2023屆廣東省華附、省實(shí)、廣雅、深中高三上學(xué)期四校聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

高考模擬試題PAGEPAGE1華附?省實(shí)?廣雅?深中2023屆高三四校聯(lián)考數(shù)學(xué)命題學(xué)校：華南師大附中定稿人：畢福明?林琪本試卷分選擇題和非選擇題兩部分，共4頁(yè)，滿分150分，考試用時(shí)120分鐘.注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的校名?姓名?考號(hào)?座位號(hào)等相關(guān)信息填寫在答題卡指定區(qū)域內(nèi)，并用2B鉛筆填涂相關(guān)信息.2.選擇題每小題選出〖答案〗后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的〖答案〗標(biāo)號(hào)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它〖答案〗；不能答在試卷上.3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，〖答案〗必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)的相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的〖答案〗，然后再寫上新的〖答案〗；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答的〖答案〗無(wú)效.4.考生必須保持答題卡的整潔.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，則（）．A.{3} B.{1，3} C.{3，4} D.{1，3，4}〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗先求出集合的補(bǔ)集，再求〖詳析〗解：因?yàn)?，，所以，因?yàn)?，所以，故選：B.2.已知i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗根據(jù)復(fù)數(shù)乘法的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行求解即可〖詳析〗，故選：C3.已知在等腰△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝，點(diǎn)D在線段BC上，且，則的值為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗根據(jù)確定，從而可得，從而用向量數(shù)量積的運(yùn)算律即可求解.〖詳析〗設(shè)等腰△ABC在邊上的高為，因?yàn)?，所以，所?所以，所以.故選:B.4.古希臘亞歷山大時(shí)期的數(shù)學(xué)家帕普斯在《數(shù)學(xué)匯編》第3卷中記載著一個(gè)確定重心的定理：“如果同一平面內(nèi)的一個(gè)閉合圖形的內(nèi)部與一條直線不相交，那么該閉合圖形圍繞這條直線旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)體的體積等于閉合圖形面積乘以該閉合圖形的重心旋轉(zhuǎn)所得周長(zhǎng)的積”，即（表示平面圖形繞旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)的體積，表示平面圖形的面積，表示重心繞旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周的周長(zhǎng)）.如圖直角梯形，已知，則重心到的距離為（）A. B. C.3 D.2〖答案〗A〖解析〗〖祥解〗根據(jù)題意，用式子分別表示出圓臺(tái)體積、梯形面積以及重心繞旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周的周長(zhǎng)，進(jìn)而求解〖答案〗.〖詳析〗直角梯形繞旋轉(zhuǎn)一周所得的圓臺(tái)的體積為；梯形的面積，故記重心到的距離為，則，則，故選：A5.已知雙曲線的焦點(diǎn)關(guān)于漸近線的對(duì)稱點(diǎn)在雙曲線上，則雙曲線的離心率為（）A.2 B. C. D.〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗根據(jù)對(duì)稱性的性質(zhì)及直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，結(jié)合雙曲線的定義及雙曲線的離心率的公式即可求解.〖詳析〗關(guān)于漸近線的對(duì)稱點(diǎn)在雙曲線上，如圖所示，則.所以是的中位線，所以,.所以到漸近線的距離為，即，在中，，，所以，進(jìn)而,所以離心率.故選：C.6.已知數(shù)列滿足，,則的前項(xiàng)積的最大值為（）A. B. C.1 D.4〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗先通過(guò)遞推關(guān)系推出數(shù)列的周期為，然后個(gè)數(shù)為一組，分別計(jì)算的表達(dá)式后進(jìn)行研究.〖詳析〗由可知，，，亦可得：，兩式相除得：，即，所以數(shù)列是以為周期的周期數(shù)列，由得：.記數(shù)列的前項(xiàng)積為，結(jié)合數(shù)列的周期性，當(dāng)，則，記，為了讓越大，顯然需考慮為偶數(shù)，令，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，則，即；類似的，.綜上所述，的前項(xiàng)積的最大值為.故選：C.7.若函數(shù)在其定義域內(nèi)存在實(shí)數(shù)滿足，則稱函數(shù)為“局部奇函數(shù)”.知函數(shù)是定義在上的“局部奇函數(shù)”，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗〖祥解〗根據(jù)題意得有解，即有解，利用換元法討論二次函數(shù)在給定區(qū)間有解即可.〖詳析〗根據(jù)“局部奇函數(shù)”定義知：有解，即方程有解，則即有解；設(shè)，則（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），方程等價(jià)于在時(shí)有解，在時(shí)有解；在上單調(diào)遞增，，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選D.8.如圖，在三棱錐中，平面，為線段的中點(diǎn)，分別為線段和線段上任意一點(diǎn)，則的最小值為（）A. B. C. D.2〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗先利用線面垂直的判定定理推得再利用面積相等在中推得，從而得到，由此得解.〖詳析〗因?yàn)槠矫?，面，所以，又，，因?yàn)椋矫?，所以平面，又平面，所?又在中，，在中，，故，則，又，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，當(dāng)時(shí)，為的中點(diǎn)，此時(shí)當(dāng)時(shí)，為的中點(diǎn)，綜上所述的最小值是.故選：C.〖『點(diǎn)石成金』〗關(guān)鍵『點(diǎn)石成金』：本題的突破口是如何解決的系數(shù)問(wèn)題，利用三角形面積公式與面積相等得到即可得解.二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知，則下列說(shuō)法正確的是（）A. B.C. D.〖答案〗BD〖解析〗〖祥解〗利用不等式的性質(zhì)，利用作差法和基本不等式逐項(xiàng)分析即得.〖詳析〗對(duì)于A，因?yàn)?，所以，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)?，所以，所以，即，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)?，所以，所以，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)椋裕蔇正確.故選：BD.10.已知函數(shù)滿足，其圖象向右平移個(gè)單位后得到函數(shù)的圖象，且在上單調(diào)遞減，則（）A.B.函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱C.可以等于5D.的最小值為2〖答案〗BCD〖解析〗〖祥解〗對(duì)于A，先由推得是的一個(gè)周期，再利用輔助角公式化簡(jiǎn)，從而得到，由此得解；對(duì)于B，利用代入檢驗(yàn)法即可；對(duì)于C，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合數(shù)軸法得到關(guān)于的不等式組，結(jié)合與即可得到的一個(gè)取值為，由此判斷即可；對(duì)于D，結(jié)合選項(xiàng)C中的結(jié)論，分析的取值范圍即可求得的最小值.〖詳析〗對(duì)于A，因?yàn)?，所以，則是的一個(gè)周期，因?yàn)?，所以是最小正周期，故，則，又，故，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由選項(xiàng)A得，所以，故是的一個(gè)對(duì)稱中心，故B正確；對(duì)于C，的圖象向右平移個(gè)單位后得到函數(shù)的圖象，則，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以，解得，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)椋?，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)?，所以，則，又，故，當(dāng)時(shí)，，可知，故D正確.故選：BCD.11.已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線：的焦點(diǎn)，點(diǎn)，直線：交拋物線于，兩點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），則以下說(shuō)法正確的是（）A.B.存在實(shí)數(shù)，使得C.若，則D.若直線與的傾斜角互補(bǔ)，則〖答案〗ACD〖解析〗〖祥解〗對(duì)于A，由焦半徑公式運(yùn)算可得；對(duì)于B，將拋物線方程與直線方程聯(lián)立，并由向量夾角計(jì)算可得；對(duì)于C，將選項(xiàng)B中聯(lián)立結(jié)果代入向量坐標(biāo)進(jìn)行計(jì)算可得；對(duì)于D，將選項(xiàng)B中聯(lián)立結(jié)果代入與斜率進(jìn)行計(jì)算可得.〖詳析〗由已知，拋物線：，∴，，焦點(diǎn)，不妨設(shè)為，，設(shè)，到準(zhǔn)線的距離分別為，，對(duì)于A，∵由標(biāo)準(zhǔn)方程知，拋物線頂點(diǎn)在原點(diǎn)，開(kāi)口向右，，∴由拋物線的定義，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于B，消去，化簡(jiǎn)得（），則，，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∴不存在實(shí)數(shù)，使得，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，，∵，∴，∴又∵由選項(xiàng)B判斷過(guò)程知，，∴解得，，或，，，∴若，則，選項(xiàng)C正確；對(duì)于D，由題意，，，，，直線與的傾斜角互補(bǔ)時(shí)，斜率均存在，且，∴，代入，，化簡(jiǎn)得，由選項(xiàng)B的判斷知，，∴，∴，故選項(xiàng)D正確.故選：ACD.12.已知定義在上函數(shù)的圖像連續(xù)不間斷，當(dāng)時(shí)，，且當(dāng)時(shí)，，則下列說(shuō)法正確的是（）A.B.在上單調(diào)遞增C.若，則D.若是在區(qū)間內(nèi)的兩個(gè)零點(diǎn)，且，則〖答案〗ABD〖解析〗〖祥解〗A選項(xiàng)通過(guò)賦值法令可以解決，B選項(xiàng)對(duì)兩邊同時(shí)求導(dǎo)，結(jié)合以及函數(shù)圖像連續(xù)不斷的性質(zhì)進(jìn)行判斷，C選項(xiàng)分和的大小關(guān)系，分情況進(jìn)行討論，D選項(xiàng)先說(shuō)明，在結(jié)合題目條件說(shuō)明另一個(gè)不等號(hào)是否成立的問(wèn)題.〖詳析〗對(duì)于A，在中令，則，所以，故A正確；對(duì)于，當(dāng)時(shí)，，對(duì)兩邊求導(dǎo)，則，所以時(shí)，，故，而時(shí)，即在上單調(diào)遞增，注意到的圖像連續(xù)不間斷，故也有在上單調(diào)遞增，故B正確；對(duì)于C，由B知，在上單調(diào)遞增，，故當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減.由知不可能均大于等于1，否則，則，這與條件矛盾，舍去.①若，則，滿足條件，此時(shí)，；，②若，則，由，取，則，則所以，而，所以，即，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，知，注意到，根據(jù)零點(diǎn)存在定理，所以，若，根據(jù)C選項(xiàng)，則，則，由，，根據(jù)余弦函數(shù)的單調(diào)性，，與矛盾，舍去.所以，所以，所以，在時(shí)，中，令，而由，由，在上單調(diào)遞減，所以，所以，于是，故D正確.故選：ABD三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知圓，若過(guò)定點(diǎn)有且僅有一條直線被圓截得弦長(zhǎng)為2，則可以是__________.（只需要寫出其中一個(gè)值，若寫出多個(gè)〖答案〗，則按第一個(gè)〖答案〗計(jì)分.）〖答案〗1##〖解析〗〖祥解〗依題意，該直線過(guò)圓心或垂直于〖詳析〗依題意，該直線過(guò)圓心或垂直于，圓心到直線距離為或，，所以或.故〖答案〗為：1或14.已知在四面體中，，則該四面體外接球的表面積為_(kāi)_________.〖答案〗##〖解析〗〖祥解〗先判斷出V在平面的射影為三角形的外心,求出四面體外接球的半徑，即可求出四面體外接球的表面積.〖詳析〗在平面的射影為三角形的外心.又，所以由正弦定理得：三角形的外接圓的半徑；設(shè)四面體外接球的半徑為.解得：.所以外接球的表面積為.故〖答案〗為：.15.已知函數(shù)，若函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)四個(gè)象限，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.〖答案〗〖解析〗〖祥解〗易得直線過(guò)定點(diǎn)，函數(shù)過(guò)四個(gè)象限等價(jià)于與在軸的左右兩邊有異號(hào)交點(diǎn)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求函數(shù)的切線方程，求出切點(diǎn)，結(jié)合圖象即可得出〖答案〗.〖詳析〗解：直線過(guò)定點(diǎn)，函數(shù)過(guò)四個(gè)象限等價(jià)于與在軸的左右兩邊有異號(hào)交點(diǎn)，過(guò)作的切線，設(shè)切點(diǎn)為，，切線方程為，切線過(guò)，解得或（舍去），此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，線段所在直線斜率為1；當(dāng)時(shí)，，射線所在直線斜率為，與軸交于，由圖象知滿足題意的的范圍是：.故〖答案〗為：.16.已知數(shù)列滿足，記（其中表示不大于的最大整數(shù)，比如），則__________.（參考數(shù)據(jù)：）〖答案〗6064〖解析〗〖祥解〗設(shè)，由導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，然后確定的值，再求和．〖詳析〗設(shè)，則，時(shí),,時(shí),,所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，又，所以存在使得，即，且當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，，又，所以，綜上，，所以.故〖答案〗為：6064.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.17.已知正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，.（1）求數(shù)列通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，證明：.〖答案〗（1）（2）證明見(jiàn)〖解析〗〖解析〗〖祥解〗（1）利用計(jì)算整理，可得，再利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式得〖答案〗；（2）將變形得，利用裂項(xiàng)相消法可得，進(jìn)一步觀察可得證明結(jié)論.〖小問(wèn)1詳析〗①，當(dāng)時(shí)，②，①-②得，整理得，，，又當(dāng)時(shí)，，解得，數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，；〖小問(wèn)2詳析〗由（1）得，，，即.18.在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，且.（1）求的大小；（2）在邊上，且，求的最大值.〖答案〗（1）；（2）.〖解析〗〖祥解〗（1）根據(jù)正弦定理可推得，整理可得，即可解出；（2）解法一：向量法.由題意知，.根據(jù)向量的運(yùn)算求出和，即可得到，令，換元整理可得.然后根據(jù)基本不等式即可求出的最大值；解法二：設(shè)，，根據(jù)，得到.根據(jù)余弦定理即可推出，換元可得，根據(jù)基本不等式即可求得最值.〖小問(wèn)1詳析〗因?yàn)椋鶕?jù)正弦定理可得：，可化為：，因?yàn)?，所以?所以原式可化為：，因?yàn)?，所以，所以原式可化為，?因?yàn)?，所?〖小問(wèn)2詳析〗方法一：因?yàn)?，故，則，則.又，則.所以，，則.設(shè)，，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即，即時(shí)等號(hào)成立.所以，所以，的最大值為.方法二：設(shè)，，則，在中，由余弦定理有：，即①在和中，由余弦定理有：，，又，所以.所以，整理可得②由①②可得：.所以，，所以.設(shè)，，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即，即時(shí)等號(hào)成立.所以，所以，的最大值為.19.甲乙兩人進(jìn)行圍棋比賽，約定先連勝兩局者直接贏得比賽，若賽完5局仍末出現(xiàn)連勝，則判定獲勝局?jǐn)?shù)多者贏得比賽.假設(shè)每局甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立.（1）求乙只贏1局且甲贏得比賽的概率；（2）記為比賽決出勝負(fù)時(shí)的總局?jǐn)?shù)，求的分布列和期望.〖答案〗（1）（2）分布列見(jiàn)〖解析〗，〖解析〗〖祥解〗（1）乙只贏1局且甲贏得比賽，對(duì)于甲而言，可能是“負(fù)勝勝”，“勝負(fù)勝勝”兩種情況，根據(jù)獨(dú)立事件，互斥事件的概率公式求解；（2）的可能取值為，分別求出每種情況的概率，按照步驟求分布列即可.〖小問(wèn)1詳析〗記事件表示“乙只贏局且甲贏得比賽”，表示“第局甲獲勝”，表示“第局乙獲勝”，則，.則，事件與事件互斥，各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立.由概率加法公式和乘法公式，有．〖小問(wèn)2詳析〗的可能取值為，，，．故的分布列為2345所以.20.如圖，四棱錐中，已知，且與平面所成的角為.（1）證明：；（2）若點(diǎn)為的中點(diǎn)，求平面與平面夾角的余弦值.〖答案〗（1）證明見(jiàn)〖解析〗（2）〖解析〗〖祥解〗（1）根據(jù)題意，如圖所示，過(guò)點(diǎn)作面交面于點(diǎn)，連，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，可得平面，即，再根據(jù)四邊形為平行四邊形，即可得證；（2）以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，即可得到各點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合法向量以及二面角的計(jì)算公式，即可得到結(jié)果.〖小問(wèn)1詳析〗如圖所示，過(guò)點(diǎn)作面交面于點(diǎn)，連，延長(zhǎng)交于點(diǎn).因?yàn)榕c底面所成的角為；所以，所以，.因?yàn)椋瑒t；因?yàn)?，所以，且又，所以平面，所?又是等邊三角形，則；則，且，所以四邊形為平行四邊形，故；所以.〖小問(wèn)2詳析〗因?yàn)閮蓛纱怪?，則以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.則設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，解得，令，則即設(shè)平面的一個(gè)法向量設(shè)，則，即，所以所以平面與平面夾角的余弦值為21.已知橢圓，斜率為的直線與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)橢圓右焦點(diǎn)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，且軸，求直線在軸上的截距.〖答案〗（1）（2）〖解析〗〖祥解〗(1)根據(jù)點(diǎn)在橢圓上可得，又因?yàn)橹本€與橢圓只有一個(gè)交點(diǎn)，可得判別式等于零得到方程即可求解；(2)設(shè)出直線的方程，利用韋達(dá)定理，再表示出在軸上的截距關(guān)于坐標(biāo)的等量關(guān)系，即可求解.〖小問(wèn)1詳析〗依題意，直線的方程為，即，由，消去得.由于直線與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，故，即，因?yàn)樵跈E圓上，所以，即，整理得，解得，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：.〖小問(wèn)2詳析〗方法一：依題意直線斜率不為0，可設(shè)直線為，則，聯(lián)立橢圓方程，可得，由韋達(dá)定理得，進(jìn)而，有由直線的方程為，得直線AC在軸上截距為故直線在軸的上截距為.方法二：設(shè)，則，則直線的方程為，則直線在軸的截距為，若垂直于軸，則，所以直線與軸交點(diǎn)為，截距為.若不垂直于軸，設(shè)直線的方程為.與橢圓方程聯(lián)立，得，由韋達(dá)定理有.直線在軸的截距為又因?yàn)樗运?，所以所以故直線在軸上的截距為.方法三：右焦點(diǎn)為，直線與軸相交于點(diǎn)為的中點(diǎn)為若垂直于軸，則，所以直線與軸交點(diǎn)為，截距為.若不垂直于軸，設(shè)直線的方程為與橢圓方程聯(lián)立，得，由韋達(dá)定理有又，得，故直線的斜率分別為所以.因?yàn)樗?，即，故三點(diǎn)共線.因?yàn)閷?duì)于任意直線點(diǎn)都是唯一確定的，所以，直線與軸交點(diǎn)為，即直線在軸上的截距為.22.已知函數(shù)（其中是自然對(duì)數(shù)底數(shù)）.（1）求的最小值；（2）若過(guò)點(diǎn)可作曲線的兩條切線，求證：.（參考數(shù)據(jù)：）〖答案〗（1）1（2）證明見(jiàn)〖解析〗〖解析〗〖祥解〗(1)求函數(shù)導(dǎo)函數(shù),應(yīng)用單調(diào)性求函數(shù)的最小值;(2)把曲線的兩條切線轉(zhuǎn)化為兩個(gè)零點(diǎn)問(wèn)題,再轉(zhuǎn)化證明最小值大于零即可.〖小問(wèn)1詳析〗函數(shù)定義域?yàn)椋?/p>

所以在上單調(diào)遞增，且，所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，.所以.〖小問(wèn)2詳析〗設(shè)切點(diǎn)為，則，在處的切線為，由于切線過(guò)點(diǎn)，所以，而由（1），在上單調(diào)遞增，不同的值對(duì)應(yīng)的切線斜率不同設(shè)，所以過(guò)點(diǎn)可作曲線的兩條切線當(dāng)且僅當(dāng)關(guān)于的方程有兩個(gè)實(shí)根.，①當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，至多有一個(gè)實(shí)根，不合題意；②當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減.而時(shí)，時(shí)，，所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)實(shí)根，即當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)可作曲線的兩條切線.只需證時(shí)，.設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以，即.（*）設(shè)，只需證1）當(dāng)時(shí)，由，.設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減.而，所以，則.2）當(dāng)時(shí)，，設(shè)，則，，所以在上單調(diào)遞增，，所以在上單調(diào)遞增，，即，所以在上單調(diào)遞增，.綜上得：原不等式成立.高考模擬試題PAGEPAGE1華附?省實(shí)?廣雅?深中2023屆高三四校聯(lián)考數(shù)學(xué)命題學(xué)校：華南師大附中定稿人：畢福明?林琪本試卷分選擇題和非選擇題兩部分，共4頁(yè)，滿分150分，考試用時(shí)120分鐘.注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的校名?姓名?考號(hào)?座位號(hào)等相關(guān)信息填寫在答題卡指定區(qū)域內(nèi)，并用2B鉛筆填涂相關(guān)信息.2.選擇題每小題選出〖答案〗后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的〖答案〗標(biāo)號(hào)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它〖答案〗；不能答在試卷上.3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，〖答案〗必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)的相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的〖答案〗，然后再寫上新的〖答案〗；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答的〖答案〗無(wú)效.4.考生必須保持答題卡的整潔.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，則（）．A.{3} B.{1，3} C.{3，4} D.{1，3，4}〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗先求出集合的補(bǔ)集，再求〖詳析〗解：因?yàn)?，，所以，因?yàn)?，所以，故選：B.2.已知i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗根據(jù)復(fù)數(shù)乘法的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行求解即可〖詳析〗，故選：C3.已知在等腰△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝，點(diǎn)D在線段BC上，且，則的值為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗根據(jù)確定，從而可得，從而用向量數(shù)量積的運(yùn)算律即可求解.〖詳析〗設(shè)等腰△ABC在邊上的高為，因?yàn)?，所以，所?所以，所以.故選:B.4.古希臘亞歷山大時(shí)期的數(shù)學(xué)家帕普斯在《數(shù)學(xué)匯編》第3卷中記載著一個(gè)確定重心的定理：“如果同一平面內(nèi)的一個(gè)閉合圖形的內(nèi)部與一條直線不相交，那么該閉合圖形圍繞這條直線旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)體的體積等于閉合圖形面積乘以該閉合圖形的重心旋轉(zhuǎn)所得周長(zhǎng)的積”，即（表示平面圖形繞旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)的體積，表示平面圖形的面積，表示重心繞旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周的周長(zhǎng)）.如圖直角梯形，已知，則重心到的距離為（）A. B. C.3 D.2〖答案〗A〖解析〗〖祥解〗根據(jù)題意，用式子分別表示出圓臺(tái)體積、梯形面積以及重心繞旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周的周長(zhǎng)，進(jìn)而求解〖答案〗.〖詳析〗直角梯形繞旋轉(zhuǎn)一周所得的圓臺(tái)的體積為；梯形的面積，故記重心到的距離為，則，則，故選：A5.已知雙曲線的焦點(diǎn)關(guān)于漸近線的對(duì)稱點(diǎn)在雙曲線上，則雙曲線的離心率為（）A.2 B. C. D.〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗根據(jù)對(duì)稱性的性質(zhì)及直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，結(jié)合雙曲線的定義及雙曲線的離心率的公式即可求解.〖詳析〗關(guān)于漸近線的對(duì)稱點(diǎn)在雙曲線上，如圖所示，則.所以是的中位線，所以,.所以到漸近線的距離為，即，在中，，，所以，進(jìn)而,所以離心率.故選：C.6.已知數(shù)列滿足，,則的前項(xiàng)積的最大值為（）A. B. C.1 D.4〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗先通過(guò)遞推關(guān)系推出數(shù)列的周期為，然后個(gè)數(shù)為一組，分別計(jì)算的表達(dá)式后進(jìn)行研究.〖詳析〗由可知，，，亦可得：，兩式相除得：，即，所以數(shù)列是以為周期的周期數(shù)列，由得：.記數(shù)列的前項(xiàng)積為，結(jié)合數(shù)列的周期性，當(dāng)，則，記，為了讓越大，顯然需考慮為偶數(shù)，令，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，則，即；類似的，.綜上所述，的前項(xiàng)積的最大值為.故選：C.7.若函數(shù)在其定義域內(nèi)存在實(shí)數(shù)滿足，則稱函數(shù)為“局部奇函數(shù)”.知函數(shù)是定義在上的“局部奇函數(shù)”，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗〖祥解〗根據(jù)題意得有解，即有解，利用換元法討論二次函數(shù)在給定區(qū)間有解即可.〖詳析〗根據(jù)“局部奇函數(shù)”定義知：有解，即方程有解，則即有解；設(shè)，則（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），方程等價(jià)于在時(shí)有解，在時(shí)有解；在上單調(diào)遞增，，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選D.8.如圖，在三棱錐中，平面，為線段的中點(diǎn)，分別為線段和線段上任意一點(diǎn)，則的最小值為（）A. B. C. D.2〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗先利用線面垂直的判定定理推得再利用面積相等在中推得，從而得到，由此得解.〖詳析〗因?yàn)槠矫?，面，所以，又，，因?yàn)?，平面，所以平面，又平面，所?又在中，，在中，，故，則，又，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，當(dāng)時(shí)，為的中點(diǎn)，此時(shí)當(dāng)時(shí)，為的中點(diǎn)，綜上所述的最小值是.故選：C.〖『點(diǎn)石成金』〗關(guān)鍵『點(diǎn)石成金』：本題的突破口是如何解決的系數(shù)問(wèn)題，利用三角形面積公式與面積相等得到即可得解.二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知，則下列說(shuō)法正確的是（）A. B.C. D.〖答案〗BD〖解析〗〖祥解〗利用不等式的性質(zhì)，利用作差法和基本不等式逐項(xiàng)分析即得.〖詳析〗對(duì)于A，因?yàn)?，所以，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)椋裕?，即，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)?，所以，所以，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)?，所以，故D正確.故選：BD.10.已知函數(shù)滿足，其圖象向右平移個(gè)單位后得到函數(shù)的圖象，且在上單調(diào)遞減，則（）A.B.函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱C.可以等于5D.的最小值為2〖答案〗BCD〖解析〗〖祥解〗對(duì)于A，先由推得是的一個(gè)周期，再利用輔助角公式化簡(jiǎn)，從而得到，由此得解；對(duì)于B，利用代入檢驗(yàn)法即可；對(duì)于C，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合數(shù)軸法得到關(guān)于的不等式組，結(jié)合與即可得到的一個(gè)取值為，由此判斷即可；對(duì)于D，結(jié)合選項(xiàng)C中的結(jié)論，分析的取值范圍即可求得的最小值.〖詳析〗對(duì)于A，因?yàn)?，所以，則是的一個(gè)周期，因?yàn)椋允亲钚≌芷?，故，則，又，故，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由選項(xiàng)A得，所以，故是的一個(gè)對(duì)稱中心，故B正確；對(duì)于C，的圖象向右平移個(gè)單位后得到函數(shù)的圖象，則，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以，解得，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)?，所以，則，又，故，當(dāng)時(shí)，，可知，故D正確.故選：BCD.11.已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線：的焦點(diǎn)，點(diǎn)，直線：交拋物線于，兩點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），則以下說(shuō)法正確的是（）A.B.存在實(shí)數(shù)，使得C.若，則D.若直線與的傾斜角互補(bǔ)，則〖答案〗ACD〖解析〗〖祥解〗對(duì)于A，由焦半徑公式運(yùn)算可得；對(duì)于B，將拋物線方程與直線方程聯(lián)立，并由向量夾角計(jì)算可得；對(duì)于C，將選項(xiàng)B中聯(lián)立結(jié)果代入向量坐標(biāo)進(jìn)行計(jì)算可得；對(duì)于D，將選項(xiàng)B中聯(lián)立結(jié)果代入與斜率進(jìn)行計(jì)算可得.〖詳析〗由已知，拋物線：，∴，，焦點(diǎn)，不妨設(shè)為，，設(shè)，到準(zhǔn)線的距離分別為，，對(duì)于A，∵由標(biāo)準(zhǔn)方程知，拋物線頂點(diǎn)在原點(diǎn)，開(kāi)口向右，，∴由拋物線的定義，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于B，消去，化簡(jiǎn)得（），則，，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∴不存在實(shí)數(shù)，使得，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，，∵，∴，∴又∵由選項(xiàng)B判斷過(guò)程知，，∴解得，，或，，，∴若，則，選項(xiàng)C正確；對(duì)于D，由題意，，，，，直線與的傾斜角互補(bǔ)時(shí)，斜率均存在，且，∴，代入，，化簡(jiǎn)得，由選項(xiàng)B的判斷知，，∴，∴，故選項(xiàng)D正確.故選：ACD.12.已知定義在上函數(shù)的圖像連續(xù)不間斷，當(dāng)時(shí)，，且當(dāng)時(shí)，，則下列說(shuō)法正確的是（）A.B.在上單調(diào)遞增C.若，則D.若是在區(qū)間內(nèi)的兩個(gè)零點(diǎn)，且，則〖答案〗ABD〖解析〗〖祥解〗A選項(xiàng)通過(guò)賦值法令可以解決，B選項(xiàng)對(duì)兩邊同時(shí)求導(dǎo)，結(jié)合以及函數(shù)圖像連續(xù)不斷的性質(zhì)進(jìn)行判斷，C選項(xiàng)分和的大小關(guān)系，分情況進(jìn)行討論，D選項(xiàng)先說(shuō)明，在結(jié)合題目條件說(shuō)明另一個(gè)不等號(hào)是否成立的問(wèn)題.〖詳析〗對(duì)于A，在中令，則，所以，故A正確；對(duì)于，當(dāng)時(shí)，，對(duì)兩邊求導(dǎo)，則，所以時(shí)，，故，而時(shí)，即在上單調(diào)遞增，注意到的圖像連續(xù)不間斷，故也有在上單調(diào)遞增，故B正確；對(duì)于C，由B知，在上單調(diào)遞增，，故當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減.由知不可能均大于等于1，否則，則，這與條件矛盾，舍去.①若，則，滿足條件，此時(shí)，；，②若，則，由，取，則，則所以，而，所以，即，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，知，注意到，根據(jù)零點(diǎn)存在定理，所以，若，根據(jù)C選項(xiàng)，則，則，由，，根據(jù)余弦函數(shù)的單調(diào)性，，與矛盾，舍去.所以，所以，所以，在時(shí)，中，令，而由，由，在上單調(diào)遞減，所以，所以，于是，故D正確.故選：ABD三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知圓，若過(guò)定點(diǎn)有且僅有一條直線被圓截得弦長(zhǎng)為2，則可以是__________.（只需要寫出其中一個(gè)值，若寫出多個(gè)〖答案〗，則按第一個(gè)〖答案〗計(jì)分.）〖答案〗1##〖解析〗〖祥解〗依題意，該直線過(guò)圓心或垂直于〖詳析〗依題意，該直線過(guò)圓心或垂直于，圓心到直線距離為或，，所以或.故〖答案〗為：1或14.已知在四面體中，，則該四面體外接球的表面積為_(kāi)_________.〖答案〗##〖解析〗〖祥解〗先判斷出V在平面的射影為三角形的外心,求出四面體外接球的半徑，即可求出四面體外接球的表面積.〖詳析〗在平面的射影為三角形的外心.又，所以由正弦定理得：三角形的外接圓的半徑；設(shè)四面體外接球的半徑為.解得：.所以外接球的表面積為.故〖答案〗為：.15.已知函數(shù)，若函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)四個(gè)象限，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.〖答案〗〖解析〗〖祥解〗易得直線過(guò)定點(diǎn)，函數(shù)過(guò)四個(gè)象限等價(jià)于與在軸的左右兩邊有異號(hào)交點(diǎn)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求函數(shù)的切線方程，求出切點(diǎn)，結(jié)合圖象即可得出〖答案〗.〖詳析〗解：直線過(guò)定點(diǎn)，函數(shù)過(guò)四個(gè)象限等價(jià)于與在軸的左右兩邊有異號(hào)交點(diǎn)，過(guò)作的切線，設(shè)切點(diǎn)為，，切線方程為，切線過(guò)，解得或（舍去），此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，線段所在直線斜率為1；當(dāng)時(shí)，，射線所在直線斜率為，與軸交于，由圖象知滿足題意的的范圍是：.故〖答案〗為：.16.已知數(shù)列滿足，記（其中表示不大于的最大整數(shù)，比如），則__________.（參考數(shù)據(jù)：）〖答案〗6064〖解析〗〖祥解〗設(shè)，由導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，然后確定的值，再求和．〖詳析〗設(shè)，則，時(shí),,時(shí),,所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，又，所以存在使得，即，且當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，，又，所以，綜上，，所以.故〖答案〗為：6064.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.17.已知正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，.（1）求數(shù)列通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，證明：.〖答案〗（1）（2）證明見(jiàn)〖解析〗〖解析〗〖祥解〗（1）利用計(jì)算整理，可得，再利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式得〖答案〗；（2）將變形得，利用裂項(xiàng)相消法可得，進(jìn)一步觀察可得證明結(jié)論.〖小問(wèn)1詳析〗①，當(dāng)時(shí)，②，①-②得，整理得，，，又當(dāng)時(shí)，，解得，數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，；〖小問(wèn)2詳析〗由（1）得，，，即.18.在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，且.（1）求的大小；（2）在邊上，且，求的最大值.〖答案〗（1）；（2）.〖解析〗〖祥解〗（1）根據(jù)正弦定理可推得，整理可得，即可解出；（2）解法一：向量法.由題意知，.根據(jù)向量的運(yùn)算求出和，即可得到，令，換元整理可得.然后根據(jù)基本不等式即可求出的最大值；解法二：設(shè)，，根據(jù)，得到.根據(jù)余弦定理即可推出，換元可得，根據(jù)基本不等式即可求得最值.〖小問(wèn)1詳析〗因?yàn)椋鶕?jù)正弦定理可得：，可化為：，因?yàn)?，所以?所以原式可化為：，因?yàn)椋?，所以原式可化為，?因?yàn)?，所?〖小問(wèn)2詳析〗方法一：因?yàn)?，故，則，則.又，則.所以，，則.設(shè)，，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即，即時(shí)等號(hào)成立.所以，所以，的最大值為.方法二：設(shè)，，則，在中，由余弦定理有：，即①在和中，由余弦定理有：，，又，所以.所以，整理可得②由①②可得：.所以，，所以.設(shè)，，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即，即時(shí)等號(hào)成立.所以，所以，的最大值為.19.甲乙兩人進(jìn)行圍棋比賽，約定先連勝兩局者直接贏得比賽，若賽完5局仍末出現(xiàn)連勝，則判定獲勝局?jǐn)?shù)多者贏得比賽.假設(shè)每局甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立.（1）求乙只贏1局且甲贏得比賽的概率；（2）記為比賽決出勝負(fù)時(shí)的總局?jǐn)?shù)，求的分布列和期望.〖答案〗（1）（2）分布列見(jiàn)〖解析〗，〖解析〗〖祥解〗（1）乙只贏1局且甲贏得比賽，對(duì)于甲而言，可能是“負(fù)勝勝”，“勝負(fù)勝勝”兩種情況，根據(jù)獨(dú)立事件，互斥事件的概率公式求解；（2）的可能取值為，分別求出每種情況的概率，按照步驟求分布列即可.〖小問(wèn)1詳析〗記事件表示“乙只贏局且甲贏得比賽”，表示“第局甲獲勝”，表示“第局乙獲勝”，則，.則，事件與事件互斥，各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立.由概率加法公式和乘法公式，有．〖小問(wèn)2詳析〗的可能取值為，，，．故的分布列為2345所以.20.如圖，四棱錐中，已知，且與平面所成的角為.（1）證明：；（2）若點(diǎn)為的中點(diǎn)，求平面與平面夾角的余弦值.〖答案〗（1）證明見(jiàn)〖解析〗（2）〖解析〗〖祥解〗（1）根據(jù)題意，如圖所示，過(guò)點(diǎn)作面交面于點(diǎn)，連，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，可得平面，即，再根據(jù)四邊形為平行四邊形，即可得證；（2）以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸