數(shù)學(xué)分析課程思政案例設(shè)計-以無窮積分概念和第二型曲面積分為例

前言社會在發(fā)展，國家在進步，培養(yǎng)德行和才能都具備的學(xué)子既是時代的要求，也是國家的需要。課程思政是一種讓各種不同的課程通過融入正確的價值理念和優(yōu)秀的精神品質(zhì)等元素，從而能夠與思想政治課形成相同效應(yīng)，貫穿“立德樹人”的綜合教育理念，當(dāng)下越來越多的研究者投身到思政教育的探討與實施當(dāng)中，從課程教學(xué)入手，將所挖掘出來的思政元素恰當(dāng)?shù)厝谌氲浇虒W(xué)過程中，盡量讓課程思政達到潤物細無聲的育人效果REF_Ref17621\r\h[1]，讓學(xué)生在掌握課本知識的同時能夠提高品德的修養(yǎng)，從而達到思政育人的目的。本論文基于華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系所編的《數(shù)學(xué)分析》第四版中有關(guān)積分部分的內(nèi)容進行課程思政案列設(shè)計，借助數(shù)學(xué)家們的事跡，汲取疫情中的育人素材，讓知識傳授與價值引領(lǐng)有機結(jié)合，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)中受到數(shù)學(xué)優(yōu)秀文化的熏陶，形成正確的三觀，提高自身的政治思想覺悟，踏踏實實做人，認認真真做事。1.1數(shù)學(xué)分析開展課程思政的必要性數(shù)學(xué)分析是數(shù)學(xué)類專業(yè)的必修課程，內(nèi)容多且知識點重要，授課時間相比其他課程而言是比較長的，學(xué)好數(shù)學(xué)分析對學(xué)生之后相關(guān)數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)以及以后對數(shù)學(xué)的研究都有很大的幫助。在大部分人的觀念里，數(shù)學(xué)是一門完全純理論的學(xué)科，數(shù)學(xué)分析更是如此，好像與人文學(xué)科沒有關(guān)聯(lián)，正如兩條平行線一樣，沒有交點，這就導(dǎo)致在大家的印象里數(shù)學(xué)分析的課堂教學(xué)是有些枯燥的。因此，數(shù)學(xué)分析開展課程思政有利于打破學(xué)生腦海中對其枯燥的印象，讓學(xué)生意識到數(shù)學(xué)分析課程既有理論，也有情懷。同時，其也可以幫助學(xué)生了解和應(yīng)用數(shù)學(xué)分析中的理論知識，提高數(shù)學(xué)素質(zhì)。開展課程思政就好比在數(shù)學(xué)分析這碗“湯”里加了少許的“鹽”，味道更好。1.2數(shù)學(xué)分析課程思政的設(shè)計思路在數(shù)學(xué)分析課堂教學(xué)中融入思政元素且不顯得生硬不是一件容易的事情，首先是要在授課前做好教學(xué)設(shè)計，通過了解教學(xué)大綱，思考在哪個環(huán)節(jié)切入哪個思政點比較好，以及教師如何用語言去表達，做到在授課的過程中向?qū)W生們傳遞一些正能量。比如社會主義核心價值觀、愛國情懷和正確的行為觀念等等。設(shè)計思路如圖1-2-1。圖1-2-1課程思政的設(shè)計思路2數(shù)學(xué)分析課程思政的切入點2.1數(shù)學(xué)分析中知識點的發(fā)展歷史通過講述數(shù)學(xué)分析中知識點的發(fā)展歷史，介紹數(shù)學(xué)家的事跡和對數(shù)學(xué)的貢獻，弘揚中國數(shù)學(xué)家的科研精神，引發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)分析的好奇和濃厚的興趣，養(yǎng)成頑強的毅力和卓越的品格，勇于面對困難和挫折REF_Ref7456\r\h[2]，增強民族文化自信心和祖國情感。2.2數(shù)學(xué)分析中知識點蘊含的思想通過運用數(shù)學(xué)分析內(nèi)容中所蘊含的思想，引導(dǎo)學(xué)生理解和掌握知識點在被推導(dǎo)過程或者是在被證明的過程中所運用的思想方法，逐步培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思考能力和運用數(shù)學(xué)思想解決實際問題的能力，讓學(xué)生體會到數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用范圍之廣和作用之大。2.3數(shù)學(xué)分析中知識點與價值理念的關(guān)聯(lián)通過數(shù)學(xué)分析中知識點與價值理念的關(guān)聯(lián)，在教授知識點時利用關(guān)聯(lián)引出正確的價值理念，讓學(xué)生在理解知識的同時懂得一些正確的理念，加深對數(shù)學(xué)與實際生活之間聯(lián)系的理解，這有利于他們對這個世界、對其他的人和對事物形成好的觀念，明白為人既要有知識的高度也要有品德的高度。2.4構(gòu)建無窮積分概念和第二型曲面積分的思政元素一覽表前面已經(jīng)知道了課程思政的設(shè)計思路，現(xiàn)在又了解到數(shù)學(xué)分析課程思政的切入點，接下來進行對數(shù)學(xué)分析中部分內(nèi)容的思政元素進行整理（見表2-4-1），這有利于后面對該部分內(nèi)容在課堂教學(xué)中思政元素應(yīng)用的探討。表2-4-1《無窮積分概念》和《第二型曲面積分》的思政元素一覽表知識點思政點兩者融合育人作用無窮積分概念的導(dǎo)入環(huán)節(jié)內(nèi)容古代的神話故事和現(xiàn)代的航天成就通過古代嫦娥奔月的故事和現(xiàn)代宇宙飛船的事跡作為導(dǎo)入，引發(fā)學(xué)生對宇宙速度的思考民族自豪感處于無限區(qū)間的積分的計算轉(zhuǎn)換為處于有限區(qū)間的積分的計算極限思想和轉(zhuǎn)化思想前面學(xué)過了定積分概念及計算的相關(guān)知識，通過極限和轉(zhuǎn)化思想引導(dǎo)學(xué)生把沒有學(xué)過的無限區(qū)間的積分的計算轉(zhuǎn)化為已經(jīng)學(xué)過的有限區(qū)間的積分的計算遇到問題能夠多角度思考無窮積分概念的符號表示數(shù)學(xué)符號的魅力通過學(xué)習(xí)無窮積分的概念去感受數(shù)學(xué)符號的魅力數(shù)學(xué)的眼光——看待世界，數(shù)學(xué)的語言——表達事物，數(shù)學(xué)的方法——解決問題第二型曲面積分的導(dǎo)入環(huán)節(jié)內(nèi)容古代都江堰工程和現(xiàn)代三峽大壩工程通過運用古代和現(xiàn)代水利工程來引起學(xué)生對大壩曲面的單位水流量的思考文化自信單側(cè)曲面莫比烏斯的故事在把莫比烏斯帶作為單側(cè)曲面的例子講授時，可以向?qū)W生介紹偉大的數(shù)學(xué)家莫比烏斯的故事數(shù)學(xué)文化素養(yǎng)第二型曲面積分定義的推導(dǎo)過程小目標，大夢想第二型曲面積分定義的推導(dǎo)過程就好比把一個大目標分成一個個小目標去完成的過程，求得最終計算結(jié)果其實就是實現(xiàn)最終大夢想中華民族的偉大復(fù)興夢3《無窮積分概念》課堂教學(xué)中思政元素應(yīng)用的探討第一個有關(guān)課程思政的教學(xué)設(shè)計案例是關(guān)于無窮積分的，如表3-1所示。無窮積分屬于反常積分，而反常積分是定積分的一種推廣，其實質(zhì)是求一個極限。理解無窮積分的定義和幾何意義，掌握其斂散性的判別，不僅能夠解決實際生活中很多問題，還能在學(xué)習(xí)的過程中培養(yǎng)自己的類比思想、極限思想和轉(zhuǎn)化思想。表3-1《無窮積分概念》思政案例設(shè)計一、授課內(nèi)容課程名稱數(shù)學(xué)分析所屬學(xué)校廣西師范大學(xué)授課章節(jié)第十一章第一節(jié)《無窮積分概念》授課對象數(shù)學(xué)類專業(yè)教學(xué)課時2課時使用教材數(shù)學(xué)分析（第四版）華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系二、學(xué)情分析學(xué)生知識經(jīng)驗分析學(xué)生前面已經(jīng)學(xué)習(xí)了定積分概念及其應(yīng)用，懂得在有限的積分區(qū)間內(nèi)求值，但面對一些無限區(qū)間上的積分問題還不會解決。學(xué)生學(xué)習(xí)能力分析學(xué)生已經(jīng)預(yù)習(xí)了反常積分的概念，初步了解到在無限區(qū)間上定義的函數(shù)，深入了解和相關(guān)應(yīng)用任需教師的引導(dǎo)、講解和幫助。學(xué)生思想狀況分析1.學(xué)生覺得數(shù)學(xué)分析課程內(nèi)容多，難以學(xué)懂；2.學(xué)生對所學(xué)內(nèi)容大多停留在初步了解和應(yīng)用，沒有領(lǐng)悟到里面所蘊含的抽象思維和邏輯思想；3.學(xué)生的求知欲不高，面對疑惑缺乏探究精神，在思想覺悟?qū)哟紊线€需進一步提高。三、教學(xué)內(nèi)容課堂教學(xué)目標1.理解無窮積分的概念及其斂散性，掌握無窮積分斂散性的判別和計算；2.在推導(dǎo)的過程中掌握類比、轉(zhuǎn)化和極限思想；3.通過引入實例增強學(xué)生的文化自信和民族自豪感，樹立遠大目標，做一個有情懷有理想能做事的青年人。教學(xué)重點和難點重點：理解無窮積分的含義及其幾何意義，會計算簡單的無窮積分；難點：掌握無窮積分斂散性的判別。思政資源1.中國航天科技事業(yè)的發(fā)展——航天精神；2.嫦娥奔月、夸父追日、女媧補天等有關(guān)天上的故事——追夢精神；3.通過古代追夢和現(xiàn)代航天增強文化自信。4.通過積分符號的運用，感受數(shù)學(xué)符號的簡潔之美；5.運用數(shù)學(xué)思維思考問題和數(shù)學(xué)方法解決問題；6.多角度去思考問題。四、教學(xué)方法與手段教學(xué)方法本節(jié)課從學(xué)生自身實際情況出發(fā)，以學(xué)生為主體和教師為主導(dǎo)相結(jié)合而設(shè)計的，采用講授和引導(dǎo)的教學(xué)方法。教學(xué)手段運用多媒體與板書相結(jié)合五、教學(xué)過程設(shè)計（第0-6分鐘）課程教學(xué)內(nèi)容設(shè)計環(huán)節(jié)一：創(chuàng)設(shè)情境從古代流傳下來的嫦娥奔月（圖3-1）、夸父追日、女媧補天等的故事到現(xiàn)代的外星人來訪、天外來物等的故事都代表著人們對宇宙的好奇與探究，所以在社會發(fā)展的同時，科學(xué)家們通過大量的數(shù)據(jù)計算和模擬場景，制造出了一系列的航天機器（圖3-2），實現(xiàn)了到地球外的地方探究的夢想。圖3-1嫦娥奔月圖3-2宇宙飛船若有在地球表面垂直發(fā)射火箭，請問初速度至少要多大才能使火箭克服地球引力無限遠離地球REF_Ref14803\r\h[3]？先假設(shè)地球的半徑為，火箭質(zhì)量為，地面上的重力加速度為REF_Ref9672\r\h[4].由萬有引力定律知，在距地心處火箭所受的引力為.（3-1）而要克服引力做功，則有.（3-2）引導(dǎo)到學(xué)生發(fā)現(xiàn)若想得到的值，首先要求得的值，但是以前我們只學(xué)習(xí)了在有限的區(qū)間中求被積的函數(shù)，那么在無限區(qū)間內(nèi)的被積的函數(shù)又應(yīng)該怎樣求呢？（第0-3分鐘）結(jié)合課程內(nèi)容融入【案例1——用古代的神話故事與現(xiàn)代的科技成就相結(jié)合，讓同學(xué)們感受到當(dāng)今祖國的強大，增強發(fā)自內(nèi)心的民族自豪感；感受到中國航天事業(yè)的發(fā)展，同時學(xué)習(xí)航天精神，以更多地?zé)崆橥度氲綄W(xué)習(xí)中，提高學(xué)習(xí)效率和課堂效率?！浚ǖ?-11分鐘）課程教學(xué)內(nèi)容設(shè)計環(huán)節(jié)二：分析問題通過引導(dǎo)學(xué)生換個角度將不懂的問題轉(zhuǎn)化為曾經(jīng)解決過的問題，即將未知的無限區(qū)間上的積分轉(zhuǎn)化為所學(xué)習(xí)過的有限區(qū)間上的定積分；與學(xué)生一起探究發(fā)現(xiàn)求解的問題其實就是求解的問題。從而就可以引出無窮積分的概念。（第8-10分鐘）結(jié)合課程內(nèi)容融入【案例2——求在無限區(qū)間的積分看似很難解決，卻可以轉(zhuǎn)化為在有限區(qū)間的積分去解決，而在這其中則需要極限的思想去牽連。這就好比遇到的問題看似“山中水盡疑無路”實則換個思維，換個角度，就會發(fā)現(xiàn)這個問題也不是很難解決?！浚ǖ?2-25分鐘）課程教學(xué)內(nèi)容設(shè)計環(huán)節(jié)三：概括定義定義設(shè)函數(shù)定義在無窮區(qū)間上，且在任何有限區(qū)間上可積REF_Ref9672\r\h[4].如果存在極限，(3-3)則稱此極限為函數(shù)在上的無窮限反常積分（簡稱無窮積分）REF_Ref9672\r\h[4]，記作，（3-4）并稱收斂REF_Ref9672\r\h[4].否則，稱不滿足的發(fā)散REF_Ref9672\r\h[4].提問：綜上我們得出了在區(qū)間上函數(shù)的定義，那在區(qū)間和上呢？函數(shù)又是怎樣定義的呢？（給時間同學(xué)們思考和動筆試著自己寫一寫）類似地，可定義在上的無窮積分：.（3-5）對于在上的無窮積分，它用前面兩種無窮積分來定義：，（3-6）其中為任意實數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)右邊兩個無窮積分都收斂時它才是收斂的REF_Ref9672\r\h[4].注1無窮積分的收斂性與收斂時的值，都和實數(shù)的選取無關(guān)REF_Ref9672\r\h[4].注2由于無窮積分是由和兩類積分來定義的，因此，在任何有限區(qū)間上，首先必須是可積的REF_Ref9672\r\h[4].（第15-20分鐘）結(jié)合課程內(nèi)容融入【案例3——看似復(fù)雜的問題，用數(shù)學(xué)符號表現(xiàn)出來就顯得簡潔明了。讓學(xué)生在學(xué)習(xí)的同時感受到數(shù)學(xué)符號的魅力，“小小”的數(shù)學(xué)符號卻與這“大大”的世界有著千絲萬縷的聯(lián)系。提高自己的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，學(xué)會運用數(shù)學(xué)語言去描述問題，懂得用數(shù)學(xué)的思維去思考問題，用數(shù)學(xué)的眼光去看這個世界REF_Ref9438\r\h[5]?！浚ǖ?6-29分鐘）課程教學(xué)內(nèi)容設(shè)計環(huán)節(jié)四：深入理解提問：現(xiàn)在同學(xué)們初步了解無窮積分的定義，那同學(xué)們再思考一下，它的幾何意義是什么呢？讓同學(xué)們回憶定積分的幾何意義——在有限區(qū)間內(nèi)曲邊梯形的面積，那無窮積分的幾何意義是否也類似如此呢？圖3-3收斂的幾何意義是：若在上為非負連續(xù)函數(shù)，則圖3-3中介于曲線，直線以及軸之間那一塊向右無限延伸的陰影區(qū)域有面積REF_Ref9672\r\h[4].（第30-34分鐘）課程教學(xué)內(nèi)容設(shè)計環(huán)節(jié)五：嘗試運用例1討論無窮積分的收斂性REF_Ref9672\r\h[4].解：分類討論：當(dāng)時，；當(dāng)時，.從而，當(dāng)時，；當(dāng)時，.因此，當(dāng)時無窮積分收斂于，當(dāng)時無窮積分發(fā)散于.（第35-37分鐘）課程教學(xué)內(nèi)容設(shè)計環(huán)節(jié)六：回顧引例求解，通過前面所學(xué)知識知道是收斂的，同時，故有，最后帶入已知數(shù)值，即可求出.（第38-40分鐘）課程教學(xué)內(nèi)容設(shè)計環(huán)節(jié)七：課堂小結(jié)1.無窮積分的定義；2.無窮積分斂散性的判別及其相關(guān)應(yīng)用。環(huán)節(jié)八：課后作業(yè)習(xí)題1中的第（1）、（2）、（4）小問4《第二型曲面積分》課堂教學(xué)中思政元素應(yīng)用的探討第二個案例也是關(guān)于積分的，但不是平面上的積分，而是更進一層——第二型曲面積分，如表3-2所示。本案例通過引入古代都江堰和現(xiàn)代大壩工程來展開對第二型曲面積分定義的探討，同時講授德國數(shù)學(xué)家莫比烏斯的事跡，在教學(xué)過程中達到思政育人的目的。表3-2《第二型曲面積分》思政案例設(shè)計一、授課內(nèi)容課程名稱數(shù)學(xué)分析所屬學(xué)校廣西師范大學(xué)授課章節(jié)第二十二章第二節(jié)《第二型曲面積分》授課對象數(shù)學(xué)類專業(yè)教學(xué)課時2課時使用教材數(shù)學(xué)分析（第四版）華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系二、學(xué)情分析學(xué)生知識經(jīng)驗分析學(xué)生前面已經(jīng)學(xué)習(xí)了《第一型曲面積分》，對曲面積分的概念和計算有了初步的了解。學(xué)生學(xué)習(xí)能力分析學(xué)生已經(jīng)預(yù)習(xí)了第二型曲面積分的概念，但是深入了解和相關(guān)應(yīng)用任需教師的引導(dǎo)、講解和幫助.學(xué)生思想狀況分析1.曲面的側(cè)和第二型曲面積分涉及空間想象，內(nèi)容有些抽象，學(xué)生學(xué)習(xí)其有一定的難度，可能會導(dǎo)致學(xué)生產(chǎn)生畏難心理；2.學(xué)生對所學(xué)內(nèi)容大多停留在初步了解和應(yīng)用，沒有領(lǐng)悟到里面所蘊含的抽象思維和邏輯思想；3.學(xué)生的求知欲不高，面對疑惑缺乏探究精神，在思想覺悟?qū)哟紊线€需進一步提高.三、教學(xué)內(nèi)容課堂教學(xué)目標1.理解曲面的側(cè)和第二型曲面積分的定義，掌握第二型曲面積分的計算，學(xué)會應(yīng)用第二型曲面積分解決問題；2.掌握推導(dǎo)過程所運用的積分思想；3.增強學(xué)生民族自豪感和民族責(zé)任感，激勵學(xué)生更加努力學(xué)習(xí)。教學(xué)重點和難點重點：了解曲面的側(cè)，理解第二型曲面積分的定義，掌握第二型曲面積分的計算；難點：理解第二型曲面積分的定義的推導(dǎo)過程。思政資源1.古代大壩的建設(shè)與現(xiàn)代大壩的建設(shè)，展示中國人民的智慧結(jié)晶；2.為自己作為中華兒女驕傲，加深愛國情懷和民族責(zé)任感。3.通過數(shù)學(xué)家莫比烏斯的故事，提高數(shù)學(xué)文化素養(yǎng)；4.推導(dǎo)第二型曲面積分定義的過程所體現(xiàn)出來的人生哲學(xué)道理，目標和夢想都很大，但是把它們分成一個個小目標去完成，終有一天，大目標和大夢想也能夠?qū)崿F(xiàn)。四、教學(xué)方法與手段教學(xué)方法本節(jié)課從學(xué)生自身實際情況出發(fā)，以學(xué)生為主體和教師為主導(dǎo)相結(jié)合而設(shè)計的，采用講授和引導(dǎo)的教學(xué)方法.教學(xué)手段運用多媒體與板書相結(jié)合.五、教學(xué)過程設(shè)計（第0-3分鐘）課程教學(xué)內(nèi)容設(shè)計環(huán)節(jié)一：創(chuàng)設(shè)情境1.古有蜀郡太守李冰父子主持修建的都江堰大壩（如圖4-1），今有聞名世界的中國三峽大壩（如圖4-2）。這些水利工程在面對自然災(zāi)害時起到巨大的作用，給當(dāng)?shù)厝嗣竦纳顜肀憷?。圖4-1都江堰圖4-2三峽大壩2.那同學(xué)們有沒有思考過這樣一些問題，當(dāng)大壩泄洪時，在單位時間內(nèi)通過一曲面從壩的一側(cè)流向另一側(cè)河水的流量應(yīng)該如何計算呢REF_Ref12383\r\h[6]？如圖4-3的大壩泄洪。圖4-3大壩泄洪若想計算流量，則需要知道流速的方向和壩體所在曲面的方向。那如何確定一個曲面的方向呢？（第0-2分鐘）結(jié)合課程內(nèi)容融入【案例1——把古代大壩與現(xiàn)代大壩作為例子引入，不僅能夠讓抽象的第二型曲面積分概念增添一些色彩，激起同學(xué)們學(xué)習(xí)的欲望，還能讓同學(xué)們感受到古代人民智慧的偉大和祖國今天科技實力的強大，更加努力地去學(xué)習(xí)，增強民族自豪感，提高民族責(zé)任感.】（第4-9分鐘）課程教學(xué)內(nèi)容設(shè)計環(huán)節(jié)二：探究發(fā)現(xiàn)要給一個曲面定向，首先要知道什么是曲面的側(cè)。曲面的側(cè)有兩種，一種是雙側(cè)曲面，另一種是單側(cè)曲面。設(shè)連通曲面上到處都有連續(xù)變動的切平面（或法線），為曲面上的一點，曲面在處的法線有兩個方向：當(dāng)取定其中一個指向為正方向時，則另一個指向就是負方向。設(shè)為上任一點，為上任一經(jīng)過點，且不超出邊界的閉曲線REF_Ref9672\r\h[4].又設(shè)為動點，它在處與有相同的法線方向，且有如下特性：當(dāng)從出發(fā)沿連續(xù)移動，這時作為曲面上的點，它的法線方向也連續(xù)地變動。最后當(dāng)沿回到時，若這時的法線方向仍與的法線方向相一致，則說這曲面是雙側(cè)曲面；若與的法線方向相反，則說是單側(cè)曲面REF_Ref9672\r\h[4]。在生活中，我們看到的曲面大多數(shù)都是雙側(cè)曲面，而關(guān)于單側(cè)曲面，最典型的莫過于莫比烏斯帶。在講解前，我們可以先來了解一下關(guān)于偉大的數(shù)學(xué)家莫比烏斯的故事。莫比烏斯帶是他在1858年發(fā)現(xiàn)的，那這個發(fā)現(xiàn)令莫比烏斯感到很神奇，那它神奇在什么地方呢？接下來讓我們來探究一下莫比烏斯帶的神奇之處。莫比烏斯帶的構(gòu)造：取一條形狀為矩形的長紙帶，把所在一側(cè)扭轉(zhuǎn)180°之后再與所在的另一側(cè)粘連在一起，此時和重合，和重合。接下來，若是沿著這個帶子上任一處為起點涂上一種顏色，我們發(fā)現(xiàn)可以不越過帶子的最外邊而將整條紙帶全部涂遍，好比一只蟲子可以爬遍整個曲面而不必跨過它的邊緣。若是用一把剪刀沿紙帶的中央將其剪開，紙帶沒有被分成兩個紙帶，反而是變成了一個兩倍長的紙圈。在了解曲面的側(cè)的兩種類型后，我們要知道一般由所表示的曲面都是雙側(cè)曲面，當(dāng)以曲面的法線正方向與軸正方向的夾角為銳角的一側(cè)（也稱為上側(cè)）為正側(cè)時，則另一側(cè)（也稱下側(cè)）為負側(cè)。若為封閉的曲面，一般規(guī)定曲面的外側(cè)為正側(cè)，內(nèi)側(cè)為負側(cè)REF_Ref9672\r\h[4].（第6-8分鐘）結(jié)合課程內(nèi)容融入【案例2——在講解單側(cè)曲面時為同學(xué)們科普關(guān)于德國數(shù)學(xué)家莫比烏斯的事跡，不僅能夠提高同學(xué)們上課積極性，還能夠提高他們的數(shù)學(xué)文化素養(yǎng)，擴大知識面?！浚ǖ?0-24分鐘）課程教學(xué)內(nèi)容設(shè)計環(huán)節(jié)三：概括定義先假設(shè)曲面為大壩的曲面，而流體的流速為，其中，，為所討論范圍上的連續(xù)函數(shù)，求單位時間內(nèi)流經(jīng)曲面的總流量REF_Ref9672\r\h[4].設(shè)在曲面的正側(cè)上任一點處的單位法向量為.這里，，是，，的函數(shù)，則單位時間內(nèi)流經(jīng)小曲面的流量近似地等于其中是上任意取定的一點，，，是的正側(cè)上法線的方向余弦，又，，分別是的正側(cè)在坐標面,和上投影區(qū)域的面積的近似值，并分別記作，，，于是單位時間內(nèi)由小曲面的負側(cè)流向正側(cè)的流量也近似地等于，故單位時間內(nèi)由曲面的負側(cè)流向正側(cè)的總流量這種與曲面的側(cè)有關(guān)的和式極限就是所要討論的第二型曲面積分REF_Ref9672\r\h[4].定義設(shè)，，為定義在雙側(cè)曲面上的函數(shù)，在所指定的一側(cè)作分割，它把分為個小曲面，，，，分割的細度，以，，分別表示在三個坐標面上的投影區(qū)域的面積，它們的符號由的方向來確定REF_Ref9672\r\h[4].若的法線正向與軸正向成銳角時，在平面的投影區(qū)域的面積為正REF_Ref9672\r\h[4].反之，若法線正向與軸正向成鈍角時，它在平面的投影區(qū)域的面積為負.在各個小曲面上任取一點，若存在，且與曲面的分割和在上的取法無關(guān)，則稱此極限為函數(shù),，在曲面所指定的一側(cè)上的第二型曲面積分REF_Ref9672\r\h[4]，記作或.故此定義，該流體以速度在單位時間內(nèi)從曲面的負側(cè)流向正側(cè)的總流量.（第15-20分鐘）結(jié)合課程內(nèi)容融入【案例3——在推導(dǎo)出第二型曲面積分的定義時用到了“先分割、再求近似、接著求和、后取極限”的積分思想，讓同學(xué)們學(xué)會了在遇到不規(guī)則圖形的面積問題時首先用積分思想去解決，從而慢慢養(yǎng)成用數(shù)學(xué)的思想去考慮事情，用數(shù)學(xué)的方法去解決問題，提高自己的邏輯能力。】（第25-37分鐘）課程教學(xué)內(nèi)容設(shè)計環(huán)節(jié)四：初步運用定理1設(shè)是定義在光滑曲面，上的連續(xù)函數(shù)，以的上側(cè)為正側(cè)（這時的法線方向與軸正向成銳角），則有.證明：根據(jù)第二型曲面積分的定義可知，這里REF_Ref9672\r\h[4].顯然由立刻可推得REF_Ref9672\r\h[4].由于在上連續(xù)，在上連續(xù)（曲面光滑），根據(jù)復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性，也是上的連續(xù)函數(shù)REF_Ref9672\r\h[4].由二重積分的定義.所以.同理，若在光滑曲面，上連續(xù)時，有，這里是以的法線方向與軸的正向成銳角的那一側(cè)為正側(cè)REF_Ref9672\r\h[4].若在光滑曲面，上連續(xù)時，有，這里是以的法線方向與軸的正向成銳角的那一側(cè)為正側(cè)REF_Ref9672\r\h[4].定理2設(shè)為光滑曲面，正側(cè)法向量為，，，在上連續(xù)，則REF_Ref9672\r\h[4].定理3設(shè)，，是定義在光滑曲面：，上的連續(xù)函數(shù)，以的上側(cè)為正側(cè)，則REF_Ref9672\r\h[4].證明：由于，，，，因此REF_Ref9672\r\h[4].例1計算，其中，取上側(cè)REF_Ref9672\r\h[4].解：，，，其中由于是的奇函數(shù)，；又因為對稱性，故有REF_Ref9672\r\h[4].（第30-33分鐘）結(jié)合課程內(nèi)容融入【案例4——回顧得到第二型曲面積分的定義的過程，會發(fā)現(xiàn)實現(xiàn)自己的夢想和目標就需要這樣子做，先把它分成一個個小目標和小規(guī)劃，然后努力去完成一個個這樣子的小目標，相信會在未來的某一天內(nèi)心那個大的目標和夢想就會實現(xiàn).同時，也像我們偉大的祖國，在千千萬萬的華夏兒女的努力下，完成和突破一個又一個目標，終有一天，會實現(xiàn)中華民族的偉大復(fù)興。】（第38-40分鐘）課程教學(xué)內(nèi)容設(shè)計環(huán)節(jié)五：課堂小結(jié)（1）曲面的側(cè)和第二型曲面積分的定義；（