=90°可得∠ACD=∠BCE，進(jìn)而證明△ACD≌△BCESAS（2）①延長AD交BE于點(diǎn)F．根據(jù)題意可得∠BAF=45°-∠CAD，∠ABF=45°+∠CBE，由（1）知，△ACD≌△BCE，可得∠CAD=∠CBE，即可證明；②連接DE，根據(jù)條件可得AF垂直平分BE，在Rt△CDE中，由勾股定理可得DE=【詳解】（1）證明：∵CD⊥CE，∴∠DCE=90°，∴∠BCE+∠BCD=90°．又∵∠ACD+∠BCD=∠ACB=90°，∴∠ACD=∠BCE．又∵AC=BC，CD=CE，∴△ACD≌△BCESAS．∴AD=BE；（2）證明：①延長AD交BE于點(diǎn)F．如圖，

在Rt△ABC中，AC=BC∴∠CAB=∠CBA=45°．∴∠BAF=45°-∠CAD，∠ABF=45°+∠CBE．由（1）知，△ACD≌△BCE，∴∠CAD=∠CBE．∴∠BAF+∠ABF=90°，∴∠AFB=90°，∴AD⊥BE②存在常數(shù)λ=2，使得BD=λCD證明：連接DE，如圖，

∵AE=AB，AF⊥BE，∴F為BE中點(diǎn)，∴AF垂直平分BE，∴BD=DE．∵CD=CE，CD⊥CE．∴在Rt△CDE中，DE=∴BD=2【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形、等腰三角形、直角三角形、線段垂直平分線的判定與性質(zhì)，等式的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)；考查推理能力、運(yùn)算能力、空間觀念、幾何直觀與創(chuàng)新意識(shí)；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．61．（2023上·廣西南寧·九年級(jí)南寧三中?？计谥校┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，△AOP為等邊三角形，A點(diǎn)坐標(biāo)為0,1，點(diǎn)B為y軸上位于A點(diǎn)上方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以BP為邊向BP的右側(cè)作等邊△PBC，并延長CA交x軸于點(diǎn)E(1)求證：OB=AC；(2)當(dāng)點(diǎn)B在運(yùn)動(dòng)時(shí)，AE的長度是否發(fā)生變化？請(qǐng)說明理由；(3)在（2）的條件下，在y軸上是否存在點(diǎn)Q，使得△AEQ為等腰三角形?請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．【答案】(1)證明見解析；(2)當(dāng)B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，AE的長度不發(fā)生變化，理由見解析；(3)存