空間立體幾何解答題（浙江省2020屆高考模擬試題匯編（三模））（解析）

(浙江省2020屆高考模擬試題匯編(三模))

空間立體幾何解答題

一、解答題

1.(浙江省稽陽聯誼學校2020屆高三下學期5月聯考數學試題)如圖,在四棱錐P-

ABCDA協。為等邊三角形，AB=AD2cz>=2,ZBAD=ZADC=90°,ZPDC

=60。，E為5c的中點.

(1)證明：ADLPE.

(2)求直線網與平面尸。E所成角的大小.

【答案】(1)證明見解析；(2)60。

【分析】

(1)取AO的中點O,連結P。，EO,通過EOA.AD,推出AO_L面尸E。，

即可證明ADLPE-,

(2)以。為坐標原點，建立如圖所示空間直角坐標系，連”。，求出平面PDE的法向

量，然后利用空間向量的數量積求解直線PA與平面PDE所成角.

【詳解】

(1)證明：取AO的中點。，連結尸O,EO,

由PO_LAO,EOLAD,POCEO=。可知：AD_L面尸E。，且尸Eu面PE。，

則AD1PE.

(2)以。為坐標原點，建立如圖所示空間直角坐標系。-DZ,

作PQJ_CD,PHLOE,連HQ,因尸H_L平面

ABCD,知HQJ_CD,

由NPDC=60°知。。=1,OH=DQ=1,由

尸0=5

在RtXPHO中，可知尸H=應，則尸(1,0,忘)，

A(0,-1,0),D(0,1,0),E(3,0,0),

則PD=(-1,1,-A/2),DE=(3,-1,0),PA=(-1,-1,-72),

設平面PDE的一個法向量為為=(x，y，z),

\n-DE=0\3x-y=0

貝nr匹一——△=<r，令無=1得萬=(1,3,立)

\n-PD=0[-x+y-y/2z=0

設直線B4與平面PZ汨所成角為仇則，加。=|cos〈AZ萬〉上千夫=一,,

11\PA\-\n\2

則直線PA與平面PDE所成角為60°.

【點睛】

本題主要考查了線線垂直的證明，空間向量的應用之求線面角，屬于中檔題.

2.（浙江省溫州市2020屆高三下學期6月高考適應性測試數學試題）如圖,正四面體

A3CZ＞的邊長等于2,點A,E位于平面3CD的兩側，且EB=EC=ED=形,點尸是

AC的中點.

（1）求證：平面COE

（2）求3P與平面CDE所成的角的正弦值

【答案】（1）證明見解析；（2）叵

6

【分析】

（1）首先取8的中點M,連接A",EM,AE,根據已知條件易證AABO與ZWOE

相似，從而得到再利用線面平行的判定證明即可.

（2）取AB中點N,連接MN,根據題意易證MV，平面CDE,設成與平面CDE所成

角為6,BP與MN所成的角為。，得到sine=cosa,再利用向量法即可得到答案.

【詳解】

(1)取8的中點連接A",EM,AE,如圖所示:

設A在平面BCD上的射影為。，即平面BCD,

■.AB^AC=AD,:.OB^OC=OD,

所以。為△BCD外心，

EB=EC=ED,同理可證E在平面BCD上的射影為0,

即平面38,所以A,O,E三點共線，

即鉆［1則=0，所以四邊形為平面四邊形，

且。為ABCD的中心，因為正四面體ABCD的邊長等于2,

所以3。=2即1=2衣彳=空，MO=-BM=—,

33333

D/----------------A3BOc

又EM=dDE「DM2=\,所以說=說=2,

TT

又NAOB=/EOM=5,所以AABO?AMOE,

所以NBAO=/MEO,所以AB〃磯f,

而EMu平面CDE,AB<Z平面CDE,故A5〃平面CDE.

(2)取A3中點N,連接MN,如圖所示：

因為正四面體ABCD,

所以MN_LAS,MNLCD,又因為AB〃EM,

MN1CD

所以nMN，平面CDE,

CDcEM=M

設3尸與平面。E所成角為。，

3P與肋V所成的角為a,貝!Jsine=costz,

設｛BA,BC,BD］為一組基底，

貝!］麗=麗_兩=）（麗一反麗），麗=；（麗+麗

所以麗.可」(而+配＞(麗_就-瓦5),

4

=^(BA-BABC-BABD+BABC-BC2-BCBD)

[-----?2---?---?---*2---?---?

=-(BA-BABD-BC-BCBD).

因為麗麗=麗?配=2x2xcos600=2,

所以麗?麗=工(22_2_22_2)=-1.

4

又因為?而i=J2?—a=5?函=J(圾2_/=近,

\BP-MN\_V6

所以sin。=cosa=

\BP\\MN\~6

即BP與平面COE所成角的正弦值為逅.

6

【點睛】

本題第一問主要考查線面平行，利用三角形相似證平行為解題的關鍵，第二問主要考查

線面成角問題，同時考查了轉化思想，屬于中檔題.

3.（浙江省嘉興市平湖市2020屆高三下學期5月模擬考試數學試題）如圖,在四棱錐

P-ABCD中，尸平面ABCD,四邊形ABCD是菱形，AC=2,BD=2^,且AC,

■BD交于點。，E是P8上任意一點.

（1）求證：AC±DE；

（2）已知二面角4-尸3-。的余弦值為姮，若E為尸3的中點，求EC與平面R4B所

5

成角的正弦值.

【答案】（1）證明見解析；（2）遮.

【詳解】

試題分析：（1）線線垂直問題轉化為線面問題即可解決，即溫窗1.平面,翹碑n

ACLDE,（2）解法1：（空間向量在立體幾何中的應用）建立空間直角坐標系，求得

法向量，利用公式求解；解法2：通過構造法作出二面角A-P3-D的平面角/AFO,

由,移%-據曾=蓬?-圖據，求出點露到平面PAB的距離選=“屋/sin0=-^―=

J.1&CE5

試題解析：（1）因為。尸，平面ABC。，所以DPJL4C,因為四邊形ABC。為菱形，所

以BDLAC

又BDcPD=D,;.AC±平面P5D.

因為。Eu平面尸89,AC1DE.

（2）解法1:

連接OE,在AP&）中，EO//PD,

所以平面A3CZ）,分別以0A所在直線為x軸，＞軸，z軸建立如圖所示的空

間直角坐標系,

設尸D=/,則A（1,O,O）,B（O,^,O）,C（-1,O,O）,E0,0,1,P（O,-^,r）.

由（1）知，平面R2的一個法向量為.叫,（1,0,0）,設平面的一個法向量為

/、I叫嬤；=購—X+=0

,癡耳$%富），則4.得｛令y=i,得n2=Cl'~~~

-JF=顧-x-y/3y+tz=0

因為二面角A-PB-D的余弦值為巫,

5

解得，=2\/§^或.=-2^^（舍去），所以P（0,-10分

設石C與平面所成的角為氏因為或=卜1,0,-碼，n2=（73,1,1）,

sin0=|cos<EC,n.>l=巧=叵

1212A/55

所以EC與平面H鉆所成角的正弦值為巫.

5

解法2:

設DP=t,作出二面角A—依―D的平面角/AFO

1

tanZAFO=：—

OFe/J12+7>/3

%面

由洛■纏巖=’%-雷豳，求出點露到平面B45的距離曲=-1誦“

sin?！股?/p>

CE5

考點：1、線面垂直和線線垂直的互化；2、空間向量在立體幾何中的應用；3、空間想

象能力和綜合分析能力.

4.（浙江省“七彩陽光”新高考研究聯盟2020屆高三下學期5月階段性評估數學試題）

如圖，已知四棱錐尸-ABCD中，底面A3CD是矩形，AB=2,PA=PB=BC=M，

PD=PC=近.

（1）求證：平面R4B_L平面PCD；

（2）求直線E4與平面P3C所成角的正弦值.

【答案】（1）證明見解析；（2）點.

【分析】

（1）取AB,0c的中點E,F,連接所，PE,PF,利用等邊三角形和等腰三角形

的性質、勾股定理的逆定理，結合線面垂直的判定定理、面面垂直的判定定理進行證明

即可；

（2）解法一：利用線面垂直的判定定理、平行線的性質，結合三棱錐體積公式進行求

解即可；

解法二：建立空間直角坐標系，利用兩點間距離公式結合已知求出點尸的坐標，最后利

用空間向量夾角公式進行求解即可.

【詳解】

解：（1）如圖，取AB,0c的中點E,F,連接E/，PE,PF,

因為===PC=PD=6,

所以，PEVAB,PFLDC,

又ABaCD,

所以，PELCD,

又因為AB=2,所以'=1,

所以+=IO=BC2=歷2,即尸石,尸尸，

CDIPF=F,CD,PFu平面PCD,

所以PE_L平面PCD,而PEu平面R4B,

所以平面上4B_L平面PCD；

(2)解法一：設A到平面P3C的距離為d,

因為依=8C=W，PC=V2-

所以SgBC=~~，

由(1)PELPF,PFrDC,又AB〃CD,所以尸_F_LAB,

ABIPE=E,AB,PEu平面,

所以P尸_L平面上4B,因為AB〃CD,所以C點到平面E4B的距離為竹=1,

x

所以匕-PBC=§dSMBC—^C-PAB=§X1XS^pAB——3=1,

所以公嚕

故直線上4與平面P3C所成角的正弦值為也叫=5叵.

19710190

解法二：建系法

如圖，建立空間坐標系，貝l]A(O,O,O),8(2,0,0),0(0,710,0),C(2,亞,0),

設P(a/,c),由PA=PB=W，PC=也得

+/+。2=1。a=\

(〃-2)2+人2+。2=1。=<b二

Vio

6Z2+(Z?-V10)2+C2=2

3

r>

即小心

，設平面PBC的法向量為w=(x,y,z),

因為而=(0,而,0),PC=

My=0

所以13z令z=l,可得〃=

xH—7=y—f=z=(J

VioVio

于是sina=紅色=0.

\n\-\PA\V190

【點睛】

本題考查了線面、面面垂直的判定定理的應用，考查了三棱錐體積公式的應用，考查了

利用空間向量夾角公式求線面角的正弦值，考查了推理論證能力和數學運算能力.

5.(浙江省寧波市鎮(zhèn)海中學2020屆高三下學期5月高考仿真測試數學試題)如圖,已

知多面體EF-AfiCD,其底面ABCD為矩形，四邊形89跖為平行四邊形，平面

平面ABC。，FB=FC=BC=2,AB=3,G是CF的中點.

(1)證明：3G〃平面AEF；

(2)求直線AE與平面3DEF所成角的余弦值.

【答案】(1)證明見詳解；(2)叵

4

【分析】

(1)取OE中點L,EC的中點K,AZ)的中點M,DB的中點J,推到出四邊形LW世

是平行四邊形，從而LM//K7,推到出四邊形KGBJ是平行四邊形，仄而KJ//BG,

LMHBGHAE,由此能證明3G//平面AEF.

(2)直線AE與平面所成角即等于直線GB與平面BDEF所成角，作FH_LBC,

HI±DB,連接IF,則HG〃平面3DEF,從而G點到平面BDEF的距離等于H點平面

3

3DEF的距禺d,由等面積法求出”=:，由此能求出直線AE與平面5DE廳所成角的

4

余弦值.

【詳解】

(1)取DE中點L,EC的中點K,AD的中點M,D8的中點J,

E

?/LK//MJ,LK=MJ,

???四邊形LM/K是平行四邊形，.?.LM//K/,

KG//EF//DB,KG=-EF=-DB=JB,

，四邊形KGBJ是平行四邊形，

KJ//BG,:.LM//BG//AE,

?.IGO平面尸，AEu平面A￡尸,

3G〃平面AEW

(2)由(1)知,

直線AE與平面應)EF所成角，

即等于直線GB與平面BDEF所成角,

作FHIBC,HIYDB,連接IF,

5

,?,%G都是所在棱的中點，.?.HG〃平面

G點到平面BDEF的距離等于H點平面BDEF的距離d,

-4=X>/33

由等面積法可知：d==-

V13

???直線AE與平面BDEF所成角的余弦值為cos0=—.

4

【點睛】

本題考查了線面平行的判定定理、求線面角，考查了考生的邏輯推理能力，屬于中檔題.

6.(浙江省紹興市竦州市2020屆高三下學期第三次教學質量調測數學試題)如圖，已

知三棱錐?！狹C,AB=AD=2,BC=CD=2s/3,BD=3,直線80與平面ABC

所成的角為%

O

(1)證明：AC1BD；

(2)求二面角A-CD-3的余弦值.

【答案】(1)證明見解析；(2)2叵.

13

【分析】

(1)過D作DELAC于E,連接BE,利用△ABD二△CBD,可得BE，AC,再根據

直線與平面垂直的判定定理可得AC，平面BDE.,從而可得ACLBD-,

(2)以￡為坐標原點，EA,所在的直線分別為x軸，y軸建立空間直角坐標系,

利用空間向量可求得結果.

【詳解】

(1)過。作3E_LAC于E,連接BE.

D

因為鉆=/1￡>,BC=CD,AC=AC

所以△ACD^zXACB,

于是8E_LAC,又BEcDE=E,

所以AC_L平面BDE.

所以AC_LBO.

(2)由(1)可知，AC_L平面BDE,

所以平面ABC，平面BDE,

所以交線BE就是BD在平面ABC上的射影，

TT

故ND班;就是直線5。與平面ABC所成的角，即ZDB￡=—.

6

因為BE=DE,BD=3,

2JT

所以BE=DE=y/3,/BED=—,

在直角△CDE中，DE=6,CD=26，所以Cf=3.

以E為坐標原點，EA,班所在的直線分別為x軸，y軸建立空間直角坐標系，如圖所

小，

則4（1,0,0）,B（0,^,0）,C（-3,0,0）,D.

\乙）

所以〃=（Y,0,0）,CD=3,-^-,-,BC=（-3,-73,0）.

設平面ACD的一個法向量為為=(x,y,z),

貝IJ萬?*=()，S.n-CD=0,

-4x=0

所以J33，所以x=0，取z=l,則y=6,

3x----y+—z=0

I22

所以為=(o,若,1).

同理：可取平面BCD的一個法向量為比=(1,-6-3).

因為二面角A-CD-3是銳二面角，

所以二面角A-CD-B的余弦值為

Icos仿制一回一1°一3-3|_一工一也

3sM”尸惻.同一后弟.而后1一2岳—13'

【點睛】

本題考查了直線與平面垂直的判定與性質，考查了二面角的向量求法，屬于中檔題.

7.(浙江省杭州市富陽中學2020屆高三下學期6月三模數學試題)矩形ABCD中，AB=3,

AD=2,E、尸分別為線段。、上的點，且R蕓F=C紫F=：1,現將44DE沿AE翻折

BACD3

成四棱錐尸-ABCE,且二面角尸-的大小為奇077".

(1)證明：AE±PF；

(2)求直線與平面R處所成角的正弦值.

【答案】(1)證明見解析；(2)生叵.

20

【分析】

(1)連接"'，跖，根據四邊形為正方形，可得AELMF,然后根

據線面垂直的判定定理可得面尸MF,最后可得結果.

(2)根據二面角P-AE-B的大小為告，計算點/到平面總的距離4,然后根據

蕓BF=：1,計算點B到平面R1E的距離d,同時計算最后計算即可.

BA3

【詳解】

RFCF1

(1)由題意在矩形ABCD中AS=3,AD=2,-,

BACD3

???四邊形ADEF為邊長為2的正方形.

連結。尸，交AE于點如圖

則AE_LDF,S.PM=MF=e.

在四棱錐P—ABCE中，AE±PM,AE±MF,

AE_L面尸A/F,又PFu面PMF,

/.AEX.PF

（2）設點尸到平面衛(wèi)鉆的距離為4，點3到平面巴4￡的距離為d

由（1）NPMF就是二面角尸-AE-B的平面角，，NPMF=j-.

：AE_L面尸MF,.?.面刊1"_1面24￡,

過尸作于H,,面PMbPI面=.,.切_1面已4月.

又：在△PMF中，PM=MF=五,；.NFPM=￡,PF=布,

6

..1PFA/6..AF_23,3娓

122AB324

由題意可得PB=JIU,sine=W-=2?5,

PB20

???直線FB與平面PAE所成角的正弦值為近.

20

【點睛】

本題考查通過線面垂直證明線線垂直，還考查利用幾何法求解下面角，考查對線面關系

的認識，考查分析能力以及計算能力，屬中檔題.

8.（浙江省杭州市2020屆高三下學期5月高考模擬數學試題）如圖所示,在四棱錐

P-ABCD中，PCX.底面ABCD,ABCD是直角梯形,A5_LAO,A3//C。,AB=2AD=2CD=2,

E是PB的中點

(1)求證：平面EAC_L平面「5c

(2)若二面角P-AC-E的余弦值為遠，求直線PA與平面EAC所成角的正弦值

3

【答案】

(1)證明過程見解析；

⑵叵.

3

【分析】

(1)先證明ACYBC,再結合已知證明ACJ_平面PBC,進而證明平面E4UL平面PBC-,

(2)建立空間直角坐標系，利用空間向量法先由已知二面角的余弦值求出點P的的坐

標，進而求出直線B4與平面EAC所成角的正弦值.

(1)

證明：過點C作CfUAB,垂足為R如下圖所示

在直角梯形ABC。中

■.AB±AD,AB//CD

--.AD±CD

四邊形AFC。為正方形

:.AF=BF=DC=CF=l

:.AC=BC=y/2

AC2+BC-=AB2

AC±BC

PCJ_底面ABC。，4Cu平面ABC。，

.-.AC±PC

：BC^\PC=C

，AC_L平面PBC

■：ACu平面EAC

???平面EAC_L平面PBC

（2）

解：以C為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系

則C（0,0,0）,A（l,l,o）,B（l,-l,o）,

設尸（0,0,a）,a>0

由（1）知，BCLAC,BCLPC,且ACCPC=C

所以BC_L平面PAC

則而=（1,-LO）為平面PAC的一個法向量

又5=(1,1,0),CE=Q1a

252

設3=（無,y,z）為平面E4C的法向量，則

x+y=0

n-CA^O

即，11a

fi-CB=0，—x——y+—z=0

〔222

令x=a,則3=(a,-a,-2)

設向量在與向量?的夾角為6，由題意知,

|coC"”一a一瓜

?一|網一3

解得：。=2

所以3=(2,-2,2),PA=(l,l,-2)

設直線E4與平面E4C所成的角為a,向量［與向量而所成角為￡

4

所以sina=cos

即直線PA與平面EAC所成角的正弦值為也

3

9.（浙江省寧波市鎮(zhèn)海中學2020屆高三下學期5月模擬試題）在三棱錐A—BCD中,

AB=AD=BD=2,BC=DC=RAC=2.

A

(1)求證：BD±AC；

(2)若點P為AC上一點，且AP=3尸C,求直線3尸與平面ACD所成的角的正弦值.

【答案】(1)證明見解析；(2)逑

7

【分析】

(1)取的中點E,連接隹,CE,然后由等腰三角形的性質推出AE，BD,CELBD,

從而利用線面垂直的判定定理與性質可使問題得證；

(2)以E為坐標原點建立空間直角坐標系，然后求出相關點的坐標，再求出平面ACD

的一個法向量，從而利用空間向量的夾角公式求解即可.

【詳解】

(1)證明：取8。的中點E,連接

AB=AD=BD^2,：.AE±BD,

同理可得CE_LBD,

又AEICE=E,：.BD±平面ACE,

又ACu平面ACE,ABD±AC.

(2),:AB=AD=BD=2,BC=DC=6，

...△BCD為等腰直角三角形，且AE=百,CE=1,

TT

：-AE2+EC2=AC2,ZA￡C=-,即AE_LEC,

又AE1.BD,且BDcECnE,AE_1_平面BCD,

...以E為坐標原點，EC所在直線為x軸，即所在直線為y軸，E4所在直線為z軸建

立如圖所示的空間直角坐標系.

???B(0,-1,0),0(0,1,0),C(l,0,0),A(0,0,^3),

設尸(不，%,z°),VAP=|lC,AC=(l,0,-^),AP=(xo,yo,Zo-V3),

二卜-石)=■|(1,0,-百)=*0,一^^,

L7

.3

*,?<%=°，?*?尸，

Z。-石=-苧>

...而叵，

(44J

又方=(0,-1,V3),DC=(1,-1,0),

設〃二(%,*4)是平面ACD的法向量，

令％=1,得％=1,Z]=—,n=1,1,§

3I3J

設直線族與平面AC。所成角為6,

n-BP

則sin0=|cos<n,BP>\=

\M\BP\

???直線明與平面A。所成角的正弦值為華.

【點睛】

本題考查空間中直線與平面的位置關系、利用空間向量解決直線與平面所成角問題.

(1)求出直線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角后(求出是鈍角時取其補角)，取其余

角即為直線與平面所成的角.

(2)若求線面角的余弦值，要注意利用平方關系s加/+cod8=1求出其值.不要誤認為直

線的方向向量與平面的法向量所成夾角的余弦值即為所求.

10.(浙江省杭州市建人高復學校2020屆高三下學期5月模擬數學試題)如圖所示，

AABC和ABCD所在平面互相垂直，且AB=BC=BD=2,ZABC=ZDBC=120°,E,

廠分別為AC,DC的中點.

(1)求證：EFLBC；

(2)求二面角E-BP-C的正弦值.

【答案】（1）見解析（2）半

【詳解】

試題分析：（1）（方法一）過E作EOLBC,垂足為O,連OF,由AABC四ADBC可

證出△EOCgZXFOC,所以/EOC=/FOC=—,即FO_LBC,又EO_LBC,因止匕BC_L

2

面EFO,即可證明EFLBC.（方法二）由題意，以B為坐標原點，在平面DBC內過B

左垂直BC的直線為x軸，BC所在直線為y軸，在平面ABC內過B作垂直BC的直線

為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系.

易得成0,；，￥）,尸（孝］,。）,所以赤=（#,0,-［）,反^（O。。），因此喬?前=0,從

而得EFL3C；（2）（方法一）在圖1中，過O作OGLBF,垂足為G,連EG,由

平面ABC_L平面BDC,從而EO_L平面BDC,從而EO_^BDC,又OG_LBF,由三

垂線定理知EG垂直BF,因此/EGO為二面角E-BF-C的平面角；在4EOC中，EO=g

EC=3BCcos30°=且，由△BGOsaBFC知，OG=空-FC=迫，因止匕tan/EGO=

22BC4

基=2,從而sinZEGO=^,即可求出二面角E-BF-C的正弦值.

OG