2025版高考數(shù)學一輪復習第八章解析幾何第五講橢圓學案新人教版

PAGE第五講橢圓學問梳理·雙基自測eq\x(知)eq\x(識)eq\x(梳)eq\x(理)學問點一橢圓的定義平面內與兩個定點F1、F2的__距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|__的點的軌跡叫做橢圓，這兩個定點叫做橢圓的__焦點__，兩焦點間的距離叫做橢圓的__焦距注：若集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a(1若a＞c，則集合P為__橢圓__；(2若a＝c，則集合P為__線段F1F2(3若a＜c，則集合P為__空集__．學問點二橢圓的標準方程和幾何性質標準方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a＞b＞0圖形性質范圍－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a對稱性對稱軸：坐標軸對稱中心：原點頂點A1(－a,0，A2(a,0B1(0，－b，B2(0，bA1(0，－a，A2(0，aB1(－b,0，B2(b,0軸長軸A1A2的長為__2短軸B1B2的長為__2b__焦距|F1F2|＝__2離心率e＝__eq\f(c,a)__∈(0,1a、b、c的關系__c2＝a2－b2__eq\x(重)eq\x(要)eq\x(結)eq\x(論)1．a＋c與a－c分別為橢圓上的點到焦點距離的最大值和最小值．2．過橢圓的焦點且與長軸垂直的弦|AB|＝eq\f(2b2,a)，稱為通徑．3．若過焦點F1的弦為AB，則△ABF2的周長為4a4．e＝eq\r(1－\f(b2,a2))．5．橢圓的焦點在x軸上?標準方程中x2項的分母較大，橢圓的焦點在y軸上?標準方程中y2項的分母較大．6．AB為橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0的弦，A(x1，y1，B(x2，y2，弦中點M(x0，y0，則(1弦長l＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|；(2直線AB的斜率kAB＝－eq\f(b2x0,a2y0)．7．若M、N為橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1長軸端點，P是橢圓上不與M、N重合的點，則KPM·KPN＝－eq\f(b2,a2)．eq\x(雙)eq\x(基)eq\x(自)eq\x(測)題組一走出誤區(qū)1．推斷下列結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”(1平面內與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離之和等于常數(shù)的點的軌跡是橢圓．(×)(2橢圓的離心率e越大，橢圓就越圓．(×)(3方程mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n表示的曲線是橢圓．(√)(4eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0與eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a＞b＞0的焦距相同．(√)題組二走進教材2．(必修2P42T4橢圓eq\f(x2,10－m)＋eq\f(y2,m－2)＝1的焦距為4，則m等于(C)A．4 B．8C．4或8 D．12[解析]當焦點在x軸上時，10－m＞m－2＞0，10－m－(m－2＝4，∴m＝4．當焦點在y軸上時，m－2＞10－m＞0，m－2－(10－m＝4，∴m＝8．∴m＝4或8．3．(必修2P68A組T3過點A(3，－2且與橢圓eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1有相同焦點的橢圓的方程為(A)A．eq\f(x2,15)＋eq\f(y2,10)＝1 B．eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,20)＝1C．eq\f(x2,10)＋eq\f(y2,15)＝1 D．eq\f(x2,20)＋eq\f(y2,15)＝1題組三走向高考4．(2024·課標全國Ⅱ已知F1，F(xiàn)2是橢圓C的兩個焦點，P是C上的一點，若PF1⊥PF2，且∠PF2F1＝60°，則CA．1－eq\f(\r(3),2) B．2－eq\r(3)C．eq\f(\r(3)－1,2) D．eq\r(3)－1[解析]設|PF2|＝x，則|PF1|＝eq\r(3)x，|F1F2|＝2x，故2a＝|PF1|＋|PF2|＝(1＋eq\r(3)x,2c＝|F1F2|＝2x，于是離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(2c,2a)＝eq\f(2x,1＋\r(3)x)＝eq\r(3)－1．5．(2024·課標Ⅰ，10已知橢圓C的焦點為F1(－1,0，F(xiàn)2(1,0，過F2的直線與C交于A，B兩點．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，則C的方程為(B)A．eq\f(x2,2)＋y2＝1 B．eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1C．eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1 D．eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,4)＝1[解析]設|F2B|＝x(x＞0，則|AF2|＝2x，|AB|＝3x，|BF1|＝3x，|AF1|＝4a－(|AB|＋|BF1|＝4a－6由橢圓的定義知|BF1|＋|BF2|＝2a＝4x所以|AF1|＝2x．在△BF1F2中，由余弦定理得|BF1|2＝|BF2|2＋|F1F2|2－2|F2B|·|F1F2|cos∠BF2F1，即9x2＝x2＋22－4x·cos∠BF在△AF1F2中，由余弦定理可得|AF1|2＝|AF2|2＋|F1F2|2－2|AF2|·|F1F2|cos∠AF2F1，即4x2＝4x2＋22＋8x·cos∠BF由①②得x＝eq\f(\r(3),2)，所以2a＝4x＝2eq\r(3)，a＝eq\r(3)，所以b2＝a2－c2＝2．所以橢圓的方程為eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1．故選B．考點突破·互動探究考點一橢圓的定義及應用——自主練透例1(1(2024·泉州模擬已知橢圓的焦點是F1、F2，P是橢圓上的一個動點，假如M是線段F1P的中點，那么動點M的軌跡是(B)A．圓 B．橢圓C．雙曲線的一支 D．拋物線(2已知F是橢圓5x2＋9y2＝45的左焦點，P是此橢圓上的動點，A(1,1是肯定點．則|PA|＋|PF|的最大值和最小值分別為__6＋eq\r(2)，6－eq\r(2)__．(3已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0的兩個焦點，P為橢圓C上的一點，且∠F1PF2＝60°．若△PF1F2的面積為3eq\r(3)，則b＝__3__．[解析](1如圖所示，由題知|PF1|＋|PF2|＝2a，設橢圓方程：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(其中a＞b＞0．連接MO，由三角形的中位線可得：|F1M|＋|MO|＝a(a＞|F1O|，則M的軌跡為以F1、O為焦點的橢圓．(2如下圖所示，設橢圓右焦點為F1，則|PF|＋|PF1|＝6．∴|PA|＋|PF|＝|PA|－|PF1|＋6．由橢圓方程eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,5)＝1知c＝eq\r(9－5)＝2，∴F1(2,0，∴|AF1|＝eq\r(2)．利用－|AF1|≤|PA|－|PF1|≤|AF1|(當P、A、F1共線時等號成立．∴|PA|＋|PF|≤6＋eq\r(2)，|PA|＋|PF|≥6－eq\r(2)．故|PA|＋|PF|的最大值為6＋eq\r(2)，最小值為6－eq\r(2)．(3|PF1|＋|PF2|＝2a，又∠F1PF2所以|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos60°＝|F1F2|2即(|PF1|＋|PF2|2－3|PF1||PF2|＝4c2所以3|PF1||PF2|＝4a2－4c2＝4b所以|PF1||PF2|＝eq\f(4,3)b2，又因為S△PF1F2＝eq\f(1,2)|PF1||PF2|sin60°＝eq\f(1,2)×eq\f(4,3)b2×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),3)b2＝3eq\r(3)，所以b＝3．故填3．[引申]本例(2中，若將“A(1,1”改為“A(2,2”，則|PF|－|PA|的最大值為__4__，|PF|＋|PA|的最大值為__8__．[解析]設橢圓的右焦點為F1，則∵|PF1|＋|PA|≥|AF1|＝2(P在線段AF1上時取等號，∴|PF|－|PA|＝6－(|PF1|＋|PA|≤4，∵|PA|－|PF1|≤|AF1|＝2，(當P在AF1延長線上時取等號，∴|PF|＋|PA|＝6＋|PA|－|PF1|≤8．名師點撥(1橢圓定義的應用范圍：①確認平面內與兩定點有關的軌跡是否為橢圓．②解決與焦點有關的距離問題．(2焦點三角形的應用：橢圓上一點P與橢圓的兩焦點組成的三角形通常稱為“焦點三角形”，利用定義可求其周長；利用定義和余弦定理可求|PF1||PF2|；通過整體代入可求其面積等．〔變式訓練1〕(1(2024·大慶模擬已知點M(eq\r(3)，0，橢圓eq\f(x2,4)＋y2＝1與直線y＝k(x＋eq\r(3)交于點A、B，則△ABM的周長為__8__．(2(2024·課標Ⅲ，15設F1，F(xiàn)2為橢圓C：eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,20)＝1的兩個焦點，M為C上一點且在第一象限．若△MF1F2為等腰三角形，則M的坐標為__(3，eq\r(15)__．(3(2024·河北衡水調研設F1、F2分別是橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1的左、右焦點，P為橢圓上隨意一點，點M的坐標為(6,4，則|PM|－|PF1|的最小值為__－5__．[解析](1直線y＝k(x＋eq\r(3)過定點N(－eq\r(3)，0．而M、N恰為橢圓eq\f(x2,4)＋y2＝1的兩個焦點，由橢圓定義知△ABM的周長為4a＝4×(2因為F1，F(xiàn)2分別是橢圓C的左，右焦點，由M點在第一象限，△MF1F2是等腰三角形，知|F1M|＝|F1F2|，又由橢圓方程eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,20)＝1，知|F1F2|＝8，|F1M|＋|F2M|＝2×6＝12，所以|F1M|＝|F1F2|＝8，所以|F設M(x0，y0(x0＞0，y0＞0，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＋42＋y\o\al(2,0)＝64，,x0－42＋y\o\al(2,0)＝16，))解得x0＝3，y0＝eq\r(15)，即M(3，eq\r(15)．(3由題意可知F2(3,0，由橢圓定義可知|PF1|＝2a－|PF2∴|PM|－|PF1|＝|PM|－(2a－|PF2|＝|PM|＋|PF2|－2a≥|MF2|－當且僅當M，P，F(xiàn)2三點共線時取得等號，又|MF2|＝eq\r(6－32＋4－02)＝5,2a＝10，∴|PM|－|PF2|≥5－10＝－5，即|PM|－|PF1|的最小值為－5．考點二求橢圓的標準方程——師生共研例2求滿意下列各條件的橢圓的標準方程：(1長軸是短軸的3倍且經過點A(3,0；(2短軸一個端點與兩焦點組成一個正三角形，且焦點到同側頂點的距離為eq\r(3)；(3經過點P(－2eq\r(3)，1，Q(eq\r(3)，－2兩點；(4與橢圓eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1有相同離心率，且經過點(2，－eq\r(3)．[解析](1若焦點在x軸上，設方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0．∵橢圓過點A(3,0，∴eq\f(9,a2)＝1，∴a＝3．∵2a＝3×2b，∴b＝1．∴方程為eq\f(x2,9)＋y2＝1．若焦點在y軸上，設方程為eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a＞b＞0．∵橢圓過點A(3,0，∴eq\f(9,b2)＝1，∴b＝3．又2a＝3×2b，∴a＝9．∴方程為eq\f(y2,81)＋eq\f(x2,9)＝1．綜上所述，橢圓方程為eq\f(x2,9)＋y2＝1或eq\f(y2,81)＋eq\f(x2,9)＝1．(2由已知，有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2c，,a－c＝\r(3)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2\r(3)，,c＝\r(3).))從而b2＝a2－c2＝9．∴所求橢圓方程為eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,9)＝1或eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,12)＝1．(3設橢圓方程為mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n，∵點P(－2eq\r(3)，1，Q(eq\r(3)，－2在橢圓上，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(12m＋n＝1，,3m＋4n＝1，))解得m＝eq\f(1,15)，n＝eq\f(1,5)．故橢圓方程為eq\f(x2,15)＋eq\f(y2,5)＝1．(4若焦點在x軸上，設所求橢圓方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝t(t＞0，將點(2，－eq\r(3)代入，得t＝eq\f(22,4)＋eq\f(－\r(3)2,3)＝2．故所求方程為eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,6)＝1．若焦點在y軸上，設方程為eq\f(y2,4)＋eq\f(x2,3)＝λ(λ＞0代入點(2，－eq\r(3)，得λ＝eq\f(25,12)，∴所求方程為eq\f(y2,\f(25,3))＋eq\f(x2,\f(25,4))＝1．綜上可知橢圓方程為eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,6)＝1或eq\f(y2,\f(25,3))＋eq\f(x2,\f(25,4))＝1．名師點撥(1求橢圓的方程多采納定義法和待定系數(shù)法，利用橢圓的定義定形態(tài)時，肯定要留意常數(shù)2a＞|F1F(2用待定系數(shù)法求橢圓標準方程的一般步驟：①作推斷：依據(jù)條件推斷焦點的位置；②設方程：焦點不確定時，要留意分類探討，或設方程為mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠0；③找關系：依據(jù)已知條件，建立關于a，b，c或m，n的方程組；④求解，得方程．(3橢圓的標準方程的兩個應用①方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0與eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝λ(λ＞0有相同的離心率．②與橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0共焦點的橢圓系方程為eq\f(x2,a2＋k)＋eq\f(y2,b2＋k)＝1(a＞b＞0，k＋b2＞0，恰當運用橢圓系方程，可使運算簡便．〔變式訓練2〕(1“2＜m＜6”是“方程eq\f(x2,m－2)＋eq\f(y2,6－m)＝1表示橢圓”的(B)A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件(2(2024·廣東深圳二模已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,3)＝1(a＞0的右焦點為F，O為坐標原點，C上有且只有一個點P滿意|OF|＝|FP|，則C的方程為(D)A．eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,3)＝1 B．eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,3)＝1C．eq\f(x2,6)＋eq\f(y2,3)＝1 D．eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1[解析](1eq\f(x2,m－2)＋eq\f(y2,6－m)＝1表示橢圓?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m－2＞0,6－m＞0,m－2≠6－m))?2＜m＜6且m≠4，∴“2＜m＜6”是方程“eq\f(x2,m－2)＋eq\f(y2,6－m)＝1表示橢圓”的必要不充分條件，故選B．(2依據(jù)對稱性知P在x軸上，|OF|＝|FP|，故a＝2c，a2＝3＋c2，解得a＝2，c故橢圓方程為：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1．故選D．考點三橢圓的幾何性質——師生共研例3(1(2024·全國橢圓C的焦點為F1(－1,0，F(xiàn)2(1,0，點P在C上，F(xiàn)2P＝2，∠F1F2P＝eq\f(2π,3)，則C的長軸長為(D)A．2 B．2eq\r(3)C．2＋eq\r(3) D．2＋2eq\r(3)(2(2024·河北省衡水中學調研直線l經過橢圓的一個頂點和一個焦點，若橢圓中心到l的距離為其短軸長的eq\f(1,4)，則該橢圓的離心率為(B)A．eq\f(1,3) B．eq\f(1,2)C．eq\f(2,3) D．eq\f(3,4)(3(2024·廣東省期末聯(lián)考設F1，F(xiàn)2分別是橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0的左、右焦點，若在直線x＝eq\f(a2,c)上存在點P，使線段PF1的中垂線過點F2，則橢圓離心率的取值范圍是(D)A．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2))) B．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),3)))C．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1)) D．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，1))[解析](1橢圓C的焦點為F1(－1,0，F(xiàn)2(1,0，則c＝1，∵|PF2|＝2，∴|PF1|＝2a－|PF2|＝2由余弦定理可得|PF1|2＝|F1F2|2＋|PF2|2－2|F1F2|·|PF2|·coseq\f(2π,3)，即(2a－22＝4＋4－2×2×2×eq\b\lc\(\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))，解得a＝1＋eq\r(3)，a＝1－eq\r(3)(舍去，∴2a＝2＋2eq\r(3)，故選D．(2不妨設直線l：eq\f(x,c)＋eq\f(y,b)＝1，即bx＋cy－bc＝0?橢圓中心到l的距離eq\f(|－bc|,\r(b2＋c2))＝eq\f(2b,4)?e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，故選B．(3如圖F2H⊥PF1，∴|F1F2|＝|PF2|，由題意可知eq\f(a2,c)－c≤2c，∴e2＝eq\f(c2,a2)≥eq\f(1,3)，即e≥eq\f(\r(3),3)，又0＜e＜1，∴eq\f(\r(3),3)≤e＜1．故選D．名師點撥橢圓離心率的求解方法求橢圓的離心率，常見的有三種方法：一是通過已知條件列方程組，解出a，c的值；二是由已知條件得出關于a，c的二元齊次方程，然后轉化為關于離心率e的一元二次方程求解；三是通過取特別值或特別位置，求出離心率．橢圓離心率的范圍問題一般借助幾何量的取值范圍求解，遇直線與橢圓位置關系通常由直線與橢圓方程聯(lián)立所得方程判別式Δ的符號求解．求橢圓離心率的取值范圍的方法方法解讀適合題型幾何法利用橢圓的幾何性質，如|x|≤a，|y|≤b,0＜e＜1，建立不等關系，或者依據(jù)幾何圖形的臨界狀況建立不等關系題設條件有明顯的幾何關系干脆法依據(jù)已知條件得出不等關系，干脆轉化為含有a，b，c的不等關系式題設條件干脆有不等關系〔變式訓練3〕(1(2024·全國卷Ⅲ已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0的左、右頂點分別為A1，A2，且以線段A1A2為直徑的圓與直線bx－ay＋2ab＝0相切，則C的離心率為(A)A．eq\f(\r(6),3) B．eq\f(\r(3),3)C．eq\f(\r(2),3) D．eq\f(1,3)(2(2024·內蒙古呼和浩特市質檢已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0的左、右頂點分別為A1，A2，點P是橢圓上的動點，若∠A1PA2的最大可以取到120°，則橢圓C的離心率為(D)A．eq\f(1,2) B．eq\f(\r(2),2)C．eq\f(\r(3),2) D．eq\f(\r(6),3)(3已知F1，F(xiàn)2是橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0的左、右焦點，若橢圓上存在點P，使∠F1PF2＝90°，則橢圓的離心率的取值范圍是__eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1))__．[解析](1由題意知以A1A2為直徑的圓的圓心為(0,0，半徑為a又直線bx－ay＋2ab＝0與圓相切，∴圓心到直線的距離d＝eq\f(2ab,\r(a2＋b2))＝a，解得a＝eq\r(3)b，∴eq\f(b,a)＝eq\f(1,\r(3))，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(a2－b2),a)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(3))))2)＝eq\f(\r(6),3)．故選A．(2當P為短軸端點時∠A1PA2最大，由題意可知eq\f(a,b)＝tan60°＝eq\r(3)，∴eq\f(b2,a2)＝eq\f(1,3)，∴e＝eq\r(1－\f(b2,a2))＝eq\f(\r(6),3)，故選D．(3由題意可知當P為橢圓短軸端點時∠OPF1＝∠OPF2≥45°，即c≥b，∴c2≥a2－c2，∴eq\f(c2,a2)≥eq\f(1,2)，即e≥eq\f(\r(2),2)，又0＜e＜1，∴eq\f(\r(2),2)≤e＜1．考點四直線與橢圓——多維探究角度1直線與橢圓的位置關系例4(多選題若直線y＝kx＋1與橢圓eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,m)＝1總有公共點，則m的值可能是(BCD)A．eq\f(1,2) B．1C．eq\r(3) D．4[解析]解法一：由于直線y＝kx＋1恒過點(0,1，所以點(0,1必在橢圓內或橢圓上，則0＜eq\f(1,m)≤1且m≠5，故m≥1且m≠5．故選B、C、D．解法二：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋1，,mx2＋5y2－5m＝0，))消去y整理得(5k2＋mx2＋10kx＋5(1－m＝0．由題意知Δ＝100k2－20(1－m(5k2＋m≥0對一切k∈R恒成立，即5mk2＋m2－m≥0對一切k∈R恒成立，由于m＞0且m≠5，∴m≥1且m≠5．故選B、C、D．角度2中點弦問題例5(1(2024·湖北省宜昌市調研過點P(3,1且傾斜角為eq\f(3π,4)的直線與橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0相交于A，B兩點，若eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(PB,\s\up6(→))，則該橢圓的離心率為(C)A．eq\f(1,2) B．eq\f(\r(2),2)C．eq\f(\r(6),3) D．eq\f(\r(3),3)(2已知橢圓eq\f(x2,2)＋y2＝1，點Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)))，則以P為中點的橢圓的弦所在直線的方程為__2x＋4y－3＝0__．[解析](1由題意可知P為AB的中點，且kAB＝－1，設A(x1，y1，B(x2，y2，則eq\f(x\o\al(2,1),a2)＋eq\f(y\o\al(2,1),b2)＝1，eq\f(x\o\al(2,2),a2)＋eq\f(y\o\al(2,2),b2)＝1，兩式相減得eq\f(x1－x2x1＋x2,a2)＝－eq\f(y1－y2y1＋y2,b2)，∴kAB＝eq\f(y1－y2,x1－x2)＝－eq\f(b2x1＋x2,a2y1＋y2)＝－eq\f(3b2,a2)＝－1，即eq\f(b2,a2)＝eq\f(1,3)，∴e＝eq\r(1－\f(b2,a2))＝eq\f(\r(6),3)，故選C．(2設弦的兩端點為A(x1，y1，B(x2，y2，中點為M(x0，y0，則有eq\f(x\o\al(2,1),2)＋yeq\o\al(2,1)＝1，eq\f(x\o\al(2,2),2)＋yeq\o\al(2,2)＝1．兩式作差，得eq\f(x2－x1x2＋x1,2)＋(y2－y1(y2＋y1＝0．∵x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0，eq\f(y2－y1,x2－x1)＝kAB，代入后求得kAB＝－eq\f(x0,2y0)＝－eq\f(1,2)，∴其方程為y－eq\f(1,2)＝－eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))，即2x＋4y－3＝0．角度3弦長問題例6已知橢圓E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0經過點Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\r(3)，\f(1,2)))，橢圓E的一個焦點為(eq\r(3)，0．(1求橢圓E的方程；(2若直線l過點M(0，eq\r(2)且與橢圓E交于A，B兩點，求|AB|的最大值．[解析](1依題意，設橢圓E的左、右焦點分別為F1(－eq\r(3)，0，F(xiàn)2(eq\r(3)，0．由橢圓E經過點Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\r(3)，\f(1,2)))，得|PF1|＋|PF2|＝4＝2a，∴a＝2，c＝eq\r(3)，∴b2＝a2－c2＝1．∴橢圓E的方程為eq\f(x2,4)＋y2＝1．(2當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為y＝kx＋eq\r(2)，A(x1，y1，B(x2，y2．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋\r(2)，,\f(x2,4)＋y2＝1))得(1＋4k2x2＋8eq\r(2)kx＋4＝0．由Δ＞0得(8eq\r(2)k2－4(1＋4k2×4＞0，∴4k2＞1．由x1＋x2＝－eq\f(8\r(2)k,1＋4k2)，x1x2＝eq\f(4,1＋4k2)得|AB|＝eq\r(1＋k2)·eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝2eq\r(－6\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,1＋4k2)))2＋\f(1,1＋4k2)＋1)．設t＝eq\f(1,1＋4k2)，則0＜t＜eq\f(1,2)，∴|AB|＝2eq\r(－6t2＋t＋1)＝2eq\r(－6\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(1,12)))2＋\f(25,24))≤eq\f(5\r(6),6)，當且僅當t＝eq\f(1,12)時等號成立．當直線l的斜率不存在時，|AB|＝2＜eq\f(5\r(6),6)．綜上，|AB|的最大值為eq\f(5\r(6),6)．名師點撥直線與橢圓綜合問題的常見題型及解題策略(1直線與橢圓位置關系的推斷方法①聯(lián)立方程，借助一元二次方程的判別式Δ來推斷；②借助幾何性質來推斷．(2求橢圓方程或有關幾何性質．可依據(jù)條件找尋滿意條件的關于a，b，c的等式，解方程即可求得橢圓方程或橢圓有關幾何性質．(3關于弦長問題．一般是利用根與系數(shù)的關系、弦長公式求解．設直線與橢圓的交點坐標為A(x1，y1，B(x2，y2，則|AB|＝eq\r(1＋k2[x1＋x22－4x1x2])＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,k2)))[y1＋y22－4y1y2])(其中k為直線斜率．提示：利用公式計算直線被橢圓截得的弦長是在方程有解的狀況下進行的，不要忽視判別式．(4對于中點弦或弦的中點問題，一般利用點差法求解．若直線l與圓錐曲線C有兩個交點A，B，一般地，首先設出A(x1，y1，B(x2，y2，代入曲線方程，通過作差，構造出x1＋x2，y1＋y2，x1－x2，y1－y2，從而建立中點坐標和斜率的關系．留意答題時不要忽視對判別式的探討．〔變式訓練4〕(1(角度1直線y＝kx＋k＋1與橢圓eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1的位置關系是__相交__．(2(角度2(2024·廣東珠海期末已知橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0的右焦點為F，離心率eq\f(\r(2),2)，過點F的直線l交橢圓于A，B兩點，若AB中點為(1,1，則直線l的斜率為(D)A．2 B．－2C．eq\f(1,2) D．－eq\f(1,2)(3(角度3斜率為1的直線l與橢圓eq\f(x2,4)＋y2＝1相交于A，B兩點，則|AB|的最大值為(C)A．2 B．eq\f(4\r(5),5)C．eq\f(4\r(10),5) D．eq\f(8\r(10),5)[解析](1由于直線y＝kx＋k＋1＝k(x＋1＋1過定點(－1,1，而(－1,1在橢圓內，故直線與橢圓必相交．(2因為eq\f(c,a)＝eq\f(\r(2),2)，∴4c2＝2a2，∴4(a2－b2＝2a2，∴a2＝2b2，設A(x1，y1，B(x2，y2，且x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b2x\o\al(2,1)＋a2y\o\al(2,1)＝a2b2,b2x\o\al(2,2)＋a2y\o\al(2,2)＝a2b2))，相減得b2(x1＋x2(x1－x2＋a2(y1＋y2(y1－y2＝0，所以2b2(x1－x2＋2a2(y1－y2＝0，所以2b2＋4b2eq\f(y1－y2,x1－x2)＝0，所以1＋2k＝0，∴k＝－eq\f(1,2)，選D．(3設A，B兩點的坐標分別為(x