2023屆山西省高三一模數(shù)學(xué)試題（解析版）

高考模擬試題PAGEPAGE12023年1月山西省高三適應(yīng)性調(diào)研考試數(shù)學(xué)（時(shí)間：120分鐘，滿分：150分）一、單項(xiàng)選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中有且只有一個(gè)選項(xiàng)符合題目要求）1.已知集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗〖祥解〗先化簡(jiǎn)集合A，B，再根據(jù)補(bǔ)集和交集的概念即可求解．〖詳析〗依題意可得，，所以．故選：D．2.復(fù)數(shù)滿足，則（）A.2 B. C.1 D.〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗根據(jù)，和來(lái)求解.〖詳析〗，于是.故選：C3.在天文學(xué)中，常用星等，光照度等來(lái)描述天體的明暗程度.兩顆星的星等與光照度滿足星普森公式.已知大犬座天狼星的星等為，天狼星的光照度是織女星光照度的4倍，據(jù)此估計(jì)織女星的星等為（參考數(shù)據(jù)）（）A.2 B.1.05 C.0.05 D.〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗根據(jù)題意，代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可得〖答案〗.〖詳析〗解：設(shè)天狼星的星等為，光照度為，織女星的星等為，光照度為，因?yàn)樘炖切堑墓庹斩仁强椗枪庹斩鹊?倍，所以，因?yàn)閮深w星的星等與光照度滿足星普森公式，所以，解得.所以，織女星的星等為故選：C4.經(jīng)過(guò),,三點(diǎn)的圓與直線的位置關(guān)系為（）A.相交 B.相切 C.相交或相切 D.無(wú)法確定〖答案〗A〖解析〗〖祥解〗先根據(jù)圓上三點(diǎn)坐標(biāo)求出圓的方程及圓心半徑,再根據(jù)圓心到直線的距離與半徑之間的大小關(guān)系,得出圓與直線的位置關(guān)系.〖詳析〗解:由題知,圓過(guò),,三點(diǎn),因?yàn)?所以,即,所以該圓是以為直徑的圓,可得圓心為,即,半徑,故圓的方程為,因?yàn)橹本€方程為:,所以圓心到直線的距離,當(dāng)時(shí),有,所以圓與直線相交,當(dāng)時(shí),有,所以圓與直線相交,綜上:圓與直線的位置關(guān)系是相交.故選:A5.已知矩形中，為邊中點(diǎn)，線段和交于點(diǎn)，則（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗〖祥解〗取中點(diǎn)，可證得四邊形為平行四邊形，得到，結(jié)合三角形中位線性質(zhì)可確定為上靠近的三等分點(diǎn)，從而根據(jù)向量線性運(yùn)算推導(dǎo)得到結(jié)果.〖詳析〗取中點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)，，，四邊形為平行四邊形，，又為中點(diǎn)，，同理可得：，，.故選：D.6.已知隨機(jī)變量的分布列如下：012其中，2，若，則（）A.， B.，C.， D.，〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗由題知，進(jìn)而根據(jù)二項(xiàng)分布的期望與方差公式，方差的性質(zhì)依次討論各選項(xiàng)即可得〖答案〗.〖詳析〗解：由表中數(shù)據(jù)可知，∴，，又∵，∴，，∴，.故選：B7.近年來(lái)受各種因素影響，國(guó)際大宗商品價(jià)格波動(dòng)較大，我國(guó)某鋼鐵企業(yè)需要不間斷從澳大利亞采購(gòu)鐵礦石，為保證企業(yè)利益最大化，提出以下兩種采購(gòu)方案.方案一：不考慮鐵礦石價(jià)格升降，每次采購(gòu)鐵礦石的數(shù)量一定；方案二：不考慮鐵礦石價(jià)格升降，每次采購(gòu)鐵礦石所花的錢數(shù)一定，則下列說(shuō)法正確的是（）A.方案一更經(jīng)濟(jì) B.方案二更經(jīng)濟(jì)C.兩種方案一樣 D.條件不足，無(wú)法確定〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗設(shè)第一次價(jià)格為，第二次價(jià)格為，進(jìn)而求解兩種方案的平均數(shù)，并比較大小即可.〖詳析〗解：設(shè)第一次價(jià)格，第二次價(jià)格為，方案一：若每次購(gòu)買數(shù)量，則兩次購(gòu)買的平均價(jià)格為，方案二：若每次購(gòu)買錢數(shù)為，則兩次購(gòu)買的平均價(jià)格為，所以，，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，“=”號(hào)成立，所以方案二更經(jīng)濟(jì).故選：B8.定義在上的函數(shù)滿足在區(qū)間內(nèi)恰有兩個(gè)零點(diǎn)和一個(gè)極值點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.的最小正周期為B.將的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱C.圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為D.在區(qū)間上單調(diào)遞增〖答案〗D〖解析〗〖祥解〗根據(jù)題意可求出的值，從而可得到的〖解析〗式，再根據(jù)〖解析〗式逐項(xiàng)分析即可．〖詳析〗依題可知，于是，于是，∴，∴，∴，對(duì)于A，由，則的最小正周期為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，將的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得，則，所以不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由，所以不是圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由，則，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，故D正確．故選：D．二、多項(xiàng)選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分）9.某同學(xué)用搜集到的六組數(shù)據(jù)繪制了如下散點(diǎn)圖，在這六個(gè)點(diǎn)中去掉點(diǎn)后重新進(jìn)行回歸分析，則下列說(shuō)法正確的是（）A.決定系數(shù)變小 B.相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越趨于1C.殘差平方和變小 D.解釋變量與預(yù)報(bào)變量相關(guān)性變?nèi)酢即鸢浮紹C〖解析〗〖祥解〗從圖中分析得到去掉點(diǎn)后，回歸效果更好，再由決定系數(shù)，相關(guān)系數(shù)，殘差平方和和相關(guān)性的概念和性質(zhì)作出判斷.〖詳析〗從圖中可以看出點(diǎn)較其他點(diǎn)，偏離直線遠(yuǎn)，故去掉點(diǎn)后，回歸效果更好，決定系數(shù)越接近于1，所擬合的回歸方程越優(yōu)，故去掉點(diǎn)后，變大，越趨于1，A錯(cuò)誤；相關(guān)系數(shù)越趨于1，擬合的回歸方程越優(yōu)，故去掉點(diǎn)后，故相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越趨于1，B正確；殘差平方和變小擬合效果越好，故C正確；解釋變量與預(yù)報(bào)變量相關(guān)性增強(qiáng)，D錯(cuò)誤.故選：BC10.設(shè)，，，則下列結(jié)論正確的是（）A.的最大值為 B.的最小值為C.的最小值為9 D.的最小值為〖答案〗ABC〖解析〗〖祥解〗對(duì)于AD，利用基本不等式判斷即可；對(duì)于B，利用不等式判斷即可，對(duì)于C，利用基本不等式“1”的妙用判斷即可.〖詳析〗對(duì)于A，因?yàn)?，，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)?，故，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即的最小值，故B正確；對(duì)于C，，當(dāng)且僅當(dāng)且，即，時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為9，故C正確；對(duì)于D，，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即的最大值，故D錯(cuò)誤．故選：ABC.11.1202年，斐波那契在《算盤全書(shū)》中從兔子問(wèn)題得到斐波那契數(shù)列1，1，2，3，5，8，13，21該數(shù)列的特點(diǎn)是前兩項(xiàng)為1，從第三項(xiàng)起，每一項(xiàng)都等于它前面兩項(xiàng)的和，人們把這樣的一列數(shù)組成的數(shù)列稱為斐波那契數(shù)列，19世紀(jì)以前并沒(méi)有人認(rèn)真研究它，但在19世紀(jì)末和20世紀(jì)，這一問(wèn)題派生出廣泛的應(yīng)用，從而活躍起來(lái)，成為熱門的研究課題，記為該數(shù)列的前項(xiàng)和，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.為偶數(shù)C. D.〖答案〗ACD〖解析〗〖祥解〗根據(jù)遞推關(guān)系計(jì)算出的值可判斷選項(xiàng)A；根據(jù)數(shù)列中項(xiàng)的特點(diǎn)可判斷選項(xiàng)B；由可得，再化簡(jiǎn)可判斷選項(xiàng)C；由，化簡(jiǎn)整理可判斷選項(xiàng)D，進(jìn)而可得正確選項(xiàng).〖詳析〗對(duì)于A：由題意知：，，，，，，，，，，，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于B：因?yàn)樵摂?shù)列的特點(diǎn)是前兩項(xiàng)為1，從第三項(xiàng)起，每一項(xiàng)都等于它前面兩項(xiàng)的和，此數(shù)列中數(shù)字的特點(diǎn)為：奇數(shù)、奇數(shù)、偶數(shù)的規(guī)律循環(huán)出現(xiàn)，每3個(gè)數(shù)一組，呈奇奇偶的順序排列，而（組）（個(gè)），故為奇數(shù)，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于C：由題意知：，所以，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于D：，故選項(xiàng)D正確，故選：ACD.12.在棱長(zhǎng)為1的正方體中，在側(cè)面（含邊界）內(nèi)運(yùn)動(dòng)，在底面（含邊界）內(nèi)運(yùn)動(dòng)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.若直線與直線所成角為30°，則點(diǎn)的軌跡為圓弧B.若直線與平面所成角為30°，則點(diǎn)的軌跡為雙曲線的一部分C.若，則點(diǎn)的軌跡為線段D.若到直線的距離等于到平面的距離，則點(diǎn)的軌跡為拋物線的一部分〖答案〗ABD〖解析〗〖祥解〗畫出正方體，根據(jù)各選項(xiàng)的不同條件對(duì)圖形進(jìn)行分析并運(yùn)算即可得出軌跡問(wèn)題的結(jié)論.〖詳析〗直線與直線所成角即為，在中，，∴，故在以為圓心，為半徑的圓落在側(cè)面內(nèi)的圓弧上，A正確；過(guò)作于點(diǎn)（如圖），設(shè)，，直線與平面所成角即為，在中，，從而，故點(diǎn)的軌跡為雙曲線的一部分，故B正確；在中，，從而，故在以為圓心，為半徑的圓落在底面內(nèi)的圓弧上，C錯(cuò)誤；到直線的距離等于到平面的距離，即到點(diǎn)的距離等于到直線的距離，故點(diǎn)的軌跡為拋物線的一部分，故D正確.故選：ABD.三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分.請(qǐng)將正確〖答案〗填入答題卡中對(duì)應(yīng)的位置）13.若，則______．〖答案〗〖解析〗〖祥解〗根據(jù)基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式及導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則即可計(jì)算出結(jié)果．〖詳析〗．故〖答案〗為：．14.已知隨機(jī)變量，且，則的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)_____.〖答案〗60〖解析〗〖祥解〗通過(guò)正態(tài)分布得出，再通過(guò)二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)得出常數(shù)項(xiàng)的值.〖詳析〗由正態(tài)分布易得，設(shè)二項(xiàng)展開(kāi)式第項(xiàng)，則常數(shù)項(xiàng)為當(dāng)時(shí)，值為60.故〖答案〗為：60.15.寫出一個(gè)同時(shí)滿足下列三個(gè)條件的函數(shù)的〖解析〗式______.①；②；③在上單調(diào)遞增.〖答案〗（〖答案〗不唯一，滿足條件即可）〖解析〗〖祥解〗根據(jù)題意得圖像關(guān)于直線對(duì)稱，點(diǎn)對(duì)稱，進(jìn)而結(jié)合三角函數(shù)性質(zhì)和條件③求解即可.〖詳析〗解：由①可知，函數(shù)圖像關(guān)于直線對(duì)稱；由②可知函數(shù)圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱；所以，，即，所以，即函數(shù)的周期為，故考慮余弦型函數(shù)，不妨令，所以，，即，滿足性質(zhì)①②，由③在上單調(diào)遞增可得，故不妨取，即，此時(shí)滿足已知三個(gè)條件.故〖答案〗為：16.已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)，為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，則周長(zhǎng)的最小值為_(kāi)_____.〖答案〗##〖解析〗〖祥解〗過(guò)作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，過(guò)作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，進(jìn)而結(jié)合拋物線的定義求解即可.〖詳析〗解：由題知，準(zhǔn)線方程為.如圖，過(guò)作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，過(guò)作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，所以周長(zhǎng)，當(dāng)且僅當(dāng)為與拋物線的交點(diǎn)時(shí)等號(hào)成立.故〖答案〗為：四、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）17.在①；②；③這三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，并解決該問(wèn)題.問(wèn)題：在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，且______.（1）求角的大??；（2）若，，邊上一點(diǎn)滿足，求.〖答案〗（1）條件選擇見(jiàn)〖解析〗，（2）〖解析〗〖祥解〗（1）選①：由正弦定理的邊化角公式結(jié)合三角恒等變換得出角的大小；選②：由正弦定理的邊角互化結(jié)合余弦定理得出角的大小；選③：由正弦定理的邊化角公式得出角的大??；（2）由結(jié)合向量的運(yùn)算得出.〖小問(wèn)1詳析〗選①.由及正弦定理得.又，∴，于是，，即，又，∴，故.選②.由及正弦定理得，化簡(jiǎn)得，于是，又，故.選③.由及正弦定理得，又，∴，于是，，又，故.〖小問(wèn)2詳析〗，兩邊平方有：，所以，.18.從下面的表格中選出3個(gè)數(shù)字（其中任意兩個(gè)數(shù)字不同行且不同列）作為遞增等差數(shù)列的前三項(xiàng).第1列第2列第3列第1行723第2行154第3行698（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式，并求的前項(xiàng)和；（2）若，記的前項(xiàng)和，求證.〖答案〗（1），（2）證明見(jiàn)〖解析〗〖解析〗〖祥解〗（1）由題知，，，進(jìn)而根據(jù)等差數(shù)列公式計(jì)算即可；（2）根據(jù)，再結(jié)合裂項(xiàng)求和法求解即可證明.〖小問(wèn)1詳析〗解：由題意，選出3個(gè)數(shù)字組成的等差數(shù)列的前三項(xiàng)為：，，，所以，，所以.〖小問(wèn)2詳析〗證明：.因?yàn)?，所以，所?9.如圖所示，在四棱錐中，側(cè)面平面，是邊長(zhǎng)為等邊三角形，底面為直角梯形，其中，，.（1）求到平面的距離；（2）線段上是否存在一點(diǎn)，使得平面與平面夾角的余弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.〖答案〗（1）（2）存在，〖解析〗〖祥解〗（1）建立空間直角坐標(biāo)系利用坐標(biāo)法求得點(diǎn)到平面的距離；（2）設(shè)，利用坐標(biāo)法結(jié)合兩平面夾角余弦值列方程，解得即可.〖小問(wèn)1詳析〗取的中點(diǎn)，連接，，為等邊三角形，，又平面平面，平面平面，平面，如圖所示，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線，，分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，設(shè)平面法向量為，，，即，令，則，又，故到平面的距離；〖小問(wèn)2詳析〗設(shè)，，，，則，，設(shè)平面的法向量為，，，則，令，則，又平面的法向量為，于是，化簡(jiǎn)得，又，得，即，故存在點(diǎn)，此時(shí).20.假設(shè)有兩個(gè)密閉的盒子，第一個(gè)盒子里裝有3個(gè)白球2個(gè)紅球，第二個(gè)盒子里裝有2個(gè)白球4個(gè)紅球，這些小球除顏色外完全相同.（1）每次從第一個(gè)盒子里隨機(jī)取出一個(gè)球，取出的球不再放回，經(jīng)過(guò)兩次取球，求取出的兩球中有紅球的條件下，第二次取出的是紅球的概率；（2）若先從第一個(gè)盒子里隨機(jī)取出一個(gè)球放入第二個(gè)盒子中，搖勻后，再?gòu)牡诙€(gè)盒子里隨機(jī)取出一個(gè)球，求從第二個(gè)盒子里取出的球是紅球的概率.〖答案〗（1）（2）〖解析〗〖祥解〗（1）利用對(duì)立事件的概率公式與條件概率公式，結(jié)合古典概型求解即可；（2）利用全概率公式，結(jié)合古典概型求解即可〖小問(wèn)1詳析〗依題意，記事件表示第次從第一個(gè)盒子里取出紅球，記事件表示兩次取球中有紅球，則，.〖小問(wèn)2詳析〗記事件表示從第一個(gè)盒子里取出紅球，記事件表示從第一個(gè)盒子里取出白球，記事件表示從第二個(gè)盒子里取出紅球，則.21.雙曲線的左、右頂點(diǎn)分別為，，焦點(diǎn)到漸近線的距離為，且過(guò)點(diǎn).（1）求雙曲線的方程；（2）若直線與雙曲線交于，兩點(diǎn)，且，證明直線過(guò)定點(diǎn).〖答案〗（1）（2）證明見(jiàn)〖解析〗〖解析〗〖祥解〗(1)根據(jù)雙曲線過(guò)點(diǎn)和焦點(diǎn)到漸近線的距離為列出方程組，解之即可；(2)設(shè)直線的斜率為，由題意直線的斜率為，將直線方程與雙曲線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理求出，兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再求出，兩點(diǎn)所在的直線方程即可求解.〖小問(wèn)1詳析〗由雙曲線可得漸近線為，不妨取漸近線即由焦點(diǎn)到漸近線的距離為可得，即由題意得，得，從而雙曲線的方程為.〖小問(wèn)2詳析〗設(shè)直線的斜率為，則直線的斜率為，由題意可知：直線的方程為，直線的方程為，聯(lián)立直線與雙曲線方程得，于是，從而，從而，聯(lián)立直線與雙曲線方程得，于是，從而，從而，于是，從而，化簡(jiǎn)得，從而過(guò)定點(diǎn).〖『點(diǎn)石成金』〗思路『點(diǎn)石成金』:與圓錐曲線相交的直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，設(shè)出直線的斜截式方程，與圓錐曲線方程聯(lián)立，借助韋達(dá)定理求出直線斜率與縱截距的關(guān)系即可解決問(wèn)題22.已知.（1）若的最小值為，求的值；（2）若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.〖答案〗（1）（2）〖解析〗〖祥解〗（1）由題知時(shí)不滿足題意，時(shí)，再令并研究其性質(zhì)得，進(jìn)而得；（2）令，將已知不等式等價(jià)于，進(jìn)而結(jié)合的單調(diào)性得，再結(jié)合（1）當(dāng)時(shí)，恒成立得，再解不等式即可得〖答案〗.〖小問(wèn)1詳析〗解：，定義域?yàn)?，①?dāng)時(shí)，在恒成立，單調(diào)遞增，又，故當(dāng)時(shí)，，不滿足題意，舍去；②當(dāng)時(shí)，由得，得，所以，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以.令，則，令，得，，得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以，當(dāng)?shù)淖钚≈禐闀r(shí)，即時(shí)，解得.所以〖小問(wèn)2詳析〗解：由（1）知：當(dāng)時(shí)，恒成立，等價(jià)于，又等價(jià)于.令，則上述不等式等價(jià)于因?yàn)楹愠闪?，所以，在上單調(diào)遞增，.所以等價(jià)于，即，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，恒成立，所以，故，解得.所以，實(shí)數(shù)的取值范圍是.〖『點(diǎn)石成金』〗方法『點(diǎn)石成金』：本題第二問(wèn)解題的方法在于構(gòu)造函數(shù)，進(jìn)而將已知不等式轉(zhuǎn)化為，進(jìn)而結(jié)合單調(diào)性轉(zhuǎn)化求解即可.

高考模擬試題PAGEPAGE12023年1月山西省高三適應(yīng)性調(diào)研考試數(shù)學(xué)（時(shí)間：120分鐘，滿分：150分）一、單項(xiàng)選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中有且只有一個(gè)選項(xiàng)符合題目要求）1.已知集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗〖祥解〗先化簡(jiǎn)集合A，B，再根據(jù)補(bǔ)集和交集的概念即可求解．〖詳析〗依題意可得，，所以．故選：D．2.復(fù)數(shù)滿足，則（）A.2 B. C.1 D.〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗根據(jù)，和來(lái)求解.〖詳析〗，于是.故選：C3.在天文學(xué)中，常用星等，光照度等來(lái)描述天體的明暗程度.兩顆星的星等與光照度滿足星普森公式.已知大犬座天狼星的星等為，天狼星的光照度是織女星光照度的4倍，據(jù)此估計(jì)織女星的星等為（參考數(shù)據(jù)）（）A.2 B.1.05 C.0.05 D.〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗根據(jù)題意，代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可得〖答案〗.〖詳析〗解：設(shè)天狼星的星等為，光照度為，織女星的星等為，光照度為，因?yàn)樘炖切堑墓庹斩仁强椗枪庹斩鹊?倍，所以，因?yàn)閮深w星的星等與光照度滿足星普森公式，所以，解得.所以，織女星的星等為故選：C4.經(jīng)過(guò),,三點(diǎn)的圓與直線的位置關(guān)系為（）A.相交 B.相切 C.相交或相切 D.無(wú)法確定〖答案〗A〖解析〗〖祥解〗先根據(jù)圓上三點(diǎn)坐標(biāo)求出圓的方程及圓心半徑,再根據(jù)圓心到直線的距離與半徑之間的大小關(guān)系,得出圓與直線的位置關(guān)系.〖詳析〗解:由題知,圓過(guò),,三點(diǎn),因?yàn)?所以,即,所以該圓是以為直徑的圓,可得圓心為,即,半徑,故圓的方程為,因?yàn)橹本€方程為:,所以圓心到直線的距離,當(dāng)時(shí),有,所以圓與直線相交,當(dāng)時(shí),有,所以圓與直線相交,綜上:圓與直線的位置關(guān)系是相交.故選:A5.已知矩形中，為邊中點(diǎn)，線段和交于點(diǎn)，則（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗〖祥解〗取中點(diǎn)，可證得四邊形為平行四邊形，得到，結(jié)合三角形中位線性質(zhì)可確定為上靠近的三等分點(diǎn)，從而根據(jù)向量線性運(yùn)算推導(dǎo)得到結(jié)果.〖詳析〗取中點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)，，，四邊形為平行四邊形，，又為中點(diǎn)，，同理可得：，，.故選：D.6.已知隨機(jī)變量的分布列如下：012其中，2，若，則（）A.， B.，C.， D.，〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗由題知，進(jìn)而根據(jù)二項(xiàng)分布的期望與方差公式，方差的性質(zhì)依次討論各選項(xiàng)即可得〖答案〗.〖詳析〗解：由表中數(shù)據(jù)可知，∴，，又∵，∴，，∴，.故選：B7.近年來(lái)受各種因素影響，國(guó)際大宗商品價(jià)格波動(dòng)較大，我國(guó)某鋼鐵企業(yè)需要不間斷從澳大利亞采購(gòu)鐵礦石，為保證企業(yè)利益最大化，提出以下兩種采購(gòu)方案.方案一：不考慮鐵礦石價(jià)格升降，每次采購(gòu)鐵礦石的數(shù)量一定；方案二：不考慮鐵礦石價(jià)格升降，每次采購(gòu)鐵礦石所花的錢數(shù)一定，則下列說(shuō)法正確的是（）A.方案一更經(jīng)濟(jì) B.方案二更經(jīng)濟(jì)C.兩種方案一樣 D.條件不足，無(wú)法確定〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗設(shè)第一次價(jià)格為，第二次價(jià)格為，進(jìn)而求解兩種方案的平均數(shù)，并比較大小即可.〖詳析〗解：設(shè)第一次價(jià)格，第二次價(jià)格為，方案一：若每次購(gòu)買數(shù)量，則兩次購(gòu)買的平均價(jià)格為，方案二：若每次購(gòu)買錢數(shù)為，則兩次購(gòu)買的平均價(jià)格為，所以，，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，“=”號(hào)成立，所以方案二更經(jīng)濟(jì).故選：B8.定義在上的函數(shù)滿足在區(qū)間內(nèi)恰有兩個(gè)零點(diǎn)和一個(gè)極值點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.的最小正周期為B.將的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱C.圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為D.在區(qū)間上單調(diào)遞增〖答案〗D〖解析〗〖祥解〗根據(jù)題意可求出的值，從而可得到的〖解析〗式，再根據(jù)〖解析〗式逐項(xiàng)分析即可．〖詳析〗依題可知，于是，于是，∴，∴，∴，對(duì)于A，由，則的最小正周期為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，將的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得，則，所以不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由，所以不是圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由，則，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，故D正確．故選：D．二、多項(xiàng)選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分）9.某同學(xué)用搜集到的六組數(shù)據(jù)繪制了如下散點(diǎn)圖，在這六個(gè)點(diǎn)中去掉點(diǎn)后重新進(jìn)行回歸分析，則下列說(shuō)法正確的是（）A.決定系數(shù)變小 B.相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越趨于1C.殘差平方和變小 D.解釋變量與預(yù)報(bào)變量相關(guān)性變?nèi)酢即鸢浮紹C〖解析〗〖祥解〗從圖中分析得到去掉點(diǎn)后，回歸效果更好，再由決定系數(shù)，相關(guān)系數(shù)，殘差平方和和相關(guān)性的概念和性質(zhì)作出判斷.〖詳析〗從圖中可以看出點(diǎn)較其他點(diǎn)，偏離直線遠(yuǎn)，故去掉點(diǎn)后，回歸效果更好，決定系數(shù)越接近于1，所擬合的回歸方程越優(yōu)，故去掉點(diǎn)后，變大，越趨于1，A錯(cuò)誤；相關(guān)系數(shù)越趨于1，擬合的回歸方程越優(yōu)，故去掉點(diǎn)后，故相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越趨于1，B正確；殘差平方和變小擬合效果越好，故C正確；解釋變量與預(yù)報(bào)變量相關(guān)性增強(qiáng)，D錯(cuò)誤.故選：BC10.設(shè)，，，則下列結(jié)論正確的是（）A.的最大值為 B.的最小值為C.的最小值為9 D.的最小值為〖答案〗ABC〖解析〗〖祥解〗對(duì)于AD，利用基本不等式判斷即可；對(duì)于B，利用不等式判斷即可，對(duì)于C，利用基本不等式“1”的妙用判斷即可.〖詳析〗對(duì)于A，因?yàn)椋?，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)?，故，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即的最小值，故B正確；對(duì)于C，，當(dāng)且僅當(dāng)且，即，時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為9，故C正確；對(duì)于D，，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即的最大值，故D錯(cuò)誤．故選：ABC.11.1202年，斐波那契在《算盤全書(shū)》中從兔子問(wèn)題得到斐波那契數(shù)列1，1，2，3，5，8，13，21該數(shù)列的特點(diǎn)是前兩項(xiàng)為1，從第三項(xiàng)起，每一項(xiàng)都等于它前面兩項(xiàng)的和，人們把這樣的一列數(shù)組成的數(shù)列稱為斐波那契數(shù)列，19世紀(jì)以前并沒(méi)有人認(rèn)真研究它，但在19世紀(jì)末和20世紀(jì)，這一問(wèn)題派生出廣泛的應(yīng)用，從而活躍起來(lái)，成為熱門的研究課題，記為該數(shù)列的前項(xiàng)和，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.為偶數(shù)C. D.〖答案〗ACD〖解析〗〖祥解〗根據(jù)遞推關(guān)系計(jì)算出的值可判斷選項(xiàng)A；根據(jù)數(shù)列中項(xiàng)的特點(diǎn)可判斷選項(xiàng)B；由可得，再化簡(jiǎn)可判斷選項(xiàng)C；由，化簡(jiǎn)整理可判斷選項(xiàng)D，進(jìn)而可得正確選項(xiàng).〖詳析〗對(duì)于A：由題意知：，，，，，，，，，，，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于B：因?yàn)樵摂?shù)列的特點(diǎn)是前兩項(xiàng)為1，從第三項(xiàng)起，每一項(xiàng)都等于它前面兩項(xiàng)的和，此數(shù)列中數(shù)字的特點(diǎn)為：奇數(shù)、奇數(shù)、偶數(shù)的規(guī)律循環(huán)出現(xiàn)，每3個(gè)數(shù)一組，呈奇奇偶的順序排列，而（組）（個(gè)），故為奇數(shù)，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于C：由題意知：，所以，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于D：，故選項(xiàng)D正確，故選：ACD.12.在棱長(zhǎng)為1的正方體中，在側(cè)面（含邊界）內(nèi)運(yùn)動(dòng)，在底面（含邊界）內(nèi)運(yùn)動(dòng)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.若直線與直線所成角為30°，則點(diǎn)的軌跡為圓弧B.若直線與平面所成角為30°，則點(diǎn)的軌跡為雙曲線的一部分C.若，則點(diǎn)的軌跡為線段D.若到直線的距離等于到平面的距離，則點(diǎn)的軌跡為拋物線的一部分〖答案〗ABD〖解析〗〖祥解〗畫出正方體，根據(jù)各選項(xiàng)的不同條件對(duì)圖形進(jìn)行分析并運(yùn)算即可得出軌跡問(wèn)題的結(jié)論.〖詳析〗直線與直線所成角即為，在中，，∴，故在以為圓心，為半徑的圓落在側(cè)面內(nèi)的圓弧上，A正確；過(guò)作于點(diǎn)（如圖），設(shè)，，直線與平面所成角即為，在中，，從而，故點(diǎn)的軌跡為雙曲線的一部分，故B正確；在中，，從而，故在以為圓心，為半徑的圓落在底面內(nèi)的圓弧上，C錯(cuò)誤；到直線的距離等于到平面的距離，即到點(diǎn)的距離等于到直線的距離，故點(diǎn)的軌跡為拋物線的一部分，故D正確.故選：ABD.三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分.請(qǐng)將正確〖答案〗填入答題卡中對(duì)應(yīng)的位置）13.若，則______．〖答案〗〖解析〗〖祥解〗根據(jù)基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式及導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則即可計(jì)算出結(jié)果．〖詳析〗．故〖答案〗為：．14.已知隨機(jī)變量，且，則的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)_____.〖答案〗60〖解析〗〖祥解〗通過(guò)正態(tài)分布得出，再通過(guò)二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)得出常數(shù)項(xiàng)的值.〖詳析〗由正態(tài)分布易得，設(shè)二項(xiàng)展開(kāi)式第項(xiàng)，則常數(shù)項(xiàng)為當(dāng)時(shí)，值為60.故〖答案〗為：60.15.寫出一個(gè)同時(shí)滿足下列三個(gè)條件的函數(shù)的〖解析〗式______.①；②；③在上單調(diào)遞增.〖答案〗（〖答案〗不唯一，滿足條件即可）〖解析〗〖祥解〗根據(jù)題意得圖像關(guān)于直線對(duì)稱，點(diǎn)對(duì)稱，進(jìn)而結(jié)合三角函數(shù)性質(zhì)和條件③求解即可.〖詳析〗解：由①可知，函數(shù)圖像關(guān)于直線對(duì)稱；由②可知函數(shù)圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱；所以，，即，所以，即函數(shù)的周期為，故考慮余弦型函數(shù)，不妨令，所以，，即，滿足性質(zhì)①②，由③在上單調(diào)遞增可得，故不妨取，即，此時(shí)滿足已知三個(gè)條件.故〖答案〗為：16.已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)，為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，則周長(zhǎng)的最小值為_(kāi)_____.〖答案〗##〖解析〗〖祥解〗過(guò)作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，過(guò)作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，進(jìn)而結(jié)合拋物線的定義求解即可.〖詳析〗解：由題知，準(zhǔn)線方程為.如圖，過(guò)作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，過(guò)作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，所以周長(zhǎng)，當(dāng)且僅當(dāng)為與拋物線的交點(diǎn)時(shí)等號(hào)成立.故〖答案〗為：四、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）17.在①；②；③這三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，并解決該問(wèn)題.問(wèn)題：在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，且______.（1）求角的大小；（2）若，，邊上一點(diǎn)滿足，求.〖答案〗（1）條件選擇見(jiàn)〖解析〗，（2）〖解析〗〖祥解〗（1）選①：由正弦定理的邊化角公式結(jié)合三角恒等變換得出角的大??；選②：由正弦定理的邊角互化結(jié)合余弦定理得出角的大小；選③：由正弦定理的邊化角公式得出角的大??；（2）由結(jié)合向量的運(yùn)算得出.〖小問(wèn)1詳析〗選①.由及正弦定理得.又，∴，于是，，即，又，∴，故.選②.由及正弦定理得，化簡(jiǎn)得，于是，又，故.選③.由及正弦定理得，又，∴，于是，，又，故.〖小問(wèn)2詳析〗，兩邊平方有：，所以，.18.從下面的表格中選出3個(gè)數(shù)字（其中任意兩個(gè)數(shù)字不同行且不同列）作為遞增等差數(shù)列的前三項(xiàng).第1列第2列第3列第1行723第2行154第3行698（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式，并求的前項(xiàng)和；（2）若，記的前項(xiàng)和，求證.〖答案〗（1），（2）證明見(jiàn)〖解析〗〖解析〗〖祥解〗（1）由題知，，，進(jìn)而根據(jù)等差數(shù)列公式計(jì)算即可；（2）根據(jù)，再結(jié)合裂項(xiàng)求和法求解即可證明.〖小問(wèn)1詳析〗解：由題意，選出3個(gè)數(shù)字組成的等差數(shù)列的前三項(xiàng)為：，，，所以，，所以.〖小問(wèn)2詳析〗證明：.因?yàn)椋?，所?9.如圖所示，在四棱錐中，側(cè)面平面，是邊長(zhǎng)為等邊三角形，底面為直角梯形，其中，，.（1）求到平面的距離；（2）線段上是否存在一點(diǎn)，使得平面與平面夾角的余弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.〖答案〗（1）（2）存在，〖解析〗〖祥解〗（1）建立空間直角坐標(biāo)系利用坐標(biāo)法求得點(diǎn)到平面的距離；（2）設(shè)，利用坐標(biāo)法結(jié)合兩平面夾角余弦值列方程，解得即可.〖小問(wèn)1詳析〗取的中點(diǎn)，連接，，為等邊三角形，，又平面平面，平面平面，平面，如圖所示，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線，，分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，設(shè)平面法向量為，，，即，令，則，又，故到平面的距離；〖小問(wèn)2詳析〗設(shè)，，，，則，，設(shè)平面的法向量為，，，則，令，則，又平面的法向量為，于是，化簡(jiǎn)得，又，得，即，故存在點(diǎn)，此時(shí).20.假設(shè)有兩個(gè)密閉的盒子，第一個(gè)盒子里裝有3個(gè)白球2個(gè)紅球，第二個(gè)盒子里裝有2個(gè)白球4個(gè)紅球，這些小