第十七章 特殊三角形 綜合檢測

第十七章特殊三角形綜合檢測(滿分100分，限時60分鐘)一、選擇題(每小題3分，共30分)1.用反證法證明命題“在△ABC中，若∠A<∠B，則a<b”時，應(yīng)先假設(shè)()A.a>b B.a≥b C.a=b D.a≤b2.滿足下列條件時，△ABC不是直角三角形的是()A.∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5 B.∠A=2∠B=2∠CC.AB=34，BC=3，AC=5 D.∠A=20°，∠B=70°3.(2023河南南陽臥龍期末)勾股定理在《九章算術(shù)》中的表述是“勾股術(shù)曰:勾股各自乘，并而開方除之，即弦.”即c=a2+b2(a為“勾”，b為“股”，c為“弦”)，若“勾”為2A.5 B.4 C.3 D.24.沫沫要畫∠MON的平分線，她是這樣操作的，首先以點O為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交OM、ON于點A、B，連接AB，然后拿一根細(xì)繩，將一端固定到O點，轉(zhuǎn)動繩子，繩子交AB于點C，當(dāng)OC最短時，射線OC即為∠MON的平分線，在這個過程中她用到的數(shù)學(xué)知識有()①等腰三角形的概念；②垂線段最短；③等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)；④勾股定理.A.①② B.①②③ C.②③④ D.①②③④5.(2023河北石家莊十七中月考)如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，D是斜邊AB的中點，DE⊥AC，垂足為點E，BC=2，則DE的長是()A.1 B.2 C.3 D.46.(2023山東鄒城期末)已知:在△ABC中，∠A=60°，若要判定△ABC是等邊三角形，還需添加一個條件.現(xiàn)有下面三種說法:①如果添加條件“AB=AC”，那么△ABC是等邊三角形；②如果添加條件“∠B=∠C”，那么△ABC是等邊三角形；③如果添加條件“邊AB、BC上的高相等”，那么△ABC是等邊三角形.上述說法中，正確的有()A.3個 B.2個 C.1個 D.0個7.(2023山西朔州期末)已知等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為35°，那么這個等腰三角形的頂角等于()A.55°或125° B.55° C.125° D.35°或55°8.如圖，A，B兩點在正方形網(wǎng)格的格點上，每個方格都是邊長為1的正方形，點C也在格點上，且△ABC為等腰三角形，則圖中所有符合條件的點C應(yīng)該有()A.7個 B.8個 C.9個 D.10個9.(2022河北承德期末)如圖1，在△ABC中，AB=BC=2，∠B=120°，M是BC的中點，設(shè)AM=a，則表示實數(shù)a的點落在數(shù)軸上(如圖2)所標(biāo)四段中的() 圖1 圖2A.①段 B.②段 C.③段 D.④段10.(2023北京十一學(xué)校期末)如圖，從等邊三角形內(nèi)一點P向三邊作垂線，垂足分別是Q、R、S，PQ=3，PR=4，PS=5，則△ABC的面積是()A.48 B.483 C.96 D.96二、填空題(每小題3分，共18分)11.(2023廣西南寧賓陽期中)如圖，AB⊥BC，AD⊥DC，請你添加一個條件，利用“HL”，證明Rt△ABC≌Rt△ADC.12.(2023遼寧大連三十七中期末)如圖，在Rt△ABC中，∠B=30°，以點A為圓心，AC長為半徑作弧，交直線AB于點D，連接DC，則∠DCB的度數(shù)是.13.(2022四川內(nèi)江威遠(yuǎn)中學(xué)期中)已知a、b、c是△ABC的三邊長，且滿足a2+2b2+c2-2b(a+c)=0，則此三角形的形狀為.

14.(2023江蘇徐州鼓樓樹德中學(xué)期末)若直角三角形斜邊上的高是3，斜邊上的中線是6，則這個直角三角形的面積是.15.(2023山東煙臺期末)如圖，某數(shù)學(xué)興趣小組為測量學(xué)校C與河對岸工廠B之間的距離，在學(xué)校附近選一點A，測得∠A=60°，∠C=90°，AC=1km.據(jù)此，可求得學(xué)校與工廠之間的距離BC等于km.16.(2023廣東梅州梅縣期末)如圖，已知AB=A1B，A1B1=A1A2，A2B2=A2A3，……，An-1Bn-1=An-1An(n≥2且n為整數(shù))，若∠B=48°，則∠A2022A2023B2022的度數(shù)為.三、解答題(共52分)17.(2023湖北武漢黃陂期末)(7分)如圖，AC⊥CB，DB⊥CB，垂足分別為C、B，AB=DC，求證:AC=DB.18.(2023重慶榮昌期末)(7分)如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB的垂直平分線分別交AB，AC于點D，E.(1)求證:AE=2CE；(2)連接CD，請判斷△BCD的形狀，并說明理由.19.(2023安徽宿州埇橋期中)(8分)如圖，在△ABC中，CD⊥AB于點D，AC=20，BC=15，DB=9.(1)求AD的長；(2)判斷△ABC的形狀，并說明理由.20.(2023江蘇宿遷宿豫期中)(8分)如圖，AD是△ABC的角平分線，CE∥AD，與BA的延長線相交于點E，點F在AD的延長線上，且FC=AC.求證:(1)△ACE是等腰三角形；(2)AB∥CF.21.(2023重慶八中期末)(10分)如圖，在一條繃緊的繩索一端系著一艘小船.河岸上一男子拽著繩子另一端向右走，繩端從C移動到E，同時小船從A移動到B，繩子始終繃緊且繩長保持不變.(1)若CF=7米，AF=24米，AB=18米，求男子向右移動的距離；(結(jié)果保留根號)(2)在(1)的條件下，男子以0.5米每秒的速度收繩，該男子能否在30秒內(nèi)將船從A處移動到岸邊點F的位置?22.(2023廣東深圳福田期中)(12分)閱讀下面材料:某學(xué)校數(shù)學(xué)興趣活動小組在一次活動中，對一個數(shù)學(xué)問題作如下探究:在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D是BC的中點.(1)如圖1，若點E、F分別在線段AB、AC上，且AE=CF，連接EF、DE、DF、AD，此時小明發(fā)現(xiàn)∠BAD=°，AD DC(填“>”“<”或“=”).接下來小明和同學(xué)們繼續(xù)探究，發(fā)現(xiàn)一個結(jié)論:線段EF長與DE長的比值是一個固定值，即EF=DE；

(2)如圖2，E、F分別在線段BA、AC的延長線上，且AE=CF，若EF=4，求DE的長；(3)如圖3，AB=AC=6，動點M在AD的延長線上，點H在直線AC上，且滿足∠BMH=90°，CH=2，請直接寫出DM的長為.

圖1 圖2 圖3

第十七章特殊三角形綜合檢測答案全解全析一、選擇題1.B用反證法證明命題“在△ABC中，若∠A<∠B，則a<b”時，應(yīng)先假設(shè)a≥b，故選B.2.AA.∵∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5，∴∠C=180°×512=75°∠A=180°×312=45°，∠B=180°×412=60°，∴△ABC不是直角三角形，故此選項符合題意；B.∵∠A=2∠B=2∠C，∴∠B=∠14=45°，∴∠A=90°，∴△ABC是直角三角形，故此選項不合題意C.∵32+53=(34)2，∴△ABC是直角三角形，故此選項不合題意；D.∵∠A=20°，∠B=70°，∴∠C=90°，∴△ABC是直角三角形，故此選項不合題意.故選A.3.Bc=a2+b2(a為“勾”，b為“股”，c為“弦”)，“勾”為2，“股”為3，則“弦”=22+32=13，∵12.25<13<16，∴3.5<4.B首先以點O為圓心，任意長為半徑畫弧，可以得到OA=OB，根據(jù)等腰三角形的定義可知△OAB為等腰三角形，然后當(dāng)OC最短時，根據(jù)垂線段最短可知此時OC⊥AB，最后根據(jù)等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)可知OC平分∠MON.5.A∵DE⊥AC，∠A=30°，∴DE=12AD，∵∠ACB=90°，D是斜邊AB的中點，∴AD=BD=12AB，∵∠A=30°，∴∴AD=2，∴DE=12AD=1，6.A①若添加的條件為AB=AC，由∠A=60°，利用有一個角為60°的等腰三角形為等邊三角形可得出△ABC為等邊三角形；②若添加條件為∠B=∠C，∵∠A=60°，∴∠B=∠C=60°，∴∠A=∠B=∠C，∴△ABC為等邊三角形；③若添加的條件為邊AB、BC上的高相等，設(shè)邊AB、BC上的高為h，∵△ABC的面積=12AB·h=12BC·∴AB=BC，∴△ABC為等腰三角形，∵∠A=60°，∴△ABC為等邊三角形.綜上，正確的說法有3個.故選A.7.A本題中容易出現(xiàn)遺漏鈍角三角形的情況.當(dāng)高在三角形內(nèi)部時(如圖1)，頂角是90°-35°=55°；當(dāng)高在三角形外部時(如圖2)，頂角是90°+35°=125°.故選A.圖1圖28.B如圖所示，①AB為等腰三角形的底邊時，符合條件的點C有5個；②AB為等腰三角形的一條腰時，符合條件的點C有3個.所以符合條件的點C共有8個.故選B.9.A如圖，過點A作AH⊥BC交CB的延長線于點H，∵∠ABC=120°，∴∠ABH=60°，∴∠BAH=30°，∵AB=2，∴HB=1，∴AH=22∵BC=2，M是BC的中點，∴BM=1，∴HM=2，在Rt△AHM中，AM=AH∵2.6<7<2.7，∴表示實數(shù)a的點落在①段上.故選A.10.B如圖，連接AP、BP、CP，過點A作AD⊥BC于D，∵S△ABC=12BC·(PQ+PR+PS)=12BC·AD，∴∴AD=3+4+5=12，∵∠ABC=60°，∴∠BAD=30°，∴BD=12AB，設(shè)BD=x(x>0)，則AB=2x，在Rt△ABD中，BD2+AD2=AB2x2+122=(2x)2，解得x=43，∴BC=AB=2×43=8∴S△ABC=12BC·AD=12×83×12=48二、填空題11.答案AB=AD(答案不唯一)解析可添加AB=AD，理由:∵AB⊥BC，AD⊥DC，∴∠B=∠D=90°，在Rt△ABC和Rt△ADC中，AC=AC∴Rt△ABC≌Rt△ADC(HL).12.答案30°解析在Rt△ABC中，∠B=30°，∴∠A=60°，由作圖可知AD=AC，∴△ACD是等邊三角形，∴∠ACD=60°，∴∠DCB=90°-60°=30°.13.答案等邊三角形解析由a2+2b2+c2-2b(a+c)=0得(a-b)2+(b-c)2=0，∴a-b=0，b-c=0，∴a=b，b=c，∴a=b=c，∴該三角形是等邊三角形.14.答案18解析∵直角三角形斜邊上的中線是6，∴斜邊長=2×6=12，∵直角三角形斜邊上的高是3，∴這個直角三角形的面積=12×12×15.答案3解析∵∠A=60°，∠C=90°，∴∠B=30°，∵AC=1km，∴AB=2AC=2km，∴BC=AB2-16.答案66解析∵AB=A1B，∠B=48°，∴∠AA1B=(180°-48°)÷2=66°，∵A1B1=A1A2，∴∠A1A2B1=66°2=33°，同理可得∠A2A3B2=66°∴∠A2022A2023B2022=66°三、解答題17.證明∵AC⊥CB，DB⊥CB，∴△ACB與△DBC均為直角三角形，在Rt△ACB與Rt△DBC中，AB=DC∴Rt△ACB≌Rt△DBC(HL)，∴AC=DB.18.解析(1)證明:如圖，連接BE，∵DE垂直平分AB，∴AE=BE，∴∠ABE=∠A=30°，∵∠ACB=90°，∴∠ABC=60°，∴∠CBE=∠ABC-∠ABE=30°，在Rt△BCE中，BE=2CE，∴AE=2CE.(2)△BCD是等邊三角形.理由如下:∵DE垂直平分AB，∴D為AB的中點，∵∠ACB=90°，∴CD=BD，∵∠ABC=60°，∴△BCD是等邊三角形.19.解析(1)∵CD⊥AB，∴∠CDB=∠CDA=90°，在Rt△BCD中，由勾股定理得CD=BC2在Rt△ACD中，由勾股定理得AD=AC(2)△ABC是直角三角形，理由:由(1)知AD=16，∴AB=AD+DB=16+9=25，在△ABC中，∵AC2+BC2=202+152=625，AB2=252=625，∴AC2+BC2=AB2，∴△ABC是直角三角形.20.證明(1)∵AD是△ABC的角平分線，∴∠BAF=∠CAF，∵CE∥AD，∴∠CAF=∠ACE，∠BAF=∠E，∴∠E=∠ACE，∴AE=AC，∴△ACE是等腰三角形.(2)∵FC=AC，∴∠CAF=∠F，∵∠CAF=∠BAF，∴∠F=∠BAF，∴AB∥CF.21.解析(1)∵∠AFC=90°，AF=24米，CF=7米，∴AC=242+∵BF=AF-AB=24-18=6(米)，∴BC=CF2∴CE=AC-BC=(25-85)米.答:男子向右移動的距離為(25-85)米.(2)∵AC-CF=25-7=18(米)，且男子以0.5米每秒的速度收繩，∴收繩的時間為180.5=36(秒)，∴該男子不能在30秒內(nèi)將船從A處移動到岸邊點F的位置.22.解析(1)∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠B=∠C=45°.∵點D是斜邊BC的中點，∴AD是BC邊上的中線.∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD=12∠BAC=12×∴∠ADC=90°，∠BAD=∠CAD=∠BCA，∴AD=DC，在△ADE和△CDF中，AE=CF∴△ADE≌△CDF(SAS)，∴DE=DF，∠ADE=∠CDF，∴∠EDF=∠ADE+∠ADF=∠CDF+∠ADF=∠ADC=90°，∴△DEF為等腰直角三角形，∴EF=DE(2)∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠B=∠BCA=45°.∵點D是斜邊BC的中點，∴AD是BC邊上的中線.∴AD