數(shù)學(xué)示范教案：頻率與概率

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精示范教案eq\o(\s\up7()，\s\do5(整體設(shè)計）)教學(xué)分析教材利用例1給出了頻率和概率的概念，并初步介紹了概率的意義．本小節(jié)例2根據(jù)一批種子的發(fā)芽試驗結(jié)果來估計其發(fā)芽率得到的結(jié)果是一個近似值，這個值可以用全部6次試驗中的總的發(fā)芽粒數(shù)與種子總粒數(shù)之比表示．本節(jié)后練習(xí)A的第2題的第（2)小題中“求這個射手射擊一次擊中靶心的概率”也可以用類似的方法計算．值得注意的是:在教學(xué)過程中，要讓學(xué)生對比頻率和概率的概念和性質(zhì)，明確它們的區(qū)別與聯(lián)系，盡量使用統(tǒng)計圖或統(tǒng)計表來展示頻率的穩(wěn)定性，這樣既直觀易懂,又可以與第二章《統(tǒng)計》的內(nèi)容相呼應(yīng)．三維目標(biāo)1．了解概率的意義，掌握頻率與概率的區(qū)別．2．正確理解隨機事件發(fā)生的不確定性及其頻率的穩(wěn)定性，并嘗試澄清日常生活中遇到的一些錯誤認識．3．加強與現(xiàn)實生活的聯(lián)系，以科學(xué)的態(tài)度評價身邊的一些隨機事件．重點難點教學(xué)重點：頻率和概率的概念．教學(xué)難點：概率的統(tǒng)計定義以及概率與頻率的區(qū)別與聯(lián)系．課時安排1課時．eq\o（\s\up7(）,\s\do5(教學(xué)過程))導(dǎo)入新課思路1.隨機事件在試驗中可能發(fā)生，發(fā)生的可能性有多大這一問題，我們還是從最簡單的試驗—-擲硬幣談起．雖然我們不能預(yù)先判斷出現(xiàn)正面向上,還是反面向上,但是假如硬幣均勻,直觀上可以認為出現(xiàn)正面與反面的機會相等，即在大量試驗中出現(xiàn)正面的頻率應(yīng)接近于0。5.教師點出課題．思路2.生活中，我們經(jīng)常聽到這樣的議論：“天氣預(yù)報說昨天降水概率為90％，結(jié)果根本一點雨都沒下，天氣預(yù)報也太不準(zhǔn)確了．”這是真的嗎？為此我們必須學(xué)習(xí)概率的意義．教師點出課題．推進新課eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（新知探究))eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（提出問題）)1．把全班分成十幾個小組，每個小組4～5人．各小組把一枚均勻硬幣至少擲100次，觀察擲出正面向上的次數(shù)，然后把試驗結(jié)果及計算結(jié)果填入下表：小組編號拋擲次數(shù)（n）正面向上次數(shù)(m)正面向上頻率(eq\f（m,n）)當(dāng)全班做完這一試驗后，把試驗結(jié)果公布在黑板上，請大家談?wù)勈录罢嫦蛏稀钡陌l(fā)生有沒有什么規(guī)律可循．2．閱讀教材，什么叫概率？3．舉例說明頻率與概率的關(guān)系．4．如果某種彩票中獎的概率為eq\f(1,1000),那么買1000張彩票一定能中獎嗎？討論結(jié)果：1．歷史上有些學(xué)者還做了成千上萬次擲硬幣的試驗，結(jié)果如下表所示：試驗者拋擲次數(shù)（n）正面向上次數(shù)(m）正面向上頻率（eq\f（m，n))棣莫佛204810610。5181蒲豐404020480.5069費勒1000049790。4979皮爾遜1200060190。5016皮爾遜24000120120。5005我們可以設(shè)想有1000個人投擲硬幣，如果每人投5次，計算每個人投出正面的頻率，在這1000個頻率中，一般說，0,0。2，0.4,0。6，0.8,1都會有，而且會有不少是0或1；如果要求每個人投20次,這時頻率為0，0.05，0。95，1的將會變少,多數(shù)頻率在0.35～0.65之間，甚至比較集中在0.4～0.6之間;如果要求每個人投擲1000次,這時絕大多數(shù)的頻率會集中在0。5的附近,和0。5有較大差距的頻率值也會有，但這樣的頻率值很少．而且隨著投擲次數(shù)的增多,頻率越來越明顯地集中在0。5附近．當(dāng)然，即使投擲的次數(shù)再多，也不能絕對排除出現(xiàn)與0。5差距較大的頻率值，只不過這種情形極少．人們經(jīng)過大量試驗和實際經(jīng)驗的積累逐漸認識到:在多次重復(fù)試驗中，同一事件發(fā)生的頻率在某一個數(shù)值附近擺動,而且隨著試驗次數(shù)的增加，一般擺動幅度越小，而且觀察到的大偏差也越少,頻率呈現(xiàn)一定的穩(wěn)定性，頻率的穩(wěn)定性揭示出隨機事件發(fā)生的可能性有一定的大?。录念l率穩(wěn)定在某一數(shù)值附近，我們就用這一數(shù)值表示事件發(fā)生的可能性大?。?．一般地，在n次重復(fù)進行的試驗中，事件A發(fā)生的頻率eq\f（m，n），當(dāng)n很大時，總是在某個常數(shù)附近擺動．隨著n的增大,擺動幅度越來越?。@時就把這個常數(shù)叫做事件A的概率，記作P（A)．從概率的定義中，我們可以看出隨機事件A的概率P（A）滿足0≤P(A)≤1.這是因為在n次試驗中，事件A發(fā)生的頻數(shù)m滿足0≤m≤n，所以0≤eq\f(m，n)≤1。當(dāng)A是必然事件時，P(A）＝1，當(dāng)A是不可能事件時,P(A）＝0.3．從定義中,我們還可以看出，概率是可以通過頻率來“測量"的，或者說頻率是概率的一個近似．在前述擲硬幣的例子中，經(jīng)過前人的反復(fù)多次試驗，出現(xiàn)正面的頻率逐漸穩(wěn)定到0.5，那么我們就得到出現(xiàn)正面的概率是0.5。這件事情其實質(zhì)與測量長度一樣平常，給定一根木棒，誰都不懷疑它有“客觀”的長度，長度是多少？我們可以用尺或儀器去測量，不論尺或儀器多么精確，測得的數(shù)值總是穩(wěn)定在木棒真實的“長度”值的附近．事實上，人們也是把測量所得的值當(dāng)作真實的“長度”值．這個類比有助于我們理解頻率和概率之間的內(nèi)在關(guān)系．概率的這種定義叫做概率的統(tǒng)計定義．在實踐中很多時候采用這種方法求事件的概率．有了概率的統(tǒng)計定義,我們就可以比較不同事件發(fā)生的可能性大小了．4．買1000張彩票，相當(dāng)于1000次試驗，因為每次試驗的結(jié)果都是隨機的，所以做1000次試驗的結(jié)果也是隨機的，也就是說,買1000張彩票有可能沒有一張中獎．雖然中獎的張數(shù)是隨機的,但這種隨機性中,具有規(guī)律性，隨著試驗次數(shù)的增加，即隨著買的彩票的增加，大約有eq\f（1，1000）的彩票中獎，所以沒有一張中獎也是有可能的．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(應(yīng)用示例)）思路1例為了確定某類種子的發(fā)芽率，從一大批種子中抽出若干批做發(fā)芽試驗，其結(jié)果如下：種子粒數(shù)257013070020003000發(fā)芽粒數(shù)246011663918062713發(fā)芽率(1）完成表格．(2）估計這類種子的發(fā)芽率．分析：(1）利用定義計算各個發(fā)芽率；(2）觀察這6個發(fā)芽率的穩(wěn)定值．解：（1)依據(jù)頻率的計算公式,所填發(fā)芽率從左到右依次是0.96,0。857，0。892,0.913,0。903,0.904。（2)從以上數(shù)據(jù)可以看出，這類種子的發(fā)芽率約為0。9.變式訓(xùn)練一個地區(qū)從某年起幾年之內(nèi)的新生兒數(shù)及其中男嬰數(shù)如下：時間范圍1年內(nèi)2年內(nèi)3年內(nèi)4年內(nèi)新生嬰兒數(shù)554496071352017190男嬰數(shù)2883497069948892男嬰出生的頻率（1）填寫表中男嬰出生的頻率(結(jié)果保留到小數(shù)點后第3位)．（2)這一地區(qū)男嬰出生的概率約是多少?解：(1）0。5200。5170.5170。517（2)各個頻率均穩(wěn)定在常數(shù)0.517上,所以這一地區(qū)男嬰出生的概率約是0.517。思路2例某批乒乓球產(chǎn)品質(zhì)量檢查結(jié)果如下表：抽取球數(shù)n5010020050010002000優(yōu)等品數(shù)m45921944709541902頻率m/n0。90.920。970.940。9540.951當(dāng)試驗次數(shù)很多時,出現(xiàn)優(yōu)等品的頻率值是穩(wěn)定的，接近于某一個常數(shù)，并在它附近擺動，你能觀察出這個常數(shù)嗎？分析：大量重復(fù)試驗時，任意結(jié)果(事件)A出現(xiàn)的頻率盡管是隨機的，卻“穩(wěn)定”在某一個常數(shù)附近，試驗的次數(shù)越多，頻率與這一常數(shù)的偏差大的可能性越?。治鰰r關(guān)注當(dāng)試驗次數(shù)逐漸增多時數(shù)據(jù)的趨勢．解：當(dāng)抽查的球數(shù)很多時，抽到優(yōu)等品的頻率接近于常數(shù)0。95，并在它附近擺動.變式訓(xùn)練某公司在過去幾年內(nèi)使用某種型號的燈管1000支,該公司對這些燈管的使用壽命（單位：小時)進行了統(tǒng)計,統(tǒng)計結(jié)果如下表所示：分組［500，900)［900,1100）[1100,1300）［1300，1500）［1500,1700)[1700,1900)[1900，＋∞)頻數(shù)4812120822319316542頻率（1)將各組的頻率填入表中;（2）根據(jù)上述統(tǒng)計結(jié)果，計算燈管使用壽命不足1500小時的概率．分析：(1)利用定義計算各組的頻率；(2)壽命不足1500小時的頻數(shù)等于［500，900),[900，1100）,[1100,1300），[1300,1500)的頻數(shù)的和,用頻率來估計概率．解：（1)利用頻率的定義，可得[500,900)的頻率是eq\f（48,1000）＝0.048；[900，1100)的頻率是eq\f(121，1000）＝0.121；[1100，1300)的頻率是eq\f（208,1000)＝0。208；［1300,1500)的頻率是eq\f(223，1000)＝0.223；[1500,1700)的頻率是eq\f(193,1000)＝0。193;[1700,1900)的頻率是eq\f(165，1000）＝0.165；［1900，＋∞)的頻率是eq\f（42，1000）＝0.042。所以頻率依次是0.048,0.121,0。208,0.223，0.193，0.165，0。042。（2）樣本中壽命不足1500小時的頻數(shù)是48＋121＋208＋223＝600，所以樣本中壽命不足1500小時的頻率是eq\f(600，1000)＝0.6.所以估計燈管使用壽命不足1500小時的概率是0.6。eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(知能訓(xùn)練))1．下列結(jié)論正確的是()A．事件A的概率P(A）必有0〈P（A)<1B．事件A的概率P（A）＝0.999,則事件A是必然事件C．用某種藥物對患有胃潰瘍的500名病人治療，結(jié)果有380人有明顯的療效,現(xiàn)有某胃潰瘍病人服用此藥，則估計其有明顯療效的可能性為76％D．某獎券中獎率為50％，則某人購買此券10張，一定有5張中獎答案：C2．某人將一枚硬幣連擲了10次，正面朝上的出現(xiàn)了6次，若用A表示正面朝上這一事件，則A的（)A．概率為eq\f（3,5）B．頻率為eq\f（3,5）C．頻率為6D．概率接近0.6解析：頻率為eq\f（6，10）＝eq\f(3，5）.答案：B3．某籃球運動員，在同一條件下進行投籃練習(xí)，結(jié)果如下表所示．投籃次數(shù)48607510010050100進球次數(shù)m36486083804076進球頻率eq\f（m，n）(1）計算表中進球的頻率；(2)這位運動員投籃一次，進球的概率約為多少？解:(1)填入表中的數(shù)據(jù)依次為0。75,0.80，0。80，0.83,0.80,0。80,0.76。(2）由于上述頻率接近0.80，因此，進球的概率約為0。80。eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（拓展提升))用下面的兩排數(shù)做一種游戲，游戲的方法是：甲、乙兩人分別擲骰子．如果骰子上面的數(shù)是幾，就從它們對應(yīng)的格中的那個數(shù)后面的數(shù)開始向后數(shù)幾個數(shù)，例如擲骰子得到的數(shù)是3，就從第4個數(shù)開始向后面數(shù)3個格，如果對應(yīng)的數(shù)是偶數(shù)就得1分,如果是奇數(shù)不得分,這兩種游戲?qū)住⒁覂扇耸欠窆?？為什么？?23456789101112乙132456127891011分析:觀察甲、乙各自的一排數(shù)可以看到，甲投出骰子,不論上面的數(shù)是幾，最終他得到的都是偶數(shù)，而乙投出骰子，所得數(shù)并非如此．解:因為甲所對應(yīng)的數(shù)是從1到12從小到大依次排列，當(dāng)甲第一次投出骰子上的數(shù)是奇(或偶)數(shù)時，根據(jù)兩數(shù)相加的奇偶性可知：甲所對應(yīng)的數(shù)一定是偶數(shù)．所以甲得分的概率是100％;對于乙而言，情況并非如此，例如乙投出骰子是1時，所得的數(shù)是3。綜上所述，這兩種游戲?qū)?、乙兩人不公平．因為甲得分的概率?00%，而乙得分的概率達不到100%.eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（課堂小結(jié))）本節(jié)課學(xué)習(xí)頻率與概率的概念及其意義．eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(作業(yè)))本節(jié)練習(xí)A2、3。eq\o（\s\up7(),\s\do5（設(shè)計感想））通過學(xué)生親自動手試驗,突破學(xué)生理解“隨機事件發(fā)生的隨機性和隨機性中的規(guī)律性"的難點．同時發(fā)現(xiàn)隨著試驗次數(shù)的增加，頻率穩(wěn)定在某個常數(shù)附近，然后得出概率的定義，總結(jié)出頻率與概率的關(guān)系．在這個過程中，加深對知識的理解，使學(xué)生養(yǎng)成良好的思考習(xí)慣和科學(xué)的研究方法，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的能力，運用了試驗、觀察、探究、歸納和總結(jié)的思想方法，符合新課標(biāo)理念,應(yīng)大力提倡．eq\o（\s\up7()，\s\do5（備課資料)）概率與法律概率論正越來越多地出現(xiàn)在法庭之上.1968年美國加利福尼亞州的一個案件引起了人們的廣泛關(guān)注．目擊證人說看到一個金發(fā)并且扎馬尾樣發(fā)式的白人婦女和一個有八字須和絡(luò)腮胡的黑人男子在洛杉磯郊區(qū)的一個小巷跑出來，而那里正是一位老人剛剛遭受背后襲擊和搶劫的地方．這對男女開著一輛部分是黃色的汽車逃跑了．因此當(dāng)?shù)鼐齑读薐enet和Malcolm夫婦倆，他們有一輛部分是黃色的林肯轎車，她通常把她的金發(fā)扎成馬尾狀．他是一個黑人,盡管被捕時他的胡子刮得很干凈，但仍然能看出不久前他還是滿臉絡(luò)腮胡的痕跡．在審判中，公訴人指控他夫婦倆有罪的證據(jù)是-—“數(shù)字證明”．以下是由證人指出的特征算出的“保守概率”：有八字胡的男人eq\f（1,4），扎馬尾發(fā)型的女人eq\f(1，1