數(shù)學(xué)示范教案：倍角公式

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精示范教案eq\o(\s\up7(），\s\do5（整體設(shè)計））教學(xué)分析倍角公式是在研究了兩角和與差的三角函數(shù)的基礎(chǔ)上，進一步研究具有“二倍角”關(guān)系的正弦、余弦、正切公式的,它既是兩角和與差的正弦、余弦、正切公式的特殊化,又為以后求三角函數(shù)值、化簡、證明提供了非常有用的理論工具,通過對二倍角的推導(dǎo)知道,二倍角的內(nèi)涵是:揭示具有倍數(shù)關(guān)系的兩個三角函數(shù)的運算規(guī)律，通過推導(dǎo)還讓學(xué)生加深理解了高中數(shù)學(xué)由一般到特殊的化歸思想．因此本節(jié)內(nèi)容也是培養(yǎng)學(xué)生運算和邏輯推理能力的重要內(nèi)容,對培養(yǎng)學(xué)生的探索精神和創(chuàng)新能力、發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的能力都有著十分重要的意義．本節(jié)課通過教師提出問題、設(shè)置情境及對和角公式中α、β關(guān)系的特殊情形α＝β時的簡化，讓學(xué)生在探究中既感到自然、易于接受，還可清晰知道和角的三角函數(shù)與倍角公式的聯(lián)系,同時也讓學(xué)生學(xué)會怎樣發(fā)現(xiàn)規(guī)律及體會由一般到特殊的化歸思想．這一切教師要引導(dǎo)學(xué)生自己去做，因為，《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》提出：“要讓學(xué)生在參與特定的數(shù)學(xué)活動，在具體情境中初步認識對象的特征，獲得一些體驗．”在實際教學(xué)過程中不要過多地補充一些高技巧、高難度的練習(xí)，否則就違背了新課標(biāo)在這一節(jié)的編寫意圖和新課改精神．三維目標(biāo)1．通過讓學(xué)生探索、發(fā)現(xiàn)并推導(dǎo)二倍角公式，了解它們之間、以及它們與和角公式之間的內(nèi)在聯(lián)系,并通過強化題目的訓(xùn)練，加深對二倍角公式的理解,培養(yǎng)運算能力及邏輯推理能力．2．通過二倍角的正弦、余弦、正切公式的運用，會進行簡單的求值、化簡、恒等證明．體會化歸這一基本數(shù)學(xué)思想在發(fā)現(xiàn)中和求值、化簡、恒等證明中所起的作用．3．通過本節(jié)學(xué)習(xí)，引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)悟?qū)ふ覕?shù)學(xué)規(guī)律的方法,培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識，以及善于發(fā)現(xiàn)和勇于探索的科學(xué)精神．重點難點教學(xué)重點：二倍角公式推導(dǎo)及其應(yīng)用．教學(xué)難點：靈活應(yīng)用和、差、倍角公式進行三角式化簡、求值、證明恒等式．課時安排1課時eq\o(\s\up7（)，\s\do5(教學(xué)過程）)導(dǎo)入新課思路1.（復(fù)習(xí)導(dǎo)入）請學(xué)生回憶上兩節(jié)共同探討的和角公式、差角公式，并回憶這組公式的來龍去脈，然后讓學(xué)生默寫這六個公式．教師引導(dǎo)學(xué)生：和角公式與差角公式是可以互相化歸的．當(dāng)兩角相等時，兩角之和便為此角的二倍,那么是否可把和角公式化歸為二倍角公式呢？今天，我們進一步探討一下二倍角的問題,請同學(xué)們思考一下，應(yīng)解決哪些問題呢？由此展開新課．思路2。(問題導(dǎo)入)出示問題，讓學(xué)生計算，若sinα＝eq\f（3,5)，α∈(eq\f（π，2)，π)，求sin2α，cos2α的值．學(xué)生會很容易看出：sin2α＝sin（α＋α)＝sinαcosα＋cosαsinα＝2sinαcosα的，以此展開新課，并由此展開聯(lián)想推出其他公式．推進新課eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（新知探究))eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（提出問題))1還記得和角的正弦、余弦、正切公式嗎？請學(xué)生默寫出來，并由一名學(xué)生到黑板默寫2你寫的這三個公式中角α、β會有特殊關(guān)系α＝β嗎?此時公式變成什么形式？3在得到的C2α公式中，還有其他表示形式嗎？4細心觀察二倍角公式結(jié)構(gòu)，有什么特征呢？5能看出公式中角的含義嗎？思考過公式成立的條件嗎？6讓學(xué)生填空：老師隨機給出等號一邊括號內(nèi)的角，學(xué)生回答等號另一邊括號內(nèi)的角，稍后兩人為一組，做填數(shù)游戲:sin＝2sincos，cos＝cos2－sin2。7思考過公式的逆用嗎?想一想C2α還有哪些變形？8請思考以下問題：sin2α＝2sinα嗎?cos2α＝2cosα嗎？tan2α＝2tanα嗎活動:本節(jié)總的指導(dǎo)思想是教師引導(dǎo)學(xué)生自己推導(dǎo)倍角公式．學(xué)生默寫完問題（1)后,教師打出課件,然后引導(dǎo)學(xué)生觀察正弦、余弦的和角公式，提醒學(xué)生注意公式中的α，β,既然可以是任意角，怎么任意的?你會有些什么樣的奇妙想法呢？并鼓勵學(xué)生大膽試一試．如果學(xué)生想到α，β會有相等這個特殊情況,教師就此進入下一個問題,如果學(xué)生沒想到這種特殊情況，教師適當(dāng)點撥進入問題(2)，然后找一名學(xué)生到黑板進行簡化，其他學(xué)生在自己的座位上簡化,教師再與學(xué)生一起集體訂正黑板的書寫，最后學(xué)生都不難得出以下式子，鼓勵學(xué)生嘗試一下，對得出的結(jié)論給出解釋．這個過程教師要舍得花時間，充分地讓學(xué)生去思考、去探究，并初步地感受二倍角的意義．同時開拓學(xué)生的思維空間，為學(xué)生將來遇到的3α或3β等角的探究附設(shè)類比聯(lián)想的源泉．sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβsin2α＝2sinαcosα(S2α)；cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβcos2α＝cos2α－sin2α（C2α)；tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ，1－tanαtanβ)tan2α＝eq\f（2tanα,1－tan2α）（T2α）．這時教師適時地向?qū)W生指出，我們把這三個公式分別叫做二倍角的正弦，余弦，正切公式，并指導(dǎo)學(xué)生閱讀教科書，確切明了二倍角的含義，以后的“倍角”專指“二倍角"．教師適時提出問題(3），點撥學(xué)生結(jié)合sin2α＋cos2α＝1思考，因此二倍角的余弦公式又可表示為以下右表中的公式．eq\a\vs4\al（sin2α＝2sinαcosαS2α，cos2α＝cos2α－sin2αC2α，tan2α＝\f（2tanα，1－tan2α)T2α）eq\a\vs4\al（cos2α＝2cos2α－1,cos2α＝1－2sin2α)這時教師點出，這些公式都叫做倍角公式（用多媒體演示)．倍角公式給出了α的三角函數(shù)與2α的三角函數(shù)之間的關(guān)系．問題(4），教師指導(dǎo)學(xué)生，這組公式用途很廣，并與學(xué)生一起觀察公式的特征與記憶，首先公式左邊角是右邊角的2倍；左邊是2α的三角函數(shù)的一次式，右邊是α的三角函數(shù)的二次式，即左到右→升冪縮角，右到左→降冪擴角、二倍角的正弦是單項式，余弦是多項式,正切是分式．問題(5)，因為還沒有應(yīng)用,對公式中的含義學(xué)生可能還理解不到位，教師要引導(dǎo)學(xué)生觀察思考并初步感性認識到：(Ⅰ）這里的“倍角”專指“二倍角”,遇到“三倍角"等名詞時,“三”字等不可省去；（Ⅱ）通過二倍角公式,可以用單角的三角函數(shù)表示二倍角的三角函數(shù)；（Ⅲ)二倍角公式是兩角和的三角函數(shù)公式的特殊情況；(Ⅳ）公式（S2α），(C2α）中的角α沒有限制,都是α∈R，但公式(T2α)需在α≠eq\f（1，2)kπ＋eq\f(π,4）和α≠kπ＋eq\f(π,2）(k∈Z）時才成立，這一條件限制要引起學(xué)生的注意．但是當(dāng)α＝kπ＋eq\f(π，2)，k∈Z時，雖然tanα不存在,此時不能用此公式，但tan2α是存在的，故可改用誘導(dǎo)公式．問題（6)，填空是為了讓學(xué)生明了二倍角的相對性，即二倍角公式不僅限于2α是α的二倍的形式，其他如4α是2α的二倍,eq\f（α,2)是eq\f（α,4)的二倍，3α是eq\f(3α,2）的二倍，eq\f（α，3）是eq\f（α,6）的二倍，eq\f(π，2)－α是eq\f(π,4）－eq\f(α，2）的二倍等，所有這些都可以應(yīng)用二倍角公式．例如：sineq\f(α，2)＝2sineq\f（α，4)coseq\f（α，4)，coseq\f(α，3）＝cos2eq\f(α,6）－sin2eq\f(α,6)等等．問題(7），本組公式的靈活運用還在于它的逆用以及它的變形用，這點教師更要提醒學(xué)生引起足夠的注意．如：sin3αcos3α＝eq\f(1,2）sin6α,4sineq\f(α,4)coseq\f（α,4）＝2（2sineq\f（α,4)coseq\f（α,4）)＝2sineq\f(α,2)，eq\f(2tan40°,1－tan240°）＝tan80°，cos22α－sin22α＝cos4α,tan2α＝2tanα(1－tan2α）等等．問題(8），一般情況下：sin2α≠2sinα，cos2α≠2cosα，tan2α≠2tanα。若sin2α＝2sinα,則2sinαcosα＝2sinα，即sinα＝0或cosα＝1，此時α＝kπ(k∈Z）．若cos2α＝2cosα,則2cos2α－2cosα－1＝0，即cosα＝eq\f（1－\r(3)，2)（cosα＝eq\f(1＋\r（3）,2）舍去)．若tan2α＝2tanα，則eq\f(2tanα，1－tan2α）＝2tanα，∴tanα＝0,即α＝kπ(k∈Z）．討論結(jié)果：（1）~(8)略．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(應(yīng)用示例））思路1例1已知sinα＝eq\f(5，13），α∈（eq\f(π,2),π),求sin2α，cos2α，tan2α的值．活動：教師引導(dǎo)學(xué)生分析題目中角的關(guān)系，觀察所給條件與結(jié)論的結(jié)構(gòu),注意二倍角公式的選用，領(lǐng)悟“倍角"是相對的這一換元思想．讓學(xué)生體會“倍”的深刻含義，它是描述兩個數(shù)量之間關(guān)系的．本題中的已知條件給出了α的正弦值．由于2α是α的二倍角，因此可以考慮用倍角公式．本例是直接應(yīng)用二倍角公式解題,目的是為了讓學(xué)生初步熟悉二倍角的應(yīng)用，理解二倍角的相對性，教師大膽放手，可讓學(xué)生自己獨立探究完成．解:因為sinα＝eq\f(5,13）,α∈（eq\f(π,2），π)，所以cosα＝－eq\r(1－sin2α）＝－eq\r(1－\f（5，13)2）＝－eq\f（12,13），sin2α＝2sinαcosα＝2×eq\f(5，13）×(－eq\f（12，13））＝－eq\f（120,169)，cos2α＝cos2α－sin2α＝（－eq\f（12,13))2－(eq\f（5，13））2＝eq\f(119,169)，tan2α＝eq\f(sin2α，cos2α)＝－eq\f（120,169)÷eq\f(119，169)＝－eq\f（120,119)。點評：學(xué)生由問題中條件與結(jié)論的結(jié)構(gòu)不難想象出解法，但要提醒學(xué)生注意，在解題時注意優(yōu)化問題的解答過程,使問題的解答簡捷、巧妙、規(guī)范，并達到熟練掌握的程度．本節(jié)公式的基本應(yīng)用是高考的熱點.變式訓(xùn)練1．y＝(sinx－cosx)2－1是（）A．最小正周期為2π的偶函數(shù)B．最小正周期為2π的奇函數(shù)C．最小正周期為π的偶函數(shù)D．最小正周期為π的奇函數(shù)答案：D2．若eq\f(cos2α,sinα－\f(π,4))＝－eq\f(\r（2）,2),則cosα＋sinα的值為()A．－eq\f(\r(7），2）B．－eq\f（1,2）C。eq\f（1,2）D。eq\f(\r（7），2)答案：C3．下列各式中,值為eq\f（\r（3）,2）的是（)A．2sin15°－cos15°B．cos215°－sin215°C．2sin215°－1D．sin215°＋cos215°答案：B例2證明eq\f（1＋sin2θ－cos2θ,1＋sin2θ＋cos2θ）＝tanθ.活動：教師可點撥學(xué)生想一想，到現(xiàn)在為止，所學(xué)的證明三角恒等式的方法大致有幾種：從復(fù)雜一端化向簡單一端；兩邊化簡，中間碰頭；化切為弦；還可以利用分析綜合法解決，有時幾種方法會同時使用等．對找不到思考方向的學(xué)生,教師點出：可否再添加一種，化倍角為單角？這可否成為證明三角恒等式的一種方法？再適時引導(dǎo)，前面學(xué)習(xí)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系時曾用到“1”的代換,對“1"的妙用大家深有體會，這里可否在“1”上做做文章？待學(xué)生探究解決方法后,可找?guī)讉€學(xué)生到黑板書寫解答過程，以便對照點評及給學(xué)生以啟發(fā)．點評時對能夠善于運用所學(xué)的新知識解決問題的學(xué)生給予贊揚；對暫時找不到思路的學(xué)生給予點撥、鼓勵．強調(diào)“1”的妙用很妙，妙在它在三角恒等式中一旦出現(xiàn)，在證明過程中就會起到至關(guān)重要的作用，在今后的證題中,萬萬不要忽視它．證明：方法一：左＝eq\f(sin2θ＋1－cos2θ，sin2θ＋1＋cos2θ)＝eq\f（2sinθcosθ＋1＋1－2cos2θ,2sinθcosθ＋1＋2cos2θ－1)＝eq\f（sinθcosθ＋1－cos2θ，sinθcosθ＋cos2θ)＝eq\f(sinθcosθ＋sin2θ，sinθcosθ＋cos2θ)＝eq\f（sinθcosθ＋sinθ，cosθsinθ＋cosθ)＝tanθ＝右，所以，原式成立．方法二:左＝eq\f（sin2θ＋cos2θ＋sin2θ＋sin2θ－cos2θ，sin2θ＋cos2θ＋sin2θ＋cos2θ－sin2θ）＝eq\f(sin2θ＋2sin2θ,sin2θ＋2cos2θ)＝eq\f（2sinθsinθ＋cosθ，2cosθsinθ＋cosθ)＝tanθ＝右．方法三：左＝eq\f（1＋sin2θ－cos2θ,1＋sin2θ＋cos2θ)＝eq\f（sin2θ＋cos2θ＋2sinθ·cosθ－cos2θ－sin2θ，sin2θ＋cos2θ＋2sinθ·cosθ＋cos2θ－sin2θ)＝eq\f（sinθ＋cosθ2－cosθ＋sinθcosθ－sinθ，sinθ＋cosθ2＋cosθ＋sinθcosθ－sinθ)＝eq\f(sinθ＋cosθsinθ＋cosθ＋sinθ－cosθ，sinθ＋cosθsinθ＋cosθ＋cosθ－sinθ)＝eq\f(sinθ＋cosθ·2sinθ,sinθ＋cosθ·2cosθ）＝tanθ＝右．點評：以上幾種方法大致遵循以下規(guī)律：首先從復(fù)雜端化向簡單端；第二，化倍角為單角,這是我們今天剛剛學(xué)習(xí)的；第三，證題中注意對數(shù)字的處理，尤其“1”的代換的妙用，請同學(xué)們在探究中仔細體會這點．在這道題中通常用的幾種方法都用到了,不論用哪一種方法，都要思路清晰，書寫規(guī)范才是。變式訓(xùn)練1．若角α的終邊經(jīng)過點P(1，－2)，則tan2α的值為__________．答案：eq\f(4,3）2．證明恒等式：eq\f(sin2θ＋sinθ,2cos2θ＋2sin2θ＋cosθ)＝tanθ.證明：左邊＝eq\f（2sinθcosθ＋sinθ,2cos2θ－sin2θ＋2sin2θ＋cosθ)＝eq\f（sinθ2cosθ＋1,cosθ2cosθ＋1）＝tanθ＝右邊。思路2例1求sin10°sin30°sin50°sin70°的值．活動：本例是一道靈活應(yīng)用二倍角公式的經(jīng)典例題，有一定難度，但也是訓(xùn)練學(xué)生思維能力的一道好題．本題需要公式的逆用,逆用公式的先決條件是認識公式的本質(zhì)，要善于把表象的東西拿開，正確捕捉公式的本質(zhì)屬性，以便合理運用公式．教學(xué)中教師可讓學(xué)生充分進行討論探究，不要輕易告訴學(xué)生解法，可適時點撥學(xué)生需要做怎樣的變化，又需怎樣應(yīng)用二倍角公式．并點撥學(xué)生結(jié)合誘導(dǎo)公式思考．學(xué)生經(jīng)過探索發(fā)現(xiàn)，如果用誘導(dǎo)公式把10°，30°,50°,70°正弦的積化為20°，40°，60°,80°余弦的積,其中60°是特殊角，很容易發(fā)現(xiàn)40°是20°的2倍,80°是40°的2倍,故可考慮逆用二倍角公式．解：原式＝cos80°cos60°cos40°cos20°＝eq\f(23·sin20°cos20°cos40°cos80°，23·2sin20°)＝eq\f（sin160°,16sin20°）＝eq\f（sin20°,16sin20°）＝eq\f(1,16）。變式訓(xùn)練1．函數(shù)f（x)＝eq\f(sinx，sinx＋2sin\f（x,2)）是(）A．以4π為周期的偶函數(shù)B．以2π為周期的奇函數(shù)C．以2π為周期的偶函數(shù)D．以4π為周期的奇函數(shù)答案：A2．函數(shù)y＝(sinx＋cosx)2＋1的最小正周期是(）A。eq\f(π，2)B．πC。eq\f（3π，2)D．2π答案：B例2在△ABC中，cosA＝eq\f(4，5），tanB＝2，求tan（2A＋2B)的值．活動：這是本節(jié)課本上最后一個例題，結(jié)合三角形,具有一定的綜合性，同時也是和與差公式的應(yīng)用問題．教師可引導(dǎo)學(xué)生注意在三角形的背景下研究問題，會帶來一些隱含的條件，如A＋B＋C＝π,0<A〈π，0<B〈π，0〈C〈π,就是其中的一個隱含條件．可先讓學(xué)生討論探究,教師適時點撥．學(xué)生探究解法時教師進一步啟發(fā)學(xué)生思考由條件到結(jié)果的函數(shù)及角的聯(lián)系．由于對2A＋2B與A，B之間關(guān)系的看法不同會產(chǎn)生不同的解題思路,所以學(xué)生會產(chǎn)生不同的解法，不過它們都是對倍角公式、和角公式的聯(lián)合運用，本質(zhì)上沒有區(qū)別．不論學(xué)生的解答正確與否，教師都不要直接干預(yù)．在學(xué)生自己嘗試解決問題后，教師可與學(xué)生一起比較各種不同的解法，并引導(dǎo)學(xué)生進行解題方法的歸納總結(jié)．基礎(chǔ)較好的班級還可以把求tan(2A＋2B）的值改為求tan2C的值．解法一：在△ABC中，由cosA＝eq\f(4，5），0〈A〈π，得sinA＝eq\r（1－cos2A）＝eq\r（1－\f(4，5)2)＝eq\f(3,5).所以tanA＝eq\f（sinA,cosA)＝eq\f(3，5）×eq\f(5,4)＝eq\f(3,4)，tan2A＝eq\f（2tanA，1－tan2A)＝eq\f(2×\f(3,4),1－\f(3，4)2）＝eq\f(24，7).又tanB＝2,所以tan2B＝eq\f（2tanB，1－tan2B)＝eq\f(2×2,1－22）＝－eq\f（4，3)。于是tan（2A＋2B)＝eq\f（tan2A＋tan2B，1－tan2Atan2B）＝eq\f(\f(24，7)－\f(4，3),1－\f(24，7）×－\f(4,3))＝eq\f(44，117）.解法二：在△ABC中，由cosA＝eq\f（4，5)，0〈A〈π，得sinA＝eq\r（1－cos2A）＝eq\r（1－\f(4,5)2)＝eq\f(3,5)。所以tanA＝eq\f(sinA，cosA)＝eq\f（3，5）×eq\f（5,4)＝eq\f（3，4).又tanB＝2,所以tan(A＋B)＝eq\f(tanA＋tanB，1－tanAtanB）＝eq\f（\f(3，4)＋2，1－\f(3，4)×2）＝－eq\f（11，2).于是tan(2A＋2B)＝tan［2（A＋B)］＝eq\f(2tanA＋B,1－tan2A＋B)＝eq\f（2×－\f（11，2),1－－\f（11,2）2）＝eq\f(44,117）.變式訓(xùn)練化簡:eq\f（1＋cos4α＋sin4α，1－cos4α＋sin4α)。解：原式＝eq\f（2cos22α＋2sin2αcos2α,2sin22α＋2sin2αcos2α)＝eq\f(2cos2αcos2α＋sin2α，2sin2αsin2α＋cos2α）＝eq\f(1,tan2α）。eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（課堂小結(jié)）)1．先由學(xué)生回顧本節(jié)課都學(xué)到了什么?有哪些收獲？對前面學(xué)過的兩角和公式有什么新的認識？對三角函數(shù)式子的變化有什么新的認識?怎樣用二倍角公式進行簡單三角函數(shù)式的化簡、求值與恒等式證明．2．教師畫龍點睛:本節(jié)課要理解并掌握二倍角公式及其推導(dǎo)，明白從一般到特殊的思想,并要正確熟練地運用二倍角公式解題．在解題時要注意分析三角函數(shù)名稱、角的關(guān)系，一個題目能給出多種解法，從中比較最佳解決問題的途徑，以達到優(yōu)化解題過程，規(guī)范解題步驟,領(lǐng)悟變換思路，強化數(shù)學(xué)思想方法之目的．eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（作業(yè)））課本本節(jié)練習(xí)B組1～4。eq\o（\s\up7(）,\s\do5（設(shè)計感想))1．新課改的核心理念是：以學(xué)生發(fā)展為本．本節(jié)課的設(shè)計流程從回顧→探索→應(yīng)用,充分體現(xiàn)了“學(xué)生主體、主動探索、培養(yǎng)能力”的新課改理念，體現(xiàn)“活動、開放、綜合”的創(chuàng)新教學(xué)模式．本節(jié)在學(xué)生探究和角公式的特殊情形中得到了二倍角公式,在這個活動過程中,由一般化歸為特殊的基本數(shù)學(xué)思想方法就深深的留在了學(xué)生記憶中．本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計流程還是比較流暢的．2．縱觀本教案的設(shè)計，學(xué)生發(fā)現(xiàn)二倍角后就是應(yīng)用,至于如何訓(xùn)練二倍角公式正用，逆用，變形用倒成了次要的了．而學(xué)生從探究活動過程中學(xué)會了怎樣去發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律，又發(fā)現(xiàn)了怎樣逆用公式及活用公式，那才是深層的，那才是我們中學(xué)數(shù)學(xué)教育的最終目的．3．教學(xué)矛盾的主要方面是學(xué)生的學(xué)，學(xué)是中心,會學(xué)是目的，根據(jù)高中三角函數(shù)的推理特點，本節(jié)主要是教給學(xué)生“回顧公式、探索特殊情形、發(fā)現(xiàn)規(guī)律、推導(dǎo)公式、學(xué)習(xí)應(yīng)用”的探索創(chuàng)新式學(xué)習(xí)方法．這樣做增加了學(xué)生溫故知新的空間，增強了學(xué)生的參與意識，教給了學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律、探索推導(dǎo)、獲取新知的途徑,讓學(xué)生真正嘗試到探索的喜悅，真正成為教學(xué)的主體．eq\o(\s\up7（），\s\do5（備課資料)）一、三角變換中的“一致代換”法在三角變換中，“一致代換”法是一種重要的方法，所謂“一致代換”法，即在三角變換中，化“異角”“異名”“異次”為“同角"“同名”“同次"的方法．它主要包括：在三角函數(shù)式中，①如果只含同角三角函數(shù)，一般應(yīng)從變化函數(shù)名稱入手，盡量化為同名函數(shù),常用“化弦法”；②如果含有異角，一般應(yīng)從變化角入手，盡量化不同角為同角,變復(fù)角為單角；③如果含有異次冪，一般利用升冪或降冪公式化異次冪為同次冪．二、備用習(xí)題1．求值：eq\f(1，sin10°)－eq\f（\r（3），cos10°).2．化簡：cos36°cos72°.3．化簡：cosαcoseq\f（α,2）coseq\f(α，22）coseq\f(α，23）·…·coseq\f(α，2n－1）.4．求值:sin6°sin42°sin66°sin78°。5．已知向量m＝(sinA，cosA），n＝(1，－2),且m·n＝0。(1）求tanA的值；(2)求函數(shù)f(x)＝cos2x＋tanAsinx(x∈R)的值域．6．已知cos(α－eq\f（β,2））＝－eq\f(1，9)，sin(eq\f(α，2)－β)＝eq\f（2，3)，且eq\f(π，2)<α<π,0<β<eq\f（π,2），求cos(α＋β)的值．7．已知cos（x－eq\f（π，4）)＝eq\f（\r(2），10），x∈（eq\f（π,2），eq\f（3π，4）)．(1)求sinx的值；(2)求sin（2x＋eq\f(π，3))的值．參考答案:1．解：原式＝eq\f（cos10°－\r(3）sin10°，sin10°cos10°)＝eq\f(2\f(1，2）cos10°－\f（\r(3),2）sin10°，sin10°cos10°）＝eq\f(4sin30°cos10°－cos30°sin10°，2sin10°cos10°）＝eq\f(4sin30°－10°,sin20°)＝4。2．解：原式＝eq\f（2sin36°cos36°·cos72°，2sin36°)＝eq\f（2sin72°cos72°，4sin36°)＝eq\f(sin144°,4sin36°)＝eq\f(1,4）.3．解：先將原式同乘除因式sineq\f（α，2n－1），然后逐次使用倍角公式,則原式＝eq\f(sin2α,2nsin\f(α，2n－1））.4．解：原式＝sin6°cos48°cos24°cos12°＝sin6°cos12°cos24°cos48°＝eq\f(24cos6°sin6°cos12°cos24°cos48°，24cos6°)＝eq\f(sin96°,24cos6°）＝eq\f(cos6°，16cos6°)＝eq\f（1，16）.5．解：(1)由題意，得m·n＝sinA－2cosA＝0，因為cosA≠0，所以tanA＝2.(2)由（1）知tanA＝2,得f(x)＝cos2x＋2sinx＝1－2sin2x＋2sinx＝－2（sinx－eq\f（1,2））2＋eq\f(3，2），因為x∈R,所以si