電大離散數(shù)學集合論部分期末復習輔導

/離散數(shù)學集合論部分期末復習輔導一、單項選擇題1．若集合A＝{a，{a}，{1，2}}，則下列表述正確的是()．A．{a，{a}}AB．{1，2}AC．{a}AD．A解因為aA，所以{a}A2．若集合{1，2}，{1，2，{1，2}}，則下列表述正確的是()．A．AB，且ABB．BA，且ABC．AB，且ABD．AB，且AB解因為1B，2B，{1，2}B，{1，2}所以AB，且AB3．若集合A＝{2，a，{a}，4}，則下列表述正確的是()．A．{a，{a}}AB．AC．{2}AD．{a}A解因為aA，所以{a}A4．若集合A＝{a，{a}}，則下列表述正確的是()．A．{a}AB．{{{a}}}AC．{a，{a}}AD．A解因為aA，所以{a}A注：若請你判斷是否存在兩個集合A，B，使AB，且AB同時成立，怎么做？答：存在。如2題中的集合A、B?；?，設{a}，{a，{a}}。注意：以上題型是重點，大家一定要掌握，還要靈活運用，譬如，將集合中的元素作一些調(diào)整，大家也應該會做．例如，下題是2011年1月份考試試卷的第1題：若集合A＝{a，{1}}，則下列表述正確的是()．A．{1}AB．{1}AC．{a}AD．A解因為{1}是集合A的一個元素，所以{1}A5．設集合{a}，則A的冪集為()．A．{{a}}B．{a，{a}}C．{，{a}}D．{，a}解A={a}的所有子集為0元子集，即空集：?；1元子集，即單元集：{a}．所以P(A)={，{a}}6．設集合A={1,a}，則P(A)=()．A．{{1},{a}}B．{,{1},{a}}C．{,{1},{a},{1,a}}D．{{1},{a},{1,a}}解A={1,a}的所有子集為0元子集，即空集：?；1元子集，即單元集：{1}，{a}；2元子集：{1,a}．所以P(A)={?,{1},{a},{1,a}}．注意：若集合A有一個或有三個元素，那么P(A)怎么寫呢？例如，2012年1月份考試題的第6題：設集合A＝{a}，那么集合A的冪集是{,{a}}．若A是n元集，則冪集P(A)有2n個元素．當8或10時，A的冪集的元素有多少個？（應該是256或1024個）7．若集合A的元素個數(shù)為10，則其冪集的元素個數(shù)為（）．A．1024B．10C．100D．1解=10，所以(A)|=210=1024以下為2012年1月份考試題的第1題：若集合A的元素個數(shù)為10，則其冪集的元素個數(shù)為（）．A．10B．100C．1024D．18．設A、B是兩個任意集合，側(cè)AB()．A．B．ABC．ABD．B解設xA，則因為AB，所以xAB，從而xB，故AB．9．設集合{1,2,3,4}，R是A上的二元關系，其關系矩陣為＝則R的關系表達式是()．A．{<1,1>，<1,4>，<2,1>，<3,4>，<4,1>}B．{<1,1>，<1,2>，<1,4>，<4,1>，<4,3>}C．{<1,1>，<2,1>，<4,1>，<4,3>，<1,4>}D．{<1,1>，<1,2>，<2,4>，<4,1>，<4,3>}10．集合{1,2,3,4,5,6,7,8}上的關系{<x，y>10且x,}，則R的性質(zhì)為（）．A．自反的B．對稱的C．傳遞且對稱的D．反自反且傳遞的解R={<2，8>，<3，7>，<4，6>，<5，5>，<6，4>，<7，3>，<8，2>}易見，若<i，j>R，則<j，i>R，所以R是對稱的．答B(yǎng)另，因為1A，但<1,1>R，所以R不是自反的。因為5A，但<5,5>R，所以R不是反自反的。因為<2，8>R且<8，2>R，但<2，2>R，所以R不是傳遞的。要求大家能熟練地寫出二元關系R的集合表達式，并能判別R具有的性質(zhì)．11．集合{1,2,3,4}上的關系{<x，y>且x,}，則R的性質(zhì)為（）．A．不是自反的B．不是對稱的C．傳遞的D．反自反解R={<1，1>，<2，2>，<3，3>，<4，4>}＝是A上的恒等關系，是自反的、對稱的、傳遞的。答C12．如果R1和R2是A上的自反關系，則R1∪R2，R1∩R2，R12中自反關系有（）個．A．0B．2C．1D．3解對于任意aA，由于R1和R2是A上的自反關系，所以<a，a>R1，<a，a>R2，從而<a，a>R1∪R2，<a，a>R1∩R2，<a，a>(R12)故R1∪R2，R1∩R2是A上的自反關系，R12是A上的反自反關系．答B(yǎng)13．設集合{1,2,3,4}上的二元關系{1,1，2,2，2,3，4,4}，{1,1，2,2，2,3，3,2，4,4}，則S是R的（）閉包．A．自反B．傳遞C．對稱D．自反和傳遞解RS，S是對稱關系，且S去掉任意一個元素就不包含R或沒有對稱性，即S是包含R的具有對稱性的最小的關系，從而S是R的對稱閉包．答C14．設{1,2,3,4,5,6,7,8}，R是A上的整除關系，{2,4,6}，則集合B的最大元、最小元、上界、下界依次為()．A．8、2、8、2B．8、1、6、1C．6、2、6、2D．無、2、無、2解關系R的哈斯圖如下：由圖可見，集合{2,4,6}無最大元，其最小元是2．無上界，下界是2和1．答D15．設集合{1，2，3，4，5}，偏序關系是A上的整除關系，則偏序集<A，>上的元素5是集合A的（）．A．最大元B．最小元C．極大元D．極小元解關系R的哈斯圖如下：由圖可見，元素5是集合A的極大元．答C2424135A．下界B．最小上界C．最大下界D．最小元答B(yǎng)17．設{a,b}，{1,2}，R1，R2，R3是A到B的二元關系，且R1={<a，2>,<b，2>}，R2={<a，1>,<a，2>,<b，1>}，R3={<a，1>,<b，2>}，則（）不是從A到B的函數(shù)．A．R1B．R2C．R3D．R1和R3解<a，1>R2，<a，2>R2，即R2不滿足函數(shù)定義的單值性，因而不是函數(shù)．答B(yǎng)注意：函數(shù)R1，R3的定義域、值域是什么？兩個函數(shù)R1，R3是否能復合？解(R1)={a,b}，(R1)={2}；(R3)={a,b}，(R3)={1,2}．因為(R1)(R3)，所以函數(shù)R1和R3不能復合。18．設{a，b，c}，{1，2}，作f：A→B，則不同的函數(shù)個數(shù)為．A．2B．3C．6D．8解A×B＝{<a，1>，<a，2>，<b，1>，<b，2>，<c，1>，<c，2>}A×B的任一子集即為從A到B的二元關系，在這些關系中滿足函數(shù)定義的兩個條件（①單值性；②定義域是A）的關系只能是{<a，>，<b，>，<c，>}，其中每個有序?qū)Φ牡诙乜扇?或2，于是可知有2×2×2＝8個不同的函數(shù)．答D事實上，8個不同的函數(shù)為：f1={a,1，b,1，c,1}，f2={a,1，b,1，c,2}，f3={a,1，b,2，c,1}，f4={a,2，b,1，c,1}，f5={a,1，b,2，c,2}，f6={a,2，b,1，c,2}，f7={a,2，b,2，c,1}，f8={a,2，b,2，c,2}．19．設集合A={1,2,3}上的函數(shù)分別為：f={1,2，2,1，3,3}，g={1,3，2,2，3,2}，h={1,3，2,1，3,1}，則h=（）．A．f?gB．g?fC．f?fD．g?g解f?g＝{1,3，2,1，3,1}＝hg?f＝{1,2，2,3，3,2}f?f＝{1,1，2,2，3,3}g?g＝{1,2，2,2，3,2}答A20．設函數(shù)f：NN，f(n)1，下列表述正確的是（）．A．f存在反函數(shù)B．f是雙射的C．f是滿射的D．f是單射函數(shù)解因為任意，，則，所以f是單射．對于，不存在，使，所以f不是滿射．從而f不是雙射，也不存在反函數(shù)．答D二、填空題1．設集合，則P(A)(B)=，A．解答{{3},{1,3},{2,3},{1,2,3}}{<1,1>,<1,2>,<2,1>,<2,2>,<3,1>,<3,2>}2．設集合A有10個元素，那么A的冪集合P(A)的元素個數(shù)為．答2103．設集合{0,1,2,3}，{2,3,4,5}，R是A到B的二元關系，則R的有序?qū)蠟椋餜＝{<2,2>，<2,3>，<3,2>，<3,3>}注意：如果將二元關系R改為或則R的有序?qū)鲜鞘裁茨?？答R＝{<2,4>}或R＝{<1,2>，<2,3>，<3,4>}4．設集合{1,2,3,4}，{6,8,12}，A到B的二元關系R＝那么5．設集合｛a,b,c,d｝，A上的二元關系{<a,b>,<b,a>,<b,c>,<c,d>}，則R具有的性質(zhì)是．因為任意xA，<>R，所以R是反自反的．答反自反的6．設集合｛a,b,c,d｝，A上的二元關系{<a,a>,<b,b>,<b,c>,<c,d>}，若在R中再增加兩個元素，則新得到的關系就具有對稱性．答<c,b>，<d,c>注意：第5，6題是重點，我們要熟練掌握，尤其是A和R的元素都減少的情況。如果6題新得到的關系具有自反性，那么應該增加哪兩個元素呢？答應增加<c,c>，<d,d>兩個元素7．如果R1和R2是A上的自反關系，則R1∪R2，R1∩R2，R12中自反關系有個．答2（見：一、9題）8．設{1,2}上的二元關系為{<x,y>A，yA,=10}，則R的自反閉包為．因為R＝，所以R的自反閉包s(R){<1,1>,<2,2>}答{<1,1>,<2,2>}注意：如果二元關系改為{<x,y>A，yA,<10}，則R的自反閉包是什么呢？解R＝{<1,1>,<1,2>,<2,1>,<2,2>}是A上的全關系，它的自反閉包是它自己。答R或{<1,1>,<1,2>,<2,1>,<2,2>}9．設R是集合A上的等價關系，且1,2,3是A中的元素，則R中至少包含等元素．答<1,1>，<2,2>，<3,3>因為等價關系一定是自反的、對稱的、傳遞的，由二元關系R是自反的，所以它至少包含<1,1>,<2,2>,<3,3>等元素．注：如果給定二元關系R，你能否判斷R是否是等價關系？10．設集合{1,2}，{a,b}，那么集合A到B的雙射函數(shù)是，．想一想：集合A到B的不同函數(shù)的個數(shù)有幾個？答有4個，除上述兩個雙射函數(shù)外，還有，．（參考：一、14題）三、判斷說明題（判斷下列各題，并說明理由．）1．若集合A={1，2，3}上的二元關系{<1,1>，<2,2>，<1,2>}，則(1)R是自反的關系；(2)R是對稱的關系．解（1）錯誤．因為3A，但<3,3>R．（2）錯誤．因為<1,2>R，但<2,1>R．2．如果R1和R2是A上的自反關系，判斷結(jié)論：“、R1∪R2、R1∩R2是自反的”是否成立？并說明理由．解成立．因為R1和R2是A上的自反關系，所以任意，有，從而有（逆關系定義），，．故、R1∪R2、R1∩R2是自反的．3．若偏序集<A，R>的哈斯圖如圖一所示，則集合A的最大元為a，最小元不存在．解不正確。可見a大于等于A中的元素b、c、d、e、f，但與元素g、h沒有關系，所以a不是A的最大元。沒有一個元素小于等于A中的所有元素，所以A沒有最小元。注：本題中，極大元為a、g，極小元為e、f、h．注意：題目修改為：若偏序集<A，R>的哈斯圖如右圖所示，則集合A的最大元為a，極小元不存在．解結(jié)論不成立。A的最大元為a，極小元為b、c．問：是否存在一個元素a，它既是偏序集<A，R>的最大元，也是<A，R>的最小元？4．設集合{1,2,3,4}，{2,4,6,8}，判斷下列關系f是否構(gòu)成函數(shù)f：，并說明理由．(1){<1,4>,<2,2,>,<4,6>,<1,8>}；(2){<1,6>,<3,4>,<2,2>}；(3){<1,8>,<2,6>,<3,4>,<4,2,>}．解（1）關系f不構(gòu)成函數(shù)．因為(f)={1,2,4}A，不滿足函數(shù)定義的條件．（2）關系f不構(gòu)成函數(shù)．因為(f)={1,2,3}A，不滿足函數(shù)定義的條件．（3）關系f構(gòu)成函數(shù)．因為①任意a(f)，都存在唯一的b(f)，使<a,b>f；②(f)．即關系f滿足函數(shù)定義的兩個條件，所以關系f構(gòu)成函數(shù)．四、計算題1．設，求：(1)(AB)；(2)(AB)-(BA)；(3)P(A)－P(C)；(4)AB．解（1）；（2）；（3）；（4）．2．設{{1},{2},1,2}，{1,2,{1,2}}，試計算（1）（AB）；（2）（A∩B）；（3）A×B．解（1）；（2）；（3）．3．設{1，2，3，4，5}，{<x，y>A，yA且4}，{<x，y>A，yA且<0}，試求R，S，RS，SR，1，1，r(S)，s(R)．解，．，，，，，．4．設{1,2,3,4,5,6,7,8}，R是A上的整除關系，{2,4,6}．(1)寫出關系R的表示式；(2)畫出關系R的哈斯圖；(3)求出集合B的最大元、最小元．解（1）（2）關系R的哈斯圖如下：（3）集合{2,4,6}無最大元，其最小元是2．五、證明題1．試證明集合等式：A(BC)=(AB)(AC)．證明任意，則，或．若，則，從而；若，則，，從而．所以．任意，則．由知，或．若，則；若，則必有，由知，也有，從而，進而．所以．故．2．試證明集合等式A(BC)=(AB