湖北省鄂東南省級示范高中聯(lián)盟學(xué)校2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題含答案

2023年秋季鄂東南省級示范高中教育教學(xué)改革聯(lián)盟學(xué)校期中聯(lián)考高一數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.命題“，使得”的否定為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)存在命題的否定為全稱命題，即可求解.【詳解】由題意得：命題：，使得的否定為：，，故A項(xiàng)正確.故選：A.2.已知集合，若，則的值是（）A.0 B.3 C. D.3，0【答案】D【解析】【分析】根據(jù)，可得，分類討論即可.【詳解】因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，此時(shí)，，符合題意；當(dāng)時(shí)，解得或，當(dāng)時(shí)，，符合題意；當(dāng)時(shí)，與集合元素的互異性矛盾，不符合題意，綜上：或，故選：D.3.下列命題為真命題的是（）A.若.則 B.若.則C.若，則 D.若均為實(shí)數(shù)，則【答案】B【解析】【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)，以及采用特殊值驗(yàn)證的方法判斷四個(gè)選項(xiàng)即可.【詳解】對于A，若，當(dāng)時(shí)，，故A錯(cuò)誤；對于B，，所以，又因?yàn)?，所以，故B正確；對于C，，則當(dāng)，，，時(shí)，，，此時(shí)，故C錯(cuò)誤；對于D，當(dāng)時(shí)，，，，故D錯(cuò)誤；故選：B.4.若，且，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)利用基本不等式結(jié)合一元二次不等式運(yùn)算求解.【詳解】因?yàn)椋?，且，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，可得，解得或（舍去），所以，即的取值范圍是.故選：C.5.已知函數(shù)，那么函數(shù)的定義域是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)定義域的概念計(jì)算即可.【詳解】由題意可知有意義需要，又，所以函數(shù)的定義域是.故選：D6.已知是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則不等式的解集為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意結(jié)合奇函數(shù)的性質(zhì)，分析得正負(fù)，進(jìn)而求解即可.【詳解】由時(shí)，，可知當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，又為奇函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，由，可得或，解得或，所以不等式的解集為.故選：C7.函數(shù)的圖像不可能是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由于函數(shù)的解析式中含有參數(shù)，因此可考慮對直接進(jìn)行取值，然后再判斷的大致圖象即可.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋?，所以該函?shù)為偶函數(shù)，下面只討論時(shí)的情況：，當(dāng)時(shí)，，圖象為C；當(dāng)時(shí)，，圖象為B；若時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，圖象為D；所以函數(shù)的圖象可能為：BCD.故選：A.8.關(guān)于的方程有兩個(gè)相等的正根，則（）A.有最大值 B.有最大值 C.有最小值 D.有最小值【答案】B【解析】【分析】依題意可得，則，再利用基本不等式計(jì)算可得.【詳解】因關(guān)于的方程有兩個(gè)相等的正根，所以，所以.，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，所以有最大值.故選：B.二、多選題（本小題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯(cuò)的得0分）9.設(shè)集合，，，.則下列關(guān)系中正確的是（）A. B. C. D.【答案】AD【解析】【分析】求出集合、，即可判斷A、B、C，再求出方程組的解，即可判斷D.【詳解】集合是函數(shù)的定義域，即，集合是函數(shù)值域，即，所以，故A正確；集合、是數(shù)集，集合是點(diǎn)集，故B、C錯(cuò)誤；由，解得或，所以，故D正確.故選：AD10.已知關(guān)于的不等式的解集為，則（）A.函數(shù)有最大值B.C.D.的解集為【答案】ABD【解析】【分析】（1）由一元二次不等式解集即可知，即函數(shù)有最大值，A正確；由可知即B正確；利用韋達(dá)定理可得，即可知C錯(cuò)誤；易知不等式可化為，解得可知D正確.【詳解】因?yàn)椴坏仁降慕饧癁?，所以，函?shù)開口向下，有最大值，A正確；又，函數(shù)值即B正確；又是關(guān)于的二次方程的兩根，則，所以，則C錯(cuò)誤；不等式即為，即，解得或，，D正確.故選：ABD.11.已知條件“函數(shù)是定義在上的增函數(shù)”，下列哪些是的充分不必要條件（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】【分析】首先根據(jù)分段函數(shù)單調(diào)性求解參數(shù)的取值范圍，然后再根據(jù)充分不必要條件的定義進(jìn)行求解即可.【詳解】函數(shù)是定義在上的增函數(shù)的充要條件是：解得.又與都是的真子集，故“”、“”是“函數(shù)是定義在上的增函數(shù)”的充分不必要條件.故選：BC12.如果我們把集合的所有子集組成的集合叫做集合的冪集，記為.用表示有限集的元素個(gè)數(shù).下列命題中正確的是（）A.若，則；B.存在集合，使得；C.若，則；D.若，則.【答案】AC【解析】【分析】按冪集的定義逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】對于A，若，則的子集之一就是，所以，故A正確；對于B，若，則，故B錯(cuò)誤；對于C，若，則的公共子集只有空集，故，故C正確；對于D，若，不妨設(shè)，則，，顯然，故D錯(cuò)誤.故選：AC.三、填空題（本小題共4小題，每小題5分，共20分）13.已知全集是小于的自然數(shù)，，，則______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)并集、補(bǔ)集的定義計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)槭切∮诘淖匀粩?shù)，又，，所以，所以.故答案為：14.已知函數(shù)滿足，則函數(shù)值域?yàn)開_____.【答案】【解析】【分析】換元法得到的解析式，進(jìn)而由定義域求出值域.【詳解】令，則，所以，所以的解析式為，其中.當(dāng)時(shí)，，所以值域?yàn)?故答案：15.已知函數(shù)，若關(guān)于的不等式恰有1個(gè)整數(shù)解，則實(shí)數(shù)的最大值是______.【答案】3【解析】【分析】先得到的圖象，分和兩種情況，數(shù)形結(jié)合得到唯一的整數(shù)解是1，從而得到，求出答案.【詳解】函數(shù)，如圖所示，不等式恰有1個(gè)整數(shù)解，當(dāng)時(shí)，則，結(jié)合圖像觀察，唯一的整數(shù)解是1，依題意得，，當(dāng)時(shí)，則，此時(shí)不會是最大值；所以實(shí)數(shù)的最大值是3故答案為：316.設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，如果存在區(qū)間，使得在上值域?yàn)榍覇握{(diào)，則稱為函數(shù)的保值區(qū)間.已知冪函數(shù)在上是單調(diào)增函數(shù).（1）函數(shù)的解析式______；（2）若函數(shù)存在保值區(qū)間，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.【答案】①.②.【解析】【分析】（1）由冪函數(shù)定義以及函數(shù)單調(diào)性即可求得，所以；（2）根據(jù)保值區(qū)間定義，即可知方程在上有兩個(gè)不等的實(shí)根，由換元法并利用二次函數(shù)根的分布即可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）因?yàn)閮绾瘮?shù)在上是單調(diào)增函數(shù)，所以，解得，所以函數(shù)的解析式為.（2）因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，若存在保值區(qū)間，則，即，也就是方程在上有兩個(gè)不等的實(shí)根，令，得，所以在上有兩個(gè)不等的實(shí)根，令，則，可得，解得，故實(shí)數(shù)的取值范圍是四、解答題（本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.（1）已知，求的取值范圍；（2）若，且，求的最小值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）設(shè)，求得，利用不等式的性質(zhì)即可求解；（2）設(shè)，可得，結(jié)合基本不等式即可求解.【詳解】解：（1）設(shè)，其中，則，解得，即，因?yàn)?，所以，所以的取值范圍為；?）設(shè)，則，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，所以的最小值為.18.（1）已知克糖水中含有克糖（），再添加克糖（）（假設(shè)全部溶解），糖水變甜了.請將這一事實(shí)表示為一個(gè)不等式，不必證明.利用此結(jié)論證明：若為三角形的三邊長，則.（2）超市里面提供兩種糖：白糖每千克元，紅糖每千克元.小東買了相同質(zhì)量的兩種糖，小華買了相同價(jià)錢的兩種糖.請問誰買的糖的平均價(jià)格比較高？請證明你的結(jié)論.（物品的平均價(jià)格物品的總價(jià)錢物品的總質(zhì)量）【答案】（1）；證明見解析；（2）小東買到的糖的平均價(jià)格較高，證明見解析；【解析】【分析】（1）根據(jù)糖在糖水中所占的比例的變化可得出不等式，利用此結(jié)果從而求解；（2）求出兩人買到的糖的平均價(jià)格，利用作差法可得出結(jié)論.【小問1詳解】糖水變甜了得出不等式設(shè)的三邊長分別為，則有，由上述不等式可得：，將以上不等式左右兩邊分別相加得：，所以：.【小問2詳解】對于小東而言，他買到的糖的平均價(jià)格為（元/千克），對于小華而言，設(shè)小華買兩種糖的費(fèi)用均為元，則他買到的糖的總質(zhì)量為千克，故小華買到的糖的平均價(jià)格為（元/千克），，即小東買到的糖的平均價(jià)格較高.19.已知函數(shù).（1）若函數(shù)圖像關(guān)于對稱，求不等式的解集；（2）若當(dāng)時(shí)函數(shù)的最小值為2，求當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值.【答案】（1），且（2）答案見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)題意解一元二次不等式即可；（2）分類討論函數(shù)單調(diào)區(qū)間，找到最小值點(diǎn)，由最小值為2，求出系數(shù)b，再求函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的最大值.【小問1詳解】因?yàn)椋簣D像關(guān)于對稱，所以：，所以：得：，解得：，且，所以，原不等式的解集為：，且.【小問2詳解】因?yàn)槭嵌魏瘮?shù)，圖像拋物線開口向上，對稱軸為，①若，則在上增函數(shù)，所以：，解得：；所以：，②若，則在上是減函數(shù)，所以：，解得：（舍）；③若，則在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)；所以：，解得：或（舍），所以：綜上，當(dāng)時(shí)，的最大值為；當(dāng)時(shí)，最大值為.20.設(shè)函數(shù)的定義域是，且對任意的正實(shí)數(shù)都有恒成立，當(dāng)時(shí)，.（1）判斷并證明函數(shù)在上的單調(diào)性：（2）若，求不等式的解集.【答案】（1）在上為增函數(shù)，證明見解析（2）或【解析】【分析】（1）已知條件結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的證明方法即可得解.（2）通過適當(dāng)變形，把已知不等式轉(zhuǎn)化為方便運(yùn)用單調(diào)性的形式即可.【詳解】（1）在上為增函數(shù).設(shè)，則即，，故，即，故在上為增函數(shù)；（2）由得：，，所以，解得或，所以不等式的解集為：或.21.為迎接購物節(jié)，某家具廠在直播平臺主推一款網(wǎng)紅床（每套床包括1張床和2個(gè)床頭柜）.根據(jù)大數(shù)據(jù)預(yù)測，家具廠應(yīng)先制作1013套網(wǎng)紅床以應(yīng)對本次搶購.為了盡快完成訂單，該廠將100名技術(shù)工人分成兩組，一組只制作床，另一組只制作床頭柜.已知每張床和每個(gè)床頭柜制作的工作量分別為3人1天和1人1天.若兩組同時(shí)開工，問如何安排兩組人數(shù)才能使得工期最短？【答案】安排60人制作床，40人制作床頭柜工期最短.【解析】【分析】設(shè)安排制床人數(shù)為，制床頭柜人數(shù)，根據(jù)題意列出方程，求出方程解即可得到結(jié)果.【詳解】解：設(shè)人制作床，則人制作床頭柜，.由已知條件得，完成床時(shí)間為，完成床頭柜時(shí)間為，套床完成時(shí)間為由，得，且，當(dāng)單調(diào)遞減，最小值為，當(dāng)在單調(diào)遞增，最小值為，即，所以安排60人制作床，40人制作床頭柜工期最短.22.函數(shù)的圖像關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)，可以將其推廣為：函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù).給定函數(shù).（1）根據(jù)上述材料求函數(shù)的對稱中心；（2）判斷的單調(diào)性（