2024-2025學年新教材高中數(shù)學第8章立體幾何初步8.1第1課時棱柱棱錐棱臺的結構特征學案含解析新人教A版必修第二冊

PAGE立體幾何初步8.1基本立體圖形第1課時棱柱、棱錐、棱臺的結構特征學習目標核心素養(yǎng)1．通過對實物模型的視察，歸納認知棱柱、棱錐、棱臺的結構特征．(重點)2．理解棱柱、棱錐、棱臺之間的關系．(難點)3．能運用棱柱、棱錐、棱臺的結構特征描述現(xiàn)實生活中簡潔物體的結構和有關計算．(易混點)通過空間幾何體概念的學習，培育直觀想象、邏輯推理的核心素養(yǎng).視察下面的圖片，這些圖片你都不生疏吧．小到精致的家居裝飾，大到雄偉的浩大建筑；從遠古的金字塔，到現(xiàn)代的國家大劇院、埃菲爾鐵塔，設計師、建筑師們匠心獨具，為我們留下了精致絕倫的建筑物，每當看到這些建筑物都會給人以震撼的美．問題：那么設計師是如何設計這些建筑物的呢？應用到哪些數(shù)學學問呢？1．空間幾何體類別多面體旋轉體定義一般地，由若干個平面多邊形圍成的幾何體叫做多面體一條平面曲線(包括直線)繞它所在平面內(nèi)的一條定直線旋轉所形成的曲面叫做旋轉面，封閉的旋轉面圍成的幾何體叫做旋轉體圖形2.棱柱、棱錐、棱臺的結構特征(1)棱柱的結構特征定義一般地，有兩個面相互平行，其余各面都是四邊形，并且相鄰兩個四邊形的公共邊都相互平行，由這些面所圍成的多面體叫做棱柱圖示及相關概念底面：兩個相互平行的面；側面：底面以外的其余各面；側棱：相鄰側面的公共邊；頂點：側面與底面的公共頂點分類按底面多邊形的邊數(shù)分：三棱柱，四棱柱……思索1：棱柱的側面肯定是平行四邊形嗎？[提示]依據(jù)棱柱的概念可知，棱柱側面肯定是平行四邊形．(2)棱柱的分類直棱柱：側棱垂直于底面的棱柱．斜棱柱：側棱不垂直于底面的棱柱．正棱柱：底面是正多邊形的直棱柱．平行六面體：底面是平行四邊形的四棱柱．(3)棱錐的結構特征定義有一面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的多面體叫做棱錐圖示及相關概念底面：多邊形面；側面：有公共頂點的各個三角形面；側棱：相鄰側面的公共邊；頂點：各側面的公共頂點分類按底面多邊形的邊數(shù)分：三棱錐，四棱錐，……，其中三棱錐又叫四面體．底面是正多邊形，并且頂點與底面中心的連線垂直于底面的棱錐叫正棱錐思索2：有一個面是多邊形，其余各面是三角形的幾何體肯定是棱錐嗎？[提示]不肯定．因為“其余各面都是三角形”并不等價于“其余各面都是有一個公共頂點的三角形”．(4)棱臺的結構特征定義用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底面和截面之間的部分叫做棱臺圖示及相關概念上底面：原棱錐的截面；下底面：原棱錐的底面；側面：除上下底面以外的面；側棱：相鄰側面的公共邊；頂點：側面與上(下)底面的公共頂點分類由幾棱錐截得，如三棱臺、四棱臺……思索3：棱臺的上下底面相互平行，各側棱延長線肯定相交于一點嗎？[提示]依據(jù)棱臺的定義可知其側棱延長線肯定交于一點．1．思索辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)棱柱的側面都是平行四邊形． ()(2)有一個面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體叫棱錐． ()(3)用一平面去截棱錐，底面和截面之間的部分叫棱臺． ()[答案](1)√(2)×(3)×2．在三棱錐A-BCD中，可以當作棱錐底面的三角形的個數(shù)為()A．1 B．2C．3 D．4D[每個三角形都可以作為底面．]3．下面說法中，正確的是()A．上下兩個底面平行且是相像的四邊形的幾何體是四棱臺B．棱臺的全部側面都是梯形C．棱臺的側棱長必相等D．棱臺的上下底面可能不是相像圖形B[由棱臺的結構特點可知，A、C、D不正確．故B正確．]4．下面屬于多面體的是________(填序號)．①建筑用的方磚；②埃及的金字塔；③茶杯；④球．①②[①②屬于多面體，③④屬于旋轉體．]棱柱的結構特征【例1】(1)下列命題中，正確的是()A．有兩個面相互平行，其余各面都是四邊形的幾何體叫棱柱B．棱柱中相互平行的兩個面叫做棱柱的底面C．棱柱的側面是平行四邊形，但底面不是平行四邊形D．棱柱的側棱都相等，側面是平行四邊形(2)如圖所示，長方體ABCD-A1B1C1D1①這個長方體是棱柱嗎？假如是，是幾棱柱？為什么？②用平面BCNM把這個長方體分成兩部分，各部分形成的幾何體還是棱柱嗎？若是，請指出它們的底面．(1)D[由棱柱的定義可知，只有D正確，分別構造圖形如下：①②③圖①中平面ABCD與平面A1B1C1D1平行，但四邊形ABCD與A1B1C1D1不全等，故A錯；圖②中正六棱柱的相對側面ABB1A1與EDD1E1(2)[解]①長方體是四棱柱．因為它有兩個平行的平面ABCD與平面A1B1C1D1②用平面BCNM把這個長方體分成兩部分，其中一部分，有兩個平行的平面BB1M與平面CC1N，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊相互平行，這符合棱柱的定義，所以是三棱柱，可用符號表示為三棱柱BB1M-CC1N.同理，另一部分也是棱柱，可以用符號表示為四棱柱ABMA1-DCND有關棱柱結構特征問題的解題策略1有關棱柱概念辨析問題應緊扣棱柱定義①兩個面相互平行；②其余各面是四邊形；③相鄰兩個四邊形的公共邊相互平行.求解時，首先看是否有兩個面平行，再看是否滿意其他特征.2多留意視察一些實物模型和圖片便于反例解除.eq\o([跟進訓練])1．(多選題)下列關于棱柱的說法正確的是()A．全部棱柱的兩個底面都平行B．全部的棱柱肯定有兩個面相互平行，其余每相鄰面的公共邊相互平行C．有兩個面相互平行，其余各面都是四邊形的幾何體肯定是棱柱D．棱柱至少有五個面ABD[對于A、B、D，明顯是正確的；對于C，棱柱的定義是這樣的：有兩個面相互平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都相互平行，由這些面圍成的幾何體叫做棱柱，明顯題中漏掉了“并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都相互平行”這一條件，因此所圍成的幾何體不肯定是棱柱．如圖所示的幾何體就不是棱柱，所以C錯誤．]棱錐、棱臺的結構特征【例2】(1)(多選題)下列關于棱錐、棱臺的說法，正確的是()A．棱臺的側面肯定不會是平行四邊形B．棱錐的側面只能是三角形C．由四個面圍成的封閉圖形只能是三棱錐D．棱錐被平面截成的兩部分不行能都是棱錐(2)推斷如圖所示的幾何體是不是棱臺，為什么？(1)ABC[A正確，棱臺的側面肯定是梯形，而不是平行四邊形；B正確，由棱錐的定義知棱錐的側面只能是三角形；C正確，由四個面圍成的封閉圖形只能是三棱錐；D錯誤，如圖所示，四棱錐被平面截成的兩部分都是棱錐．](2)[解]①②③都不是棱臺．因為①和③都不是由棱錐所截得的，故①③都不是棱臺，雖然②是由棱錐所截得的，但截面和底面不平行，故不是棱臺，只有用平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底面與截面之間的部分才是棱臺．關于棱錐、棱臺結構特征題目的推斷方法(1)舉反例法結合棱錐、棱臺的定義舉反例干脆推斷關于棱錐、棱臺結構特征的某些說法不正確．(2)干脆法棱錐棱臺定底面只有一個面是多邊形，此面即為底面兩個相互平行的面，即為底面看側棱相交于一點延長后相交于一點eq\o([跟進訓練])2．(一題多空)下列幾何體中，________是棱柱，________是棱錐，________是棱臺(僅填相應序號)．①③④⑥⑤[結合棱柱、棱錐和棱臺的定義可知①③④是棱柱，⑥是棱錐，⑤是棱臺．]多面體的表面綻開圖[探究問題]1．棱柱的側面綻開圖是什么圖形？正方體的表面綻開圖又是怎樣的？[提示]棱柱的側面綻開圖是平行四邊形；正方體的表面綻開圖如圖：2．棱臺的側面綻開圖又是什么樣的？[提示]棱臺的側面綻開圖是多個相連的梯形．【例3】(1)某同學制作了一個對面圖案均相同的正方體禮品盒，如圖所示，則這個正方體禮品盒的平面綻開圖應當為(對面是相同的圖案)()(2)如圖是三個幾何體的平面綻開圖，請問各是什么幾何體？[思路探究](1)正方體的平面綻開圖?以其中一個面不動把其他面綻開．(2)常見幾何體的定義與結構特征?空間想象或動手制作平面綻開圖進行實踐．(1)A[由選項驗證可知選A．](2)[解]圖①中，有5個平行四邊形，而且還有兩個全等的五邊形，符合棱柱特點；圖②中，有5個三角形，且具有共同的頂點，還有一個五邊形，符合棱錐特點；圖③中，有3個梯形，且其腰的延長線交于一點，還有兩個相像的三角形，符合棱臺的特點．把平面綻開圖還原為原幾何體，如圖所示．所以①為五棱柱，②為五棱錐，③為三棱臺．1.將本例(1)改為：水平放置的正方體的六個面分別用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如圖是一個正方體的平面綻開圖(圖中數(shù)字寫在正方體的外表面上)，若圖中“0”上方的“2”在正方體的上面，則這個正方體的下面是()A．1 B．9C．快 D．樂B[將圖形折成正方體知選B．]2.將本例(2)的條件改為：一個幾何體的平面綻開圖如圖所示．(1)該幾何體是哪種幾何體？(2)該幾何體中與“?！弊置嫦鄬Φ氖悄膫€面？與“你”字面相對的是哪個面？[解](1)該幾何體是四棱臺．(2)與“?！毕鄬Φ拿媸恰扒啊?，與“你”相對的面是“程”．多面體綻開圖問題的解題策略(1)繪制綻開圖：繪制多面體的表面綻開圖要結合多面體的幾何特征，發(fā)揮空間想象實力或者是親自制作多面體模型．在解題過程中，經(jīng)常給多面體的頂點標上字母，先把多面體的底面畫出來，然后依次畫出各側面，便可得到其表面綻開圖．(2)由綻開圖復原幾何體：若是給出多面體的表面綻開圖，來推斷是由哪一個多面體綻開的，則可把上述過程逆推．同一個幾何體的表面綻開圖可能是不一樣的，也就是說，一個多面體可有多個表面綻開圖．一、學問必備1．在理解的基礎上，要牢記棱柱、棱錐、棱臺的定義，能夠依據(jù)定義推斷幾何體的形態(tài)．2．棱柱、棱臺、棱錐關系圖二、方法必備在解答基本立體圖形中的問題時，一般要通過對空間幾何體的綻開、折疊等方法，實現(xiàn)立體問題平面化，可以比較形象、直觀地解決問題．1．棱臺不具備的特點是()A．兩底面相像 B．側面都是梯形C．側棱都相等 D．側棱延長后都交于一點C[由于棱錐的側棱不肯定相等，所以棱臺的側棱都相等的說法是錯誤的．]2．有一個多面體，共有四個面圍成，每一個面都是三角形，則這個幾何體為()A．四棱柱 B．四棱錐C．三棱柱 D．三棱錐D[依據(jù)棱錐的定義可知該幾何體是三棱錐．]3．下列圖形經(jīng)過折疊可以圍成一個棱柱的是()ABCDD[A，B，C中底面