高等數(shù)學(xué)（第二版）課件：正項(xiàng)級(jí)數(shù)

高等數(shù)學(xué)（第二版）正項(xiàng)級(jí)數(shù)無(wú)窮級(jí)數(shù)定義1設(shè)無(wú)窮級(jí)數(shù)，如果，則稱(chēng)無(wú)窮級(jí)數(shù)為正項(xiàng)無(wú)窮級(jí)數(shù)。定理1正項(xiàng)無(wú)窮級(jí)數(shù)收斂的充要條件是它的部分和數(shù)列有上界。對(duì)于正項(xiàng)無(wú)窮級(jí)數(shù)，其部分和數(shù)列是單調(diào)增加數(shù)列，由數(shù)列極限的存在準(zhǔn)則可知：若單調(diào)增加數(shù)列有上界，則存在，否則。由此可得到下述定理：（1）若正項(xiàng)無(wú)窮級(jí)數(shù)收斂，則正項(xiàng)無(wú)窮級(jí)數(shù)也收斂。（2）若正項(xiàng)無(wú)窮級(jí)數(shù)發(fā)散，則正項(xiàng)無(wú)窮級(jí)數(shù)也發(fā)散。值得注意的是：比較判別法的條件，其實(shí)不必從起始就要求上述不等式成立。因?yàn)橛缮弦还?jié)性質(zhì)3可知，改變一個(gè)無(wú)窮級(jí)數(shù)的有限項(xiàng)并不影響該無(wú)窮級(jí)數(shù)的收斂性，所以只要從某一項(xiàng)起

就可以了。定理2（比較判別法）若無(wú)窮級(jí)數(shù)和都是正項(xiàng)無(wú)窮級(jí)數(shù)，且滿足解：由題設(shè)可知，所給定無(wú)窮級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)為，且，因此無(wú)窮級(jí)數(shù)為正項(xiàng)無(wú)窮級(jí)數(shù)。此外，當(dāng)時(shí)，有，故所以為收斂。由比較判別法可知收斂。取，則為幾何級(jí)數(shù)，其公比，例1

試判斷無(wú)窮級(jí)數(shù)的斂散性。一般稱(chēng)正項(xiàng)無(wú)窮級(jí)數(shù)用比較判別法判定一個(gè)正項(xiàng)無(wú)窮級(jí)數(shù)的斂散性時(shí)，經(jīng)常將需判斷的無(wú)窮級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)與幾何級(jí)數(shù)或-級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)比較，然后確定該無(wú)窮級(jí)數(shù)的斂散性。可以證明：（1） 當(dāng)時(shí)，-級(jí)數(shù)收斂。（2） 當(dāng)時(shí)，-級(jí)數(shù)發(fā)散。為-級(jí)數(shù)（或稱(chēng)廣義調(diào)和函數(shù)）。前述的調(diào)和級(jí)數(shù)是廣義調(diào)和級(jí)數(shù)時(shí)的特殊情形。例2

試判斷無(wú)窮級(jí)數(shù)的斂散性。解：由于所給定無(wú)窮級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)為，且滿足令，則為去掉第一項(xiàng)的調(diào)和級(jí)數(shù)，可知發(fā)散。由比較判別法可知也發(fā)散。解：已知所給定無(wú)窮級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)為，且滿足令，則為幾何級(jí)數(shù)，公比為，可知級(jí)數(shù)收斂，故由比較判別法，可知也收斂。例3試判斷無(wú)窮級(jí)數(shù)的斂散性。注意到級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)2與性質(zhì)3，即級(jí)數(shù)的各項(xiàng)同乘以不為零的常數(shù)，去掉或添加有限項(xiàng)仍不改變級(jí)數(shù)的收斂性。由此可以得到下述更實(shí)用的結(jié)果。（2）若正項(xiàng)無(wú)窮級(jí)數(shù)發(fā)散，且存在，當(dāng)時(shí)，有則正項(xiàng)無(wú)窮級(jí)數(shù)也發(fā)散。推論（1）若正項(xiàng)無(wú)窮級(jí)數(shù)收斂，且存在，當(dāng)

時(shí)，有，則正項(xiàng)無(wú)窮級(jí)數(shù)也收斂。定理2.7.2’（極限形式的比較判別法）若無(wú)窮級(jí)數(shù)

和都是正項(xiàng)無(wú)窮級(jí)數(shù)，且，則正項(xiàng)無(wú)窮級(jí)數(shù)與有相同的收斂性。定理3（比值判別法）若正項(xiàng)無(wú)窮級(jí)數(shù)，滿足條件（1）若，則無(wú)窮級(jí)數(shù)收斂；（2）若（或），則無(wú)窮級(jí)數(shù)發(fā)散。注：若，則本判別法不能判斷所給定的無(wú)窮級(jí)數(shù)的斂散性。例4試判斷無(wú)窮級(jí)數(shù)的斂散性。由比值判別法可知：無(wú)窮級(jí)數(shù)為收斂的。解：已知正項(xiàng)無(wú)窮級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)為，由于解：已知的正項(xiàng)無(wú)窮級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)為，由于由比值判別法可知：無(wú)窮級(jí)數(shù)發(fā)散。例5試判斷無(wú)窮級(jí)數(shù)的斂散性。解：該無(wú)窮級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)為，由于所以比值判別法失效，此時(shí)可考慮運(yùn)用比較判別法。因?yàn)?/p>