北師大版必修二《空間圖形的基本關(guān)系與公理》教案

空間圖形的基本關(guān)系與公理一.教學(xué)內(nèi)容：空間圖形的基本關(guān)系與公理

二.學(xué)習(xí)目標：1、學(xué)會觀察長方體模型中點、線、面之間的關(guān)系，并能結(jié)合長方體模型，掌握空間圖形的有關(guān)概念和有關(guān)定理；掌握平面的基本性質(zhì)、公理4和等角定理；2、培養(yǎng)和發(fā)展自己的空間想象能力、運用圖形語言進行交流的能力、幾何直觀能力、通過典型例子的學(xué)習(xí)和自主探索活動，理解數(shù)學(xué)概念和結(jié)論，體會蘊涵在其中的數(shù)學(xué)思想方法；3、培養(yǎng)嚴謹?shù)乃季S習(xí)慣與嚴肅的科學(xué)態(tài)度；體會推理論證中反映出的辯證思維的價值觀。

三、知識要點（一）空間位置關(guān)系：I、空間點與線的關(guān)系空間點與直線的位置關(guān)系有兩種：點P在直線上：；點P在直線外：；

II、空間點與平面的關(guān)系空間點與平面的位置關(guān)系有兩種：點P在平面上：點P在平面外：；

III、空間直線與直線的位置關(guān)系：

IV、空間直線與平面的位置關(guān)系：

V、空間平面與平面的位置關(guān)系：平行；相交說明：本模塊中所說的“兩個平面”“兩條直線”等均指不重合的情形。

（二）異面直線的判定1、定義法：采取反證法的思路，否定平行與相交兩種情形即可；2、判定定理：已知P點在平面上，則平面上不經(jīng)過該點的直線與平面外經(jīng)過該點的直線是異面直線。

（三）平面的基本性質(zhì)公理1、公理1

如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點都在這個平面內(nèi)（即直線在平面內(nèi)，或曰平面經(jīng)過這條直線）。2、公理2

經(jīng)過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面（即確定一個平面）。3、公理3

如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條通過該點的公共直線。4、平面的基本性質(zhì)公理的三個推論經(jīng)過直線和直線外一點，有且只有一個平面；經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面；經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面思考：公理是公認為正確而不需要證明的命題，那么推論呢？平面的基本性質(zhì)公理是如何刻畫平面的性質(zhì)的？

（四）平行公理（公理4）：平行于同一條直線的兩條直線平行。

（五）等角定理：空間中，如果兩個角的兩條邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角相等或互補。

（六）空間四邊形：順次連接不共面的四點構(gòu)成的圖形稱為空間四邊形。

【典型例題】考點一

空間點線面位置關(guān)系的判斷：主要判斷依據(jù)是平面的基本性質(zhì)公理及其推論，平行公理、等角定理等相關(guān)結(jié)論。例1.下列命題：空間不同的三點可以確定一個平面；有三個公共點的兩個平面必定重合；空間中兩兩相交的三條直線可以確定一個平面；④平行四邊形、梯形等所有的四邊形都是平面圖形；⑤兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；⑥一條直線和兩平行線中的一條相交，必定和另一條也相交。其中正確的命題是

。解：⑥。

例2.空間中三條直線可以確定幾個平面？試畫出示意圖說明。解：0個、1個、2個或3個。分別如圖（圖中所畫平面為輔助平面）：

考點二

異面直線的判斷：主要依據(jù)是異面直線的定義及判定定理。例3.如圖是一個正方體的展開圖，如果將它還原為正方體，那么AB、CD、EF、GH這四條線段所在的直線是異面直線的有__________對，分別是____________________？解：3對，分別是AB、GH；AB、CD；GH、EF。

考點三

“有且只有一個”的證明：一般地，此類題型的證明需要分為兩個步驟，分別證明“有”即存在性和“只有一個”即唯一性。例4.求證：過兩條平行直線有且只有一個平面。已知：直線a∥b。求證：過a，b有且只有一個平面。證明：存在性：由平行線的定義可知，過平行直線a，b有一個平面。唯一性（反證法）：假設(shè)過a，b有兩個平面。在直線上任取兩點A、B，在直線b上任取一點C，則A、B、C三點不共線。由于這兩個平面都過直線a，b，因此由公理1可知：都過點A、B、C。由平面的基本性質(zhì)公理2，過不共線三點的平面唯一存在，因此重合，與假設(shè)矛盾。矛盾表明：過平行直線a，b只有一個平面。綜上所述：過a，b有且只有一個平面。

考點四

共點的判斷與證明：此類題型主要有三線共點和三面共點。例5.三個平面兩兩相交有三條交線，求證：三條交線或平行，或交于一點。已知：平面，求證：a∥b∥c或者a，b，c交于一點P。證明：因為，故a，b共面。I、若a∥b：由于，故，因直線，故a，c無公共點。又a，c都在平面內(nèi)，故a∥b；故a∥b∥c。II、若，則，故知綜上所述：命題成立。說明：證明三點共線的問題的常用思路是先證兩條直線相交，然后再證該交點在第三條直線上；證明交點在第三條直線上常證明該點是兩個相交平面的公共點，從而在這兩個平面的交線上即在第三條直線上。

考點五

共線的判斷與證明：常見題型是三點共線。例6.如圖，O1是正方體ABCD-A1B1C1D1的面A1B1C1D1的中心，M是對角線A1C和截面B1D1A的交點，求證：O1、證明：連結(jié)AC.因為A1C1∩B1D1＝O1，B1D1平面B1D1A，A1C1AA1C1C，所以O(shè)1∈平面B1D1A且O1∈AA1C1C。同理可知，M∈平面B1D1A且M∈AA1C1C；A∈平面B1D1A且A∈AA1C1C。所以，O1、M、A說明：證明三線共點問題的常見思路是證明第三點在前兩點所確定的直線上；或者證明三點是兩相交平面的公共點，從而在這兩個平面的交線上。

考點六

共面問題的判斷與證明：此類題型常見的是四點共面或三線共面，如證明某個圖形是平面圖形。例7.如圖，在空間四邊形ABCD中，E、F分別是AB、AD的中點，G、H分別是BC、CD上的點，且CG＝BC/3，CH＝DC/3。求證：E、F、G、H四點共面；直線FH、EG、AC共點。證明：如圖，連結(jié)HG，EF。在△ABD中，E、F分別為AB、AD中點，故EF是△ABD的中位線，故EF∥BD。在△CBD中，CG＝BC/3，CH＝DC/3，故GH∥BD，故EF∥GH，從而GH、EF可確定一個平面，即G、H、E、F四點共面。由于E、F、G、H四點共面，且FH與EG不平行，故相交，記交點為M，則M∈FH，F(xiàn)H面ACD，故M∈面ACD；M∈EG，EG面ABC，故M∈面ABC。從而M是面ACD和面ABC的公共點，由公理3可知，M在這兩個平面的交線AC上，從而FH、EG、AC三線共點。說明：共面問題的常用的處理方法是利用平面的基本性質(zhì)公理2及三個推論，先證明部分元素確定一個平面，再證剩下的元素也在此平面上；有時也可先證部分元素共面，剩下的元素共面，然后證明這兩個平面重合（此時也可用反證法）。

［本講涉及的主要數(shù)學(xué)思想方法］1、數(shù)學(xué)語言是數(shù)學(xué)表述和數(shù)學(xué)思維不可缺少的重要工具，必須能將這三種語言即文字語言、符號語言和圖形語言進行準確的互譯和表達，這在空間關(guān)系的證明與判斷中顯得十分重要；2、空間觀念和空間想象能力：高考中立體幾何題的題型功能最重要的一點就是考查考生的空間觀念和空間想象能力，因為我們是通過平面圖形（直觀圖）去研究空間關(guān)系，所以同學(xué)們在學(xué)習(xí)過程中一定要多觀察、多思考，動手做一些空間模型或通過電腦動畫模擬一些空間圖形，培養(yǎng)空間概念，提高空間想象能力。

【模擬試題】一、選擇題1、在空間內(nèi)，可以確定一個平面的條件是（

）A.兩兩相交的三條直線B.三條直線，其中的一條與另兩條分別相交C.三個點D.三條直線，它們兩兩相交，但不交于同一點2、在正方體ABCDA1B1C1D1中，E、F分別為棱AA1、CC1的中點，則在空間中與三條直線A1D1，EF，CD都相交的直線（

）A.不存在

B.有且只有兩條

C.有且只有三條

D.有無數(shù)條*3、已知平面外一點P和平面內(nèi)不共線的三點A、B、C。A＇、Ｂ＇、Ｃ＇分別在PA、PB、PC上，若延長A＇Ｂ＇、Ｂ＇Ｃ＇、A＇Ｃ＇與平面分別交于D、E、F三點，則D、E、F三點（

）A.成鈍角三角形

B.成銳角三角形

C.成直角三角形

D.在一條直線上4、空間中有三條線段AB、BC、CD，且∠ABC＝∠BCD，那么直線AB與CD的位置關(guān)系是（

）A.平行

B.異面

C.相交

D.平行或異面或相交均有可能5、下列敘述中正確的是（

）A.因為P∈α，Q∈α，所以PQ∈α。B.因為P∈α，Q∈β，所以α∩β＝PQ。C.因為，C∈AB，D∈AB，因此CD∈α。D.因為，所以A∈（α∩β）且B∈（α∩β）。6、已知異面直線a，b分別在平面α，β內(nèi)且α∩β＝c，那么c（

）A.至少與a，b中的一條相交；B.至多與a，b中的一條相交；C.至少與a，b中的一條平行；D.與a，b中的一條平行，與另一條相交7、已知空間四邊形ABCD中，M、N分別為AB、CD的中點，則下列判斷正確的是（

）

二、填空題8、在空間四邊形ABCD中，M、N分別是BC、AD的中點，則2MN與AB+CD的大小關(guān)系是

。9、對于空間中的三條直線，有下列四個條件：三條直線兩兩相交且不共點；三條直線兩兩平行；三條直線共點；④有兩條直線平行，第三條直線和這兩條直線都相交。其中，能推出三條直線共面的有

。

三、解答題10、正方體A