專題15直角三角形（知識(shí)梳理與考點(diǎn)分類講解）-2023-2024學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)基礎(chǔ)知識(shí)專項(xiàng)突破講與練（北師大版）

專題1.5直角三角形（全章知識(shí)梳理與考點(diǎn)分類講解）【知識(shí)點(diǎn)一】直角三角形的性質(zhì)定理與判定定理直角三角形角的性質(zhì)定理直角三角形的兩個(gè)銳角互余.幾何語(yǔ)言：在△ABC中，∵∠C=90°∴∠A+∠B=90°直角三角形角的判定定理有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形幾何語(yǔ)言：在△ABC中，∵∠A+∠B=90°∴∠C=90°，即△ABC為直角三角形特別解讀直角三角形角的性質(zhì)定理和判定定理的理論依據(jù)是三角形內(nèi)角和定理.在直角三角形中，若已知兩個(gè)銳角之間的關(guān)系，可結(jié)合兩個(gè)銳角互余求出每個(gè)銳角的大小，不需要再利用三角形內(nèi)角和定理求解.【知識(shí)點(diǎn)二】勾股定理1.勾股定理直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.數(shù)學(xué)表達(dá)式：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，AC=b，BC=a，則a2+b2=c22.勾股定理的變形公式a2=c2b2；b2=c2a23.基本思想方法勾股定理把“形”與“數(shù)”有機(jī)地結(jié)合起來(lái)，即把直角三角形這個(gè)“形”與三邊關(guān)系這一“數(shù)”結(jié)合起來(lái)，它是數(shù)形結(jié)合思想的典范.特別提醒勾股定理揭示的是直角三角形的三邊的平方關(guān)系，只有在直角三角形中才可以使用勾股定理利用勾股定理，已知其中任意兩邊可以求出第三邊.【知識(shí)點(diǎn)三】勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個(gè)三角形是直角三角形.利用邊的關(guān)系判定直角三角形的步驟“找”：找出三角形三邊中的最長(zhǎng)邊.“算”：計(jì)算其他兩邊的平方和最長(zhǎng)邊的平方.“判”：若兩者相等,則這個(gè)三角形是直角三角形；否則不是.勾股定理與其逆定理的關(guān)系定理勾股定理勾股定理的逆定理區(qū)別勾股定理是以“一個(gè)三角形是直角三角形”為條件，進(jìn)而得到這個(gè)直角三角形三邊長(zhǎng)的關(guān)系，即a2+b2=c2（c為斜邊長(zhǎng)）勾股定理是根據(jù)直角三角形探求邊的關(guān)系，體現(xiàn)了由形到數(shù)的轉(zhuǎn)化勾股定理的逆定理是以“一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c滿足a2+b2=c2”為條件，進(jìn)而得到這個(gè)三角形為直角三角形；勾股定理的逆定理是由三角形的三邊關(guān)系探求三角形的形狀，體現(xiàn)了由數(shù)到形的轉(zhuǎn)化聯(lián)系勾股定理和勾股定理的逆定理的條件和結(jié)論相反，勾股定理是是直角三角形的性質(zhì)，而其逆定理是直角三角形的判定，勾股定理及其逆定理都與直角三角形有關(guān).特別解讀a2+b2=c2只是一種表現(xiàn)形式，滿足a2=b2+c2或b2=a2+c2的也是直角三角形，只是這時(shí)a或b為斜邊.若最長(zhǎng)邊的平方與兩短邊的平方和大，則該三角形為鈍角三角形；若最長(zhǎng)邊的平方比兩短邊的平方和小，則該三角形為銳角三角形.【知識(shí)點(diǎn)四】“斜邊、直角邊”（“HL”）定理定理斜邊和一條直角邊分別相等的兩個(gè)直角三角全等（可以簡(jiǎn)寫(xiě)成“斜邊、直角邊”或“HL”）書(shū)寫(xiě)格式在Rt△ABC和Rt△A’B’C’中，AB=A’B’BC=B’C’∴Rt△ABC≌Rt△A’B’C’（HL）判定兩個(gè)直角三角形全等常用的思路方法直角三角形一銳角（A）ASA或AAS可證直角與已知銳角的夾邊對(duì)應(yīng)相等或證已知銳角（或直角）的對(duì)應(yīng)邊對(duì)應(yīng)相等斜邊（H）HL或AAS可證一條直角邊對(duì)應(yīng)相等或證一銳角對(duì)應(yīng)相等一直角邊（L）HL或ASA或AAS或SAS可證斜邊對(duì)應(yīng)相等或證與已知邊相鄰的銳角對(duì)應(yīng)相等或已知邊所對(duì)的銳角對(duì)應(yīng)相等或證一直角邊對(duì)應(yīng)相等.特別提醒應(yīng)用“HL”判定兩個(gè)直角三角形全等，在書(shū)寫(xiě)時(shí)兩個(gè)三角形符號(hào)前一定要加上“Rt”判定兩個(gè)直角三角形全等的特殊方法“HL”只適用于直角三角形全等的判定，對(duì)于一般三角形不適用.判定一般三角形全等的所有方法對(duì)判定兩個(gè)直角三角形全等同樣適用.【考點(diǎn)目錄】【考點(diǎn)1】直角三角形兩銳角互余?求值或證明【考點(diǎn)2】利用兩銳角互余判斷直角三角形?求值或證明【考點(diǎn)3】用HL證明三角形全等及應(yīng)用?求值或證明【考點(diǎn)4】判斷三角形為直角三角形?求值或證明【考點(diǎn)5】勾股定理的逆定理的應(yīng)用?求值或證明【考點(diǎn)6】勾股定理的逆定理的拓展?求值或證明【考點(diǎn)1】直角三角形兩銳角互余?求值或證明【例1】（2023上·四川瀘州·八年級(jí)校考階段練習(xí)）已知：如圖，在、中，，，，點(diǎn)C、D、E三點(diǎn)在同一直線上，連接．（1）求證：；（2）試猜想、有何特殊位置關(guān)系，并證明．【答案】（1）見(jiàn)詳解；（2），證明見(jiàn)詳解【分析】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的兩銳角互余等知識(shí)．（1）先證明，再根據(jù)“邊角邊”即可證明；（2）根據(jù)得到，根據(jù)得到，即可證明，問(wèn)題得證．解：（1）證明：∵，∴，即．在和中，，∴；（2）解：．證明：∵，∴．∵，∴，∴，即，∴．【變式1】（2023上·河北廊坊·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）將如圖，所示的一塊直角三角板放置在上，使三角板的兩條直角邊、分別經(jīng)過(guò)點(diǎn)B、C，若，則等于（

）A．30° B．40° C．50° D．55°【答案】A【分析】此題考查了三角形內(nèi)角和定理要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：三角形的內(nèi)角和等于．根據(jù)，由三角形的內(nèi)角和定理得到，根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到，即可得到結(jié)論．解：在中，，，，在中，，又，，，，，故選：A．【變式2】（2023上·河北石家莊·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，，，過(guò)上一點(diǎn)D作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，交于點(diǎn)Q．若，則，．【答案】22【分析】本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，含30度角的直角三角形，熟練掌握等邊三角形的判定與性質(zhì)，以及含30度角的直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)已知易得是等邊三角形，從而利用等邊三角形的性質(zhì)可得，，再利用垂直定義可得，從而利用直角三角形的兩個(gè)銳角互余可得，然后在中，利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)可得，從而可得，最后利用對(duì)頂角相等可得，從而可得，進(jìn)而利用等角對(duì)等邊即可解答．解：∵，，∴是等邊三角形，∴，，∵，，，，，，，，，故答案為：2，2．【考點(diǎn)2】利用兩銳角互余判斷直角三角形?求值或證明【例2】（2023上·甘肅蘭州·八年級(jí)蘭州市第五十六中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，在中，F(xiàn)為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，點(diǎn)E在上，且．（1）若，求度數(shù)；（2）求證：；（3）試判斷與的位置關(guān)系．【答案】（1）；（2）見(jiàn)詳解；（3）【分析】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的兩個(gè)銳角互余，解題的關(guān)鍵是明確題意，找出所要證明結(jié)論需要的條件．（1）根據(jù)在中，，F(xiàn)為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，點(diǎn)E在上，且，可以得到和全等，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)，可以得到，然后即可轉(zhuǎn)化為的關(guān)系，從而可以證明所要證明的結(jié)論；（3）根據(jù)，，，結(jié)合，即可作答．（1）解：∵，∴，在和中，，∴；∵，∴，∴，∴，∴，即．（2）證明：∵，∴，∵，∴．（3）解：，過(guò)程如下：延長(zhǎng)交于一點(diǎn)H，如圖∵，∴，由（1）知，∴，∴.【變式1】（2023上·河南新鄉(xiāng)·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）具備下列條件的中，不是直角三角形的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】分別進(jìn)行變形結(jié)合，進(jìn)行逐一求解，即可判斷．解：A.，，，，解得：，，，不是直角三角形，故符合題意；B.，，，，解得：，是直角三角形，故不符合題意；C.，設(shè)，，，，，解得：，，是直角三角形，故不符合題意；D.，，，，，解得：，，，是直角三角形，故不符合題意；故選：A．【點(diǎn)撥】本題考查了直角三角形的判定，三角形內(nèi)角和定理，掌握定理是解題的關(guān)鍵．【變式2】（2023上·河北石家莊·八年級(jí)校考期末）如圖，為修通鐵路需鑿?fù)ㄋ淼溃瑴y(cè)得，，，，若每天開(kāi)鑿隧道，則需要天才能把隧道鑿?fù)ǎ?/p>

【答案】12【分析】先根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理判斷是直角三角形，再根據(jù)勾股定理求得的長(zhǎng)，從而可以求得結(jié)果.解：∵，，∴，∴是直角三角形，∵，，∴，∵天，∴12天才能將隧道鑿?fù)ǎ蚀鸢笧椋?2．【點(diǎn)撥】本題主要考查了勾股定理，解題的關(guān)鍵是對(duì)文字的理解，是學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中需要具備的基本能力，因而此類問(wèn)題在中考中極為常見(jiàn)，在各種題型中均有出現(xiàn)，需多加關(guān)注．【考點(diǎn)3】用HL證明三角形全等及應(yīng)用?求值或證明【例3】（2023上·江蘇·八年級(jí)姜堰區(qū)實(shí)驗(yàn)初中校考周測(cè)）如圖，在和中，，，，延長(zhǎng)，交于點(diǎn)．（1）求證：點(diǎn)在的平分線上；（2）若，，，求的長(zhǎng)．【答案】（1）見(jiàn)分析；（2）5【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的判定，勾股定理；（1）連接，證明，可得，根據(jù)角平分線的判定即可解決問(wèn)題；（2）證明，設(shè)，所以，根據(jù)勾股定理即可解決問(wèn)題．解：（1）證明：如圖，連接，

在和中，∵，，，，，，，平分，點(diǎn)在的平分線上；（2）解：，，，，設(shè)，，在中，，，．．【變式1】（2023上·河南商丘·八年級(jí)校考期中）如圖，在中，是邊上的高，，，點(diǎn)E在上，交于點(diǎn)F，，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，證明，由全等三角形的性質(zhì)得出，由三角形外角的性質(zhì)可得出答案．解：∵是邊上的高，，，在和中，，∴，，，故選：D．【變式2】（2023上·河南周口·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，，，點(diǎn)A，D在直線上，點(diǎn)B，C在直線上，點(diǎn)E在上，，，，則．【答案】【分析】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)；求出，證明，可得，，然后根據(jù)可得答案．解：∵，，∴，∴，在和中，，∴，∴，，∴，故答案為：．【考點(diǎn)4】判斷三角形為直角三角形?求值或證明【例4】（2023上·新疆喀什·九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，已知等腰的底邊是腰上一點(diǎn)，且（1）求證：是直角三角形；（2）求的周長(zhǎng)【答案】（1）見(jiàn)分析；（2）【分析】此題考查等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理以及逆定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是勾股定理的逆定理解答．（1）由，知道，所以為直角三角形，（2）由（1）可求出的長(zhǎng)，周長(zhǎng)即可求出．解：（1）證明：∵，，∴為直角三角形；（2）解：設(shè)，∵是等腰三角形，∵，∴即解得：，∴的周長(zhǎng)【變式1】（2023上·四川達(dá)州·八年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，圖中小正方形的邊長(zhǎng)都為1，的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，則是（

）

A．直角三角形B．銳角三角形 C．鈍角三角形 D．無(wú)法判斷【答案】A【分析】先根據(jù)勾股定理求出各邊的長(zhǎng)，再根據(jù)勾股定理的逆定理判斷出的形狀即可．解：由圖形可知：；；，∴，∴是直角三角形．故選：A．【點(diǎn)撥】本題考查的是勾股定理及其逆定理，熟知如果三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c滿足，那么這個(gè)三角形就是直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．【變式2】（2020上·浙江·八年級(jí)期末）如圖，在中，，，，．是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，當(dāng)為直角三角形時(shí)，的長(zhǎng)為．【答案】7或17【分析】分當(dāng)E在線段AD上時(shí)，當(dāng)E在線段BD上時(shí)分別求解即可．解：當(dāng)E在線段AD上時(shí)，連接CE，作A關(guān)于CE的對(duì)稱點(diǎn)F，連接AF，EF，CF，∵∠AEF=90°，∴∠AEC=∠FEC==135°，∴∠CED=45°，∴CD=ED=5，∴AE=ADED=125=7；當(dāng)E在線段BD上時(shí)，連接CE，作A關(guān)于CE的對(duì)稱點(diǎn)F，連接EF，CF，AF，∵∠AEF=90°，∴∠CEF=∠CEA=45°，∴ED=CD=5，∴AE=AD+DE=17，故答案為：7或17．【點(diǎn)撥】本題考查了等腰三角形三線合一的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵是注意運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想解決問(wèn)題．【考點(diǎn)5】勾股定理的逆定理的應(yīng)用?求值或證明【例5】（2023上·江蘇蘇州·八年級(jí)蘇州市立達(dá)中學(xué)校?？计谥校┥只馂?zāi)是一種常見(jiàn)的自然災(zāi)害，危害很大，隨著中國(guó)科技、經(jīng)濟(jì)的不斷發(fā)展，開(kāi)始應(yīng)用飛機(jī)灑水的方式撲滅火源．如圖，有一臺(tái)救火飛機(jī)沿東西方向，由點(diǎn)飛向點(diǎn)，已知點(diǎn)為其中一個(gè)著火點(diǎn)，且點(diǎn)與直線上兩點(diǎn)的距離分別為和，又，飛機(jī)中心周圍以內(nèi)可以受到灑水影響．

（1）著火點(diǎn)受灑水影響嗎？為什么？（2）若飛機(jī)的速度為，要想撲滅著火點(diǎn)估計(jì)需要，請(qǐng)你通過(guò)計(jì)算判斷著火點(diǎn)能否被撲滅？【答案】（1）著火點(diǎn)C受灑水影響，理由見(jiàn)分析；（2）著火點(diǎn)C能被撲滅【分析】本題考查了勾股定理與勾股定理的逆定理的應(yīng)用，等腰三角形的性質(zhì)，根據(jù)題意作出圖形是解題的關(guān)鍵．（1）過(guò)點(diǎn)作，垂足為，勾股定理的逆定理證明是直角三角形，進(jìn)而等面積法求得長(zhǎng)度，與500進(jìn)行比較即可求得答案；（2）以點(diǎn)為圓心，為半徑作圓，交于點(diǎn)，勾股定理求得，進(jìn)而求得的長(zhǎng)，根據(jù)飛機(jī)的速度得到飛行時(shí)間，再根據(jù)題意求得滅火時(shí)間，即可解決問(wèn)題．（1）解：著火點(diǎn)C受灑水影響，理由如下，如圖，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，

，，，，是直角三角形，，，，著火點(diǎn)C受灑水影響；（2）解：如圖，以點(diǎn)為圓心，為半徑作圓，交于點(diǎn)

則，，，在中，，，，，著火點(diǎn)C能被撲滅．【變式1】（2023上·山東東營(yíng)·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如果a，b，c是三角形的三邊并且滿足：，則三角形的面積是（

）A．24 B．48 C．12 D．6【答案】D【分析】可得，求出a，b，c的值，用勾股定理的逆定理進(jìn)行判斷三角形的形狀，即可求解解：由題意得，解得：，，，三角形是以a，b為直角邊的直角三角形，；故選：D．【點(diǎn)撥】本題考查了平方的非負(fù)性，勾股定理的逆定理，理解非負(fù)性，掌握逆定理是解題的關(guān)鍵．【變式2】（2023上·河北保定·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，某小區(qū)有一塊四邊形空地ABCD，為了美化小區(qū)環(huán)境，現(xiàn)計(jì)劃在空地上鋪上草坪，其中，，，，．

（1）連接AC，則m．（2）這塊草坪的面積為．【答案】536【分析】（1）利用勾股定理解即可求解；（2）利用勾股定理的逆定理可得為直角三角形，即可求解．解：（1）如圖：

∵，，∴故答案為：5（2）∵，，∴故為直角三角形∴這塊草坪的面積為：故答案為：36【點(diǎn)撥】本題考查了勾股定理和勾股定理的逆定理．熟記定理內(nèi)容是解題關(guān)鍵．【考點(diǎn)6】勾股定理的逆定理的拓展?求值或證明【例6】（2021上·江西吉安·八年級(jí)統(tǒng)考期末）先觀察下列各組數(shù)，然后回答問(wèn)題：第一組：，，；第二組：，，；第三組：，，；第四組：，，；（1）根據(jù)各組數(shù)反映的規(guī)律，用含的代數(shù)式表示第組的三個(gè)數(shù)；（2）如果各組數(shù)的三個(gè)數(shù)分別是三角形的三邊長(zhǎng)，那么這個(gè)三角形是什么三角形？請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）如圖，，，，若，，為上列按已知方式排列順序的某一組數(shù)，且，，求的長(zhǎng)．【答案】（1），，；（2）直角三角形，見(jiàn)分析；（3）【分析】（1）根據(jù)已知數(shù)據(jù)即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)勾股定理判斷即可；（3）根據(jù)題意可得出，，，在根據(jù)勾股定理計(jì)算即可；解：（1）∵第一組：，，；第二組：，，；第三組：，，；第四組：，，；，∴第組：，，．（2）直角三角