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文檔簡介
2024屆浙江省金華市東陽中學(xué)高三期末試題注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚,將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3.請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試題卷上答題無效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.設(shè)i為數(shù)單位,為z的共軛復(fù)數(shù),若,則()A. B. C. D.2.甲乙丙丁四人中,甲說:我年紀最大,乙說:我年紀最大,丙說:乙年紀最大,丁說:我不是年紀最大的,若這四人中只有一個人說的是真話,則年紀最大的是()A.甲 B.乙 C.丙 D.丁3.在關(guān)于的不等式中,“”是“恒成立”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件4.函數(shù)在上的最大值和最小值分別為()A.,-2 B.,-9 C.-2,-9 D.2,-25.設(shè)i是虛數(shù)單位,若復(fù)數(shù)()是純虛數(shù),則m的值為()A. B. C.1 D.36.已知焦點為的拋物線的準線與軸交于點,點在拋物線上,則當取得最大值時,直線的方程為()A.或 B.或 C.或 D.7.記其中表示不大于x的最大整數(shù),若方程在在有7個不同的實數(shù)根,則實數(shù)k的取值范圍()A. B. C. D.8.用1,2,3,4,5組成不含重復(fù)數(shù)字的五位數(shù),要求數(shù)字4不出現(xiàn)在首位和末位,數(shù)字1,3,5中有且僅有兩個數(shù)字相鄰,則滿足條件的不同五位數(shù)的個數(shù)是()A.48 B.60 C.72 D.1209.函數(shù),,則“的圖象關(guān)于軸對稱”是“是奇函數(shù)”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件10.若,則,,,的大小關(guān)系為()A. B.C. D.11.設(shè)過點的直線分別與軸的正半軸和軸的正半軸交于兩點,點與點關(guān)于軸對稱,為坐標原點,若,且,則點的軌跡方程是()A. B.C. D.12.已知命題:,,則為()A., B.,C., D.,二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.能說明“若對于任意的都成立,則在上是減函數(shù)”為假命題的一個函數(shù)是________.14.已知正項等比數(shù)列中,,則__________.15.已知函數(shù)在點處的切線經(jīng)過原點,函數(shù)的最小值為,則________.16.有2名老師和3名同學(xué),將他們隨機地排成一行,用表示兩名老師之間的學(xué)生人數(shù),則對應(yīng)的排法有______種;______;三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù).(1)解不等式;(2)記函數(shù)的最大值為,若,證明:.18.(12分)在平面直角坐標系中,已知向量,,其中.(1)求的值;(2)若,且,求的值.19.(12分)記為數(shù)列的前項和,N.(1)求;(2)令,證明數(shù)列是等比數(shù)列,并求其前項和.20.(12分)已知向量,函數(shù).(1)求函數(shù)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間;(2)在中,三內(nèi)角的對邊分別為,已知函數(shù)的圖像經(jīng)過點,成等差數(shù)列,且,求a的值.21.(12分)如圖所示,四棱錐P﹣ABCD中,PC⊥底面ABCD,PC=CD=2,E為AB的中點,底面四邊形ABCD滿足∠ADC=∠DCB=90°,AD=1,BC=1.(Ⅰ)求證:平面PDE⊥平面PAC;(Ⅱ)求直線PC與平面PDE所成角的正弦值;(Ⅲ)求二面角D﹣PE﹣B的余弦值.22.(10分)已知是各項都為正數(shù)的數(shù)列,其前項和為,且為與的等差中項.(1)求證:數(shù)列為等差數(shù)列;(2)設(shè),求的前100項和.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】
由復(fù)數(shù)的除法求出,然后計算.【詳解】,∴.故選:A.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的乘除法運算,考查共軛復(fù)數(shù)的概念,掌握復(fù)數(shù)的運算法則是解題關(guān)鍵.2、C【解析】
分別假設(shè)甲乙丙丁說的是真話,結(jié)合其他人的說法,看是否只有一個說的是真話,即可求得年紀最大者,即可求得答案.【詳解】①假設(shè)甲說的是真話,則年紀最大的是甲,那么乙說謊,丙也說謊,而丁說的是真話,而已知只有一個人說的是真話,故甲說的不是真話,年紀最大的不是甲;②假設(shè)乙說的是真話,則年紀最大的是乙,那么甲說謊,丙說真話,丁也說真話,而已知只有一個人說的是真話,故乙說謊,年紀最大的也不是乙;③假設(shè)丙說的是真話,則年紀最大的是乙,所以乙說真話,甲說謊,丁說的是真話,而已知只有一個人說的是真話,故丙在說謊,年紀最大的也不是乙;④假設(shè)丁說的是真話,則年紀最大的不是丁,而已知只有一個人說的是真話,那么甲也說謊,說明甲也不是年紀最大的,同時乙也說謊,說明乙也不是年紀最大的,年紀最大的只有一人,所以只有丙才是年紀最大的,故假設(shè)成立,年紀最大的是丙.綜上所述,年紀最大的是丙故選:C.【點睛】本題考查合情推理,解題時可從一種情形出發(fā),推理出矛盾的結(jié)論,說明這種情形不會發(fā)生,考查了分析能力和推理能力,屬于中檔題.3、C【解析】
討論當時,是否恒成立;討論當恒成立時,是否成立,即可選出正確答案.【詳解】解:當時,,由開口向上,則恒成立;當恒成立時,若,則不恒成立,不符合題意,若時,要使得恒成立,則,即.所以“”是“恒成立”的充要條件.故選:C.【點睛】本題考查了命題的關(guān)系,考查了不等式恒成立問題.對于探究兩個命題的關(guān)系時,一般分成兩步,若,則推出是的充分條件;若,則推出是的必要條件.4、B【解析】
由函數(shù)解析式中含絕對值,所以去絕對值并畫出函數(shù)圖象,結(jié)合圖象即可求得在上的最大值和最小值.【詳解】依題意,,作出函數(shù)的圖象如下所示;由函數(shù)圖像可知,當時,有最大值,當時,有最小值.故選:B.【點睛】本題考查了絕對值函數(shù)圖象的畫法,由函數(shù)圖象求函數(shù)的最值,屬于基礎(chǔ)題.5、A【解析】
根據(jù)復(fù)數(shù)除法運算化簡,結(jié)合純虛數(shù)定義即可求得m的值.【詳解】由復(fù)數(shù)的除法運算化簡可得,因為是純虛數(shù),所以,∴,故選:A.【點睛】本題考查了復(fù)數(shù)的概念和除法運算,屬于基礎(chǔ)題.6、A【解析】
過作與準線垂直,垂足為,利用拋物線的定義可得,要使最大,則應(yīng)最大,此時與拋物線相切,再用判別式或?qū)?shù)計算即可.【詳解】過作與準線垂直,垂足為,,則當取得最大值時,最大,此時與拋物線相切,易知此時直線的斜率存在,設(shè)切線方程為,則.則,則直線的方程為.故選:A.【點睛】本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系,涉及到拋物線的定義,考查學(xué)生轉(zhuǎn)化與化歸的思想,是一道中檔題.7、D【解析】
做出函數(shù)的圖象,問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象在有7個交點,而函數(shù)在上有3個交點,則在上有4個不同的交點,數(shù)形結(jié)合即可求解.【詳解】作出函數(shù)的圖象如圖所示,由圖可知方程在上有3個不同的實數(shù)根,則在上有4個不同的實數(shù)根,當直線經(jīng)過時,;當直線經(jīng)過時,,可知當時,直線與的圖象在上有4個交點,即方程,在上有4個不同的實數(shù)根.故選:D.【點睛】本題考查方程根的個數(shù)求參數(shù),利用函數(shù)零點和方程之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的交點是解題的關(guān)鍵,運用數(shù)形結(jié)合是解決函數(shù)零點問題的基本思想,屬于中檔題.8、A【解析】
對數(shù)字分類討論,結(jié)合數(shù)字中有且僅有兩個數(shù)字相鄰,利用分類計數(shù)原理,即可得到結(jié)論【詳解】數(shù)字出現(xiàn)在第位時,數(shù)字中相鄰的數(shù)字出現(xiàn)在第位或者位,共有個數(shù)字出現(xiàn)在第位時,同理也有個數(shù)字出現(xiàn)在第位時,數(shù)字中相鄰的數(shù)字出現(xiàn)在第位或者位,共有個故滿足條件的不同的五位數(shù)的個數(shù)是個故選【點睛】本題主要考查了排列,組合及簡單計數(shù)問題,解題的關(guān)鍵是對數(shù)字分類討論,屬于基礎(chǔ)題。9、B【解析】
根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì),結(jié)合充分條件和必要條件的定義進行判斷即可.【詳解】設(shè),若函數(shù)是上的奇函數(shù),則,所以,函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱.所以,“是奇函數(shù)”“的圖象關(guān)于軸對稱”;若函數(shù)是上的偶函數(shù),則,所以,函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱.所以,“的圖象關(guān)于軸對稱”“是奇函數(shù)”.因此,“的圖象關(guān)于軸對稱”是“是奇函數(shù)”的必要不充分條件.故選:B.【點睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷,結(jié)合函數(shù)奇偶性的性質(zhì)判斷是解決本題的關(guān)鍵,考查推理能力,屬于中等題.10、D【解析】因為,所以,因為,,所以,.綜上;故選D.11、A【解析】
設(shè)坐標,根據(jù)向量坐標運算表示出,從而可利用表示出;由坐標運算表示出,代入整理可得所求的軌跡方程.【詳解】設(shè),,其中,,即關(guān)于軸對稱故選:【點睛】本題考查動點軌跡方程的求解,涉及到平面向量的坐標運算、數(shù)量積運算;關(guān)鍵是利用動點坐標表示出變量,根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標運算可整理得軌跡方程.12、C【解析】
根據(jù)全稱量詞命題的否定是存在量詞命題,即得答案.【詳解】全稱量詞命題的否定是存在量詞命題,且命題:,,.故選:.【點睛】本題考查含有一個量詞的命題的否定,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、答案不唯一,如【解析】
根據(jù)對基本函數(shù)的理解可得到滿足條件的函數(shù).【詳解】由題意,不妨設(shè),則在都成立,但是在是單調(diào)遞增的,在是單調(diào)遞減的,說明原命題是假命題.所以本題答案為,答案不唯一,符合條件即可.【點睛】本題考查對基本初等函數(shù)的圖像和性質(zhì)的理解,關(guān)鍵是假設(shè)出一個在上不是單調(diào)遞減的函數(shù),再檢驗是否滿足命題中的條件,屬基礎(chǔ)題.14、【解析】
利用等比數(shù)列的通項公式將已知兩式作商,可得,再利用等比數(shù)列的性質(zhì)可得,再利用等比數(shù)列的通項公式即可求解.【詳解】由,所以,解得.,所以,所以.故答案為:【點睛】本題考查了等比數(shù)列的通項公式以及等比中項,需熟記公式,屬于基礎(chǔ)題.15、0【解析】
求出,求出切線點斜式方程,原點坐標代入,求出的值,求,求出單調(diào)區(qū)間,進而求出極小值最小值,即可求解.【詳解】,,,切線的方程:,又過原點,所以,,,.當時,;當時,.故函數(shù)的最小值,所以.故答案為:0.【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,涉及到導(dǎo)數(shù)的幾何意義、極值最值,屬于中檔題..16、36;1.【解析】
的可能取值為0,1,2,3,對應(yīng)的排法有:.分別求出,,,,由此能求出.【詳解】解:有2名老師和3名同學(xué),將他們隨機地排成一行,用表示兩名老師之間的學(xué)生人數(shù),則的可能取值為0,1,2,3,對應(yīng)的排法有:.∴對應(yīng)的排法有36種;,,,,∴故答案為:36;1.【點睛】本題考查了排列、組合的應(yīng)用,離散型隨機變量的分布列以及數(shù)學(xué)期望,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2)證明見解析【解析】
(1)將函數(shù)整理為分段函數(shù)形式可得,進而分類討論求解不等式即可;(2)先利用絕對值不等式的性質(zhì)得到的最大值為3,再利用均值定理證明即可.【詳解】(1)①當時,恒成立,;②當時,,即,;③當時,顯然不成立,不合題意;綜上所述,不等式的解集為.(2)由(1)知,于是由基本不等式可得(當且僅當時取等號)(當且僅當時取等號)(當且僅當時取等號)上述三式相加可得(當且僅當時取等號),,故得證.【點睛】本題考查解絕對值不等式和利用均值定理證明不等式,考查絕對值不等式的最值的應(yīng)用,解題關(guān)鍵是掌握分類討論解決帶絕對值不等式的方法,考查了分析能力和計算能力,屬于中檔題.18、(1)(2).【解析】
(1)根據(jù),由向量,的坐標直接計算即得;(2)先求出,再根據(jù)向量平行的坐標關(guān)系解得.【詳解】(1)由題,向量,,則.(2),.,,整理得,化簡得,即,,,,即.【點睛】本題考查平面向量的坐標運算,以及向量平行,是??碱}型.19、(1);(2)證明見詳解,【解析】
(1)根據(jù),可得,然后作差,可得結(jié)果.(2)根據(jù)(1)的結(jié)論,用取代,得到新的式子,然后作差,可得結(jié)果,最后根據(jù)等比數(shù)列的前項和公式,可得結(jié)果.【詳解】(1)由①,則②②-①可得:所以(2)由(1)可知:③則④④-③可得:則,且令,則,所以數(shù)列是首項為,公比為的等比數(shù)列所以【點睛】本題主要考查遞推公式以及之間的關(guān)系的應(yīng)用,考驗觀察能力以及分析能力,屬中檔題.20、(1),(2)【解析】
(1)利用向量的數(shù)量積和二倍角公式化簡得,故可求其周期與單調(diào)性;(2)根據(jù)圖像過得到,故可求得的大小,再根據(jù)數(shù)量積得到的乘積,最后結(jié)合余弦定理和構(gòu)建關(guān)于的方程即可.【詳解】(1),最小正周期:,由得,所以的單調(diào)遞增區(qū)間為;(2)由可得:,所以.又因為成等差數(shù)列,所以而,.21、(Ⅰ)證明見解析(Ⅱ).(Ⅲ)﹣.【解析】
(Ⅰ)由題知,如圖以點為原點,直線分別為軸,建立空間直角坐標系,計算,證明,從而平面PAC,即可得證;(Ⅱ)求解平面PDE的一個法向量,計算,即可得直線PC與平面PDE所成角的正弦值;(Ⅲ)求解平面PBE的一個法向量,計算,即可得二面角D﹣PE﹣B的余弦值.【詳解】(Ⅰ)PC⊥底面ABCD,,如圖以點為原點,直線分別為軸,建立空間直角坐標系,則,,,,又,平面PAC,平面PDE,平面PDE⊥平面PAC;(Ⅱ)設(shè)為平面PDE的一個法向量,又,則,取,得,直線PC與平面PDE所成角的正弦值;(Ⅲ)設(shè)為平面PBE的一個法向量,又則,取,得,,二面角D﹣PE﹣B的余弦值﹣.【點睛】本題主要考查了平面與平面的垂直,直線與平面所成角的計算,二面角大
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