河南省信陽(yáng)市2025屆高三上學(xué)期第一次教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題 含解析

2024-2025學(xué)年普通高中高三第一次教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分.考生作答時(shí)，將答案答在答題卡上，在本試卷上答題無(wú)效.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必將本人的姓名?準(zhǔn)考證號(hào)等考生信息填寫(xiě)在答題卡上，并用2B鉛筆將準(zhǔn)考證號(hào)填涂在相應(yīng)位置.2.選擇題答案使用2B鉛筆填涂，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)；非選擇題答案使用0.5毫米的黑色墨水簽字筆書(shū)寫(xiě)，字體工整?筆跡清楚.3.請(qǐng)按照題號(hào)在各題的答題區(qū)域（黑色線框）內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效.4.保持卡面清潔，不折疊，不破損.第I卷一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，若，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】求得，結(jié)合，得到，根據(jù)集合并集的運(yùn)算，即可求解.【詳解】由集合，因?yàn)?，可得，所?故選：C.2.記等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，則（）A.60 B.80 C.140 D.160【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定條件，求出等差數(shù)列的公差及首項(xiàng)，再利用前n項(xiàng)和公式計(jì)算即得.【詳解】等差數(shù)列中，，而，則，公差，，所以.故選：C3.已知，，，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較、、三個(gè)數(shù)與、的大小關(guān)系，由此可得出、、三個(gè)數(shù)的大小關(guān)系.【詳解】，，，又，即.因此，.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查利用指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較指數(shù)式和對(duì)數(shù)式的大小關(guān)系，一般利用中間值法來(lái)比較，屬于基礎(chǔ)題.4.荀子《勸學(xué)》中說(shuō)：“不積跬步，無(wú)以至千里；不積小流，無(wú)以成江海．”在“進(jìn)步率”和“退步率”都是的前提下，我們可以把看作是經(jīng)過(guò)365天的“進(jìn)步值”，看作是經(jīng)過(guò)365天的“退步值”，則大約經(jīng)過(guò)（）天時(shí)，“進(jìn)步值”大約是“退步值”的100倍（參考數(shù)據(jù)：，）A.100 B.230 C.130 D.365【答案】B【解析】【分析】設(shè)大約經(jīng)過(guò)天“進(jìn)步值”大約是“退步值”倍，依題意可得，根據(jù)指數(shù)對(duì)數(shù)的關(guān)系及換底公式計(jì)算可得.【詳解】設(shè)大約經(jīng)過(guò)天“進(jìn)步值”大約是“退步值”的倍，此時(shí)“進(jìn)步值”為，“退步值”為，即，所以，則，所以天．故選：B5.若：實(shí)數(shù)使得“”為真命題，：實(shí)數(shù)使得“”為真命題，則是的（）A.必要不充分條件 B.充分不必要條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】先根據(jù)命題的真假性求出的范圍，化簡(jiǎn)命題，再根據(jù)充分性和必要性的概念求解即可.【詳解】因?yàn)椋簩?shí)數(shù)使得“”為真命題，所以有解，所以，解得，即；因?yàn)椋簩?shí)數(shù)使得“”為真命題，所以，由指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)可得，即，所以，，即是的必要不充分條件，故選：A6.已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，且為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則（）A.0 B.1 C.2 D.2025【答案】C【解析】【分析】由函數(shù)奇偶性，確定為周期函數(shù)，再結(jié)合，求得，即可求解.【詳解】因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)，又為偶函數(shù)，所以關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，所以為周期函數(shù)且周期，∴，∵，∴，∴.故選:C．7.已知函數(shù)在區(qū)間上有最小值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再求出在區(qū)間上有變號(hào)零點(diǎn)且在零點(diǎn)兩側(cè)的函數(shù)值左負(fù)右正的值范圍.【詳解】函數(shù)，求導(dǎo)得，由在區(qū)間上有最小值，得在區(qū)間上有變號(hào)零點(diǎn)且在零點(diǎn)兩側(cè)的函數(shù)值左負(fù)右正，令，則在區(qū)間上有變號(hào)零點(diǎn)且在零點(diǎn)兩側(cè)的函數(shù)值左負(fù)右正，因此，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：D8.已知函數(shù)，，若方程有且僅有5個(gè)不相等的整數(shù)解，則其中最大整數(shù)解和最小整數(shù)解的和等于（）A. B.28 C. D.14【答案】A【解析】【分析】利用換元法結(jié)合一元二次方程根的分布，數(shù)形結(jié)合計(jì)算即可.【詳解】先作出大致圖象，如下令，則，根據(jù)的圖象可知：要滿足題意必須有兩個(gè)不等根，且有兩個(gè)整數(shù)根，有三個(gè)整數(shù)根，結(jié)合對(duì)勾函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)知，兩函數(shù)相切時(shí)符合題意，因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào)，又，易知其定義域內(nèi)單調(diào)遞減，即，此時(shí)有兩個(gè)整數(shù)根或，而要滿足有三個(gè)整數(shù)根，結(jié)合圖象知必有一根小于2，顯然只有符合題意，當(dāng)時(shí)有，則，解方程得的另一個(gè)正根為，又，此時(shí)五個(gè)整數(shù)根依次是，顯然最大的根和最小的根和為.故選：A二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)的得部分分，選對(duì)但不全的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知函數(shù)，則（）A.為奇函數(shù)B.在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增C.在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減D.有極大值【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)奇函數(shù)定義及其導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可.【詳解】由函數(shù)的定義域?yàn)橹?，為非奇非偶函?shù)，因此A錯(cuò)誤；又，令，則，當(dāng)時(shí)，f′x因此在區(qū)間和單調(diào)遞增；當(dāng)x∈1,+∞時(shí)，f′x<0，因此在區(qū)間故在處，取得極大值，因此BCD正確.故選：BCD.10.已知，，，則（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】對(duì)于ABC由基本不等式逐項(xiàng)驗(yàn)證，對(duì)于D，利用代入消元，借助二次函數(shù)求解.【詳解】對(duì)于A：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，正確；對(duì)于B：因?yàn)?，所以?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，正確；對(duì)于C:，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，錯(cuò)誤；對(duì)于D:因?yàn)椋杂?，所以成立，正確故選：ABD11.設(shè)函數(shù)，則（）A.當(dāng)時(shí)，有三個(gè)零點(diǎn)B.當(dāng)時(shí)，無(wú)極值點(diǎn)C.，使在上是減函數(shù)D.圖象對(duì)稱(chēng)中心的橫坐標(biāo)不變【答案】BD【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的極大值判斷A；由恒成立判斷B；由的解集能否為R判斷C；求出圖象的對(duì)稱(chēng)中心判斷D.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，求導(dǎo)得，令得或，由，得或，由，得，于是在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在處取得極大值，因此最多有一個(gè)零點(diǎn)，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，當(dāng)時(shí)，，即恒成立，函數(shù)在R上單調(diào)遞增，無(wú)極值點(diǎn)，B正確；對(duì)于C，要使在R上是減函數(shù)，則恒成立，而不等式的解集不可能為R，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由，得圖象對(duì)稱(chēng)中心坐標(biāo)為，D正確.故選：BD第II卷三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知不等式的解集為，則函數(shù)的定義域?yàn)開(kāi)_________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，得到和是方程的兩個(gè)根，列出方程組，求得的值，得出函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的解析式有意義，列出不等式，即可求解.【詳解】由不等式解集為，可得和是方程的兩個(gè)根，且，則，解得，所以函數(shù)，要使得函數(shù)有意義，則滿足，即，解得，所以函數(shù)的定義域?yàn)?故答案為：.13.曲線在處的切線恰好是曲線的切線，則實(shí)數(shù)______.【答案】【解析】【分析】求出在處的切線方程，設(shè)出的切點(diǎn)聯(lián)立方程組可解得.【詳解】對(duì)于，易知，切線斜率為，切點(diǎn)為0,1；則曲線在處的切線為，顯然，設(shè)切點(diǎn)，由，解得.故答案為：214.函數(shù)滿足：任意.且.則的最小值是__________.【答案】【解析】【分析】由條件等式變形為，再構(gòu)造函數(shù)，得到，并迭代得到，由此得到，并求和，利用放縮法，即可求解最小值.【詳解】因?yàn)?，所以，設(shè)，那么，因此，因此，取，得到，所以，所以的最小值是.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的第一個(gè)關(guān)鍵是通過(guò)構(gòu)造得到，關(guān)鍵二是得到的解析式，關(guān)鍵三是根據(jù)，利用放縮法求和.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.15.已知是各項(xiàng)均為正數(shù)，公差不為0的等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為，且成等比數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）定義在數(shù)列中，使為整數(shù)的叫做“調(diào)和數(shù)”，求在區(qū)間內(nèi)所有“調(diào)和數(shù)”之和．【答案】（1）（2）1086【解析】【分析】（1）結(jié)合等比中項(xiàng)的知識(shí)求得等差數(shù)列an的公差，從而求得通項(xiàng)公式（2）利用列舉法寫(xiě)出“調(diào)和數(shù)”，結(jié)合等比數(shù)列前項(xiàng)和公式求得.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)槌傻缺葦?shù)列，所以，因?yàn)閍n是各項(xiàng)均為正數(shù)，公差不為0的等差數(shù)列，設(shè)其公差為，所以，所以，所以.【小問(wèn)2詳解】設(shè)，所以，令，且b為整數(shù)，又由，，所以b可以取1，2，3，4，5，6，此時(shí)分別為，所以區(qū)間內(nèi)所有“調(diào)和數(shù)”之和16.某公園有一塊如圖所示的區(qū)域，該場(chǎng)地由線段、、及曲線段圍成.經(jīng)測(cè)量，，米，曲線是以為對(duì)稱(chēng)軸的拋物線的一部分，點(diǎn)到、的距離都是50米.現(xiàn)擬在該區(qū)域建設(shè)一個(gè)矩形游樂(lè)場(chǎng)，其中點(diǎn)在曲線段上，點(diǎn)、分別在線段、上，且該游樂(lè)場(chǎng)最短邊長(zhǎng)不低于30米.設(shè)米，游樂(lè)場(chǎng)的面積為平方米.（1）試建立平面直角坐標(biāo)系，求曲線段的方程；（2）求面積關(guān)于的函數(shù)解析式；（3）試確定點(diǎn)的位置，使得游樂(lè)場(chǎng)的面積最大.【答案】（1）（2），.（3）點(diǎn)在曲線段上且到的距離為米時(shí)，游樂(lè)場(chǎng)的面積最大.【解析】【分析】（1）先以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA、OB所在直線分別為x軸、y軸建立平面直角坐標(biāo)系，然后根據(jù)題意求解析式即可；（2）分別求出D在不同線段的解析式，然后計(jì)算面積；（3）在不同情況計(jì)算最大值，然后比較兩個(gè)最大值就可以得到面積最大值，然后確定D的位置.【小問(wèn)1詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，、所在直線分別為軸、軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，，，設(shè)曲線所在的拋物線方程為，，點(diǎn)，在拋物線上，則，解得，，所以曲線段所在的拋物線方程為.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在曲線段上，，，所以，∴，.【小問(wèn)3詳解】∵，，令，解得，當(dāng)時(shí)，f′x>0，當(dāng)時(shí)，f所以時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，因此，當(dāng)時(shí)，是極大值也是最大值，即當(dāng)點(diǎn)在曲線段上且到的距離為米時(shí)，游樂(lè)場(chǎng)的面積最大.17.已知函數(shù)，.（1）求函數(shù)的最大值；（2）設(shè)不等式的解集為，若對(duì)任意，存在，使得，求實(shí)數(shù)的值.【答案】（1）2（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算化簡(jiǎn)為二次函數(shù)的復(fù)合函數(shù)，結(jié)合二次函數(shù)的值域求出最值即可；（2）先換元把指數(shù)函數(shù)復(fù)合函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，再分段分類(lèi)討論求出最值，再根據(jù)已知等式求值即可.【小問(wèn)1詳解】，，，當(dāng)，即時(shí)，，當(dāng)，即時(shí)，，當(dāng)時(shí)，的最大值為2.【小問(wèn)2詳解】由，得，即，，設(shè)，則當(dāng)，，，，設(shè)，由題意，是當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值域的子集.①當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則解得.②當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，則不等式組無(wú)解.③當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，則函數(shù)的最大值是與的較大者.令，得，令，得，均不合題意.綜上所述，實(shí)數(shù)的值為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第2小問(wèn)解決的關(guān)鍵是，利用換元法將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為是的值域的子集，從而得解.18.已知，其中．（1）若函數(shù)在處的切線與軸平行，求的值；（2）求的極值點(diǎn)；（3）若在上的最大值是0，求的取值范圍．【答案】（1）；（2）答案見(jiàn)解析；（3）．【解析】【分析】（1）利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義與直線斜率的關(guān)系求得的值；（2）先對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，結(jié)合對(duì)參數(shù)分類(lèi)討論，計(jì)算函數(shù)極值點(diǎn)；（3）對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類(lèi)討論，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性找到最大值是0，求得的取值范圍；【小問(wèn)1詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，，因?yàn)楹瘮?shù)在處的切線與x軸平行，所以，解得．【小問(wèn)2詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，．令得或，所以?dāng)，即時(shí)，解集為，的解集為，所以函數(shù)在區(qū)間和上嚴(yán)格減，在區(qū)間上嚴(yán)格增，是函數(shù)的極大值點(diǎn)，是函數(shù)的極小值點(diǎn)；當(dāng)，即時(shí)，在區(qū)間上恒成立，此時(shí)函數(shù)在區(qū)間上嚴(yán)格減，無(wú)極值點(diǎn)；當(dāng)，即時(shí)，的解集為，的解集為，所以函數(shù)在區(qū)間和上嚴(yán)格減，在區(qū)間上嚴(yán)格增，是函數(shù)的極小值點(diǎn)，是函數(shù)的極大值點(diǎn)；綜上，當(dāng)時(shí)，是函數(shù)的極大值點(diǎn)，是函數(shù)的極小值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上嚴(yán)格減，無(wú)極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，是函數(shù)的極小值點(diǎn)，是函數(shù)的極大值點(diǎn)．【小問(wèn)3詳解】由（2）知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上嚴(yán)格減，在區(qū)間上嚴(yán)格增，故函數(shù)在上的最大值是，與已知矛盾；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上嚴(yán)格減，最大值，滿足條件；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上嚴(yán)格減，最大值是，滿足條件；綜上，a的取值范圍是．19.若數(shù)列中且對(duì)任意的恒成立，則稱(chēng)數(shù)列為“數(shù)列”.（1）若數(shù)列為“數(shù)列”，寫(xiě)出所有可能的；（2）若“數(shù)列”中，，求的最大值；（3）設(shè)為給定的偶數(shù)，對(duì)所有可能的“數(shù)列”，記，其中表示這個(gè)數(shù)中最大的數(shù)，求的最小值.【答案】（1）或或（2）（3）【解析】【分析】（1）利用“數(shù)列”的定義，得到關(guān)于的不等式組，列出所有滿足條件，即可得解；（2）利用“數(shù)列”的定義，推得，進(jìn)而得到，解得；再取，推得符合題意，由此得解；（3）利用“數(shù)列”的定義，結(jié)合（2）中結(jié)論推得；再取特殊例子證得成立，從而得解.【小問(wèn)1詳解】依題意，因?yàn)閿?shù)列1，，，7為“數(shù)列”，則，注意到，故所有可能的，為或或.小問(wèn)2詳解】一方面，注意到：，對(duì)任意的，令，則且，故對(duì)任意的恒成立