2.4 線段的垂直平分線 同步練習(xí)

2.4線段的垂直平分線第一課時垂直平分線的性質(zhì)與判定基礎(chǔ)過關(guān)全練知識點一垂直平分線的定義與性質(zhì)1.(2022山東冠縣期末)如圖，AD⊥BC，BD=DC，點C在線段AE的垂直平分線上，則AB，AC，CE的長度關(guān)系為()A.AB>AC=CEB.AB=AC>CE C.AB>AC>CED.AB=AC=CE2.(2022山東曹縣期中)如圖，在△ABC中，直線DE是線段AC的垂直平分線，△ABC的周長為19cm，△ABD的周長為13cm，則AE的長為()A.3cmB.6cmC.12cmD.16cm3.(2021四川遂寧中考)如圖，在△ABC中，AB=5，AC=7，直線DE垂直平分BC，垂足為E，交AC于點D，則△ABD的周長是.

4.如圖，直線PD和直線PE分別是線段AB，BC的垂直平分線，判斷PA和PC的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.知識點二垂直平分線的判定5.如圖，點D在△ABC的邊BC上，且BC=BD+AD，則點D在下列哪條線段的垂直平分線上()A.ABB.ACC.BCD.不能確定6.如圖，若AC=AD，BC=BD，則()A.AB垂直平分CD B.CD垂直平分ABC.AB與CD互相垂直平分 D.CD平分∠ACB7.(2022山東濰坊奎文期中)如圖，△ABC中，∠ACB=90°，AE平分∠BAC，DE⊥AB于D.(1)若∠BAC=48°，求∠DEA的度數(shù);(2)求證:直線AE是線段CD的垂直平分線.第二課時垂直平分線及垂線的尺規(guī)作圖基礎(chǔ)過關(guān)全練知識點三垂直平分線的尺規(guī)作圖8.(2022山東聊城東昌府期中)如圖，在△ABC中，分別以點A和點C為圓心，以大于12AC的長為半徑作弧，兩弧相交于M、N兩點;作直線MN分別交BC、AC于點D、E.若AE=6cm，△ABD的周長為26cm，A.32cmB.38cmC.44cmD.50cm9.在下圖的正方形網(wǎng)格中找到一點O，使它到A、B、C三點的距離相等.(注意保留作圖痕跡)圖1圖2圖3知識點四過一點作已知直線的垂線10.(2021遼寧盤錦中考)如圖，已知直線AB和AB上一點C，過點C作直線AB的垂線，步驟如下:第一步第二步第三步第一步:以點C為圓心，以任意長為半徑作弧，交直線AB于點D和點E;第二步:分別以點D和點E為圓心，以a為半徑作弧，兩弧交于點F;第三步:作直線CF，直線CF即為所求.下列關(guān)于a的說法正確的是()A.a≥12DE的長B.a≤12DE的長 C.a>12DE的長D.a11.如圖，已知Rt△ABC，∠C=90°.(1)作斜邊上的高CD(尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡);(2)若∠B=40°，求∠ACD的度數(shù).第三課時最短路徑問題基礎(chǔ)過關(guān)全練知識點五利用軸對稱知識解決最短路徑問題12.(2021遼寧大連六校聯(lián)考)如圖，OA、OB分別是線段MC、MD的垂直平分線，MD=5cm，MC=7cm，CD=10cm，一只小螞蟻從點M出發(fā)爬到OA邊上任意一點E，再爬到OB邊上任意一點F，然后爬回M點處，則小螞蟻爬行的路程最短為.

13.(2022山東冠縣期末)如圖，在△ABC中，AB=6，BC=7，AC=4，直線m是△ABC中BC邊的垂直平分線，P是直線m上的一動點，則△APC的周長的最小值為.

14.(2022山東高唐期末)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，先描出點A(1，3)，點B(4，1).(1)標(biāo)出點A關(guān)于x軸的對稱點A1的位置，寫出點A1的坐標(biāo);(2)在x軸上找一點C，使AC+BC的值最小，請標(biāo)出C點的位置;(3)用尺規(guī)在y軸上找一點P，使PA=PB(不寫作法，保留作圖痕跡).能力提升全練15.(2020廣西柳州中考改編)通過如下尺規(guī)作圖，能確定點D是BC邊的中點的是()ABCD16.(2022山東聊城茌平期末)如圖，在△ABC中，BC邊的垂直平分線DE分別與AB、BC邊交于點D、E，連接CD，邊AC的垂直平分線FG分別與CD、AC交于點F、G，連接AF.若△ADF的周長為13，AD=4，則BD的長為()A.4B.9C.13D.1717.(2021黑龍江綏化中考)(1)如圖，已知△ABC，P為邊AB上一點，請用尺規(guī)作圖的方法在邊AC上求作一點E，使AE+EP=AC;(保留作圖痕跡，不寫作法)(2)在圖中，如果AC=6cm，AP=3cm，求△APE的周長.18.(2022山東高唐期中)如圖，網(wǎng)格中的△ABC與△DEF成軸對稱.(1)利用網(wǎng)格線作出△ABC與△DEF的對稱軸l;(2)結(jié)合所畫圖形，在直線l上畫出點P，使PA+PC最小;(3)如果每一個小正方形的邊長為1，請直接寫出△ABC的面積:.

素養(yǎng)探究全練19.[直觀想象](1)如圖1，在直線AB一側(cè)有C、D兩點，在AB上找一點P，使C、D、P三點組成的三角形的周長最小，找出P點，并說明理由;(2)如圖2，在∠AOB內(nèi)部有一點P，是否在OA、OB上分別存在點E、F，使得E、F、P三點組成的三角形的周長最小?若存在，找出E、F兩點，并說明理由;(3)如圖3，在∠AOB內(nèi)部有兩點M、N，是否在OA、OB上分別存在點E、F，使得E、F、M、N四點組成的四邊形的周長最小?若存在，找出E、F兩點，并說明理由.圖1圖2圖320.[邏輯推理]如圖，四邊形ABCD中，∠A=∠B=90°，AB=25cm，DA=15cm，CB=10cm.動點E從A點出發(fā)，以2cm/s的速度向B點移動，設(shè)移動的時間為xs.(1)當(dāng)x為何值時，點E在線段CD的垂直平分線上?(2)在(1)的條件下，判斷DE與CE的位置關(guān)系，并說明理由.

2.4線段的垂直平分線答案全解全析基礎(chǔ)過關(guān)全練1.D∵AD⊥BC，BD=DC，∴AB=AC.∵點C在AE的垂直平分線上，∴AC=EC，∴AB=AC=CE.2.A∵DE是線段AC的垂直平分線，∴DA=DC，AE=12∵△ABC的周長為19cm，△ABD的周長為13cm，∴AB+BC+AC=19cm，AB+BD+AD=AB+BD+DC=AB+BC=13cm，∴AC=6cm，∴AE=123.12解析∵DE垂直平分BC，∴DB=DC，∴△ABD的周長=AB+AD+DB=AB+AD+DC=AB+AC=12.4.解析PA=PC.理由如下:如圖，連接PB，因為直線PD是線段AB的垂直平分線，所以PA=PB，同理PC=PB，所以PA=PC.5.B因為BC=BD+DC=BD+AD，所以AD=DC，所以點D在線段AC的垂直平分線上.6.A因為AC=AD，BC=BD，所以點A，B均在線段CD的垂直平分線上，所以AB垂直平分CD.故選A.7.解析(1)∵∠BAC=48°，AE平分∠BAC，∴∠EAD=12∠BAC=24°∵DE⊥AB，∴∠ADE=90°，∴∠DEA=180°-∠ADE-∠EAD=66°.(2)證明:∵AE平分∠BAC，∴∠DAE=∠CAE.在△ADE和△ACE中，∠∴△ADE≌△ACE(AAS)，∴AD=AC，ED=EC，∴點E在線段CD的垂直平分線上，點A在線段CD的垂直平分線上，∴直線AE是線段CD的垂直平分線.8.B由作圖，得DE垂直平分線段AC，∴DA=DC，AE=EC=6cm，∴AC=12cm，∵△ABD的周長=AB+AD+BD=26cm，∴AB+BD+DC=AB+BC=26cm，∴△ABC的周長=AB+BC+AC=26+12=38(cm)，故選B.9.解析如圖，點O即為所作.圖1圖2圖310.C只有a>12DE的長，11.解析(1)如圖，線段CD即為所求.(2)∵CD⊥AB，∴∠BDC=90°，在△BCD中，∵∠B+∠BDC+∠BCD=180°，∴∠BCD=180°-∠B-∠BDC=50°，∵∠ACB=90°，∴∠ACD=90°-∠BCD=40°.12.10cm解析當(dāng)CD與OA的交點為E，與OB的交點為F時，小螞蟻爬行的路程最短.∵OA、OB分別是線段MC、MD的垂直平分線，∴ME=CE，MF=DF，∴小螞蟻爬行的路程最短為CD=10cm.13.10解析連接BP，∵直線m是線段BC的垂直平分線，∴BP=CP，∴△ACP的周長=AP+PC+AC=AP+BP+AC≥AB+AC，∴當(dāng)A、B、P三點共線時，△ACP的周長最小.∵AB=6，AC=4，∴△ACP的周長的最小值為10.14.解析A，B的位置如圖所示.(1)A1的位置如圖所示，坐標(biāo)為(1，-3).(2)如圖所示，點C即為所求.(3)如圖所示，點P即為所求.能力提升全練15.B觀察題中尺規(guī)作圖的痕跡發(fā)現(xiàn)，選項A是作線段AB的垂直平分線，交BC于點D，無法確定點D是BC的中點;選項B是作線段BC的垂直平分線，點D是BC的中點;選項C是過A點作BC的垂線，交BC于點D，無法確定點D是BC的中點;選項D是作線段AC的垂直平分線，交BC于點D，無法確定點D是BC的中點.16.B∵邊AC的垂直平分線FG分別與CD、AC交于點F、G，∴CF=AF，∴△ADF的周長=AF+DF+AD=CF+DF+AD=CD+AD=13，∵AD=4，∴CD=9，∵直線DE是BC邊的垂直平分線，∴BD=CD=9.17.解析(1)如圖，點E即為所求.(2)△APE的周長=AP+AE+EP=AP+AC=3+6=9(cm).18.解析(1)如圖所示，直線l即為所求.(2)如圖所示，點P即為所求.(3)△ABC的面積=2×4-12×1×2-12×1×4-1素養(yǎng)探究全練19.解析(1)如圖1，作點C關(guān)于直線AB的對稱點C'，連接C'D交AB于點P，則點P就是所求作的點.理由:在直線AB上取不同于點P的點P'，連接CP'、DP'、C'P'，如圖1.圖1因為點C和點C'關(guān)于直線AB對稱，所以PC=PC'，P'C=P'C'，而C'P+DP<C'P'+DP'，所以PC+DP<CP'+DP'，所以CD+CP+DP<CD+CP'+DP'，即△CDP的周長最小.(2)存在.如圖2，作點P關(guān)于OA的對稱點C，關(guān)于OB的對稱點D，連接CD，交OA于點E，交OB于點F，則點E、F就是所求作的點.理由:在OA、OB上分別取不同于點E、F的點E'、F'，連接CE'、E'P、PF'、DF'、E'F'，如圖2.圖2因為點C和點P關(guān)于OA對稱，點D和點P關(guān)于OB對稱，所以PE=CE，CE'=PE'，PF=DF，PF'=DF'，所以PE+EF+PF=CE+EF+DF，PE'+E'F'+PF'=CE'+E'F'+DF'，因為CE+EF+DF<CE'+E'F'+DF'，所以PE+EF+PF<PE'+E'F'+PF'，即△PEF的周長最小.(3)存在.如圖3，作點M關(guān)于OA的對稱點C，作點N關(guān)于OB的對稱點D，連接CD，交OA于點E，交OB于點F，則點E、F就是所求作的點.理由:在OA、OB上分別取不同于點E、F的點E'、F'，連接CE'、ME'、E'F'、DF'、NF'，如圖3，圖3因為點C和點M關(guān)于OA對稱，點D和點N關(guān)于OB對稱，所以ME=CE，CE'=ME'，NF=DF，NF'=DF'，由(2)同理可得MN+ME+EF+NF<MN+ME'+E'F'+F'N，即四邊形EFNM的周長最小.20.解析(1)當(dāng)x=5時，點E在線段CD的垂直平分線上.理由如下:當(dāng)x=5時，AE=2×5=1