數(shù)學(xué)分析課程思政案例設(shè)計(jì)-以無窮積分概念和第二型曲面積分為例

前言社會(huì)在發(fā)展，國家在進(jìn)步，培養(yǎng)德行和才能都具備的學(xué)子既是時(shí)代的要求，也是國家的需要。課程思政是一種讓各種不同的課程通過融入正確的價(jià)值理念和優(yōu)秀的精神品質(zhì)等元素，從而能夠與思想政治課形成相同效應(yīng)，貫穿“立德樹人”的綜合教育理念，當(dāng)下越來越多的研究者投身到思政教育的探討與實(shí)施當(dāng)中，從課程教學(xué)入手，將所挖掘出來的思政元素恰當(dāng)?shù)厝谌氲浇虒W(xué)過程中，盡量讓課程思政達(dá)到潤物細(xì)無聲的育人效果REF_Ref17621\r\h[1]，讓學(xué)生在掌握課本知識的同時(shí)能夠提高品德的修養(yǎng)，從而達(dá)到思政育人的目的。本論文基于華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系所編的《數(shù)學(xué)分析》第四版中有關(guān)積分部分的內(nèi)容進(jìn)行課程思政案列設(shè)計(jì)，借助數(shù)學(xué)家們的事跡，汲取疫情中的育人素材，讓知識傳授與價(jià)值引領(lǐng)有機(jī)結(jié)合，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)中受到數(shù)學(xué)優(yōu)秀文化的熏陶，形成正確的三觀，提高自身的政治思想覺悟，踏踏實(shí)實(shí)做人，認(rèn)認(rèn)真真做事。1.1數(shù)學(xué)分析開展課程思政的必要性數(shù)學(xué)分析是數(shù)學(xué)類專業(yè)的必修課程，內(nèi)容多且知識點(diǎn)重要，授課時(shí)間相比其他課程而言是比較長的，學(xué)好數(shù)學(xué)分析對學(xué)生之后相關(guān)數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)以及以后對數(shù)學(xué)的研究都有很大的幫助。在大部分人的觀念里，數(shù)學(xué)是一門完全純理論的學(xué)科，數(shù)學(xué)分析更是如此，好像與人文學(xué)科沒有關(guān)聯(lián)，正如兩條平行線一樣，沒有交點(diǎn)，這就導(dǎo)致在大家的印象里數(shù)學(xué)分析的課堂教學(xué)是有些枯燥的。因此，數(shù)學(xué)分析開展課程思政有利于打破學(xué)生腦海中對其枯燥的印象，讓學(xué)生意識到數(shù)學(xué)分析課程既有理論，也有情懷。同時(shí)，其也可以幫助學(xué)生了解和應(yīng)用數(shù)學(xué)分析中的理論知識，提高數(shù)學(xué)素質(zhì)。開展課程思政就好比在數(shù)學(xué)分析這碗“湯”里加了少許的“鹽”，味道更好。1.2數(shù)學(xué)分析課程思政的設(shè)計(jì)思路在數(shù)學(xué)分析課堂教學(xué)中融入思政元素且不顯得生硬不是一件容易的事情，首先是要在授課前做好教學(xué)設(shè)計(jì)，通過了解教學(xué)大綱，思考在哪個(gè)環(huán)節(jié)切入哪個(gè)思政點(diǎn)比較好，以及教師如何用語言去表達(dá)，做到在授課的過程中向?qū)W生們傳遞一些正能量。比如社會(huì)主義核心價(jià)值觀、愛國情懷和正確的行為觀念等等。設(shè)計(jì)思路如圖1-2-1。圖1-2-1課程思政的設(shè)計(jì)思路2數(shù)學(xué)分析課程思政的切入點(diǎn)2.1數(shù)學(xué)分析中知識點(diǎn)的發(fā)展歷史通過講述數(shù)學(xué)分析中知識點(diǎn)的發(fā)展歷史，介紹數(shù)學(xué)家的事跡和對數(shù)學(xué)的貢獻(xiàn)，弘揚(yáng)中國數(shù)學(xué)家的科研精神，引發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)分析的好奇和濃厚的興趣，養(yǎng)成頑強(qiáng)的毅力和卓越的品格，勇于面對困難和挫折REF_Ref7456\r\h[2]，增強(qiáng)民族文化自信心和祖國情感。2.2數(shù)學(xué)分析中知識點(diǎn)蘊(yùn)含的思想通過運(yùn)用數(shù)學(xué)分析內(nèi)容中所蘊(yùn)含的思想，引導(dǎo)學(xué)生理解和掌握知識點(diǎn)在被推導(dǎo)過程或者是在被證明的過程中所運(yùn)用的思想方法，逐步培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思考能力和運(yùn)用數(shù)學(xué)思想解決實(shí)際問題的能力，讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用范圍之廣和作用之大。2.3數(shù)學(xué)分析中知識點(diǎn)與價(jià)值理念的關(guān)聯(lián)通過數(shù)學(xué)分析中知識點(diǎn)與價(jià)值理念的關(guān)聯(lián)，在教授知識點(diǎn)時(shí)利用關(guān)聯(lián)引出正確的價(jià)值理念，讓學(xué)生在理解知識的同時(shí)懂得一些正確的理念，加深對數(shù)學(xué)與實(shí)際生活之間聯(lián)系的理解，這有利于他們對這個(gè)世界、對其他的人和對事物形成好的觀念，明白為人既要有知識的高度也要有品德的高度。2.4構(gòu)建無窮積分概念和第二型曲面積分的思政元素一覽表前面已經(jīng)知道了課程思政的設(shè)計(jì)思路，現(xiàn)在又了解到數(shù)學(xué)分析課程思政的切入點(diǎn)，接下來進(jìn)行對數(shù)學(xué)分析中部分內(nèi)容的思政元素進(jìn)行整理（見表2-4-1），這有利于后面對該部分內(nèi)容在課堂教學(xué)中思政元素應(yīng)用的探討。表2-4-1《無窮積分概念》和《第二型曲面積分》的思政元素一覽表知識點(diǎn)思政點(diǎn)兩者融合育人作用無窮積分概念的導(dǎo)入環(huán)節(jié)內(nèi)容古代的神話故事和現(xiàn)代的航天成就通過古代嫦娥奔月的故事和現(xiàn)代宇宙飛船的事跡作為導(dǎo)入，引發(fā)學(xué)生對宇宙速度的思考民族自豪感處于無限區(qū)間的積分的計(jì)算轉(zhuǎn)換為處于有限區(qū)間的積分的計(jì)算極限思想和轉(zhuǎn)化思想前面學(xué)過了定積分概念及計(jì)算的相關(guān)知識，通過極限和轉(zhuǎn)化思想引導(dǎo)學(xué)生把沒有學(xué)過的無限區(qū)間的積分的計(jì)算轉(zhuǎn)化為已經(jīng)學(xué)過的有限區(qū)間的積分的計(jì)算遇到問題能夠多角度思考無窮積分概念的符號表示數(shù)學(xué)符號的魅力通過學(xué)習(xí)無窮積分的概念去感受數(shù)學(xué)符號的魅力數(shù)學(xué)的眼光——看待世界，數(shù)學(xué)的語言——表達(dá)事物，數(shù)學(xué)的方法——解決問題第二型曲面積分的導(dǎo)入環(huán)節(jié)內(nèi)容古代都江堰工程和現(xiàn)代三峽大壩工程通過運(yùn)用古代和現(xiàn)代水利工程來引起學(xué)生對大壩曲面的單位水流量的思考文化自信單側(cè)曲面莫比烏斯的故事在把莫比烏斯帶作為單側(cè)曲面的例子講授時(shí)，可以向?qū)W生介紹偉大的數(shù)學(xué)家莫比烏斯的故事數(shù)學(xué)文化素養(yǎng)第二型曲面積分定義的推導(dǎo)過程小目標(biāo)，大夢想第二型曲面積分定義的推導(dǎo)過程就好比把一個(gè)大目標(biāo)分成一個(gè)個(gè)小目標(biāo)去完成的過程，求得最終計(jì)算結(jié)果其實(shí)就是實(shí)現(xiàn)最終大夢想中華民族的偉大復(fù)興夢3《無窮積分概念》課堂教學(xué)中思政元素應(yīng)用的探討第一個(gè)有關(guān)課程思政的教學(xué)設(shè)計(jì)案例是關(guān)于無窮積分的，如表3-1所示。無窮積分屬于反常積分，而反常積分是定積分的一種推廣，其實(shí)質(zhì)是求一個(gè)極限。理解無窮積分的定義和幾何意義，掌握其斂散性的判別，不僅能夠解決實(shí)際生活中很多問題，還能在學(xué)習(xí)的過程中培養(yǎng)自己的類比思想、極限思想和轉(zhuǎn)化思想。表3-1《無窮積分概念》思政案例設(shè)計(jì)一、授課內(nèi)容課程名稱數(shù)學(xué)分析所屬學(xué)校廣西師范大學(xué)授課章節(jié)第十一章第一節(jié)《無窮積分概念》授課對象數(shù)學(xué)類專業(yè)教學(xué)課時(shí)2課時(shí)使用教材數(shù)學(xué)分析（第四版）華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系二、學(xué)情分析學(xué)生知識經(jīng)驗(yàn)分析學(xué)生前面已經(jīng)學(xué)習(xí)了定積分概念及其應(yīng)用，懂得在有限的積分區(qū)間內(nèi)求值，但面對一些無限區(qū)間上的積分問題還不會(huì)解決。學(xué)生學(xué)習(xí)能力分析學(xué)生已經(jīng)預(yù)習(xí)了反常積分的概念，初步了解到在無限區(qū)間上定義的函數(shù)，深入了解和相關(guān)應(yīng)用任需教師的引導(dǎo)、講解和幫助。學(xué)生思想狀況分析1.學(xué)生覺得數(shù)學(xué)分析課程內(nèi)容多，難以學(xué)懂；2.學(xué)生對所學(xué)內(nèi)容大多停留在初步了解和應(yīng)用，沒有領(lǐng)悟到里面所蘊(yùn)含的抽象思維和邏輯思想；3.學(xué)生的求知欲不高，面對疑惑缺乏探究精神，在思想覺悟?qū)哟紊线€需進(jìn)一步提高。三、教學(xué)內(nèi)容課堂教學(xué)目標(biāo)1.理解無窮積分的概念及其斂散性，掌握無窮積分?jǐn)可⑿缘呐袆e和計(jì)算；2.在推導(dǎo)的過程中掌握類比、轉(zhuǎn)化和極限思想；3.通過引入實(shí)例增強(qiáng)學(xué)生的文化自信和民族自豪感，樹立遠(yuǎn)大目標(biāo)，做一個(gè)有情懷有理想能做事的青年人。教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)重點(diǎn)：理解無窮積分的含義及其幾何意義，會(huì)計(jì)算簡單的無窮積分；難點(diǎn)：掌握無窮積分?jǐn)可⑿缘呐袆e。思政資源1.中國航天科技事業(yè)的發(fā)展——航天精神；2.嫦娥奔月、夸父追日、女媧補(bǔ)天等有關(guān)天上的故事——追夢精神；3.通過古代追夢和現(xiàn)代航天增強(qiáng)文化自信。4.通過積分符號的運(yùn)用，感受數(shù)學(xué)符號的簡潔之美；5.運(yùn)用數(shù)學(xué)思維思考問題和數(shù)學(xué)方法解決問題；6.多角度去思考問題。四、教學(xué)方法與手段教學(xué)方法本節(jié)課從學(xué)生自身實(shí)際情況出發(fā)，以學(xué)生為主體和教師為主導(dǎo)相結(jié)合而設(shè)計(jì)的，采用講授和引導(dǎo)的教學(xué)方法。教學(xué)手段運(yùn)用多媒體與板書相結(jié)合五、教學(xué)過程設(shè)計(jì)（第0-6分鐘）課程教學(xué)內(nèi)容設(shè)計(jì)環(huán)節(jié)一：創(chuàng)設(shè)情境從古代流傳下來的嫦娥奔月（圖3-1）、夸父追日、女媧補(bǔ)天等的故事到現(xiàn)代的外星人來訪、天外來物等的故事都代表著人們對宇宙的好奇與探究，所以在社會(huì)發(fā)展的同時(shí)，科學(xué)家們通過大量的數(shù)據(jù)計(jì)算和模擬場景，制造出了一系列的航天機(jī)器（圖3-2），實(shí)現(xiàn)了到地球外的地方探究的夢想。圖3-1嫦娥奔月圖3-2宇宙飛船若有在地球表面垂直發(fā)射火箭，請問初速度至少要多大才能使火箭克服地球引力無限遠(yuǎn)離地球REF_Ref14803\r\h[3]？先假設(shè)地球的半徑為，火箭質(zhì)量為，地面上的重力加速度為REF_Ref9672\r\h[4].由萬有引力定律知，在距地心處火箭所受的引力為.（3-1）而要克服引力做功，則有.（3-2）引導(dǎo)到學(xué)生發(fā)現(xiàn)若想得到的值，首先要求得的值，但是以前我們只學(xué)習(xí)了在有限的區(qū)間中求被積的函數(shù)，那么在無限區(qū)間內(nèi)的被積的函數(shù)又應(yīng)該怎樣求呢？（第0-3分鐘）結(jié)合課程內(nèi)容融入【案例1——用古代的神話故事與現(xiàn)代的科技成就相結(jié)合，讓同學(xué)們感受到當(dāng)今祖國的強(qiáng)大，增強(qiáng)發(fā)自內(nèi)心的民族自豪感；感受到中國航天事業(yè)的發(fā)展，同時(shí)學(xué)習(xí)航天精神，以更多地?zé)崆橥度氲綄W(xué)習(xí)中，提高學(xué)習(xí)效率和課堂效率。】（第7-11分鐘）課程教學(xué)內(nèi)容設(shè)計(jì)環(huán)節(jié)二：分析問題通過引導(dǎo)學(xué)生換個(gè)角度將不懂的問題轉(zhuǎn)化為曾經(jīng)解決過的問題，即將未知的無限區(qū)間上的積分轉(zhuǎn)化為所學(xué)習(xí)過的有限區(qū)間上的定積分；與學(xué)生一起探究發(fā)現(xiàn)求解的問題其實(shí)就是求解的問題。從而就可以引出無窮積分的概念。（第8-10分鐘）結(jié)合課程內(nèi)容融入【案例2——求在無限區(qū)間的積分看似很難解決，卻可以轉(zhuǎn)化為在有限區(qū)間的積分去解決，而在這其中則需要極限的思想去牽連。這就好比遇到的問題看似“山中水盡疑無路”實(shí)則換個(gè)思維，換個(gè)角度，就會(huì)發(fā)現(xiàn)這個(gè)問題也不是很難解決?！浚ǖ?2-25分鐘）課程教學(xué)內(nèi)容設(shè)計(jì)環(huán)節(jié)三：概括定義定義設(shè)函數(shù)定義在無窮區(qū)間上，且在任何有限區(qū)間上可積REF_Ref9672\r\h[4].如果存在極限，(3-3)則稱此極限為函數(shù)在上的無窮限反常積分（簡稱無窮積分）REF_Ref9672\r\h[4]，記作，（3-4）并稱收斂REF_Ref9672\r\h[4].否則，稱不滿足的發(fā)散REF_Ref9672\r\h[4].提問：綜上我們得出了在區(qū)間上函數(shù)的定義，那在區(qū)間和上呢？函數(shù)又是怎樣定義的呢？（給時(shí)間同學(xué)們思考和動(dòng)筆試著自己寫一寫）類似地，可定義在上的無窮積分：.（3-5）對于在上的無窮積分，它用前面兩種無窮積分來定義：，（3-6）其中為任意實(shí)數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)右邊兩個(gè)無窮積分都收斂時(shí)它才是收斂的REF_Ref9672\r\h[4].注1無窮積分的收斂性與收斂時(shí)的值，都和實(shí)數(shù)的選取無關(guān)REF_Ref9672\r\h[4].注2由于無窮積分是由和兩類積分來定義的，因此，在任何有限區(qū)間上，首先必須是可積的REF_Ref9672\r\h[4].（第15-20分鐘）結(jié)合課程內(nèi)容融入【案例3——看似復(fù)雜的問題，用數(shù)學(xué)符號表現(xiàn)出來就顯得簡潔明了。讓學(xué)生在學(xué)習(xí)的同時(shí)感受到數(shù)學(xué)符號的魅力，“小小”的數(shù)學(xué)符號卻與這“大大”的世界有著千絲萬縷的聯(lián)系。提高自己的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，學(xué)會(huì)運(yùn)用數(shù)學(xué)語言去描述問題，懂得用數(shù)學(xué)的思維去思考問題，用數(shù)學(xué)的眼光去看這個(gè)世界REF_Ref9438\r\h[5]。】（第26-29分鐘）課程教學(xué)內(nèi)容設(shè)計(jì)環(huán)節(jié)四：深入理解提問：現(xiàn)在同學(xué)們初步了解無窮積分的定義，那同學(xué)們再思考一下，它的幾何意義是什么呢？讓同學(xué)們回憶定積分的幾何意義——在有限區(qū)間內(nèi)曲邊梯形的面積，那無窮積分的幾何意義是否也類似如此呢？圖3-3收斂的幾何意義是：若在上為非負(fù)連續(xù)函數(shù)，則圖3-3中介于曲線，直線以及軸之間那一塊向右無限延伸的陰影區(qū)域有面積REF_Ref9672\r\h[4].（第30-34分鐘）課程教學(xué)內(nèi)容設(shè)計(jì)環(huán)節(jié)五：嘗試運(yùn)用例1討論無窮積分的收斂性REF_Ref9672\r\h[4].解：分類討論：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.從而，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.因此，當(dāng)時(shí)無窮積分收斂于，當(dāng)時(shí)無窮積分發(fā)散于.（第35-37分鐘）課程教學(xué)內(nèi)容設(shè)計(jì)環(huán)節(jié)六：回顧引例求解，通過前面所學(xué)知識知道是收斂的，同時(shí)，故有，最后帶入已知數(shù)值，即可求出.（第38-40分鐘）課程教學(xué)內(nèi)容設(shè)計(jì)環(huán)節(jié)七：課堂小結(jié)1.無窮積分的定義；2.無窮積分?jǐn)可⑿缘呐袆e及其相關(guān)應(yīng)用。環(huán)節(jié)八：課后作業(yè)習(xí)題1中的第（1）、（2）、（4）小問4《第二型曲面積分》課堂教學(xué)中思政元素應(yīng)用的探討第二個(gè)案例也是關(guān)于積分的，但不是平面上的積分，而是更進(jìn)一層——第二型曲面積分，如表3-2所示。本案例通過引入古代都江堰和現(xiàn)代大壩工程來展開對第二型曲面積分定義的探討，同時(shí)講授德國數(shù)學(xué)家莫比烏斯的事跡，在教學(xué)過程中達(dá)到思政育人的目的。表3-2《第二型曲面積分》思政案例設(shè)計(jì)一、授課內(nèi)容課程名稱數(shù)學(xué)分析所屬學(xué)校廣西師范大學(xué)授課章節(jié)第二十二章第二節(jié)《第二型曲面積分》授課對象數(shù)學(xué)類專業(yè)教學(xué)課時(shí)2課時(shí)使用教材數(shù)學(xué)分析（第四版）華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系二、學(xué)情分析學(xué)生知識經(jīng)驗(yàn)分析學(xué)生前面已經(jīng)學(xué)習(xí)了《第一型曲面積分》，對曲面積分的概念和計(jì)算有了初步的了解。學(xué)生學(xué)習(xí)能力分析學(xué)生已經(jīng)預(yù)習(xí)了第二型曲面積分的概念，但是深入了解和相關(guān)應(yīng)用任需教師的引導(dǎo)、講解和幫助.學(xué)生思想狀況分析1.曲面的側(cè)和第二型曲面積分涉及空間想象，內(nèi)容有些抽象，學(xué)生學(xué)習(xí)其有一定的難度，可能會(huì)導(dǎo)致學(xué)生產(chǎn)生畏難心理；2.學(xué)生對所學(xué)內(nèi)容大多停留在初步了解和應(yīng)用，沒有領(lǐng)悟到里面所蘊(yùn)含的抽象思維和邏輯思想；3.學(xué)生的求知欲不高，面對疑惑缺乏探究精神，在思想覺悟?qū)哟紊线€需進(jìn)一步提高.三、教學(xué)內(nèi)容課堂教學(xué)目標(biāo)1.理解曲面的側(cè)和第二型曲面積分的定義，掌握第二型曲面積分的計(jì)算，學(xué)會(huì)應(yīng)用第二型曲面積分解決問題；2.掌握推導(dǎo)過程所運(yùn)用的積分思想；3.增強(qiáng)學(xué)生民族自豪感和民族責(zé)任感，激勵(lì)學(xué)生更加努力學(xué)習(xí)。教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)重點(diǎn)：了解曲面的側(cè)，理解第二型曲面積分的定義，掌握第二型曲面積分的計(jì)算；難點(diǎn)：理解第二型曲面積分的定義的推導(dǎo)過程。思政資源1.古代大壩的建設(shè)與現(xiàn)代大壩的建設(shè)，展示中國人民的智慧結(jié)晶；2.為自己作為中華兒女驕傲，加深愛國情懷和民族責(zé)任感。3.通過數(shù)學(xué)家莫比烏斯的故事，提高數(shù)學(xué)文化素養(yǎng)；4.推導(dǎo)第二型曲面積分定義的過程所體現(xiàn)出來的人生哲學(xué)道理，目標(biāo)和夢想都很大，但是把它們分成一個(gè)個(gè)小目標(biāo)去完成，終有一天，大目標(biāo)和大夢想也能夠?qū)崿F(xiàn)。四、教學(xué)方法與手段教學(xué)方法本節(jié)課從學(xué)生自身實(shí)際情況出發(fā)，以學(xué)生為主體和教師為主導(dǎo)相結(jié)合而設(shè)計(jì)的，采用講授和引導(dǎo)的教學(xué)方法.教學(xué)手段運(yùn)用多媒體與板書相結(jié)合.五、教學(xué)過程設(shè)計(jì)（第0-3分鐘）課程教學(xué)內(nèi)容設(shè)計(jì)環(huán)節(jié)一：創(chuàng)設(shè)情境1.古有蜀郡太守李冰父子主持修建的都江堰大壩（如圖4-1），今有聞名世界的中國三峽大壩（如圖4-2）。這些水利工程在面對自然災(zāi)害時(shí)起到巨大的作用，給當(dāng)?shù)厝嗣竦纳顜肀憷?。圖4-1都江堰圖4-2三峽大壩2.那同學(xué)們有沒有思考過這樣一些問題，當(dāng)大壩泄洪時(shí)，在單位時(shí)間內(nèi)通過一曲面從壩的一側(cè)流向另一側(cè)河水的流量應(yīng)該如何計(jì)算呢REF_Ref12383\r\h[6]？如圖4-3的大壩泄洪。圖4-3大壩泄洪若想計(jì)算流量，則需要知道流速的方向和壩體所在曲面的方向。那如何確定一個(gè)曲面的方向呢？（第0-2分鐘）結(jié)合課程內(nèi)容融入【案例1——把古代大壩與現(xiàn)代大壩作為例子引入，不僅能夠讓抽象的第二型曲面積分概念增添一些色彩，激起同學(xué)們學(xué)習(xí)的欲望，還能讓同學(xué)們感受到古代人民智慧的偉大和祖國今天科技實(shí)力的強(qiáng)大，更加努力地去學(xué)習(xí)，增強(qiáng)民族自豪感，提高民族責(zé)任感.】（第4-9分鐘）課程教學(xué)內(nèi)容設(shè)計(jì)環(huán)節(jié)二：探究發(fā)現(xiàn)要給一個(gè)曲面定向，首先要知道什么是曲面的側(cè)。曲面的側(cè)有兩種，一種是雙側(cè)曲面，另一種是單側(cè)曲面。設(shè)連通曲面上到處都有連續(xù)變動(dòng)的切平面（或法線），為曲面上的一點(diǎn)，曲面在處的法線有兩個(gè)方向：當(dāng)取定其中一個(gè)指向?yàn)檎较驎r(shí)，則另一個(gè)指向就是負(fù)方向。設(shè)為上任一點(diǎn)，為上任一經(jīng)過點(diǎn)，且不超出邊界的閉曲線REF_Ref9672\r\h[4].又設(shè)為動(dòng)點(diǎn)，它在處與有相同的法線方向，且有如下特性：當(dāng)從出發(fā)沿連續(xù)移動(dòng)，這時(shí)作為曲面上的點(diǎn)，它的法線方向也連續(xù)地變動(dòng)。最后當(dāng)沿回到時(shí)，若這時(shí)的法線方向仍與的法線方向相一致，則說這曲面是雙側(cè)曲面；若與的法線方向相反，則說是單側(cè)曲面REF_Ref9672\r\h[4]。在生活中，我們看到的曲面大多數(shù)都是雙側(cè)曲面，而關(guān)于單側(cè)曲面，最典型的莫過于莫比烏斯帶。在講解前，我們可以先來了解一下關(guān)于偉大的數(shù)學(xué)家莫比烏斯的故事。莫比烏斯帶是他在1858年發(fā)現(xiàn)的，那這個(gè)發(fā)現(xiàn)令莫比烏斯感到很神奇，那它神奇在什么地方呢？接下來讓我們來探究一下莫比烏斯帶的神奇之處。莫比烏斯帶的構(gòu)造：取一條形狀為矩形的長紙帶，把所在一側(cè)扭轉(zhuǎn)180°之后再與所在的另一側(cè)粘連在一起，此時(shí)和重合，和重合。接下來，若是沿著這個(gè)帶子上任一處為起點(diǎn)涂上一種顏色，我們發(fā)現(xiàn)可以不越過帶子的最外邊而將整條紙帶全部涂遍，好比一只蟲子可以爬遍整個(gè)曲面而不必跨過它的邊緣。若是用一把剪刀沿紙帶的中央將其剪開，紙帶沒有被分成兩個(gè)紙帶，反而是變成了一個(gè)兩倍長的紙圈。在了解曲面的側(cè)的兩種類型后，我們要知道一般由所表示的曲面都是雙側(cè)曲面，當(dāng)以曲面的法線正方向與軸正方向的夾角為銳角的一側(cè)（也稱為上側(cè)）為正側(cè)時(shí)，則另一側(cè)（也稱下側(cè)）為負(fù)側(cè)。若為封閉的曲面，一般規(guī)定曲面的外側(cè)為正側(cè)，內(nèi)側(cè)為負(fù)側(cè)REF_Ref9672\r\h[4].（第6-8分鐘）結(jié)合課程內(nèi)容融入【案例2——在講解單側(cè)曲面時(shí)為同學(xué)們科普關(guān)于德國數(shù)學(xué)家莫比烏斯的事跡，不僅能夠提高同學(xué)們上課積極性，還能夠提高他們的數(shù)學(xué)文化素養(yǎng)，擴(kuò)大知識面?！浚ǖ?0-24分鐘）課程教學(xué)內(nèi)容設(shè)計(jì)環(huán)節(jié)三：概括定義先假設(shè)曲面為大壩的曲面，而流體的流速為，其中，，為所討論范圍上的連續(xù)函數(shù)，求單位時(shí)間內(nèi)流經(jīng)曲面的總流量REF_Ref9672\r\h[4].設(shè)在曲面的正側(cè)上任一點(diǎn)處的單位法向量為.這里，，是，，的函數(shù)，則單位時(shí)間內(nèi)流經(jīng)小曲面的流量近似地等于其中是上任意取定的一點(diǎn)，，，是的正側(cè)上法線的方向余弦，又，，分別是的正側(cè)在坐標(biāo)面,和上投影區(qū)域的面積的近似值，并分別記作，，，于是單位時(shí)間內(nèi)由小曲面的負(fù)側(cè)流向正側(cè)的流量也近似地等于，故單位時(shí)間內(nèi)由曲面的負(fù)側(cè)流向正側(cè)的總流量這種與曲面的側(cè)有關(guān)的和式極限就是所要討論的第二型曲面積分REF_Ref9672\r\h[4].定義設(shè)，，為定義在雙側(cè)曲面上的函數(shù)，在所指定的一側(cè)作分割，它把分為個(gè)小曲面，，，，分割的細(xì)度，以，，分別表示在三個(gè)坐標(biāo)面上的投影區(qū)域的面積，它們的符號由的方向來確定REF_Ref9672\r\h[4].若的法線正向與軸正向成銳角時(shí)，在平面的投影區(qū)域的面積為正REF_Ref9672\r\h[4].反之，若法線正向與軸正向成鈍角時(shí)，它在平面的投影區(qū)域的面積為負(fù).在各個(gè)小曲面上任取一點(diǎn)，若存在，且與曲面的分割和在上的取法無關(guān)，則稱此極限為函數(shù),，在曲面所指定的一側(cè)上的第二型曲面積分REF_Ref9672\r\h[4]，記作或.故此定義，該流體以速度在單位時(shí)間內(nèi)從曲面的負(fù)側(cè)流向正側(cè)的總流量.（第15-20分鐘）結(jié)合課程內(nèi)容融入【案例3——在推導(dǎo)出第二型曲面積分的定義時(shí)用到了“先分割、再求近似、接著求和、后取極限”的積分思想，讓同學(xué)們學(xué)會(huì)了在遇到不規(guī)則圖形的面積問題時(shí)首先用積分思想去解決，從而慢慢養(yǎng)成用數(shù)學(xué)的思想去考慮事情，用數(shù)學(xué)的方法去解決問題，提高自己的邏輯能力?！浚ǖ?5-37分鐘）課程教學(xué)內(nèi)容設(shè)計(jì)環(huán)節(jié)四：初步運(yùn)用定理1設(shè)是定義在光滑曲面，上的連續(xù)函數(shù)，以的上側(cè)為正側(cè)（這時(shí)的法線方向與軸正向成銳角），則有.證明：根據(jù)第二型曲面積分的定義可知，這里REF_Ref9672\r\h[4].顯然由立刻可推得REF_Ref9672\r\h[4].由于在上連續(xù)，在上連續(xù)（曲面光滑），根據(jù)復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性，也是上的連續(xù)函數(shù)REF_Ref9672\r\h[4].由二重積分的定義.所以.同理，若在光滑曲面，上連續(xù)時(shí)，有，這里是以的法線方向與軸的正向成銳角的那一側(cè)為正側(cè)REF_Ref9672\r\h[4].若在光滑曲面，上連續(xù)時(shí)，有，這里是以的法線方向與軸的正向成銳角的那一側(cè)為正側(cè)REF_Ref9672\r\h[4].定理2設(shè)為光滑曲面，正側(cè)法向量為，，，在上連續(xù)，則REF_Ref9672\r\h[4].定理3設(shè)，，是定義在光滑曲面：，上的連續(xù)函數(shù)，以的上側(cè)為正側(cè)，則REF_Ref9672\r\h[4].證明：由于，，，，因此REF_Ref9672\r\h[4].例1計(jì)算，其中，取上側(cè)REF_Ref9672\r\h[4].解：，，，其中由于是的奇函數(shù)，；又因?yàn)閷ΨQ性，故有REF_Ref9672\r\h[4].（第30-33分鐘）結(jié)合課程內(nèi)容融入【案例4——回顧得到第二型曲面積分的定義的過程，會(huì)發(fā)現(xiàn)實(shí)現(xiàn)自己的夢想和目標(biāo)就需要這樣子做，先把它分成一個(gè)個(gè)小目標(biāo)和小規(guī)劃，然后努力去完成一個(gè)個(gè)這樣子的小目標(biāo)，相信會(huì)在未來的某一天內(nèi)心那個(gè)大的目標(biāo)和夢想就會(huì)實(shí)現(xiàn).同時(shí)，也像我們偉大的祖國，在千千萬萬的華夏兒女的努力下，完成和突破一個(gè)又一個(gè)目標(biāo)，終有一天，會(huì)實(shí)現(xiàn)中華民族的偉大復(fù)興?！浚ǖ?8-40分鐘）課程教學(xué)內(nèi)容設(shè)計(jì)環(huán)節(jié)五：課堂小結(jié)（1）曲面的側(cè)和第二型曲面積分的定義；（