無(wú)窮小與無(wú)窮大

第一章函數(shù)與極限第六節(jié)無(wú)窮小與無(wú)窮大主要內(nèi)容：一、無(wú)窮小的概念性質(zhì)二、無(wú)窮小的比較三、無(wú)窮大及其與無(wú)窮小的關(guān)系一、無(wú)窮小的概念與性質(zhì)1、定義例如,注意（1）無(wú)窮小是變量,不能與很小的數(shù)混淆;（2）零是可以作為無(wú)窮小的唯一的數(shù).2、無(wú)窮小與函數(shù)極限的關(guān)系:證必要性充分性意義（1）將一般極限問(wèn)題轉(zhuǎn)化為特殊極限問(wèn)題(無(wú)窮小);3、無(wú)窮小的運(yùn)算性質(zhì):定理2

在同一過(guò)程中,有限個(gè)無(wú)窮小的代數(shù)和仍是無(wú)窮小.注意

無(wú)窮多個(gè)無(wú)窮小的代數(shù)和未必是無(wú)窮小.推論1

在同一過(guò)程中,有極限的變量與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小.推論2

常數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小.都是無(wú)窮小定理3

有界函數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小.二、無(wú)窮小的比較例如,極限不同,反映了趨向于零的“快慢”程度不同.不可比.觀察各極限定義2:例如，下面我們給出一些常用的當(dāng)x→0時(shí)的等價(jià)無(wú)窮?。旱葍r(jià)無(wú)窮小代換定理4(等價(jià)無(wú)窮小代換定理)證例３解若未定式的分子或分母為若干個(gè)因子的乘積，則可對(duì)其中的任意一個(gè)或幾個(gè)無(wú)窮小因子作等價(jià)無(wú)窮小代換，而不會(huì)改變?cè)降臉O限．不能濫用等價(jià)無(wú)窮小代換.切記，只可對(duì)函數(shù)的因子作等價(jià)無(wú)窮小代換，對(duì)于代數(shù)和中各無(wú)窮小不能分別代換.注意例４解例５解解錯(cuò)小結(jié)1、無(wú)窮小的比較反映了同一過(guò)程中,兩無(wú)窮小趨于零的速度快慢,但并不是所有的無(wú)窮小都可進(jìn)行比較.2、等價(jià)無(wú)窮小的代換求極限的又一種方法,注意適用條件.高(低)階無(wú)窮小;等價(jià)無(wú)窮小;無(wú)窮小的階.三、無(wú)窮大定義3：特殊情形：正無(wú)窮大，負(fù)無(wú)窮大．注意（1）無(wú)窮大是變量,不能與很大的數(shù)混淆;無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系定理5

在同一過(guò)程中,無(wú)窮大的倒數(shù)為無(wú)窮小;恒不為零的無(wú)窮小的倒數(shù)為無(wú)窮大.意義

關(guān)于無(wú)窮大的討論,都可歸結(jié)為關(guān)于無(wú)窮小的討論.內(nèi)容小結(jié)1、主要內(nèi)容:2、幾點(diǎn)注意:無(wú)窮小與無(wú)窮大是相對(duì)于自變量的變化過(guò)程而言的.（1）無(wú)窮小（大）是變量,不能與很?。ù螅┑臄?shù)混淆，零是唯一的無(wú)窮小的數(shù)；（2）無(wú)窮多個(gè)無(wú)窮小的代數(shù)和（乘積）未必是無(wú)窮??；●無(wú)窮小與無(wú)窮大的定義；●無(wú)窮小與函數(shù)極限關(guān)系；●等價(jià)無(wú)窮小代換定理；●無(wú)窮小與不窮大的關(guān)系.思考題1、任何兩個(gè)無(wú)窮小都可以比較嗎？思考題解答不一定．例當(dāng)