數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)-函數(shù)

國(guó)數(shù)

I教學(xué)要求

1.理解函數(shù)的概念.

2.理解函數(shù)的三種表示法.

3.理解函數(shù)的單調(diào)性.

4.理解函數(shù)的奇偶性.

5.了解函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用舉例.

II教材分析

本章內(nèi)容介紹

現(xiàn)實(shí)世界中許多量之間有依賴關(guān)系，一個(gè)量變化時(shí)另一個(gè)量也隨之變化.函數(shù)是研究

變量之間確定性依賴關(guān)系的數(shù)學(xué)模型，是數(shù)學(xué)中最基本的概念之一.

教材的編寫從中職學(xué)生實(shí)際出發(fā)，使用與集合相對(duì)應(yīng)的語言刻畫函數(shù)概念，使學(xué)生

認(rèn)識(shí)到函數(shù)是描述客觀世界中變量間依賴關(guān)系的數(shù)學(xué)模型.列舉了大量的實(shí)例，使學(xué)生建

立起函數(shù)的概念，進(jìn)而強(qiáng)化對(duì)函數(shù)符號(hào)意義的理解.函數(shù)的圖像是數(shù)形結(jié)合的基礎(chǔ)，要讓

學(xué)生理解函數(shù)的圖像的意義.教材充分利用函數(shù)圖像，讓學(xué)生通過觀察圖像獲得對(duì)函數(shù)基

本性質(zhì)的直觀認(rèn)識(shí)，這樣處理充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想.

本章在引進(jìn)函數(shù)的概念后，介紹了函數(shù)的三種不同表示方法：列表法、解析法和圖

像法，使學(xué)生對(duì)函數(shù)這一抽象概念有更深刻的理解和認(rèn)識(shí).

本章出現(xiàn)了較多的概念和數(shù)學(xué)符號(hào)，內(nèi)容較為抽象，需從實(shí)際問題出發(fā)，從實(shí)例

入手，從具體問題抽象出數(shù)學(xué)概念，體現(xiàn)數(shù)學(xué)與生活實(shí)際的密切聯(lián)系，提升學(xué)生的學(xué)

習(xí)興趣.

學(xué)好本章的關(guān)鍵是：深刻理解函數(shù)的概念和函數(shù)圖像的意義.除此之外，對(duì)于剛剛?cè)?/p>

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校的中職生，在教學(xué)中，要做好與初中知識(shí)的銜接.主要注意以下幾個(gè)方面：

(1)加強(qiáng)概念的教學(xué).引入概念應(yīng)注意從學(xué)生熟悉的事物入手.教師每講授一個(gè)新概

念時(shí)，要給學(xué)生提供能反映概念本質(zhì)屬性的素材，使學(xué)生在獲得一定的感性認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)

上，通過觀察、比較、歸納提高到理性認(rèn)識(shí)，以形成完整的概念.對(duì)容易混淆的概念，

適當(dāng)采用對(duì)比的方法，使學(xué)生從正誤兩種例子中加深對(duì)概念的理解.

(2)溫故而知新.在引進(jìn)和運(yùn)用新知識(shí)時(shí)，盡量復(fù)習(xí)已學(xué)過的知識(shí)，使已學(xué)過的知識(shí)

得到不斷的重現(xiàn)而加以鞏固；要有意識(shí)地應(yīng)用集合和命題的符號(hào)和術(shù)語；對(duì)于有關(guān)條件

和結(jié)論，要經(jīng)常注意提到是不是充分條件或必要條件；注意復(fù)習(xí)函數(shù)的定義域與不等式

的解法等.

(3)注意數(shù)形結(jié)合.用數(shù)形結(jié)合的方法分析研究和解決一個(gè)問題.對(duì)中職學(xué)生具有特

殊的重要意義.分析函數(shù)性質(zhì)時(shí)作出簡(jiǎn)圖，便于增強(qiáng)學(xué)生對(duì)函數(shù)直觀的感知：觀察圖像

的性態(tài)，用分析的方法研究函數(shù)的性質(zhì)，使直觀的感知上升到理性的認(rèn)識(shí).例如，對(duì)函

數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，要盡可能地畫出簡(jiǎn)圖.

本章教學(xué)重點(diǎn)

1.函數(shù)的概念.

2.函數(shù)的圖像和性質(zhì).

3.函數(shù)的應(yīng)用.

本章教學(xué)難點(diǎn)

1.函數(shù)的概念.

2.函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用.

本章學(xué)時(shí)安排如下(僅供參考)

3.1函數(shù)的概念約2學(xué)時(shí)

3.2函數(shù)的三種表示法約2學(xué)時(shí)

33函數(shù)的性質(zhì)約4學(xué)時(shí)

3.4函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用舉例約2學(xué)時(shí)

本章小結(jié)與復(fù)習(xí)約2學(xué)時(shí)

數(shù)學(xué)(基礎(chǔ)模塊)上冊(cè)數(shù)學(xué)參考書

III教學(xué)建議和習(xí)題答案

3.1函數(shù)的概念

1.引入函數(shù)的概念通常有兩種方法，一種方法是借助映射的定義，另一種方法是通

過實(shí)例分析，體會(huì)集合與集合間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，這種關(guān)系即為函數(shù).教材采用了后一種方

法，從背景實(shí)例入手，在體會(huì)兩個(gè)變量之間依賴關(guān)系的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用與集合對(duì)

應(yīng)的語言刻畫函數(shù)的概念，使得函數(shù)的引入簡(jiǎn)單明了.

2.函數(shù)的三要素為自變量，因變量和對(duì)應(yīng)關(guān)系，三者缺一不可.理解在某個(gè)區(qū)間上定

義的函數(shù)與函數(shù)在區(qū)間具體點(diǎn)上的取值的區(qū)別.兩個(gè)函數(shù)相等，不但要對(duì)應(yīng)關(guān)系相同，定

義域也要相同.

3.對(duì)于函數(shù)定義，我們應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：

(1)函數(shù)是指自變量到因變量的對(duì)應(yīng)關(guān)系.

(2)一個(gè)函數(shù)包括兩個(gè)要素：定義域和對(duì)應(yīng)法則，值域被對(duì)應(yīng)法則和定義域所完

全確定.

(3)自變量的一個(gè)值唯一對(duì)應(yīng)因變量的一個(gè)值.如果一個(gè)自變量與兩個(gè)以上的數(shù)對(duì)

應(yīng)，那么這種關(guān)系就不叫做函數(shù)關(guān)系；但幾個(gè)自變量同時(shí)對(duì)應(yīng)一個(gè)因變量是符合函數(shù)定

義的.

(4)在定義中，我們用了表示函數(shù)，其實(shí)還可換用其他字母表示，如g、0等.同

樣.自變量x也可換用其他字母表示，如八女等.分別以小人上為自變量的三個(gè)函數(shù)

y=5x,v=5z,s=5k,

如果它們的定義域相同，則它們表示的是同一函數(shù)關(guān)系：”一個(gè)數(shù)的5倍”.

(5)我們用字母"，"°”表示函數(shù)(對(duì)應(yīng)法則)，力刈表示了在x的值.這種講法

說成對(duì)定義域內(nèi)每一數(shù)a，表示自變量在x=a時(shí)的值是一致的.符號(hào)力刈又常常用

來表示函數(shù)式.

(6)在初中，把因變量看作自變量的函數(shù)，現(xiàn)在我們又把函數(shù)看成一種法則或關(guān)系.前

者雖然把因變量當(dāng)作函數(shù)，但在定義中，仍然使用了對(duì)應(yīng)與映射的觀點(diǎn)，這與后者定義的函

數(shù)，在本質(zhì)上已比較接近.由于說慣了“y是x的函數(shù)”，引入新定義后，這種說法仍然保

留.“y是x的函數(shù)”，“函數(shù)產(chǎn)㈤”，“函數(shù)迷幻”等說法，都是允許的.

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課堂練習(xí)答案

1.(1)是；(2)是；⑶不是；(4)是.

2.(1){x|x>0}；

(2){x|x#-5}；

(3){X|XGR}；

⑷。2)U(2,M).

54

3.7(0)=-2;/(1)=--；八2)=一丁

01°15

=-2;/(x+1)=-x--.

習(xí)題3.1答案

1.(1)是；

(2)不是.

2.(1){x|x工5}；

(2){x\x<-3^x>3]；

3

(3){x||<x<7}；

(4){x|-l<x<l}.

3.(1){5,11,17}；(2)[3,+oc).

4.(1)(-oo,-2]U(2,+oo);

(2)〃-5)=T7"(?2)=-8,J3)=1,/(10)=

3.2函數(shù)的三種表示法

1.函數(shù)的概念包含三個(gè)要素：定義域、值域和對(duì)應(yīng)法則.目前中職階段，值域通常取

為實(shí)數(shù)集，因此表示一個(gè)函數(shù)就要指明它的定義域和對(duì)應(yīng)法則.

2.當(dāng)函數(shù)段，的定義域A是有限集時(shí)，可以用一張表格來表示函數(shù)，第一行寫出A

數(shù)學(xué)(基礎(chǔ)模塊)上冊(cè)數(shù)學(xué)參考書

的各個(gè)元素，第二行寫出相應(yīng)的函數(shù)值，這種表示函數(shù)的方法叫做列表法.

3.當(dāng)段)的定義域A是無限集或有限集時(shí)，通常要尋找一個(gè)或幾個(gè)式子來表示對(duì)應(yīng)

法貝h即用一個(gè)或幾個(gè)等式來表示函數(shù)，這一個(gè)或幾個(gè)等式叫做這個(gè)函數(shù)的解析表達(dá)

式，簡(jiǎn)稱為解析式.

4.在用解析法表示定義域?yàn)閿?shù)集的函數(shù)時(shí)，如果沒有標(biāo)明定義域，那么我們約定：

函數(shù)/(幻的定義域是指所有使解析式有意義的實(shí)數(shù)尤組成的集合，不再每次聲明.

此外要注意，在實(shí)際問題中，還必須結(jié)合問題的實(shí)際意義來確定自變量工的取值范圍.

5.用平面直角坐標(biāo)系里的圖像表示兩個(gè)變量之間的函數(shù)關(guān)系的方法稱為圖像法.

用圖像法表示函數(shù)的最大優(yōu)點(diǎn)是直觀，因?yàn)楹瘮?shù)的圖像是數(shù)形結(jié)合的基礎(chǔ).為此首先

要把什么是函數(shù)的圖像搞清楚.

教材中給函數(shù)的圖像下了一個(gè)定義：設(shè)是定義域?yàn)锳的一個(gè)函數(shù)，任取

acA,在平面直角坐標(biāo)系。孫里，描出坐標(biāo)為(〃,/(.))的點(diǎn)當(dāng)〃取遍A的所有元素

時(shí)，坐標(biāo)為的點(diǎn)構(gòu)成的圖像，稱為函數(shù)的圖像.

從這個(gè)定義可以得出：

點(diǎn)M(a,Z?)在/*(%)的圖像上oawA,且b=f(a).

即，點(diǎn)A/(a,母在f(x)的圖像上當(dāng)且僅當(dāng)它的橫坐標(biāo)a屬于定義域，縱坐標(biāo)b等于a處的

函數(shù)值.

這個(gè)結(jié)論十分重要，它是利用函數(shù)的圖像研究函數(shù)性質(zhì)的基礎(chǔ).

課堂練習(xí)答案

1.y=15x,{x|xeN,x<100}.

2.

-28-

習(xí)題3.2答案

1.列表法表示為:

聽數(shù)（聽）1234

錢數(shù)（元）2468

解析法表示為：

y=2x,XG{1,2,3,4}；

圖像法表不為：

該函數(shù)的值域?yàn)閧2,4,6,8}.

2.

（1）

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⑶

-8?

-7

-6/x)=x2+2v,xe{-2,-l,0,l,2)

-5

-4

-3?

-2

-1

-6-5-4-3-2-p.J23456%

3.時(shí)點(diǎn)和。點(diǎn)均不在/（X）的圖像上.

3.3函數(shù)的性質(zhì)

1.函數(shù)/*）在區(qū)間上是增函數(shù)還是減函數(shù)，可使用圖像法進(jìn)行判別，它具有直觀易

懂的優(yōu)點(diǎn)，但是要注意：我們不能默認(rèn)函數(shù)/（X）的單調(diào)性，去用一條光滑的曲線聯(lián)結(jié)描

出的各點(diǎn)，然后又讓學(xué)生從這樣畫出的圖像去判斷/（X）的單調(diào)性，在畫基本初等函數(shù)在

某個(gè)區(qū)間上的圖像時(shí)，往往是要先用定義證明函數(shù)的單調(diào)性，然后才能用一條光滑曲線

聯(lián)結(jié)描出的各點(diǎn)，得到該函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的圖像，之后利用對(duì)稱性等畫出該函數(shù)在另

一個(gè)區(qū)間上的圖像，這樣對(duì)于該函數(shù)在另一個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性就可以從圖像來判斷了.

2.對(duì)于任意的一次函數(shù)丁=奴+。/工0）的單調(diào)性，自然應(yīng)當(dāng)用定義法去判斷.先統(tǒng)

一寫出了區(qū)）一/（電）的表達(dá)式，然后分k>0和k<0兩種情形判斷了（西）一/（巧）的正負(fù).

教材的例2給出了使用定義法判斷一個(gè)二次函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性的求解過程.

3.本教材在闡述奇函數(shù)和偶函數(shù)的定義上有創(chuàng)新.

抓住討論函數(shù)奇偶性的實(shí)質(zhì)是研窕函數(shù)圖像對(duì)稱性這一事實(shí)，先讓學(xué)生觀察常見的兩

個(gè)函數(shù)的圖像的對(duì)稱性，再填表研究互為相反數(shù)的x值對(duì)應(yīng)的函數(shù)值的特點(diǎn).

由此引出了偶函數(shù)和奇函數(shù)的定義，并且定義也說明了偶函數(shù)和奇函數(shù)的圖像關(guān)于

原點(diǎn)對(duì)稱，起了一箭雙雕的作用.

我們這種講法闡明了為什么要引進(jìn)奇函數(shù)和偶函數(shù)的概念，而且簡(jiǎn)捷地證明了奇函

數(shù)和偶函數(shù)的圖像的對(duì)稱性.

-30-

4.在教學(xué)中應(yīng)結(jié)合圖形給學(xué)生講解“點(diǎn)P（〃,A）關(guān)十y軸的對(duì)稱點(diǎn)Q的坐標(biāo)是

（-〃,份，關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)M的坐標(biāo)是（-a-3”這兩個(gè)結(jié)論.它們?cè)谔剿髁耍ɑ玫膱D像

的對(duì)稱性時(shí)極為有用.

5.判斷函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性均有2種方法：圖像法和定義法.對(duì)于不同的問題應(yīng)選

擇合適的方法進(jìn)行判斷，教材中的“思考時(shí)刻”提到了關(guān)于奇偶性的圖像判斷法，這

里，教師應(yīng)加以說明.

6.教材中“思考時(shí)刻”答案：

正比例函數(shù)/（1）=依（人手0）是奇函數(shù)；反比例函數(shù)/（X）=&（&二0）是奇函數(shù).

x

課堂練習(xí)3.3.1答案

1.在（YO,-1］上單調(diào)遞減，在（-1,1］上單調(diào)遞增，在（1,3］上單調(diào)遞減，在（3,+o。］上單調(diào)

遞增.

2.減函數(shù).

3.單調(diào)遞增.

4.證明；設(shè)0＜玉V芍v18,則

/(X)-/(X)=A_A5(X2-^)

12=I>0,

%x2x1-x2

故函數(shù)/（X）=9在S,+00）上是減函數(shù).

X

5.證明：^3<x1<x2<4-oo,則

/（不）一/（工2）=一§（七一3）2+§（工2—3尸=（王一工2）［-§（玉+X2）4-2］

又西一工2＜0，內(nèi)+巧＞6,所以，/（^）-/（%2）＞0,

即八幻二-§（冗一3）2+5在［3,70）上為減函數(shù).

課堂練習(xí)3.3.2答案

（1）奇函數(shù);

數(shù)學(xué)(基礎(chǔ)模塊)上冊(cè)數(shù)學(xué)參考書

(2)非奇非偶函數(shù)；

(3)非奇非偶函數(shù)；

(4)偶函數(shù).

習(xí)題3.3答案

1.(1)圖略，在(-8,+0。)上單調(diào)遞減；

(2)圖略，在(YO,0)上單調(diào)遞增，在(0,~F8)上單調(diào)遞增；

(3)圖略，在(y,0)上單調(diào)遞減，在(0,+oo)上單調(diào)遞增；

(4)圖略，在(YO,+O。)上單調(diào)遞增.

2.(1)奇函數(shù)；

(2)非奇非偶函數(shù)；

(3)偶函數(shù)；

(4)非奇非偶函數(shù).

3./(-5)=-3.

4./(-1)</(3).

5.證明：令Z-JV—6,則/(x)=2(x—十5可以寫成/(Z)-2Z2+5.易知/(z)為偶函

數(shù)，且在zKO時(shí)為減函數(shù)，故原函數(shù)/(幻在(-8,6］上為減函數(shù).

3.4函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用舉例

1.對(duì)于實(shí)際問題，通過觀察和收集數(shù)據(jù)，研究變量之間的依賴關(guān)系，建立一個(gè)函數(shù)

模型，然后利用已知數(shù)據(jù)，求出函數(shù)的解析式.有了解析式，就可以深入研究這個(gè)函數(shù)的

性質(zhì)(例如，最大值或最小值等)，也可以利用解析式作出預(yù)測(cè).

本節(jié)就是想讓學(xué)生了解如何從實(shí)際問題建立函數(shù)模型，求出函數(shù)的解析式，利用解

析式作預(yù)測(cè)，以及利用解析式研究函數(shù)的最大值或最小值.

2.教材中例1討論了奧運(yùn)會(huì)早期的撐桿跳高紀(jì)錄與時(shí)間的關(guān)系.從1900年，1904

年，1908年這三屆奧運(yùn)會(huì)的撐桿跳高紀(jì)錄來看，每一屆比上一屆的紀(jì)錄提高了0.20米，

這是均勻變化，因此試著建立一次函數(shù)的模型.用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)的解析式后，

用這個(gè)解析式預(yù)測(cè)1912年奧運(yùn)會(huì)的撐桿跳高紀(jì)錄是準(zhǔn)確的，但是預(yù)測(cè)1988年奧運(yùn)會(huì)撐

桿跳高卻與實(shí)際紀(jì)錄相差太大.我們?cè)诮滩闹兄赋?，用所建立的函?shù)模型，在已知數(shù)據(jù)鄰

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近處作預(yù)測(cè)，結(jié)果是與實(shí)際情況比較吻合的；遠(yuǎn)離已知數(shù)據(jù)作預(yù)測(cè)是不可靠的.這個(gè)觀點(diǎn)

應(yīng)當(dāng)讓學(xué)生知道，這樣在用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題時(shí)才不會(huì)出差錯(cuò).

此外，我們?cè)诮滩闹羞€指出，光看三屆奧運(yùn)會(huì)紀(jì)錄是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，需要有足夠多屆

的奧運(yùn)會(huì)紀(jì)錄才有可能研究撐桿跳高紀(jì)錄與時(shí)間的關(guān)系.這也是告訴學(xué)生如何正確運(yùn)用數(shù)

學(xué)知識(shí)解決實(shí)際生活中的問題，不能僅憑少數(shù)幾次的數(shù)據(jù)就作出結(jié)論.

3.教材中的其他兩個(gè)例子都是利用一元二次函數(shù)的知識(shí)解決最大值問題，其步驟

是：首先求出函數(shù)的解析式，然后利用配方法求出二次函數(shù)在x取何值時(shí)達(dá)到最大(或

最小)值，并且要檢查工所取的值是否在實(shí)際問題允許的范圍內(nèi).

課堂練習(xí)答案

當(dāng)矩形的長(zhǎng)和寬都為8cm時(shí)，矩形的面積最大，最大面積為64cm4

習(xí)題3.4答案

1./(x)=60x,/(5)=3OO.

2./(x)=--x+50.

A

3」=為時(shí)達(dá)到最大高度，在空中運(yùn)行/=也著地.

gg

4.當(dāng)產(chǎn)量x=100時(shí)(滿足0VxV200),有最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)為9900元.

IV復(fù)習(xí)題3答案

A組

1.—.

2./(-x)=2x2-x.

3./(l)=31,/(2)=28,/(6)=30.

4.(1)/(1)=4,/(3)=-2；

(2)/(I)=-4,/(2)=-7,/(-2)=-19.

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(1)3"一二}；

(2){j:|x<-5,x