2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第二章平面解析幾何2.7.2.1拋物線的幾何性質(zhì)學(xué)案含解析新人教B版選擇性必修第一冊(cè)

PAGE10-2．7.2拋物線的幾何性質(zhì)第1課時(shí)拋物線的幾何性質(zhì)必備學(xué)問·自主學(xué)習(xí)導(dǎo)思1.拋物線的幾何性質(zhì)主要有哪些？2.焦半徑的性質(zhì)有哪些？拋物線的幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)圖形范圍x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R對(duì)稱軸x軸x軸y軸y軸焦點(diǎn)坐標(biāo)Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))準(zhǔn)線方程x＝－eq\f(p,2)x＝eq\f(p,2)y＝－eq\f(p,2)y＝eq\f(p,2)頂點(diǎn)坐標(biāo)O(0，0)離心率e＝1(1)拋物線的幾何性質(zhì)與橢圓、雙曲線相比有哪些不同？提示：拋物線的離心率等于1，只有一個(gè)焦點(diǎn)、一個(gè)頂點(diǎn)、一條對(duì)稱軸、一條準(zhǔn)線；它沒有中心，也沒有漸近線．(2)過焦點(diǎn)垂直于對(duì)稱軸的直線被拋物線截得的線段長度是多少？提示：這條線段是拋物線的通徑，長度為2p，借助于通徑可以畫出較精確的拋物線．1．辨析記憶(對(duì)的打“√”，錯(cuò)的打“×”).(1)拋物線焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離等于p.()(2)拋物線的范圍是x∈R，y∈R.()(3)拋物線是軸對(duì)稱圖形．()提示：(1)√.拋物線焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離等于eq\f(p,2)＋eq\f(p,2)＝p.(2)×.拋物線的方程不同，其范圍就不一樣，如y2＝2px(p>0)的范圍是x≥0，y∈R，故此說法錯(cuò)誤．(3)√.拋物線y2＝±2px(p>0)的對(duì)稱軸為x軸，拋物線x2＝±2py(p>0)的對(duì)稱軸為y軸，故此說法正確．2．拋物線y＝－eq\f(1,16)x2的焦點(diǎn)坐標(biāo)為()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,64)，0))B．(－4，0)C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(1,64)))D．(0，－4)【解析】選D.因?yàn)閽佄锞€y＝－eq\f(1,16)x2，所以x2＝－16y，所以拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0，－4).3．已知過拋物線y2＝ax(a＞0)的焦點(diǎn)且垂直于x軸的弦長度為2，則實(shí)數(shù)a的值為()A．4B．2C．1D．0【解析】選B.由題意可得焦點(diǎn)Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,4)，0))，將x＝eq\f(a,4)代入拋物線方程可得y2＝eq\f(a2,4)，解得y＝±eq\f(a,2)，所以a＝2.4．已知正三角形的一個(gè)頂點(diǎn)位于坐標(biāo)原點(diǎn)，另兩個(gè)頂點(diǎn)在拋物線y2＝2x上，則這個(gè)正三角形的邊長是________．【解析】由題意得，正三角形另外兩個(gè)頂點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱，設(shè)一個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0)),2)，y0))，邊長為a，則有taneq\f(π,6)＝eq\f(2y0,yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0)))，解得y0＝2eq\r(3)，再由正弦定理sineq\f(π,6)＝eq\f(2\r(3),a)＝eq\f(1,2)，解得a＝4eq\r(3).答案：4eq\r(3)關(guān)鍵實(shí)力·合作學(xué)習(xí)類型一由拋物線的幾何性質(zhì)求標(biāo)準(zhǔn)方程(數(shù)學(xué)運(yùn)算)【典例】1.頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為y軸，頂點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4的拋物線方程是()A．x2＝16yB．x2＝8yC．x2＝±8yD．x2＝±16y2．以x軸為對(duì)稱軸的拋物線的通徑(過焦點(diǎn)且與對(duì)稱軸垂直的弦)長為8，若拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，則其方程為()A．y2＝8xB．y2＝－8xC．y2＝8x或y2＝－8xD．x2＝8y或x2＝－8y3．已知雙曲線C1：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的離心率為2.若拋物線C2：x2＝2py(p>0)的焦點(diǎn)到雙曲線C1的漸近線的距離為2，則拋物線C2的方程為________．【解析】1.選D.頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為y軸的拋物線方程有兩個(gè)：x2＝－2py，x2＝2py(p＞0)，由頂點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4，知p＝8，故所求拋物線的方程為x2＝16y或x2＝－16y.2．選C.設(shè)拋物線方程為y2＝2px或y2＝－2px(p>0)，依題意將x＝eq\f(p,2)或x＝－eq\f(p,2)代入y2＝2px或y2＝－2px，得|y|＝p，所以2|y|＝2p＝8，p＝4.所以拋物線方程為y2＝8x或y2＝－8x.3．因?yàn)殡p曲線C1：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的離心率為2，所以eq\f(c,a)＝eq\f(\r(a2＋b2),a)＝2，所以b＝eq\r(3)a，所以雙曲線的漸近線方程為eq\r(3)x±y＝0.所以拋物線C2：x2＝2py(p＞0)的焦點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))到雙曲線的漸近線的距離為eq\f(|\r(3)×0±\f(p,2)|,2)＝2，所以p＝8，所以所求的拋物線方程為x2＝16y.答案：x2＝16y用待定系數(shù)法求拋物線方程的步驟提示：求拋物線的方程時(shí)要留意拋物線的焦點(diǎn)位置，不同的焦點(diǎn)設(shè)出不同的方程．【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的兩條漸近線與拋物線y2＝2px(p>0)的準(zhǔn)線分別交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．若雙曲線的離心率為2，△AOB的面積為eq\r(3)，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．【解析】由已知得eq\f(c,a)＝2，所以eq\f(a2＋b2,a2)＝4，解得eq\f(b,a)＝eq\r(3)，即漸近線方程為y＝±eq\r(3)x.而拋物線準(zhǔn)線方程為x＝－eq\f(p,2)，于是Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，－\f(\r(3)p,2)))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，\f(\r(3)p,2)))，從而△AOB的面積為eq\f(1,2)·eq\r(3)p·eq\f(p,2)＝eq\r(3)，可得p＝2.因?yàn)閽佄锞€開口向右，所以其標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝4x.類型二焦點(diǎn)弦問題(邏輯推理)【典例】已知直線l經(jīng)過拋物線y2＝6x的焦點(diǎn)F，且與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)．(1)若直線l的傾斜角為60°，求|AB|的值；(2)若|AB|＝9，求線段AB的中點(diǎn)M到準(zhǔn)線的距離．四步內(nèi)容理解題意條件：已知拋物線方程及過拋物線焦點(diǎn)的直線結(jié)論：求弦長及線段的中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離思路探求(1)寫出直線方程，把直線方程和拋物線方程聯(lián)立求得坐標(biāo)，利用弦長公式求得弦長．(2)利用拋物線定義結(jié)合焦點(diǎn)弦的長度求得中點(diǎn)橫坐標(biāo)．書寫表達(dá)(1)因?yàn)橹本€l的傾斜角為60°，所以其斜率k＝tan60°＝eq\r(3)，又Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，0))，所以直線l的方程為y＝eq\r(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2))).聯(lián)立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝\r(3)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))，,y2＝6x，))消去y得4x2－20x＋9＝0，解得x1＝eq\f(1,2)，x2＝eq\f(9,2)，故|AB|＝eq\r(1＋（\r(3)）2)×eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(9,2)－\f(1,2)))＝2×4＝8.(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由拋物線定義，知|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋eq\f(p,2)＋x2＋eq\f(p,2)＝x1＋x2＋p＝x1＋x2＋3＝9，所以x1＋x2＝6，于是線段AB的中點(diǎn)M的橫坐標(biāo)是3，又準(zhǔn)線方程是x＝－eq\f(3,2)，所以M到準(zhǔn)線的距離等于3＋eq\f(3,2)＝eq\f(9,2).易錯(cuò)關(guān)注點(diǎn)：①聯(lián)立方程組，消元時(shí)肯定要確保正確性；②會(huì)應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系求弦長或解決中點(diǎn)弦問題，避開求解交點(diǎn)的煩瑣運(yùn)算．題后反思提示：已知過拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則有：(1)y1y2＝－p2，x1x2＝eq\f(p2,4).(2)|AB|＝x1＋x2＋p，|AF|＝x1＋eq\f(p,2).(3)以AB為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切．1．拋物線的焦半徑定義拋物線的焦半徑是指以拋物線上隨意一點(diǎn)與拋物線焦點(diǎn)為端點(diǎn)的線段．焦半徑公式P(x0，y0)為拋物線上一點(diǎn)，F(xiàn)為焦點(diǎn)．①若拋物線y2＝2px(p＞0)，則|PF|＝x0＋eq\f(p,2)；②若拋物線y2＝－2px(p＞0)，則|PF|＝eq\f(p,2)－x0；③若拋物線x2＝2py(p＞0)，則|PF|＝y(tǒng)0＋eq\f(p,2)；④若拋物線x2＝－2py(p＞0)，則|PF|＝eq\f(p,2)－y0.2.過焦點(diǎn)的弦長的求解方法設(shè)過拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)的弦的端點(diǎn)為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AB|＝x1＋x2＋p，然后利用弦所在直線方程與拋物線方程聯(lián)立、消元，由根與系數(shù)的關(guān)系求出x1＋x2即可．過拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)F作傾斜角為45°的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，求弦長|AB|.【解析】設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，易得拋物線的焦點(diǎn)是F(1，0)，p＝2，所以直線AB的方程是y＝x－1，聯(lián)立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y2＝4x，,y＝x－1，))消去y得x2－6x＋1＝0，所以x1＋x2＝6，所以|AB|＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8.類型三拋物線幾何性質(zhì)的簡潔應(yīng)用(數(shù)學(xué)運(yùn)算)【典例】已知拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，A是拋物線上橫坐標(biāo)為4，且位于x軸上方的點(diǎn)，A到拋物線準(zhǔn)線的距離等于5，過A作直線AB垂直于y軸，垂足為B，OB的中點(diǎn)為M.(1)求拋物線的方程；(2)若過M作MN⊥FA，垂足為N，求點(diǎn)N的坐標(biāo)．【思路導(dǎo)引】(1)利用拋物線的定義求出p；(2)求出直線FA和MN的方程，聯(lián)立解方程組．【解析】(1)拋物線y2＝2px的準(zhǔn)線為x＝－eq\f(p,2)，于是4＋eq\f(p,2)＝5，所以p＝2.所以拋物線方程為y2＝4x.(2)因?yàn)辄c(diǎn)A的坐標(biāo)是(4，4)，由題意得B(0，4)，M(0，2).又因?yàn)镕(1，0)，所以kFA＝eq\f(4,3)，因?yàn)镸N⊥FA，所以kMN＝－eq\f(3,4).又FA的方程為y＝eq\f(4,3)(x－1)，①M(fèi)N的方程為y－2＝－eq\f(3,4)x，②聯(lián)立①②，解得x＝eq\f(8,5)，y＝eq\f(4,5)，所以點(diǎn)N的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,5)，\f(4,5))).利用拋物線的性質(zhì)可以解決的問題(1)對(duì)稱性：解決拋物線的內(nèi)接三角形問題．(2)焦點(diǎn)、準(zhǔn)線：解決與拋物線的定義有關(guān)的問題．(3)范圍：解決與拋物線有關(guān)的最值問題．(4)焦點(diǎn)：解決焦點(diǎn)弦問題．已知A，B是拋物線y2＝2px(p＞0)上兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若|OA|＝|OB|，且△ABO的垂心恰是此拋物線的焦點(diǎn)F，求直線AB的方程．【解析】拋物線的焦點(diǎn)Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，因?yàn)閽佄锞€關(guān)于x軸對(duì)稱，|OA|＝|OB|，所以△ABO為等腰三角形，所以A，B兩點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱，設(shè)A(x0，y0)，則B(x0，－y0)，因?yàn)椤鰽BO的垂心恰為拋物線的焦點(diǎn)，所以BF⊥OA.則kBF·kOA＝－1，即eq\f(－y0－0,x0－\f(p,2))·eq\f(y0,x0)＝－1.又因?yàn)閥eq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))＝2px0，所以x0＝eq\f(5,2)p，所以直線AB的方程為x＝eq\f(5p,2).備選類型拋物線中的最值問題(數(shù)學(xué)抽象、直觀想象)【典例】求拋物線y＝－x2上的點(diǎn)到直線4x＋3y－8＝0的最小值．【思路導(dǎo)引】方法一：(代數(shù)法)設(shè)出拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最值；方法二：(幾何法)數(shù)形結(jié)合思想轉(zhuǎn)化為兩條平行線間的距離求解．【解析】方法一：設(shè)A(t，－t2)為拋物線上的點(diǎn)，則點(diǎn)A到直線4x＋3y－8＝0的距離d＝eq\f(|4t－3t2－8|,5)＝eq\f(|3t2－4t＋8|,5)＝eq\f(1,5)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(2,3)))\s\up12(2)－\f(4,3)＋8))＝eq\f(1,5)×3(t－eq\f(2,3))2＋eq\f(1,5)×eq\f(20,3)＝eq\f(3,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(2,3)))eq\s\up12(2)＋eq\f(4,3).所以當(dāng)t＝eq\f(2,3)時(shí)，d有最小值eq\f(4,3).方法二：如圖，設(shè)與直線4x＋3y－8＝0平行的拋物線的切線方程為4x＋3y＋m＝0，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝－x2，,4x＋3y＋m＝0，))消去y得3x2－4x－m＝0，所以Δ＝16＋12m＝0，所以m＝－eq\f(4,3).所以最小距離為eq\f(|－8＋\f(4,3)|,5)＝eq\f(\f(20,3),5)＝eq\f(4,3).與拋物線相關(guān)的最值的求法(1)若曲線和直線相離，在曲線上求一點(diǎn)到直線的距離最小問題，可找到與已知直線平行的直線，使其與曲線相切，則切點(diǎn)為所要求的點(diǎn)．(2)以上問題一般轉(zhuǎn)化為“兩點(diǎn)之間線段最短”或“點(diǎn)到直線的垂線段最短”來解決．課堂檢測(cè)·素養(yǎng)達(dá)標(biāo)1.若拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)是橢圓eq\f(x2,3p)＋eq\f(y2,p)＝1的一個(gè)焦點(diǎn)，則p＝()A．2B．3C．4D．8【解析】選D.因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)為(±eq\r(2p)，0)，拋物線的焦點(diǎn)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，由已知可得eq\r(2p)＝eq\f(p,2)，解得p＝8.2．若拋物線x2＝8y上一點(diǎn)P(x0，y0)到焦點(diǎn)的距離是該點(diǎn)到x軸距離的2倍，則y0＝()A．eq\f(1,2)B．eq\r(2)C．1D．2【解析】選D.因?yàn)镻(x0，y0)到焦點(diǎn)的距離d＝y(tǒng)0＋2，則y0＋2＝2y0，解得y0＝2.3．若拋物線y2＝2px(p＞0)上隨意一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離恒大于1，則p的取值范圍是()A．p＜1B．p＞1C．p＜2D．p＞2【解析】選D.設(shè)P點(diǎn)為拋物線上的隨意一點(diǎn)，則P到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線：x＝－eq\f(p,2)的距離，明顯當(dāng)P為拋物線的頂點(diǎn)時(shí)，P到準(zhǔn)線的距離取得最小值eq\f(p,2)，所以eq\f(p,2)＞1，即p＞2.4．設(shè)拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A(0，2).若線段FA的中點(diǎn)B在拋物線上，則B到該拋物線準(zhǔn)線的距離為________．【解析】由拋物線y2＝2px(p>0)，得焦點(diǎn)F的