中考初中數(shù)學(xué)必考：三角形、四邊形、圓部分輔助線做法全總結(jié)

初中數(shù)學(xué)必考：三角形、四邊形、圓部分輔助線做法全總結(jié)

三角形部分

1.在利用三角形三邊關(guān)系證明線段不等關(guān)系時(shí)，如果直接證不

出來(lái)，可連結(jié)兩點(diǎn)或延長(zhǎng)某邊構(gòu)造三角形，使結(jié)論中出現(xiàn)的線

段在一個(gè)或幾個(gè)三角形中，再利用三邊關(guān)系定理及不等式性質(zhì)

證題.

例:|如圖，已知。、￡為內(nèi)兩點(diǎn)，求證：AB+AOBD

+DE+CE.

證法（一）：將。E向兩邊延長(zhǎng)，分別交/夕、4。于A/、N

在△NMN中，AM+AN>MD+DE+NE①

在二BDM中、MB+MD>BD②

在△CEN中，CN+NE>CE③

①+②+③得

AM+AN+MB+MD+CN+NE>MD+DE+NE+BD+CE

：,AB+AC>BD+DE+CE

證法（二）延長(zhǎng)8。交ZC于廠,

延長(zhǎng)?！杲?月于G,

在AABF和△G9C和△GO￡中有，

①4B+AF>BD+DG+GF

②GF+FOGE+CE

@DG+GE>DE

.,?①+②+③有

AB+AF+GF+FC+DG+GE>BD+DG+GF+GE+CE+

DE

:?AB+AC>BD+DE+CE

注意：利用三角形三邊關(guān)系定理及推論證題時(shí)，常通過(guò)引輔助

線，把求證的量（或與求證有關(guān)的量）移到同一個(gè)或幾個(gè)三角

形中去然后再證題.

練習(xí)：已知：如圖夕為A48c內(nèi)任一點(diǎn)，

求證：^AB+BC+AQ<R4+PB+PC<AB+BC+AC

2.在利用三角形的外角大于任何和它不相鄰的內(nèi)角證明角的

不等關(guān)系時(shí)，如果直接證不出來(lái)，可連結(jié)兩點(diǎn)或延長(zhǎng)某邊，構(gòu)

造三角形，使求證的大角在某個(gè)三角形外角的位置上，小角處

在內(nèi)角的位置上，再利用外角定理證題.

例:已知。為△ABC內(nèi)任一點(diǎn)，求證：ZBDOZ.BAC

證法（一）：延長(zhǎng)8。交4。于反

VZBDC>AEZ)C的外角,

：.ZBDC>Z.DEC

同理：ZDEOABAC

：.ZBDOZBAC

證法（二）：連結(jié)人。并延長(zhǎng)交于產(chǎn)

丁NE"是A48。的外角，

/BDF>/BAD

同理NCQ廠〉A(chǔ)CAD

：.ZBDF+ZCDF>/BAD+/CAD

即：ABDOABAC

3.有角平分線時(shí)常在角兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等三角形.

例:已知，如圖，4。為A48C的中線且Nl=Z2,N3=Z

4,

求證：BE+CF>EF

B

DC

證明：在N上截取。N=O8,連結(jié)NE、NF,貝IJDV=OC

在ABDE和△NDE中，

DN=DB

Z1=Z2

ED=ED

：.ABDE義ANDE

：.BE=NE

同理可證：CF=NF

在AEFN中,EN+FN>EF

：.BE+CF>EF

4.有以線段中點(diǎn)為端點(diǎn)的線段時(shí)，常加倍延長(zhǎng)此線段構(gòu)造全

等三角形.

例:已知，如圖，4。為的中線，且Nl=Z2,Z3=

Z4,求證：BE+CF>EF

證明：延長(zhǎng)ED到/，使。/=。笈連結(jié)CM、FM

/\BDE和△COM中,

BD=CD

Z1=Z5

ED=MDM

:?4BDEmXCDM

：.CM=BE

又?.?N1=Z2,Z3=Z4

N1+N2+N3+N4=180。

AZ3+N2=90。

即N￡Q/=90。

AZFDM=NED"90。

△ED尸和&1〃）/中

ED=MD

ZFDM=ZEDF

DF=DF

:?WDF絲XMDF

：.EF=MF

???在△CMF中，CF+CM>MF

BE+CF>EF

（此題也可加倍ED,證法同上）

5.在三角形中有中線時(shí)，常加倍延長(zhǎng)中線構(gòu)造全等三角形.

西已知，如圖，4。為的中線，求證：AB+AO2AD.

證明：延長(zhǎng)4。至瓦使?！?4。連結(jié)

FD為4ABC的中線

BD=CD

A

在A4C。和中

BD=CD'、'1?/

<，

Z1=Z2E

AD=ED

???AACD咨AEBD

???LABE中有4B+BE>4E

：,AB+AC>2AD

6.截長(zhǎng)補(bǔ)短作輔助線的方法

截長(zhǎng)法：在較長(zhǎng)的線段上截取一條線段等于較短線段；

補(bǔ)短法：延長(zhǎng)較短線段和較長(zhǎng)線段相等.

這兩種方法統(tǒng)稱截長(zhǎng)補(bǔ)短法.

當(dāng)已知或求證中涉及到線段。、b、c、”有下列情況之一時(shí)用

此種方法：

①a>b

②a七b=c

③a土b=c^d

雷例:已知，如圖，在△Z8C中，AB>AC,Zl=Z2,尸為

上任一點(diǎn)，

求證：AB-AOPB-PC

證明：⑴截長(zhǎng)法：在45上截取力N=4C連結(jié)PN

在△力尸N和△4PC中,

AN=AC

Nl=N2

AP=AP

???LAPN沿AAPC

：.PC=PN

叢BPN中有PB-PC〈BN

：.PB-PC<AB-AC

⑵補(bǔ)短法：延長(zhǎng)/C至M,使=連結(jié)PU

在△ZBP和△ZV中

AB=AM

Z1=Z2

AP=AP

???AABP義AAMP

：.PB=PM

又???在△PCM中有CAf>PM-PC

：.AB-AC>PB-PC

練習(xí)：1.已知，在△/5C中，NB=60。,，。、CE是△43C的角

平分線，并且它們交于點(diǎn)O

求證：AC=AE+CD

2.已知，如圖，AB//CDZ1=N2,N3=Z4.

求證：BC=AB+CD

7.條件不足時(shí)延長(zhǎng)已知邊構(gòu)造三角形.

例:已知于4,BCBD于B

求證：AD=BC

證明：分別延長(zhǎng)以、CB交于點(diǎn)E

*：ADVACBCLBD

；,/CAE=ZDBE=900

在XDBE和中

/DBE=/CAE

BD=AC

NE=/E

:.4DBE絲ACAE

:?ED=EC,EB=EA

：.ED-EA=EC-EB

：.AD=BC

8.連接四邊形的對(duì)角線，把四邊形問(wèn)題轉(zhuǎn)化成三角形來(lái)解決問(wèn)

題.

例:已知，如圖，AB//CD,AD//BC

求證：AB=CD

證明：連結(jié)4。（或8。）J

,:AB〃CD、AD//BC'%

AZI=Z2

在△Z8C和△CZU中，

Zl=Z2

AC=CA

Z3=Z4

???AABCmACDA

:?AB=CD

練習(xí)：已知，如圖，AB=DC,AD=BC,DE=BF,

求證：BE=DF

9.有和角平分線垂直的線段時(shí)，通常把這條線段延長(zhǎng)。可歸結(jié)

為“垂直加平分出等腰三角形

例:已知，如圖，在放中，AB=AC,ZBAC=90°,Z

1=N2,的延長(zhǎng)線于E

求證：BD=2CE

證明：分別延長(zhǎng)b4、CE交于F

?:BE1CF

:?NBEF=/BEC=9。。

在ABEF和△8EC中

Zl=Z2

BE=BE

/BEF=/BEC

：.△BEFQABEC

：.CE=FE=LCF

?；/BAC=90。，BE上CF

：.ABAC=ZCAF=90°

Z1+ABDA=90°

Z1+NBFC=90。

ZBDA=/BFC

在和△4CF中

ABAC=ZCAF

ZBDA=/BFC

AB=AC

：.LABD義AACF

：.BD=CF

：.BD=2CE

練習(xí)：已知，如圖，NACB=3/B,N1=N2,CQ_L4D于。

求證：AB-AC=2CD

10.當(dāng)證題有困難時(shí)，可結(jié)合已知條件，把圖形中的某兩點(diǎn)連接

起來(lái)構(gòu)造全等三角形.

例:已知，如圖，AC.8。相交于。，^AB=DC,AC=BD,

求證：N/=ZD

證明：（連結(jié)8c過(guò)程略）

11.當(dāng)證題缺少線段相等的條件時(shí)，可取某條線段中點(diǎn)，為證題

提供條件.

例:已知,如圖，AB=DC,ZA=ZD

求證：ZABC=ZDCB

證明：分別取4。、8C中點(diǎn)N、M

連結(jié)NB、NM、NC（過(guò)程略）

12.有角平分線時(shí)，常過(guò)角平分線上的點(diǎn)向角兩邊做垂線，利用

角平分線上的點(diǎn)到角兩邊距離相等證題.

例:已知，如圖，Z1Z2,P為BN上一點(diǎn)、,KPDA.BC

于。，AB+BC=2BD,

求證：NBAP+ZBCP=180。

證明：過(guò)月作PEJLA4于￡

■:PDLBC,Zl=Z2

:?PE=PD

在RtABPE和Rt^BPD中

BP=BP

PE=PD

:.RtABPE義RtABPD

：.BE=BD

■:AB+BC=2BD,BC=CD+BD,AB=BE-AE

：.AE=CD

?:PELBE,PDA.BC

ZPEB=ZPDC=90°

在APE4和△PDC中

PE=PD

ZPEB=ZPDC

AE=CD

：.△PEAQ4PDC

:?/PCB=/EAP

,/ZBAP+NEAP=180°

：.ZBAP+ZBCP=180。

練習(xí)：1.已知，如圖，PA.PC分別是A48C外角NM4C與N

NC4的平分線，它們交于P,

。。_15以于〃，PF1BN于F,求證：8P為NM8N的平分線

2.已知，如圖，在△/BC中，N/4C=100。，ZACB=20°,CE

是N/C8的平分線，。是4c上一點(diǎn)，若/。8。=20。，求N

CED的度數(shù)。

13.有等腰三角形時(shí)常用的輔助線

⑴作頂角的平分線，底邊中線，底邊高線

例:已知，如圖，AB=AC,8。_1_力。于。

求證：ZBAC=2ZDBC

證明：（方法一）作N8/C的平分線4交BC于E、則N1

=N2="BAC

^9：AB=ACEC

：.AEVBC

：.Z2+ZACB=90°

'：BDLAC

：.ZDBC+ZACB=90°

，N2=ZDBC

：.ZBAC=2ZDBC

（方法二）過(guò)力作于E（過(guò)程略）

（方法三）取8C中點(diǎn)及連結(jié)力E（過(guò)程略）

⑵有底邊中點(diǎn)時(shí)，常作底邊中線

例:已知，如圖，A48C中，AB=AC,。為8C中點(diǎn)DE上

AB^E,DFLAC^F,

求證：DE=DF

證明：連結(jié)力D

???。為8c中點(diǎn)

???BD=CD

又??78=4C

：.AD平分NA4C

*：DELAB,DFLAC

???DE=DF

⑶將腰延長(zhǎng)一倍，構(gòu)造直角三角形解題

例:已知，如圖，A48C中，AB=AC,在"延長(zhǎng)線和/C上

各取一點(diǎn)￡、F,使4E=4F,求證：EFLBC

證明：延長(zhǎng)BE到N,使4N=4氏連結(jié)CN,則/B=/N=NC

AZB=ZACB,ZACN=ZANC

*：ZB+ZACB+ZACN+ZANC=180。

：.2ZBCA+2ZACN=180。

：.ZBCA+ZACN=90°/

即NBCN=90。a/N

：.NCLBC

?:AE=AF

：?/AEF=ZAFE

又?：/BAC=/AEF+ZAFE

ZBAC=Z.ACN+NANC

：.NBAC=2/AEF=2NANC

AZAEF=ZANC

C.EF//NC

：.EFX.BC

⑷常過(guò)一腰上的某一已知點(diǎn)做另一腰的平行線

例:已知，如圖，在A/IBC中，AB=AC,。在45上，￡在

力。延長(zhǎng)線上，且BD=CE,連結(jié)交3C于b

求證：DF=EF

證明：（證法一）過(guò)D作DN〃AE,交BC千N,貝IJNQN8=

ZACB,ZNDE=NE,

9：AB=AC,

：.ZB=/ACB

：.ZB=ZDNB

:?BD=DN

又?：BD=CEA

3=ECA

在ADNF和4ECF中、

Nl=N2A

4NDF=/E

DN=EC、

叢DNF”叢ECF

：.DF=EF

（證法二）過(guò)E作EM〃/3交3C延長(zhǎng)線于M則=

/B（過(guò)程略）

⑸常過(guò)一腰上的某一已知點(diǎn)做底的平行線

例:已知，如圖，A44C中，AB=AC,E在4C上，。在氏4

延長(zhǎng)線上，且連結(jié)。E

求證：DE±BC

證明：（證法一）過(guò)點(diǎn)E作"〃8c交于尸，貝IJ

ZAFE=ZB

ZAEF=ZC

*：AB=AC

:?/B=/C

：./AFE=/AEF

'：AD=AE

：,/4ED=/ADE

又,?AAFE+ZAEF+ZAED+ZADE=180

：.2ZAEF+2ZAED=90°

即/FED=90°

C.DELFE

又?:EF〃BC

：.DELBC

（證法二）過(guò)點(diǎn)D作DN//BC交CA的延長(zhǎng)線于N,（過(guò)程略）

（證法三）過(guò)點(diǎn)Z作41/〃交。E于/,（過(guò)程略）

⑹常將等腰三角形轉(zhuǎn)化成特殊的等腰三角形一一等邊三角形

例:已知，如圖，AA8C中，AB=AC,ABAC=80°F為

形內(nèi)一點(diǎn)，若NP4C=10。ZPCB=300求乙以5的度數(shù).

解法一：以為一邊作等邊三角形，連結(jié)C￡

貝IJN6/E=NN6E=6O。

AE=AB=BE

?；AB=AC

：.AE=AC/ABC=/ACB

：.ZAEC=ZACE

VZEAC=ZBAC-ZBAE=800-60。=20。

：?/ACE=；(180。-N"O=80。

??ZACB="80。-NA4C)=50。

：.ZBCE=ZACE-ZACB

=80°-50°=30。

??/PCB=30°

:?/PCB=/BCE

VZABC=ZACB=50°,/ABE=60。

，NEBC=NABE-/ABC=60。-50。=10。

ZPBC=10。

AZPBC=NEBC

在叢PBC和△EBC中

ZPBC=NEBC

BC=BC

ZPCB=/BCE

：.APBCqAEBC

：,BP=BE

,:AB=BE

：.AB=BP

：./BAP=NBR4

丁/ABP=/ABC-ZPBC=50°-10。=40。

/R4B=1(1800-/ABP)=70°

解法二：以/C為一邊作等邊三角形，證法同一。

解法三：以為一邊作等邊三角形△4CE,連結(jié)4區(qū)則

EB=EC=BC,ZBEC=ZEBC=60°

,:EB=EC

E

：?E在BC的中垂線上

同理力在BC的中垂線上

工EA所在的直線是BC的中垂線

：.EAVBC

/AEB=；/BEC=30，=/PCB

由解法一知：ZABC=50°

：.Z.ABE=ZEBC-ZABC=W=ZPBC

??NABE=/PBC,BE=BC/AEB=ZPCB

???AABE義4PBC

：.AB=BP

：,/BAP=/BPA

'：/ABP=/ABC-NPBC=50°-10°=40°

，APAB=1(180。一ZABP)=1(1800-40°)=70。

14.有二倍角時(shí)常用的輔助線

⑴構(gòu)造等腰三角形使二倍角是等腰三角形的頂角的外角

例:已知，如圖，在△力8。中，Zl=Z2,ZABC=2ZC,

求證：AB+BD=AC

證明：延長(zhǎng)到2使BE=5。，連結(jié)。￡

則NBED=ABDE

'：AABD=Z.E+ABDE

：./ABC=2/E

A

，：/ABC=2/CJ\\

???/￡=ZC3/

在A4ED和△/CD中

ZE=ZC

Z1=Z2

AD=AD

：.4AED義AACD

：.AC=AE

*：AE=AB+BE

:?AC=AB+BE

即AB+BD=AC

⑵平分二倍角

例:已知，如圖，在中，8Q_L力C于2/BAC=2/

DBC

求證：ZABC=ZACB

證明：作NR4C的平分線4￡交8。于用則NCAE

=ZDBC

'：BDVAC

A

ZCBD+NC=90。/K

：.ZCAE+ZC=9008E,

*.*/AEC=180。-/CAE-ZC=90。

：.AELBC

：.ZABC+ZBAE=90°

?；/CAE+NC=90。

ZBAE=ACAE

：.AABC=ZACB

⑶加倍小角

例:已知，如圖，在中，&）_L4C于僅NBAC=2/

DBC

求證：NABC=ZACB

證明：作/FBD=NDBC,BF交AC于F（過(guò)程略）

A

15.有垂直平分線時(shí)常把垂直平分線上的點(diǎn)與線段兩端點(diǎn)連結(jié)

起來(lái).

例:已知，如圖，A48C中，AB=AC,ZBAC=120°,EF為

48的垂直平分線，EF交BC于F,交4B于E

求證：BF=；FC

證明：連結(jié)4凡貝IJ4尸=8/

ZB=ZFAB

*：AB=AC

：./B=/C

'：ZBAC=120°

/.ZB=NCNBAC=1(1800-ZBAC)=30°

???ZE4B=30。

???ZE4C=ZBAC-ZE4B=120°-30°=90。

又???NC=30。

：.AF=L2FC

:?BF=^FC

練習(xí)：已知，如圖，在"8C中，NC4B的平分線力。與8C

的垂直平分線。E交于點(diǎn)2于MON_L4C延長(zhǎng)線

于NA

求證：BM=CNBA^y\c

16.有垂直時(shí)常構(gòu)造垂直平分線.D

例:已知，如圖，在zMBC中，/B=2/C,4OJ_8C于。

求證：CD=AB+BD

證明：（一）在8上截取連結(jié)/￡,貝=

:?/B=/AEB

?；/B=2/C

：./AEB=2/C

XVZAEB=ZC+ZEAC

:?NC=NEAC

：.AE=CE

又，：CD=DE+CE

：.CD=BD+AB

（二）延長(zhǎng)C3到￡使。/=DC,連結(jié)//貝Ij4b=zc（過(guò)程

略）

17.有中點(diǎn)時(shí)常構(gòu)造垂直平分線.

例:已知，如圖，在△/5C中，BC=2AB,NABC=2/C,BD

=CD

求證：為直角三角形

證明：過(guò)。作。EJ_8C,交4C于旦連結(jié)8旦貝IJ3E=CE,

：.ZC=ZEBC

,?ZABC=2ZC

：./ABE=/EBC

■:BC=2AB,BD=CD

：.BD=AB

在AABE和△OBE中

AB=BD

/ABE=/EBC

BE=BE

：.LABE義LDBE

:?/BAE=NBDE

丁/BDE=90。

Z./BAE=90。

即A44C為直角三角形

18.當(dāng)涉及到線段平方的關(guān)系式時(shí)常構(gòu)造直角三角形，利用勾

股定理證題.

例:已知，如圖，在△力中,NZ=90。，。片為3C的垂直

平分線

求證：B評(píng)-AE?=AC2

證明：連結(jié)虛，則8E=C￡

4=90°

：.A^+AC2=EC2

:?AE2+AC=BE2

?'?BE?-AE2=AG

練習(xí)：已知，如圖，在'BO中，ZBAC=90°,AB=AC,P

為BC上一點(diǎn)

求證：PB1+PC?=2PA2

19.條件中出現(xiàn)特殊角時(shí)常作高把特殊角放在直角三角形中.

例:已知，如圖，在A45C中,Z5=45°,ZC=30°,AB*

求/C的長(zhǎng).

解：過(guò)4作力。_LBC于。

ZB+ZBAD=90°,

VZB=45°,ZB=ZBAD=45°,

：.AD=BD

9：AB2=AD2+BD2,AB=42

：.AD=1

VZC=30°,ADLBC

：.AC=2AD=2

四邊形部分

20,有平行線時(shí)常作平行線構(gòu)造平行四邊形

例:已知，如圖，RtAABC,ZACB=90°,CQ_l_/8于。，AE

平分/CAB交CD于F,過(guò)F作FH〃AB交BC于H

求證：CE=BH

證明：過(guò)F作FP〃BC交于P,則四邊形々8”為平行四

邊形

:?/B=/FPA,BH=FP

VZACB=90°,CDVAB

：.Z5+ZCAB=45°,ZB+ZCAB=90°

：?45=/B

：.Z5=/FR4

XVZ1=Z2,AF=AF

???△CAF義APAF

???CF=FP

VZ4=Z1+Z5,N3=N2+N5

???Z3=N4

???CF=CE

：.CE=BH

練習(xí)：已知，如圖，AB//EF//GH,BE=GC

求證：AB=EF+GH

21.有以平行四邊形一邊中點(diǎn)為端點(diǎn)的線段時(shí)常延長(zhǎng)此線段.

例:已知，如圖，在口/8。中，AB=2BC,M為48中點(diǎn)

求證：CMLDM

證明：延長(zhǎng)。河、CB交于N

,/四邊形ABCD為平行四邊形

：.AD=BCtAD//BC

：.Z.A=ZNBAZADN=ZN

又?：AM=BM

：.AAMD”叢BMN

：.AD=BN

:?BN=BC

?：AB=2BC,AM=BM

:?BM=BC=BN

AZI=Z2,N3=NN

VZ1+N2+N3+NN=180°,

AZI+Z3=90°

，CMLDM

22.有垂直時(shí)可作垂線構(gòu)造矩形或平行線.

例:已知，如圖，E為矩形的邊力D上一點(diǎn)，且5E=

ED,。為對(duì)角線8。上一點(diǎn)，PFJLBE于F,PGVADTG

求證：PF+PG=AB

證明：證法一：過(guò)尸作7W_L/5于"，則四邊形M7PG為矩

形

：.AH=GPPH//AD

：.Z.ADB=NHPB

???BE=DE

:?/EBD=ZADB

：./HPB=ZEBD

又?；ZPFB=NBHP=90。

APFB義4BHP

：.HB=FP

：.AH+HB=PG+PF

即AB=PG+PF

證法二：延長(zhǎng)GP交8C于N,則四邊形ZBNG為矩形，（證

明略）

23.直角三角形常用輔助線方法：

⑴作斜邊上的高

例:已知，如圖，若從矩形ABCD的頂點(diǎn)C作對(duì)角線BD的垂

線與N8/Q的平分線交于點(diǎn)￡

求證：AC=CE

證明：過(guò)力作垂足為凡貝IJ4/〃EG

:./E4E=/AEG

;四邊形43CQ為矩形

/BAD=90°OA=OD

：.ABDA=/CAD

9：AFLBD

：./ABD+ZADB=ZABD+ZBAF=90°

ZBAF=ZADB=NCAD

,:AE為/BAD的平分線

ZBAE=ZDAE

：.ZBAE-ZBAF=ZDAE-ZDAC

：.ZCAE=ZAEG

：.AC=EC

⑵作斜邊中線，當(dāng)有下列情況時(shí)常作斜邊中線:

①有斜邊中點(diǎn)時(shí)

例:已知，如圖，4D、是A48C的高，/是。E的中點(diǎn),

G是AB的中點(diǎn)

求證：GFLDE

BG

證明：連結(jié)G￡、GD

TAD、5E是△ZBC的高,G是AB的中點(diǎn)

:?GE=^AB,GD=

2'2

GE=GD

:尸是。E的中點(diǎn)

GFIDE

②有和斜邊倍分關(guān)系的線段時(shí)

圈已知，如圖，在A4HC中，。是8C延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且D4

_L"于力，AC=\BD

求證：/ACB=2/B

證明：取8。中點(diǎn)￡連結(jié)ZE,貝=；BD

AZI=/B

A

,：AC=、2BD

：.AC=AE

：.ZACB=Z2

VZ2=Z1+/B

???N2=2NB

NACB=2/B

24.有正方形一邊中點(diǎn)時(shí)常取另一邊中點(diǎn).

例:已知,如圖，正方形為88中，/為的中點(diǎn),MN1MD,

BN平扮/CBE共交MN于N

求證：MD=MN

證明：取4。的中點(diǎn)R連結(jié)夕河，則必

???四邊形力5C。為正方形

：?AD=AB,/A=/ABC=90。

AZI+/AMD=90。，又DMLMN

：.Z2+ZAMD=90°

Z.Z1=N2

YM為AB中點(diǎn)

：.AM=MB=L2AB

：.DP=MBAP=AM

：.ZAPM=ZAMP=45°

：./DPM=135。

?:BN平分/CBE

；?/CBN=45。

：.ZMBN=ZMBC+NCBN=90。+45。=135°

:.XDPM空叢MBN

:.DM=MN

注意：把M改為AB上任一點(diǎn)，其它條件不變，結(jié)論仍然成

立。

練習(xí)：已知，。為正方形/BCZ）的8邊的中點(diǎn)，尸為。。上

一點(diǎn)，且/尸=PC+8CnQPC

求證：/BAP=2/QAD/1

AB

25.利用正方形進(jìn)行旋轉(zhuǎn)變換

旋轉(zhuǎn)變換就是當(dāng)圖形具有鄰邊相等這一特征時(shí),可以把圖形的

某部分繞相等鄰邊的公共端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到另一位置的引輔助線方

法.

旋轉(zhuǎn)變換主要用途是把分散元素通過(guò)旋轉(zhuǎn)集中起來(lái)，從而為證

題創(chuàng)造必要的條件.

旋轉(zhuǎn)變換經(jīng)常用于等腰三角形、等邊三角形及正方形中.

例:已知，如圖，在中，AB=AC,ZBAC=90°,D為

BC邊上任一點(diǎn)

求證：2AD=BD?+CD?

證明：把繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得A4CE

：.BD=CENB=/ACE

*//BAC=90。

：.ZDAE=90°

A

222

???DE=AD+AE=2A。E

BC

VZ.B+ZACB=90°D

???ZDCE=90。

，CD2+CE=DP

：.2AD2=B?+CD?

注意：把ZUOC繞點(diǎn)4順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。也可，方法同上。

練習(xí)：已知，如圖，在正方形/8C。中，E為4D上一點(diǎn),BF

平分NCBE交CD于F人匚/D

求證：BE=CF+AE1/^1

BC

26.有以正方形一邊中點(diǎn)為端點(diǎn)的線段時(shí)，常把這條線段延長(zhǎng)，

構(gòu)造全等三角形.

例:如圖，在正方形/8C。中，從/分別是CZXD4的中點(diǎn),

BE與CF交于P點(diǎn)、

求證：AP=AB

證明：延長(zhǎng)交氏4的延長(zhǎng)線于K

???四邊形力為正方形

，BC=AB=CD=DA/BCD=ZD=/BAD=90。

?：E、月分別是8、DA的中點(diǎn)

CE=LCDDF=AF=^AD

：.CE=DF

：.LBCE義LCDF

：.ZCBE=ZDCF

???ZBCF+ADCF=90°

:,/BCF+ZCBE=90°

：.BEVCF

又：/D=/DAK=90。DF=AFN1=N2

.MCDF冬AKAF

/.CD=KA

：.BA=KA

又YBELCF

：.AP=AB

練習(xí)：如圖，在正方形488中，0在C。上,

且P在上，^,AP=CD+CP

求證：4Q平分ND4P

27.從梯形的一個(gè)頂點(diǎn)作一腰的平行線，把梯形分成一個(gè)平行

四邊形和一個(gè)三角形.

例:已知，如圖，等腰梯形48。中，AD//BC,AD=3,AB

=4,BC=7

求/B的度數(shù)

解：過(guò)力作/E〃CO交8C于民則四邊形/為平行四邊

形

：?AD=EC,CD=AE

*：AB=CD=4,

AD=3,BC=1

：?BE=AE=AB=4

???△/BE為等邊三角形

ZB=60°

28.從梯形同一底的兩端作另一底所在直線的垂線，把梯形轉(zhuǎn)

化成一個(gè)矩形和兩個(gè)三角形.

例:已知，如圖，在梯形48。中，AD//BC,AB=AC,Z

BAC=90°,BD=BC,BD交AC于O

求證：CO=CD

證明：過(guò)4、。分別作DFLBC,垂足分別為E、F

則四邊形為矩形

：.AE=DF

,：AB=AC,AE±BC,ZBAC=90°,

：.AE=BE=CE=LBC,ZACB=

■:BC=BD

：

,AE=DF=L2BD

又,：DFJLBC

???Z.DBC=30。

VBD=BC

：.NBDC=NBCD=1(180°-ZDBQ=75°

ZDOC=ZDBC+ZACB=30。+45°=75。

:?/BDC=/DOC

???CO=CD

29.從梯形的一個(gè)頂點(diǎn)作一條對(duì)角線的平行線，把梯形轉(zhuǎn)化成

平行四邊形和三角形.

例:已知，如圖，等腰梯形45C。中，AD//BC,AC1BD,

AD+BC=10,DELBC于E

求DE的長(zhǎng).

解：過(guò)。作。/〃4C,交的延長(zhǎng)線于夕則四邊形

為平行四邊形

：.AC=DF,AD=CF

???四邊形/HCD為等腰梯形

：.AC=DB

：.BD=FD

?：DE工BC

:,BE=EF=L2BF

=^BC+CF)=^BC+AD)

=1x10=5

2

9：AC//DF,BDLAC

:,BD1DF

??BE=FE

:,DE=BE=EF=>2BF=5

答：OE的長(zhǎng)為5.

30.延長(zhǎng)梯形兩腰使它們交于一點(diǎn)，把梯形轉(zhuǎn)化成三角形.

例:已知，如圖，在四邊形46C。中，有AB=DC,ZB=Z

C,AD<BC

求證：四邊形488等腰梯形

證明：延長(zhǎng)氏4、CD,它們交于點(diǎn)E

ZB=ZC

，EB=EC

又?：AB=DC

：?AE=DE

/./EAD=/EDA

Z￡+ZEAD+ZEDA=180。

ZB+ZC+ZE=180°

，/EAD=/B

C.AD//BC

?:A*BC,NB=/C

???四邊形等腰梯形

（此題還可以過(guò)一頂點(diǎn)作力8或。的平行線；也可以過(guò)力、

D作BC的垂線）

31.有梯形一腰中點(diǎn)時(shí)，常過(guò)此中點(diǎn)作另一腰的平行線，把梯形

轉(zhuǎn)化成平行四邊形.

例:已知,如圖，梯形248中，AD//BC,E為C。中點(diǎn)，EF

_L/B于尸

求證：S梯形ABCD=EFYB

證明：過(guò)E作MN〃AB,交/。的延長(zhǎng)線于交BC于N、

則四邊形ABNM為平行四邊形

,：EFLAB

:?S口ABNM=ABEF

,:AD〃BC

：.ZM=ZMNC

又?：DE=CEZ1=Z2

二?△CEN也△OEM

:?SACEN=S/\DEM

：.S梯形4BCD=S五邊形ABNED+SACEN=S五邊形ABNED

+SADEM=S梯形ABCD=EFAB

32.有梯形一腰中點(diǎn)時(shí)，也常把一底的端點(diǎn)與中點(diǎn)連結(jié)并延長(zhǎng)

與另一底的延長(zhǎng)線相交，把梯形轉(zhuǎn)換成三角形.

例:已知,如圖，直角梯形中，AD//BC,ABLAD^A,

DE=EC=BC

求證：/AEC=3NDAE

證明：連結(jié)BE并延長(zhǎng)交力。的延長(zhǎng)線于N

,:AD〃BC

：.Z3=ZN

XVZ1=Z2ED=EC

：.ADEN義ACEB

：.BE=ENDN=BC

'：ABLAD

：.AE=EN=BE

：./N=/DAE

???ZAEB=ZN+NDAE=2NDAE

DE=BCBC=DN

：.DE=DN

：,NN=N1

VZ1=Z2/N=/DAE

：?/2=/DAE

：./AEB+N2=2/DAE+/DAE

即Z.AEC=3NDAE

33.梯形有底的中點(diǎn)時(shí)，常過(guò)中點(diǎn)做兩腰的平行線.

例:已知，如圖，梯形438中，AD//BC,AD<BC,E、尸分

別是的中點(diǎn)，且現(xiàn)U8C

求證：ZB=ZC

證明:過(guò)E作EM//AB,EN//CD,交BC于A/、N,則得口45朋￡