甘肅省慶陽市寧縣2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷含答案

2024-2025學(xué)年度高二第一學(xué)期數(shù)學(xué)期中考試試題一、單選題1.將自然數(shù)1，2，3，4，5，……，按照如圖排列，我們將2，4，7，11，16，……都稱為“拐角數(shù)”，則下列哪個(gè)數(shù)不是“拐角數(shù)”．（）A.22 B.30 C.37 D.46【答案】B【解析】【分析】先根據(jù)題中規(guī)律找到拐角數(shù)的通項(xiàng)公式，進(jìn)而可得.【詳解】由題意得第1個(gè)“拐角數(shù)”為，第2個(gè)“拐角數(shù)”為，第3個(gè)“拐角數(shù)”為，第4個(gè)“拐角數(shù)”為，則第個(gè)“拐角數(shù)”為．對(duì)于A：第6個(gè)“拐角數(shù)”是，故A不合題意；對(duì)于B、C：第7個(gè)“拐角數(shù)”是，第8個(gè)“拐角數(shù)”是，則30不是“拐角數(shù)”，故B適合題意，C不合題意；對(duì)于D：第9個(gè)“拐角數(shù)”，故D不合題意．故選：B.2.在等差數(shù)列an中，已知，，則數(shù)列an的通項(xiàng)公式可以為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】方法一，設(shè)出首項(xiàng)，公差為d，代入已知條件即可求解；方法二，根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)可求出，代入到已知可求出公差為d，即可求解；方法三，根據(jù)韋達(dá)定理可求出，是方程的兩根，再根據(jù)等差數(shù)列可求出通項(xiàng)公式.【詳解】方法一（基本量法）設(shè)an的首項(xiàng)為，公差為d，則由，得，∴．代入，整理得，解得．當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，．方法二（等差數(shù)列的性質(zhì)）∵，∴．，∴，∴．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．方法三（方程思想）∵，∴，∴，（由和與積，聯(lián)想到根與系數(shù)的關(guān)系）∴，是方程的兩根，∴或由，，得，∴．同理，由，，得．故選：3.已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，若，，則（）A.550 B.520 C.450 D.425【答案】D【解析】【分析】由等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)可得答案.【詳解】由等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)可得，，，，成等比數(shù)列，則，設(shè)，則，∵等比數(shù)列中，，∴解得，，故，∴，故選：D．4.過點(diǎn)作直線，若直線與連接，兩點(diǎn)的線段總有公共點(diǎn)，則直線的傾斜角范圍為（

）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由題知直線的斜率，再根據(jù)斜率范圍求解傾斜角的范圍即可.【詳解】設(shè)直線的傾斜角為，，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，，符合，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的斜率為，因?yàn)辄c(diǎn)，，，則，，因直線經(jīng)過點(diǎn)，且與線段總有公共點(diǎn)，所以，因?yàn)椋?，所以，所以直線的傾斜角范圍為.故選：B.5.直線：，：，若，則實(shí)數(shù)的值為（）A.0 B.1 C.0或1 D.或1【答案】C【解析】【分析】根據(jù)兩直線垂直的公式求解即可.【詳解】因?yàn)椋?，：垂直，所以，解得或，將，代入方程，均滿足題意，所以當(dāng)或時(shí)，.故選：.6.已知直線與直線平行，則與之間的距離為（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】A【解析】【分析】根據(jù)兩條直線平行，求出值，再應(yīng)用平行線間的距離公式求值即可.【詳解】因?yàn)橹本€與直線平行，所以，解之得.于是直線，即，所以與之間的距離為.故選：A7.若點(diǎn)在圓C：的外部，則m的取值可能為（）A.5 B.1 C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)點(diǎn)在圓外及方程表示圓求出的范圍得解.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在圓C：的外部，所以，解得，又方程表示圓，則，即，所以，結(jié)合選項(xiàng)可知，m的取值可以為.故選：C8.已知線段的端點(diǎn)B的坐標(biāo)是，端點(diǎn)A在圓上運(yùn)動(dòng)，則線段的中點(diǎn)的軌跡方程為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)出動(dòng)點(diǎn)和動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)，找到動(dòng)點(diǎn)和動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系，再利用相關(guān)點(diǎn)法求解軌跡方程即可.【詳解】設(shè)，，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得，所以，故，因?yàn)锳在圓上運(yùn)動(dòng)，所以，化簡(jiǎn)得，故B正確.故選：B二、多選題9.已知是的前項(xiàng)和，，，則下列選項(xiàng)正確的是（）A. B.C. D.是以為周期的周期數(shù)列【答案】BD【解析】【分析】由已知數(shù)列遞推式，可得an是以3為周期的周期數(shù)列，判斷；結(jié)合數(shù)列的周期性逐一分析選項(xiàng)【詳解】，，，，，，則數(shù)列an是以為周期的周期數(shù)列，故正確；則，故錯(cuò)誤；，故正確；可得，故錯(cuò)誤．故選：10.已知等比數(shù)列中，，，則（）A.公比為 B.C.當(dāng)時(shí)， D.的前10項(xiàng)積為1【答案】ABD【解析】【分析】由等比數(shù)列an中，，，可求得公比，根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)結(jié)合等比數(shù)列通項(xiàng)公式即可判斷各個(gè)選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，設(shè)等比數(shù)列an的公比為，由，得，解得，故A正確；對(duì)于B項(xiàng)，，則，故B正確；對(duì)于C項(xiàng)，，當(dāng)時(shí)，，則，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D項(xiàng)，由，可得an的前10項(xiàng)積為，故D正確．故選：ABD.11.若方程表示的曲線為圓，則實(shí)數(shù)的值可以為（）A.0 B. C.1 D.2【答案】AD【解析】【分析】先將方程合理轉(zhuǎn)化，后結(jié)合二元二次方程表示圓的條件求解即可.【詳解】方程，即，若方程表示圓，則，解得或，結(jié)合選項(xiàng)可知AD正確，BC錯(cuò)誤.故選：AD三、填空題12.設(shè)等差數(shù)列與的前n項(xiàng)和分別為，，且，則__________．【答案】【解析】【分析】由等差數(shù)列的性質(zhì)，推導(dǎo)出，代入題干所給公式得到結(jié)果.【詳解】，故答案為：．13.設(shè)直線與直線的交點(diǎn)為P，則P到直線的距離的最大值為____________．【答案】【解析】【分析】先求出的坐標(biāo)，再求出直線所過的定點(diǎn)，則所求距離的最大值就是的長(zhǎng)度.【詳解】由可以得到，故，直線方程可整理為：，故直線過定點(diǎn)，因?yàn)榈街本€的距離，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故，故答案為：.14.已知，，，第三個(gè)頂點(diǎn)C在曲線上移動(dòng)，則的重心的軌跡方程是______．【答案】【解析】【分析】設(shè)，由題可得重心坐標(biāo)為：，后由橫縱坐標(biāo)間關(guān)系可得答案.【詳解】設(shè)，因，則.因，，則重心坐標(biāo)為.設(shè)，則，則.故重心軌跡方程為：.故答案為：.四、解答題15.等差數(shù)列an的前項(xiàng)和為，已知，.（1）求數(shù)列an（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)條件轉(zhuǎn)化為首項(xiàng)和公差的方程，即可求解；（2）根據(jù)數(shù)列正項(xiàng)和負(fù)項(xiàng)的分界，討論與的關(guān)系，求解.【小問1詳解】設(shè)數(shù)列an的公差為，∵，∴，∵，∴?，∴公差為，∴，∴；【小問2詳解】由已知，時(shí)，；時(shí)，；綜上.16.已知是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，，且，，成等差數(shù)列．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設(shè)公比為，根據(jù)等差中項(xiàng)可得，根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式列式求解即可；（2）由（1）可知：，利用分組求和結(jié)合等差、等比數(shù)列求和公式運(yùn)算求解.【小問1詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，且，因?yàn)椋?，成等差?shù)列，則，即，解得或（舍去），所以的通項(xiàng)公式為.【小問2詳解】由（1）可知：，則，所以.17.已知點(diǎn)，直線.（1）求點(diǎn)P到直線l的距離；（2）求點(diǎn)P關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)Q的坐標(biāo).【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由點(diǎn)到直線距離公式即可得解；（2）設(shè)對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為，利用兩直線垂直的性質(zhì)與中點(diǎn)坐標(biāo)公式列方程組即可得解.【小問1詳解】因?yàn)辄c(diǎn)，直線，所以點(diǎn)P到直線l的距離為；【小問2詳解】設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為，則中點(diǎn)的坐標(biāo)為，又直線的斜率為，所以，解得，即.18.已知的圓心在x軸上，經(jīng)過點(diǎn)和．（1）求的方程；（2）過點(diǎn)的直線l與交于A、B兩點(diǎn)．（ⅰ）若，求直線l的方程；（ⅱ）求弦AB最短時(shí)直線l的方程．【答案】（1）（2）①或；②.【解析】【分析】（1）設(shè)圓心為，根據(jù)題中條件求出的值，可求出圓的半徑，即可得出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）①求出圓心到直線的距離，對(duì)直線的斜率是否存在進(jìn)行分類討論，在直線的斜率不存在時(shí)，直線寫出直線的方程，直接驗(yàn)證即可；在直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，利用點(diǎn)到直線的距離公式求出的值，綜合可得出結(jié)果；②分析可知，當(dāng)時(shí)，AB取最小值，求出直線的斜率，可得出直線的斜率，再利用點(diǎn)斜式可得出直線的方程.【小問1詳解】設(shè)圓心為，由題意可得，解得，所以，圓的半徑為，因此，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問2詳解】①當(dāng)時(shí)，圓心到直線的距離為，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為，此時(shí)，圓心到直線的距離為，合題意，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，即，則，解得，此時(shí)，直線的方程為.綜上所述，直線的方程為或.②當(dāng)時(shí)，圓心到直線的距離最大，此時(shí)，AB取最小值，因?yàn)?，則，此時(shí)，直線方程為，即.19.把滿足任意總有的函數(shù)稱為和弦型函數(shù).（1）已知為和弦型函數(shù)且，求的值；（2）在（1）的條件下，定義數(shù)列：，求的值；（3）若為和弦型函數(shù)且對(duì)任意非零實(shí)數(shù)，總有．設(shè)有理數(shù)滿足，判斷與的大小關(guān)系，并給出證明．【答案】（1）；（2）（3），證明見解析【解析】【分析】（1）利用所給定義，使用賦值法分別令、代入計(jì)算即可得解；（2）令代入計(jì)算可得，即可得其通項(xiàng)公式，結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算與等差數(shù)列求和公式計(jì)算即可得解；（3）令，數(shù)列滿足，從而只需證明數(shù)列遞增數(shù)列即可得證.【小問1詳解】令，則，可得，令，則，則；【小問2詳解】令，則，，即，又，所以數(shù)列為以為公比，為首項(xiàng)的等比數(shù)列，即